dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,
f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielą dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,
f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części.Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,
f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) =− 12 < 0, f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0, zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) =
3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0.
. Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1. Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0, rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).Własność Darboux - przykład
dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby zachodziło f (x ) > 0, to między x a −1 musiałoby istnieć jakieś miejsce zerowe funkcji f , a tak nie jest. Analogicznie rozumując dostajemy, że f (x ) > 0 dla x ∈ (0, 1) i f (x ) < 0 dla x > 1.
Zatem rozwiązaniem nierówności jest x ∈ (0, 1).
Własność Darboux - przykład
Zadanie
Rozwiązać nierówność:
x + 1 > 2x,
wiedząc, że równość x + 1 = 2x zachodzi tylko dla x = 0 i x = 1.
Rozważmy funkcję f (x ) = x + 1 − 2x. Jest ona ciągła w R . Mamy sprawdzić, kiedy f (x ) > 0. 0 i 1 - miejsca zerowe funkcji f dzielą dziedzinę tej funkcji na trzy części. Obliczmy po jednej wartości funkcji w każdej z tych części: f (−1) = −12 < 0,
f (12) = 32 −√
2 > 0, f (2) = 3 − 4 = −1 < 0. . Dla x ∈ (−∞, 0), f (x ) musi mieć taki sam znak, jak f (−1) (czyli ujemny). Gdyby
Własność Darboux - wnioski
Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy).
Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S ) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Można założyć, że dla ceny 0, S (0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera (Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S (P1) > 0).
Własność Darboux - wnioski
Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy).
Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S ) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca.
Można założyć, że dla ceny 0, S (0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera (Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S (P1) > 0).
Własność Darboux - wnioski
Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy).
Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S ) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Można założyć, że dla ceny 0, S (0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa.”).
Dla pewnej dużej ceny P1 popyt spadnie do zera (Q(P1) = 0), a podaż będzie dodatnia (S (P1) > 0).
Własność Darboux - wnioski
Po drugie, na własności Darboux opiera się najprostszy model opisujący istnienie rynkowej równowagi podaży i popytu przy pewnej cenie (jak również inne, bardziej wyrafinowane modele - ale tylko tym się tu zajmiemy).
Załóżmy, że mamy statyczny model rynku dla pewnego produktu z funkcjami popytu (Q) i podaży (S ) od ceny P. Jak wiemy z mikroekonomii, funkcja popytu od ceny (poza szczególnymi przypadkami) jest malejąca, a funkcja podaży - rosnąca. Można założyć, że dla ceny 0, S (0) = 0 (bo nie ma żadnego zysku ze sprzedaży), a Q(0) > 0 („Nieważne, co to, ale za darmo, więc poproszę dwa.”). Dla pewnej dużej ceny P popyt spadnie do zera
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0. Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0. Zatem Q(P0) − S (P0) = 0, czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1].
Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0. Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0. Zatem Q(P0) − S (P0) = 0, czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.
Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0. Zatem Q(P0) − S (P0) = 0, czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.
Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0.
Zatem Q(P0) − S (P0) = 0, czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.
Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0.
Zatem Q(P0) − S (P0) = 0,
czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.
Własność Darboux - wnioski
S (0) = 0; Q(0) > 0; Q(P1) = 0; S (P1) > 0.
Teraz zdefiniujmy f (x ) = Q(x ) − S (x ) dla x ∈ [0, P1]. Jasno widać, że f (0) = Q(0) > 0 i f (P1) = −S (P1) < 0, czyli f (0)f (P1) < 0.
Stąd i z własności Darboux istnieje P0 ∈ [0, P1] takie, że f (P0) = 0.
Zatem Q(P0) − S (P0) = 0, czyli Q(P0) = S (P0), czyli istnieje cena równowagi P0: cena, dla której podaż i popyt są równe.