Von Univ.-Prof. Dr. CALMES, Oberursel bei FranKfurt a. M.
Die F ü h r u n g e in e s U n t e r n e h m e n s e r f o r d e r t die z a h l e n m ä ß ig e E r f a s s u n g d e r w i r ts c h a f tlic h e n V o r g ä n g e , die sich in ih m abspielen. D iese s y s te m a tis c h e E r f a s s u n g ist die A u f g a b e d e r R e c h n u n g s f ü h r u n g , zu d e r in d e m In d u strie- b e trieb p , a u ß e r d e r in d e r T h e o r i e w ie a u ch in d e r in d u strie lle n P r a x i s all
g e m e i n b e k a n n t e n u n d e i n g e f ü h r t e n B u c h h a l t u n g u n d K o s te n b e r e c h n u n g , auch d ie S ta tis tik g e h ö r t , die i h r e n b e s o n d e r e n C h a r a k t e r d u r c h ihre eig en g e a r t e t e T e c h n ik e rh ält. D ie s e T e c h n i k lie g t im sta tis tis c h en V e r g l e i c h 1).
Die p r i v a t w i r t s c h a f t li c h e S ta tis tik erfüllt i h r e n Z w e c k d u rc h d e n Verg leich.
Die n ä c h s tl i e g c n d e A rt d e s V e r g l e i c h e s ist di e b l o ß e G e g e n ü b e r s t e l l u n g d e r a u s d e r s t a tis tis c h e n B e o b a c h t u n g u n m it t e l b a r h e r v o r g e g a n g e n e n a b s o l u te n Z ah len z u r F e s t s t e ll u n g d e r U n t e r s c h i e d e zw isch en d en v e r g lic h e n e n Z ah len und Z a h l e n r e i h e n . E ine solche G e g e n ü b e r s t e l l u n g k a n n a b e r e rle ic h tert w e r d en d u r c h die B e r e c h n u n g d e s V e rh ältn is s e s , in w e lch e m di e v e r g lic h e n e n Z ah len z u e i n a n d e r s te h e n , d. h. d u r c h die E r m i t tl u n g d e r V e rh ältn is za h len .
Die a b s o l u te n Z a h l e n sind d e r e le m e n t a r e , v o l ls tä n d ig e u n d g e n a u e A u s druck d es sta tis tis c h e r f a ß t e n V o r g a n g e s o d e r E r g e b n i s s e s , h a b e n a b e r d en Nachteil, d a ß sie nicht i m m e r le icht zu ü b e r s e h e n sind . W o es sich d a r u m handelt, d e n e ffektiv en z a h l e n m ä ß ig e n A u s d r u c k eines V o r g a n g e s o d e r eines E rg eb n iss es d u r c h die E r k e n n tn is d e s w e s e n tlic h e n In h a lts d e r d a r a u f b e z ü g lichen s t a t i s t i s c h e n ' Z a h le n u n d d e r B e z ie h u n g e n m e h r e r e r d e r a r t i g e r Z a h le n z u e in a n d e r zu e r g ä n z e n , t r itt d a h e r zu d e r a b s o l u te n Z ah l die V erh ältn is zah l.
Die d u r c h di e V e r h ä ltn is z a h le n g e b o t e n e le ichte re E r f a s s u n g u n d V e r g le ic h b a r k e it w i r d a lle rd in g s d u r c h die P r e i s g a b e d e s e ffe ktiv en A u s d r u c k e s , d en die a b s o l u te Z ah l allein zu b i e t e n v e r m a g , e rk au ft. Z u s a m m e n s t e l lu n g e n , die nu r V e r h ältn is za h len e n th a l te n , sind f ü r die V e r w e r t u n g d e r s t a tis tis c h e n E r g e b nisse m eist u n g e n ü g e n d , v ie l m e h r sind z w e c k m ä ß i g e r w e i s e in d e n Z a h l e n r e i h e n die a b s o lu te n Z a h l e n d e n d a r a u f b e z ü g lic h e n V e r h ä ltn is z a h le n b e iz u f ü g e n . D e n n die a b s o lu te Z a h l g i b t s t e ts eine v o l ls tä n d i g e r e D a r s t e l l u n g als die V e r h ä l t n is zahl. Es b e s t e h t b e is p ie ls w e is e k ein Z w e if e l, d a ß die in vielen G e s c h ä f t s be ric hte n vo n A k tie n g e s e lls c h a f te n übliche A n g a b e d e r Z u- o d e r A b n a h m e d e s U m s a t z e s w ä h r e n d d e s G e s c h ä f t s j a h r e s in H u n d e r t t e i l e n — e tw a die An g ab e, d e r U m s a t z sei a u f 110 v H d e s v o r j ä h r i g e n U m s a t z e s g e s t i e g e n — eine w e n i g e r v o l ls tä n d ig e u n d d a h e r h i e r m it R ü c k s ich t auf die K o n k u r r e n z b e w u ß t g e w ä h l t e A n g a b e ist, als e t w a di e, d e r U m s a t z sei v o n 468 000 auf 5 1 4 8 0 0 Ml g e s t i e g e n , w ä h r e n d a n d e r s e i ts die A n g a b e in H u n d e r t t e i l e n alle rdings b e s o n d e r s ü b e r s ic h tlic h ist. D i e V e r h ä l t n i s z a h l , e b e n s o w i e d i e D u r c h s c h n i t t s z a h l , i s t k e i n E r s a t z , s o n d e r n e i n e E r g ä n z u n g d e r a b s o l u t e n Z a h l .
■) V e r g l. m e i n e D a r s t e l l u n g d e r p r iv a t w i r t s c h a f tl i c h e n S t a ti s t i k in C a l m e s , D ie S t a ti s t i k im F a b r ik - u n d W a r e n h a n d e l s b e t r i e b . 3. A n f la g e , L e i p z i g 1913. S ie h e a u c h ü b e r d ie S t e ll u n g d e r S t a tis tik im S y s t e m d e s i n d u s t r i e l l e n R e c h n u n g s w e s e n s : C a l m e s , D e r F a b r ik b e t r i e b , 4. A u f la g e , L e ip z ig 1916, K a p i te l VIII.
314 A B H A N D L U N G E N
Die V e r h ä l t n is z a h l e n e n t s t e h e n b e k a n n t l ic h , i n d e m d u r c h I n b e z i e h u n g s e t z e n v o n a b s o l u te n Z a h l e n b e r e c h n e t w ir d , w ie sich d i e s e ih r e r H ö h e n a ch z u e i n a n d e r v e r h a l te n . Im G r u n d e g e n o m m e n sin d alle V e r h ä l t n is z a h l e n g e k ü r z t e B rü c h e, in d e n e n e n t w e d e r die Z a h l 1 als Z ä h l e r u n d i n f o l g e d e s s e n ein e u n g e r a d e Z a h l als N e n n e r o d e r a b e r u m g e k e h r t e in e u n g e r a d e Z a h l als Z ä h l e r u n d d ie Z a h l 1 als N e n n e r e rs ch e in t. L e t z t e r e B r ü c h e ste lle n die g e b r ä u c h lichst en V e r h ä l t n is z a h l e n d a r , u n d w e n n d i e s e r N e n n e r 100 o d e r 1000 b e t r ä g t , so s p r i c h t m a n v o n V o m h u n d e r t - u n d V o m t a u s e n d - V e r h ä l t n i s z a h l e n .
D a r a u s fo lgt, d a ß die B e r e c h n u n g v o n V e r h ä l t n is z a h l e n a uf m a n c h e r le i A r t e r f o l g e n kann .
D a s V e r h ä l t n is d e r a b s o l u t e n Z a h l e n 135 u n d 189 z u e i n a n d e r k a n n z. B.
b e r e c h n e t w e r d e n :
1. i n d e m die b e i d e n Z a h l e n d u r c h d e n g e m e i n s a m e n F a k t o r 27 g e k ü r z t w e r d e n , w o d u r c h di e V e r h ä l t n is z a h l e n 5 u n d 7 e n t s t e h e n ;
2. w i r d d ie e r s t e r e a b s o l u t e Z a h l g leic h 1 b e z w . g leic h 100 g e s e t z t , s o b e t r ä g t die a n d e r e 1,4 b e z w . 1 40;
3. w ird die z w e i t e a b s o l u t e Z a h l g leic h 1 b e z w . g leic h 1000 g e s e tz t, so b e t r ä g t die e r s t e r e 0,714 b e z w . 714.
D a s Z a h l e n v e r h ä lt n i s k a n n w e i t e r a u f drei v e r s c h i e d e n e A r t e n g e b il d e t w e r d e n , w o r a u s sich v ier T y p e n v o n V e r h ä l t n is z a h l e n e r g e b e n : e in f a c h e V e r h ältn is-, K o o r d i n a ti o n s - u n d G l i e d e r u n g s z a h l e n .
1. D i e e i n f a c h e n V e r h ä l t n i s z a h l e n .
D ie e in f a c h s te A r t ist die I n b e z i e h u n g s e t z u n g z w e i e r Z a h l e n in e in e r d e r o b e n e r w ä h n t e n F o r m e n , m e i s t als o so, d a ß die ein e d u r c h di e a n d e r e d iv id iert u n d d e r e r h a l te n e Q u o t i e n t m it 100 o d e r 1000 m u ltip liz ie r t w ird.
H i e r b e i k ö n n e n die b e id e n in B e z i e h u n g z u e i n a n d e r s t e h e n d e n Z a h le n d e r s e l b e n Z a h l e n r e i h e a n g e h ö r e n . W e n n b e is p ie ls w e is e d ie L ö h n e ein es B e tr i e b e s im Juli 526 00 0 u n d im A u g u s t 471 00 0 M b e t r u g e n , s o m a c h e n d ie A u g u s t - L ö h n e 89,54 v H d e r J u l i - L ö h n e o d e r u m g e k e h r t di e J u l i - L ö h n e 111,67 v H d e r A u g u s t - L ö h n e aus.
Es k ö n n e n a b e r au ch die Z ah len , d e r e n V e r h ä l t n is z u e i n a n d e r b e r e c h n e t w e r d e n soll, z w ei v e r s c h i e d e n e n Z a h l e n r e i h e n a n g e h ö r e n . V o r a u s s e t z u n g h i e r f ü r ist ein lo g is ch e s V e r h ä l t n is d e r b e id e n Z a h l e n r e i h e n z u e i n a n d e r , in d e m Sinne, d a ß di e ein e die a n d e r e b e d i n g t , b e e i n f lu ß t , v o n ih r a b h ä n g t , kurz in i r g e n d e i n e m K a u s a l z u s a m m e n h a n g zu ih r s t e h t. S o k ö n n e n in e in e m in
d u s tr ie lle n B e trie b die G e h ä l t e r , die u n p r o d u k t i v e n L ö h n e , die F a b r i k a t i o n s u n k o s t e n , d e r M a t e r i a l v e r b r a u c h u n d Ä h n lic h e s in H u n d e r t t e i l e n d e r p r o d u k t iv e n L ö h n e b e r e c h n e t w e r d e n .
V e r h ä l t n is z a h l e n d e r l e t z te r e n A r t h e iß e n B e z i e h u n g s z a h l e n , weil sie d a s G r ö ß e n v e r h ä l t n i s z w e i e r in B e z i e h u n g z u e i n a n d e r g e s e t z t e n , k o o r d i n i e r t e n , v e r s c h i e d e n e n Z a h l e n a u s d r ü c k e n .
An sich k ö n n e n V e r h ä l t n is z a h l e n z w is c h e n je g lic h e n a b s o l u t e n Z a h l e n b e r e c h n e t w e r d e n . O b eine solche B e r e c h n u n g s t a t t f i n d e t , h ä n g t d a v o n a b , o b z w is c h e n d e n in B e tr a c h t k o m m e n d e n Z a h l e n ein l o g is c h e r Z u s a m m e n h a n g b e s t e h t . D ie F e s t s t e l l u n g s o l c h e r Z u s a m m e n h ä n g e u n d i h r e r T r a g w e i t e g e h ö r t z u r V e r w e r t u n g d e r s ta ti s t i s c h e n Z ah len .
2. D i e K o o r d i n a t i o n s z a h l e n .
E in e Z a h l e n r e i h e b e s t e h t a u s m e h r als zwei Z ah len , d e ren V e r h ä ltn is z u ein a n d e r b e r e c h n e t w e r d e n sollen. W e n n in e in e m B e tr ie b d e r U m s a t z in t a u s e n d M a r k
im J a n u a r . . . 526
» F e b r u a r . . . 470
» M ä r z . . . . 513
» A pr il . . . . 620
b e tr u g , so k a n n d a s V e r h ä l t n is d i e s e r Z a h le n z u e i n a n d e r z u n ä c h s t s t u f e n w eise b e r e c h n e t w e r d e n . B eis pie lsw eise s o :
D e r F e b r u a r - U m s a t z b e t r u g 89,35 v H d e s J a n u a r - U m s a t z e s ,
» M ä r z - U m s a t z » 109,15 » » F e b r u a r - U m s a t z e s ,
» A p r i l - U m s a tz » 120,86 » » M ä r z - U m s a tz e s .
Die E in s ic h t in d e n V e r l a u f d e r Z a h le n r e ih e w i r d a b e r b e d e u t e n d g e s t e i g e r t , w e n n f ü r j e d e V e r h ä l t n is b e r e c h n u n g a u s d i e s e r Z a h le n r e ih e i m m e r d i e s e l b e Z ahl zu m V e r g le ic h g e n o m m e n w ird , d. h. in d e r V o m h u n d e r t r e c h n u n g gleich 100 v H g e s e t z t w ird. W e l c h e Z a h l d a s ist, ist th e o r e ti s c h g leic h g ü ltig , p r a k tisch a b e r w ird , e t w a bei e in e m zeitlichen V erlau f, di e z u e r s t e n t s t a n d e n e Zahl d e r b e t r e f f e n d e n Z a h l e n r e i h e , als o in d i e s e m Beispiel die J a n u a r z a h l, g e w ählt w e r d e n , weil s o n s t die V e r h ä l t n is b e r e c h n u n g nicht s o f o r t b eim B e
k a n n t w e r d e n d e r z w e i t e n a b s o l u te n Z a h l e in s etze n k ö n n te.
So e n t s t e h e n die K o o r d in a tio n s z a h le n , d. h. ein S y s t e m vo n e i n a n d e r g l e i c h g e o r d n e t e n V erh ältn is za h len . Im v o r l ie g e n d e n Be ispiel e r g ä b e n sich f o l g e n d e K o o r d i n a t i o n s z a h l e n :
J a n u a r . . . . 100 v H F e b r u a r . . . 89,35 » M ä r z . . . . 97,53 »
A pril . . . . 117,87 »
Betrifft d a g e g e n die Z a h l e n r e i h e k e in e n zeitlichen Verl au f, e tw a w e n n die o b e n g e n a n n t e n U m s a tzz iffe rn , s t a t t sich auf di e e in z eln e n M o n a t e zu b e ziehen, d e n U m s a t z d e r A b t e il u n g e n A, B, C Und D eines U n t e r n e h m e n s in d e m s e lb e n Z e i t r a u m b e tr ä f e n , so k a n n die als g e m e i n s a m e r A u s g a n g s p u n k t d i e n e n d e a b s o l u te Z a h l b e li e b ig g e w ä h l t w e r d e n .
Es k ö n n t e n als o e b e n s o g u t die A-, B- u n d C - U m s ä t z e in H u n d e r t t e i l e n d e s D - U m s a tz e s w ie die B-, C - u n d D - U m s ä t z e in H u n d e r t t e i l e n d e s A - U m s a t z e s b e r e c h n e t w e r d e n . Es sind d a n n p r a k tis c h e R ü c k sich te n , die die Z ah l b e s tim m en, v o n d e r a u s d e r A us bli ck a u f die ü b r i g e n G l i e d e r d e r Z a h l e n r e i h e e r fo lg e n soll.
Als A u s g a n g s p u n k t f ü r die B e r e c h n u n g d e r K o o r d i n a ti o n s z a h l e n k a n n auch ein e Z ah l d ien e n , di e n ic h t in d e r Z a h l e n r e i h e e n th a l te n , s o n d e r n a u ß e r h a lb d e r s e lb e n g e w ä h l t o d e r b e r e c h n e t w ird.
W e n n in e in e m U n t e r n e h m e n an A r b e i t s t u n d e n g e le i s t e t w u r d e n im J a n u a r 8 2 3 9 0 S t u n d e n ,
» F e b r u a r 67 206 »
» M ä r z 7 0 0 4 6 - »
» A pri l 64 320 »
316 A B H A N D L U N G E N
s o e r g e b e n sich, w e n n die J a n u a r - S t u n d e n gleich 100 g e s e t z t w e r d e n , die K o o r d i n a ti o n s z a h l e n
J a n u a r . . . . 100 v H F e b r u a r . . . 81,6 »'
M ä r z . . . . 85 »
A pril . . . . 78 »
D ie s e B e r e c h n u n g k ö n n t e a b e r a u ch so e r fo l g e n , d a ß an Stell e d e s M o n a t s J a n u a r ein n o r m a l e r A r b e i t s m o n a t gleich 100 g e s e t z t w ü r d e . W e n n in d e m v o r l i e g e n d e n B e tr ie b d u r c h s ch n ittlich 303 A r b e i t s t a g e im J a h r e V ork o m m en , s o e n tfa lle n a u f j e d e n M o n a t 251/* T a g e . Bei täg lich 8 1/* A r b e i t s t u n d e n u n d e i n e r d u r c h s c h n ittlic h e n B e s e tz u n g v o n 350 A r b e i te r n w ü r d e eine D u r c h s c h n i tt s z a h l v o n 2 5 7 4 X 8 7 2 X 350 = 7 5 1 1 9 A r b e i t s t u n d e n als G r u n d l a g e d e r V e r h ä l t n i s b e r e c h n u n g d ien e n . A u f dies e b e z o g e n w ü r d e n die K o o r d i n a t i o n s z a h l e n l a u t e n :
J a n u a r . . . . 109,7 F e b r u a r . . . 89,5 M ä r z . . . . 93,2
A pr il . . . . 85,6
3. D i e G li e d e r u n g s z a h 1 e n.
E in e w e i t e r e A r t d e r V e r h ä l t n is z a h l e n e r g i b t sich a u s d e r I n b e z i e h u n g s e t z u n g v o n Z a h le n , die T e ile ein es G a n z e n s in d . H i e r sollen die V e r h ä l t n is z a h l e n die Z u s a m m e n s e t z u n g e in e r G r ö ß e a u s i h r e n K o m p o n e n t e n , d a s in n ere G e f ü g e e in e r S u m m e v o n m e h r e r e n T e ile n a u s d r ü c k e n . D ie s e V e r h ä l t n is z a h l e n , die m e i s t in P r o z e n t e n A nteil e, Q u o t e n a u s d r ü c k e n , h e i ß e n G l i e d e r u n g s z a h l e n .
I h r e B e r e c h n u n g erfo lg t, in d em die S u m m e d e r Z a h l e n r e i h e gleich 100 g e s e t z t w ird . W e n n e in e F a b r i k z u m Be ispiel 135 m ä n n lic h e u n d 189 w e i b lic he A r b e i t e r b e s c h ä f t ig t , d a n n entfallen 413/ 3 v H d e r A r b e i t e r s c h a f t v o n 324 K ö p f e n auf d a s m ä n n lic h e u n d 582/ 3 v H a u f d a s w e ib lic h e G e s c h le c h t. A n d e r e B e is p ie le sind di e U m r e c h n u n g d e r e in z eln e n P o s t e n e i n e r B ilanz in H u n d e r t teile d e r S u m m e n d e r A k tiv a o d e r d e r P a s s iv a , o d e r d ie B e r e c h n u n g , wieviel H u n d e r t t e i l e d e r S e l b s t k o s t e n ein e s E r z e u g n i s s e s a u f di e M a t e r i a l k o s t e n , die L o h n k o s t e n u n d die U n k o s t e n entfall en.
D e r U n t e r s c h i e d z w is c h e n d e n K o o r d i n a ti o n s - u n d d e n G l i e d e r u n g s z a h l e n l i e g t also d a rin , d a ß bei d e n e r s t e r e n d ie e in z eln e n Z a h l e n d e r R e ih e auf e in e a u s d i e s e r R eih e o d e r a u ß e r h a l b d e r R e ih e a u s g e w ä h l t e Z a h l z u r ü c k g e f ü h r t w e r d e n , w ä h r e n d b e i d e n le t z te r e n die e in z eln e n Z a h l e n d e r R e ih e auf d e r e n S u m m e b e z o g e n we'rden.
D e r g r o ß e V o r te il d e r V e r h ä l t n is z a h l l ie g t in i h r e m k n a p p e n , c h a r a k te r i s t i s c h e n , v e r g le ic h e n d e n A u s d r u c k d e r re la tiv e n G r ö ß e m e h r e r e r Z ah len . D i e s e m V o r t e il s t e h t d e r N a ch te il g e g e n ü b e r , d a ß die V e r h ä l t n is z a h l die V e r s c h i e d e n h e i t d e r a b s o l u te n Z ah len , a u f d e n e n sie b e r u h t , nich t allse itig e r k e n n e n läß t. So w ir d in e in e m B etr ieb , in d e m 1 L e h r l i n g u n d 40 g e le r n te A r b e i t e r b e s c h ä f t ig t w e r d e n , die V e r h ä ltn is z a h l v o n 2 1/ i L e h r l i n g e n a uf 100 g e l e r n t e A r b e i te r d ie s e lb e sein w ie in e in e m B e tr ie b , in d e m 100 L eh rlin g e u n d 4000 A r b e i te r b e s c h ä f t i g t w e r d e n . D e n n d i e V e r h ä l t n i s z a h l l ä ß t
d a s G e w i c h t d e r a b s o l u t e n Z a h l e n , a u s d e n e n s i e b e r e c h n e t w u r d e , n i c h t e r k e n n e n .
D a s h a t m e h r e r e F o lg e n .
1. H a b e n die a b s o l u te n Z ah len , a u s d e n e n V e r h ältn is za h len b e r e c h n e t w e r d e n , v e r s c h i e d e n e s G e w i c h t — w a s in d e r R e g e l d e r Fall ist — , so k a n n a u s d ie s e n V e r h ä ltn is z a h le n ein m it t le r e r D u r c h s c h n it t nicht b e r e c h n e t w e r d en, v ie lm e h r ist d a s D u r c h s c h n it t s v e r h ä l t n is a u s d en a b s o l u te n Z a h le n zu b e r e c h n e n , es sei d e n n , d a ß die in F r a g e k o m m e n d e n V e rh ältn is za h len gleich s eien, in w e lch e m Falle die D u r c h s c h n i t t s b e r e c h n u n g aus d e n V e r h ä ltn is zah len d a s s e l b e E r g e b n i s liefert w ie die B e r e c h n u n g a u s d e n a b s o l u te n Z a h l e n .
W e n n
d e r e r s t e B e tr i e b a u f 500 0 g e l e r n t e A r b e i t e r 50 L ehrling e,
» z w eite » » 5000 » » 200 »
b e sc h äftig t, so ist d e r D u r c h s c h n it t d e r b e id e n V e rh ältn is za h len vo n 1 v H L e h r lin g e n im e r s t e n Betrieb,
4 » » » z w e ite n »
also 2V 2 v H , d e r s e l b e wie d a s D u r c h s c h n it t s v e r h ä l t n is a u s d e n a b s o l u te n Z a h l e n : 250 L eh rlin g e a u f 10 000 g e l e r n t e A r b e i te r sind 2V2 v H . Die D u r c h s c h n it t s b e r e c h n u n g a u s d e n V e r h ältn is za h len is t h ier zu lä ss ig , weil d ies e v o m gleichen.
G e w i c h t sind.
W e n n d a g e g e n
d e r e r s t e B e tr ie b A L eh rlin g e u n d 40 g e l e r n t e A rb eite r,
» z w e ite » 100 » » 4000 » »
u m faß t, also d a s V e r h ä l t n is im e r s t e r e n B e tr ie b 10 v H , im z w eiten 21/ 2 v H b e tr ä g t, so w ä r e die D u r c h s c h n i t t s b e r e c h n u n g aus d ies en b e id e n V e r h ä l t n is zahlen 10 2 - = ö ' / j ) falsch. Die R e c h n u n g m u ß v ie lm e h r la u t e n : i n s g e s a m t e n tfa lle n auf 4040 A r b e i t e r 104 L eh rlin g e, also 2,57 v H . D e r G r u n d ist das v e r s c h i e d e n e G e w i c h t , d a s d e n V e rh ältn is za h len 10 vFI u n d 2 1/ s v H b e iz u m e s s e n ist.
T r o t z v e r s c h i e d e n e m G e w i c h t k a n n die B e r e c h n u n g d e s D urchschnit tes , d e r V e r h ältn is za h len r ich tig sgin, j e d o c h n u r in d e m s e lte n e n Falle, d a ß dies e V e rh ältn is za h len e in a n d e r gleich sind. D a s w a r in d e m o b e n z u e r s t e r w ä h n t e n Beispiel mit
1 L e h r lin g a u f 40 A r b e i te r im e r s t e n B etrieb = 2 L/ 2 v H un d 100 L e h r lin g e » 4000 » » z w e i t e n » = 21/ 3 »
d e r Fall. H i e r ist d e r D u r c h s c h n i t t d ie s e r b e id e n g leic h en V e rh ältn is za h len von 21/ 2 v H d e r s e l b e wie d a s d u r c h s c h n ittlic h e V e rh ältn is vo n 101 L e h r lin g e n zu 4040 A r b e i te r n , nämlich e b en fa ll s 2 V 2 v H .
2. A u s d e m s e l b e n G r u n d e ist die B e r e c h n u n g vo n V e rh ältn is za h len a u s V e r h ält n iszah len zulä ss ig , s o f e r n die in F r a g e k o m m e n d e n V e r h ältn is za h len d e n selben Z ä h l e r o d e r N e n n e r , d. h. d a s s e l b e G e w i c h t h a b e n , w ie d a s ja b e i V o m h u n d e r t- u n d V o m t a u s e n d - Z a h l e n b e g r i f f s g e m ä ß d e r Fall ist. S o v e r h a l te n sich die b e id e n z u le tzt e r w ä h n t e n B e tr i e b e hinsichtlich d e s V o m h u n d e r t - S a t z e s ih rer L e h r l i n g e a u f G r u n d d e r V e r h ä l t n is z a h l e n 10 v H u n d 2 1/ 2 v H z u e i n a n d e r wie 4 zu 1 o d e r w ie 400 v H zu 100 v H o d e r wie 100 v H zu 25 v H .
3. D ie a b s o l u te n Z a h le n h a b e n d en V o r z u g , d a ß sie nach m e h r e r e n R ich
t u n g e n hin u n t e r e i n a n d e r u n d m it ih r e r S u m m e v e r g le ic h b a r sind, w ä h r e n d bei d e n V e r h ä l t n is z a h l e n die V e r g l e i c h b a r k e i t sich b loß auf eine R ic h t u n g , n äm lich a u f d ieje n ig e , in d e r sie b e r e c h n e t w u r d e n , e rs trec k t.
318 A B H A N D L U N G E N