Wpływ parametrów na FOPID

Rysunek 7.20. Porównanie sygnałów steruj ˛acych regulatorow PID i FOPID dla systemu z mo-delem B.

7.7. Wpływ parametrów na FOPID

Dobieraj ˛ac inne warto´sci ω_cmo˙zna poprawi´c działanie regulatora FOPID. Przykładowo na rysunku 7.21 pokazano zachowanie regulatora dla ró˙znych warto´sci γ przy stałym ωc= 0.0145. Mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze wraz ze wzrostem γ zwi˛eksza si˛e odchylenie maksymalne oraz czas re-gulacji. Natomiast zmniejszaj ˛ac γ mo˙zna poprawi´c dynamik˛e regulatora. Na rysunku 7.22 po-kazano zmian˛e zachowania regulatora FOPID przy zmiennych warto´sciach ω_ci stałym γ = 1.2. Wraz ze wzrostem pulsacji ω_cregulator zyskuje coraz lepsz ˛a dynamik˛e (czas regulacji i nara-stania si˛e zmniejsza), ale zbyt du˙za warto´s´c tak˙ze nie b˛edzie dobra, gdy˙z jednocze´snie narasta przeregulowanie. Istotne jest to, ˙ze zmiana warto´sci ωc, przy stałym γ nie wpływa na własno´sci stabilno´sci układu. W rozwa˙zanym przypadku, przy zadanym zapasie fazy Φ^{F OP ID}_p = 60.0o

oraz zapasie modułu A^{F OP ID}_m = 9.55 dB obliczona warto´s´c γ wyniosła 1.2109, natomiast war-to´s´c ω_cmo˙zemy dobiera´c, tak aby uzyska´c po˙z ˛adane własno´sci regulatora, bez obawy o utrat˛e stabilno´sci układu. Jest to zdecydowanie cecha przemawiaj ˛aca na korzy´s´c regulatora FOPID nad klasycznym PID.

7.7. Wpływ parametrów na FOPID 81

Rysunek 7.21. Odpowiedzi systemu z regulatorem FOPID dla ró˙znych warto´sci γ.

Rysunek 7.22. Odpowiedzi systemu z regulatorem FOPID dla ró˙znych warto´sci ω_c.

8. Podsumowanie

W pierwszej cz˛e´sci pracy zbadano mo˙zliwo´s´c modelowania przepływu ciepła przy u˙zyciu równa´n ró˙zniczkowych niecałkowitego rz˛edu. W oparciu o równania przedstawione w pracy [60] zaimplementowane zostały trzy modele (I, II, i III) zawieraj ˛ace ró˙zne pochodne ułam-kowe. Dodatkowo, zaproponowany został tak˙ze własny model niecałkowitego rz˛edu. Wyko-nany został eksperyment, opisany w rozdziale 4.1, w celu uzyskania danych pomiarowych, wy-korzystanych nast˛epnie do weryfikacji modeli. Po wcze´sniejszym przetestowaniu, co zostało opisane w podrozdziale 4.3, wybrana została metoda identyfikacji parametrycznej. Wszystkie cztery ułamkowe modele, oraz model klasyczny, zostały na podstawie pomiarów uzyskanych z eksperymentu, zweryfikowane. W efekcie tych bada´n, okazało si˛e, ˙ze zdecydowanie najlep-sze dopasowanie wykazuje model IV, zaproponowany przez autork˛e, dla warto´sci parametru α = 0.19. Model ten znacz ˛aco lepiej odpowiada wykonanym pomiarom ni˙z model klasyczny.

W drugiej cz˛e´sci pracy, zaproponowany został regulator PID niecałkowitego rz˛edu, nazy-wany tu FOPID. Opisana została metoda jego projektowania w oparciu o idealn ˛a posta´c transmi-tancji Bodego - rozdział 6. Policzono warto´sci nastaw takiego regulatora dla badanego procesu przewodzenia ciepła. Zostały tak˙ze policzone nastawy standardowego regulatora PID dla tego procesu, celem porównania obu sterowa´n. Wyniki tego porównanie zostały przedstawione w podrozdziałach 7.5 oraz 7.6 na podstawie ró˙znych wska´zników jako´sci sterowania. Na ko´ncu pokazano jeszcze wpływ dwóch parametrów regulatora FOPID na jego działanie, opisano to w podrozdziale 7.7.

W dalszych badaniach, mo˙zna sprawdzi´c inne modele niecałkowitych rz˛edów, np wy˙zszych rz˛edów. Warto byłoby zmieni´c implementacj˛e poszczególnych modeli, w szczególno´sci IV, tak aby dopuszczały kolejne, wy˙zsze warto´sci pochodnych ułamkowych i wykona´c identyfikacj˛e jeszcze raz. Kolejnym krokiem mogłoby by´c rozszerzenie bada´n na dwa wymiary przestrzenne (x i y, a nie tylko x) - skomplikowało by to oczywi´scie modele, ale mogłoby da´c ciekawsze rezultaty. W ramach dalszych bada´n mo˙zna tak˙ze porówna´c zaprojektowany regulator FOPID z innymi regulatorami niecałkowitego rz˛edu PID, opisanymi ju˙z w literaturze. W nast˛epnych etapach mo˙zna tak˙ze zrealizowa´c praktyczn ˛a implementacj˛e regulatora na ró˙znych platformach

83

cyfrowych, np. PLC lub mikrokontroler. Mo˙zna tak˙ze zbudowa´c stanowisko z obiektem opisa-nym w rozdziale 4.1 oraz sterowaniem z u˙zyciem np. MATLABA, aby zweryfikowa´c wyniki symulacyjne.

Bibliografia

[1] J. Baranowski, K. Hajduk, A. Korytowski, W. Mitkowski, A. Tutaj. Teoria sterowania. Materiały pomocnicze do ´cwicze´n laboratoryjnych. Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne AGH, 2007. SU 1686.

[2] J. Baranowski, P. Pi ˛atek, M. Długosz, W. Mitkowski, P. Skruch. Zagadnienia rachunku niecałkowitego rz˛edu w problemach sterowania budynków mieszkalnych. PPEEm 2011: Podstawowe Problemy Energoelektroniki, Elektromechaniki i Mechatroniki, strony 145– 148, 2011.

[3] R.S. Barbosa, J.A. Tenreiro Machado, I.M. Ferreira. Tuning of PID controllers based on Bode’s ideal transfer function. Nonlinear Dynamics, 38:305–321, 2004.

[4] W. Bauer, J. Baranowski, W. Mitkowski. Non-integer order PIαDµ control ICU-MM. Advances in the theory and applications of non-integer order systems : 5th conference on Non-integer order calculus and its applications, 257:295–303, 2013.

[5] H.W. Bode. Network Analysis and Feedback Amplifier Design. Van Nostrand, 1945. Tenth printing, 1955.

[6] J. Brzózka. Regulatory i układy automatyki. MIKOM, Warszawa, 2004.

[7] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras. Fractional Order Systems. Modelling and Control Applications. Word Scientific Publishing, 2010.

[8] H.S. Carslaw, J.C. Jaeger. Conduction of Heat in Solids. Oxford University Press, 1959.

[9] M. Çelebier, S. Altinöz, E. Dinç. Fractional wavelet transform and chemometric cali-brations for the simultaneous determination of amlodipine and valsartan in their complex mixture. New Trends in Nanotechnology and Fractional Calculus Applications, strony 333–340, 2010.

BIBLIOGRAFIA 85

[10] Y.Q Chen, I. Petras, D. Xue. Fractional order control - a tutorial. 2009 American Control Conference, 10-12.06.2009, 2009.

[11] Y.Q. Chen, B. M. Vinagre. A new IIR-type digital fractional order differentiator. Signal Processing, 83:2359 – 2365, 2003.

[12] M. Ciesielski, J. Leszczy´nski. Numerical solutions to boundary value problem for anoma-lous diffusion equation with Riesz-Feller fractional operator. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 44(2):393–403, 2006.

[13] L. Collatz. Metody numeryczne rozwi ˛azywania równa´n ró˙zniczkowych. PWN, 1960. War-szawa.

[14] S. Domek, K. Jaroszewski, A. Kobyłkiewicz. Sterowanie niecałkowitego rz˛edu par ˛a anta-gonistycznych mi˛e´sni pneumatycznych. Modelowanie In˙zynierskie, 11/42:105–113, 2011.

[15] J. Duan. Time- and space-fractional partial differentail equations. J. Math. Phys., 46:13504–13511, 2005.

[16] A. Dzieli´nski, G. Sarwas, D. Sierociuk. Comparison and validation of integer and fractio-nal order ultracapacitor models. Advances in Diffference Equations, 2011(11), 2011.

[17] W. Findeisen. Regulatory i serwomechanizmy. PWN, Warszawa, 1961.

[18] R. Gorenflo, F. Mainardi, D. Moretti, P. Paradisi. Time fractional diffusion: A discrete random walk approach. Nonlinear Dynamics, 29:129–143, 2002.

[19] A.E. Green, P.M. Naghdi. Thermoelasticity without energy dissipation. Journal of Elasti-city, 31(3), 1993.

[20] B. Henry, T. Langlands, S. Wearne. Fractional cable models for spiny neuronal dendrites. Phys. Rev. Lett., 100, 2008.

[21] R. Hilfer. Applications of Fractional Calculus in Physics. Word Scientific Publishing, 2000.

[22] F. Huang, F. Liu. The fundamental solution of the space-time fractional advection-dispersion equation. J. Appl. Math. and Computing, 18:339–350, 2005.

[23] D. Idczak, S. Walczak. Fractional Sobolev spaces via Riemann-Liouville derivatives. Jo-urnal of Functional Spaces and Applications, 2013, 2013.

BIBLIOGRAFIA 86

[24] T. Kaczorek. Decomposition of the positive fractional dicsrete-time linear system. Po-miary Automatyka Robotyka, 2011(2):504–511, 2011.

[25] T. Kaczorek. Positive fractional linear systems. Pomiary Automatyka Robotyka, 2011(2):91–112, 2011.

[26] T. Kalinowski, M. Busłowicz. Odporna stabilno´s´c rodziny wielomianów niecałkowitego stopnia o współczynnikach wieloliniowo zale˙znych od niepewnych parametrów. Pomiary Automatyka Robotyka, 2011(2):576–585, 2011.

[27] A. Kilbas, H. Srivastava, J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, 2006.

[28] J. Klamka. Controllability and minimum energy control problem of infinite dimensional fractional discrete-time systems with delays. Proceedings of 2009 First Asian Conference on Intelligent Information and Database Systems, strony 398–403, 2009.

[29] R. Kociszewski. Obserwowalno´s´c układów dyskretnych niecałkowitego rz˛edu z opó´znie-niem w wektorze stanu. Pomiary Automatyka Robotyka, 2011(2):512–521, 2011.

[30] E. Kostowski. Przepływ ciepła. Wydawnictwo Politechniki ´Sl ˛askiej, 1995. Politechnika ´Sl ˛aska, Skrypty Uczelniane, Nr 1925.

[31] J.C. Lagarias, J.A. Reeds, M.H. Wright, P.E. Wright. Convergence properties of the Nelder-Mead Simplex method in low dimensions. SIAM Journal of Optimization, 9(1):112–147, 1998.

[32] F. Liu, V. Anh, I. Turner. Space fractional Fokker-Planck equation. Journal of Computa-tional and Applied Mathematics, 166(1):209–219, 2004.

[33] Y. Luo, Y.Q. Chen. Synthesis of robust PID controllers design with complete information on pre-specifications for the FOPTD systems. 2011 American Control Conference, 29.06 - 01.07:2159–2167, 2011.

[34] Y. Luo, Y.Q. Chen. Stabilizing and robust fractional order PI controller synthesis for first order plus time delay systems. Automatica, 48:2159–2167, 2012.

[35] D.W. Marquardt. An algorithm for least-squares estimation of non-linear parameters. J. Soc. Industr. Appl. Math., 11(2):431–441, 1963.

[36] M.M. Meerschaert, E. Scalas. Coupled continuous time random walks in finance. Physica A, 370:114–118, 2006.

BIBLIOGRAFIA 87

[37] M.M. Meerschaert, C. Tadjeran. Finite difference approximations for fractional advec-tion–dispersion flow equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 172:65–77, 2004.

[38] M.M. Meerschaert, C. Tadjeran. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations. Applied Numerical Mathematics, 56(1):80–90, 2006.

[39] F. Merrikh-Bayat. Rules for selecting the parameters of oustaloup recursive approxima-tion for the simulaapproxima-tion of linear feedback systems containing PI^λD^µ controller. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 17:1852–1861, 2012.

[40] R. Metzler, J. Klafter. The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach. Physics Reports, 339:1–77, 2000.

[41] K.S. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differen-tial Equations. John Wiley-Interscience Publications, 1993.

[42] W. Mitkowski. Approximation of fractional diffusion-wave equation. Acta Mechanica et Automatica, 5(2):65–68, 2011.

[43] W. Mitkowski, A. Obr ˛aczka. Simple identification of fractional differential equation. Solid State Phenomena, 180:331–338, 2012.

[44] W. Mitkowski, K. Oprz˛edkiewicz. Fractional-order P2Dβ controller for uncertain parame-ter DC motor. Advances in the theory and applications of non-integer order systems : 5th conference on Non-integer order calculus and its applications, 257:249–259, 2013.

[45] W. Mitkowski, P. Skruch. Fractional-order models of the supercapacitors in the form of RC ladder networks. Bulletin of The Polish Academy of Sciences Technical Sciences, 61(3):581–587, 2013.

[46] C.A. Monje, Y. Chen, B.M. Vinagre, D. Xue, V. Feliu. Fractional-order Systems and Controls. Fundamentals and Applications. Springer, 2010.

[47] J.Q. Murillo, S.B. Yuste. On three explicit difference schemes for fractional diffusion and diffusion-wave equations. Phisica Scripta, 136:1–6, 2009.

[48] T. Nartowicz. Obszary stabilno´sci układu regulacji z regulatorem ułamkowym dla nie-stabilnego obiektu pierwszego rz˛edu z opó´znieniem. Pomiary Automatyka Robotyka, 2011(2):595–602, 2011.

BIBLIOGRAFIA 88

[49] M. Necati Özi¸sik. Boundary Value Problems of Heat Conduction. Dover Publications, 1989.

[50] A. Obr ˛aczka, W. Mitkowski. The comparison of parameter identification methods for fractional, partial differential equation. Diffusion and Defect Data - Solid State Data. Part B, Solid State Phenomena, 210:265–270, 2014.

[51] K. Oldham, J. Spanier. The Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentia-tion and IntergraDifferentia-tion to Arbitrary Order. Academic Press, Inc, 1974.

[52] K. Oprz˛edkiewicz. Odporny regulator PID dla systemu dynamicznego o niepewnych pa-rametrach. Przegl ˛ad Elektrotechniczny, 85:22–27, 2009.

[53] K. Oprz˛edkiewicz. A strejc model-based, semi-fractional (SSF) transfer function model. Automatyka, 16:145–154, 2012.

[54] K. Oprz˛edkiewicz. Approximation method for a fractional order transfer function with zero and pole. Archives of Control Sciences, 24:447–463, 2014.

[55] K. Oprz˛edkiewicz, W. Mitkowski. Sterowanie procesem nagrzewu z wykorzystaniem re-gulatora rozmytego. Automatyka, 5:429–437, 2001.

[56] R. Petela. Przepływ ciepła. Pa´nstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983. skrypt dla studen-tów wy˙zszych szkół technicznych.

[57] N. Petrov, N. Vulchanov. A note on the non-classical heat conduction. Bulgarian Academy of Science. Theoretical and Applied Mechanics, XIII(2), 1982.

[58] I. Podlubny. Fractional Differential Equations. Academic Press, 1999. Mathematics in Science and Engineering, Volume 198.

[59] T. Poinot, J.C. Trigeassou, J. Lin. Parameters estimation of fractional models: Application to the modeling of diffusive systems. 15 Triennial World Congress, Barcelona, Hiszpania, 15(1), 2002.

[60] Y.Z. Povstenko. Theory of thermoelasticity based on the space-time-fractional heat con-duction equation. Physica Scripta, 136, 2009.

[61] P.J. Schneider. Conduction Heat Transfer. Addison-Wesley Pub. Co, 1955.

[62] A. Skoczylas. Przenoszenie ciepła. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1999. Wrocław.

BIBLIOGRAFIA 89

[63] A. Sobolewski, A. Ruszewski. Realizacja praktyczna regulatora niecałkowitego rz˛edu. Pomiary Automatyka Robotyka, 2011(2):586–594, 2011.

[64] M. Sokół. Podstawy automatyki. Materiały pomocnicze do ´cwicze´n laboratoryjnych. Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne AGH, 2005. SU 1673.

[65] J. Taler. Teoria i praktyka identyfikacji procesów przepływu ciepła. Zakład Narodowy im. Ossoli´nskich, 1995.

[66] M. Weilbeer. Efficient Numerical Methods for Fractional Differential Equations and their Analytical Background. Praca doktorska, Technische Universitat Braunschweig, 2005.

[67] L.C. Wrobel, C.A. Brebbia. Boundary Element Methods in Heat Transfer. Computational Mechanics Publications and Elsevier Applied Science, 1992. Southhampton - Boston, London - New York.

[68] Q. Yang. Novel analytical and numerical methods for solving fractional dynamical sys-tems. Praca doktorska, Queensland University of Technology, 2002.

[69] G. Zaslavsky. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. Oxford University Press, 2005.

[70] C. Zhao, D. Xue, Y.Q. Chen. A fractional order PID tuning algorithm for a class of frac-tional order plants. Proceedings of the IEEE Internafrac-tional Conference on Mechatronics and Automation, 2005(7), 2005.

[71] O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The Finite Element Method. Butterworth-Heinemann, 2000. Fifth edition, Volume 2: Solid Mechanics.

[72] W. ˙Zelazny. Podstawy automatyki. PWN, Warszawa, 1976.