Wpływ wartości prądu początkowego oscylacji na pracę gałęzi rezonansowej

Jeżeli zanik prądu w interwale czasu martwego będzie niecałkowity, oscylacje opisane równaniami (3.104), (3.106) rozpoczną się z pewną niezerową wartością początkową prądu, tj. i_GRk(t₀)≠0, i_GRk (t₂)≠0. Istotnym jest przeanalizowanie wpływu wartości prądu początkowego oscylacji na pracę gałęzi rezonansowej w rozumieniu zdolności tej gałęzi do wyrównania napięć na kondensatorach poziomowych, pomiędzy którymi jest przełączana, jak i obciążenia prądowego jej elementów. Szczególnie istotny przypadek dotyczy oceny zdolności danej gałęzi rezonansowej do wyrównywania napięć poziomowych przy pewnym odstrojeniu częstotliwości impulsowania w warunkach całkowitego zaniku prądu w interwale czasu martwego.

Jeżeli przyjąć, że przebiegi prądu gałęzi rezonansowych są antysymetryczne, to prawdziwe są następujące równości:

(3.113) (3.114) Gdzie:

- wprowadzone oznaczania wartości współczynnika stojącego odpowiednio przy funkcji sin i cos w równaniach (3.104), (3.105), (3.106), (3.107).

Można również przyjąć, że czas załączenia łączników parzystych i nieparzystych jest taki sam:

(3.115)

Na rys. 3.17 zamieszczono przykładowy przebieg prądu gałęzi rezonansowej z niecałkowitym zanikiem prądu w interwale czasu martwego, tj. I_GR2Cmax≠0. Przebieg jest wynikiem symulacji przekształtnika przy obniżonym napięciu zasilania. Przyczyna, dla której obniżenie napięcia zasilania powoduje niecałkowity zanik prądu w interwale czasu martwego zostanie dokładnie opisane dalej, w podrozdziale 3.5.4. Linią przerywaną wyrysowano również przebieg prądu dla znamionowego napięcia zasilania, z całkowitym zanikiem prądu w interwale czasu martwego, tj. I_GR2Cmax=0. W obu przypadkach symulację wykonano dla częstotliwości impulsowania mniejszej niż rezonansowa (pozostałe parametry zgodne z symulacjami z podrozdziału 3.5.2).

Rys. 3.17 Przykładowy przebieg prądu (drugiej) gałęzi rezonansowej wraz zaznaczonymi wartościami charakterystycznymi. Przebieg linią przerywaną dotyczy przypadku z całkowitym zanikiem prądu gałęzi rezonansowej w interwale czasu martwego. Wynik symulacji przy obniżonym napięciu dla pracy

112

Przy wyprowadzaniu układu równań (3.12) nie uwzględniono czasu martwego. Jak zostanie pokazane w podrozdziale 3.5.4, rozpływ prądów w interwałach czasu martwego zależy od wielu czynników, i jego uwzględnienie wymagałoby rozpatrzenia wielu wariantów. Ze względu na to, że interwały czasu martwego z reguły są krótkie względem okresu pracy przekształtnika, wpływ prądów gałęzi rezonansowych płynących w interwałach czasu martwego na wartość średnią prądów kondensatorów poziomowych (3.11) może być zaniedbany. Przyjmuje się zatem, że prądy wszystkich gałęzi rezonansowych są zerowe w interwałach t₁-t₂ oraz t₃-t₄. Zależności (3.104), (3.106) mogą być podstawione do układu równań (3.12) i po obliczeniu całek oraz wykonaniu przekształceń otrzymuje się następujący wynik: { ( )^* ( )+ (3.116) Gdzie: _√

– pulsacja rezonansowa k-tej gałęzi rezonansowej

Wartość szczytowa prądu k-tej gałęzi rezonansowej wynosi:

√ (3.117) W stanie ustalonym musi zachodzić równość pomiędzy wartością napięcia na kondensatorze rezonansowym na początku i na końcu pełnego okresu pracy przekształtnika:

(3.118)

Zależność (3.118) można zapisać także jako:

∫ (3.119) Na podstawie (3.113) uzyskuje się:

(3.120)

(3.121)

Po wstawieniu zależności (3.107), (3.120), oraz (3.121) do (3.119) i wykonaniu przekształceń otrzymuje się:

113 [ [ ( )] ( )] ∫ ^(3.122) Gdzie: √

- impedancja falowa gałęzi rezonansowej

Zależność (3.122) opisuje zdolność k-tej gałęzi rezonansowej do wyrównywania napięć na kondensatorach poziomowych, pomiędzy którymi jest przełączana. W nawiązaniu do zależności (3.36) i (3.37) można stwierdzić, że im większa różnica U_Ck-U_Ck+1 tym mniejsze jest napięcie wyjściowe przekształtnika, przy pracy w trybie podnoszenia napięcia. Występująca w zależności (3.122) całka reprezentuje przyrost napięcia na kondensatorze rezonansowym w interwale czasu martwego. Przyrost ten może być dodatni lub ujemny, tym samym może wpływać na zwiększenie bądź zmniejszenie efektywności napięciowej przekształtnika. Wartość tej całki może być obliczona poprzez przybliżenie trapezem:

∫

(3.123)

Przybliżenie (3.123) może być niedokładne w przypadku całkowitego zaniku prądu gałęzi rezonansowej, ponieważ prąd ten może osiągnąć wartość zerową przed chwilą czasu t₄. Zależność (3.123), po podstawieniu (3.106), można przekształcić do postaci:

∫

[ (

) ( (

) )] (3.124) Wprowadzony w zależnościach (3.116) oraz (3.122) współczynnik jest powiązany z współczynnikiem d_DTk (3.111) w sposób następujący:

√

√ ^(3.125)

Oba współczynniki dla wartości bliskich jedności i względnie krótkiego czasu martwego są sobie niemal równe. Dla parametrów przekształtnika, dla których przedstawiono wyniki symulacyjne w rozdziale 3.5.2, wartości współczynnika względnego czasu oscylacji wynosiły

d_PGR1= d_PGR2= d_PGR3≈1,11 dla d_DT=1,1; d_PGR1= d_PGR2= d_PGR3=1 dla d_DT=1 d_PGR1= d_PGR2=

d_PGR3≈0,89 dla d_DT=0,9. Na potrzeby analiz o mniejszej dokładności można, zatem przyjąć, że d_PGR1= d_PGR2= d_PGR3≈ d_DT, jednakże rozbieżność pomiędzy współczynnikami zależy od konkretnych parametrów czasowych przebiegów sterujących.

Na rys. 3.18 zamieszczono charakterystyki wartości szczytowej prądu k-tej gałęzi rezonansowej w funkcji prądu początkowego przeładowania dla dwóch różnych wartości współczynnika . Na rys. 3.18 znajdują się również charakterystyki różnicy napięć poziomowych U_Ck-U_Ck+1 odniesione do impedancji falowej gałęzi rezonansowej. Obie charakterystyki zostały wykreślone przy stałej wartości:

114

Każdy punkt charakterystyk został obliczony dla danej wartości poprzez wyznaczenie wartości na podstawie (3.116) z założeniem (3.127). Wyliczona wartość została podstawiona do zależności (3.117), (3.122) oraz (3.124). Charakterystyki wykreślone linią ciągłą wyliczono przy uproszczeniu:

∫ (3.128)

Charakterystyki wykreślone liniami przerywanymi sporządzono przy wykorzystaniu przybliżenia wyrażonego zależnością (3.124). Przyjęto przy tym iloczyn zgodny z wartościami przyjętymi w popędzających symulacjach tj. . Charakterystyki wykreślono tylko dla takich wartości , dla których w interwale czasu martwego nie dochodzi do wzrostu bezwzględnej wartości prądu gałęzi rezonansowej lub zmiany jego polaryzacji. Niezerowa początkowa wartość prądu gałęzi rezonansowej od której rozpoczyna się oscylacja zwiększa wartość szczytową prądu gałęzi rezonansowej oraz zwiększa różnice napięć poziomowych, co wpływa niekorzystnie na pracę przekształtnika. Na wartość różnicy napięć poziomowych bezpośredni wpływ ma impedancja falowa gałęzi rezonansowej. Dla pracy ze współczynnikiem prąd szczytowy gałęzi rezonansowej jest nieco mniejszy niż dla . Wynika to z tego, że puls oscylacji stanowi w tym przypadku niecały półokres funkcji sinusoidalnej. Relacja wartości szczytowej do średniej dla takiego przebiegu jest mniejsza niż dla całego półokresu ( ) czy szczególnie dla pulsu dłuższego niż półokres funkcji sinus ( ). W przypadku, gdy różnica napięć pomiędzy poziomami jest zerowa, co oznacza przypadek idealny, przy czym wyprowadzone zależności nie uwzględniają żadnych rezystancji. Wartość całki (3.124) może być zarówno dodatnia jak i ujemna, zatem może powodować wzrost lub zmniejszenie wartości różnicy napięć poziomowych (3.122). Dla danego trybu pracy, o znaku całki (3.124) decyduje jedynie kierunek odstrojenia częstotliwości impulsowania. Jeżeli założyć tryb pracy BOOST ( ) to dla odstrojenia częstotliwości impulsowania powyżej częstotliwości rezonansowej gałęzi k-tej ( , ) wartość całki (3.124) jest ujemna, zatem wpływa na zmniejszenie wartości różnicy (3.122), a więc tym samym na zwiększenie efektywności napięciowej przekształtnika (3.36), (3.37). Analogicznie, dla odstrojenia poniżej częstotliwości rezonansowej gałęzi k-tej ( , ), wartość całki (3.124) jest dodatnia, zatem wpływa na zwiększenie wartości różnicy (3.122), a więc tym samym na zmniejszenie efektywności napięciowej przekształtnika (3.36), (3.37). Wpływ całki (3.124) widoczny jest wyraźnie na charakterystykach z rys. 3.18. Udział całki (3.124) w różnicy napięć poziomowych (3.122) zależy głównie od wartości czasu martwego, oraz współczynnika . Poprawność wyprowadzonych zależności może być sprawdzona względem wyników z symulacji komputerowej. Dla przypadku z rys. 3.17 I_GR2Cmax ≈11,4A:

( ₎^[ ( ) ^{( )]} (3.129) √ ^(3.130)

115

Rys. 3.18 Prąd szczytowy oraz zdolność wyrównywania napięć poziomowych k-tej gałęzi rezonansowej w funkcji wartości prądu rozpoczynającej oscylację. Linią przerwyaną wyrysowano

charakterystyki uwzględniające wpływ całki (3.124).

Wartość szczytowa prądu jest nieco zawyżona względem wyników symulacji gdzie =21,6A, co wynika z uproszenia przyjętego przy wyprowadzaniu zależności (3.116), że prąd nie płynie w interwale czasu martwego. Następnie z zależności (3.124) należy wyliczyć przyrost napięcia na kondensatorze rezonansowym w interwale czasu martwego: ∫ √ √ [ ( ^{) ( ( ) )]} (3.131)

Różnica napięć pomiędzy poziomami U_C2 i U_C3 obliczona według zależności (3.122) wynosi:

[ [ (

^{)] ( )] (3.132)} Wartość różnicy napięć wynikająca z symulacji wynosi UC2-UC3=34,1V. Uzyskano, zatem dużą zbieżność obliczeń analitycznych z symulacyjnymi. Udział wartości całki (3.124) w całkowitej wartości różnicy napięć jest w tym przypadku istotny, ponieważ stanowi około 40%. Dla przypadku z całkowitym zanikiem prądu w interwale czasu martwego, dla którego przebieg prądu został wyrysowany linią przerywaną na rys. 3.17, odczytana wartość z wyników symulacji =8,9V, obliczona =6,7V przy udziale całki ok. 30%.

116

Uzyskane wyniki należy uznać za poprawne mając na uwadze, że przy obliczeniach analitycznych nie uwzględniono rezystancji gałęzi rezonansowych i łączników oraz wprowadzono inne uproszczenia, z których wynikają powstałe rozbieżności.

Z przeprowadzonej analizy wynikają następujące wnioski:

 przy pracy bez odstrojenia (d_PGRk=d_DT=1) gałąź rezonansowa powoduje wyrównanie napięć poziomowych bez względu na pozostałe parametry. Przy pominięciu rezystancji dla k-tej gałęzi rezonansowej U_Ck-U_Ck+1=0.

 zdolność danej gałęzi rezonansowej do wyrównywania napięć na kondensatorach poziomowych zależy od jej impedancji falowej, stopnia odstrojenia częstotliwości impulsowania przekształtnika oraz (oczywiście) obciążenia przekształtnika. Kluczowy wpływ ma również wartość prądu początkowego oscylacji , która może być sprowadzona do zera w wyniku występowania zjawiska zaniku prądu w interwale czasu martwego.

 Jeżeli , to różnica napięć poziomowych jest minimalna (przy pewnym założonym odstrojeniu częstotliwości impulsowania).

 dodatkowym składnikiem wpływającym na zdolność danej gałęzi rezonansowej do wyrównywania napięć na kondensatorach poziomowych (3.122) jest przyrost napięcia na kondensatorze rezonansowym w interwale czasu martwego. Składnik ten może wpływać na zwiększenie, jaki i na zmniejszenie różnicy napięć poziomowych, co zależy od kierunku odstrojenia częstotliwości impulsowania przekształtnika tj. od tego czy dPGRk<1 czy dPGRk>1. Ilościowy udział tego składnika jest zależny głównie od iloczynu oraz wartości prądu początkowego oscylacji (3.124).

117