4.1. Wprowadzenie
Odkrywanie związków zachodzących pom iędzy zjawiskami jest jed n ą z p o d sta wowych um iejętności człowieka. Z dolność ta jest wykorzystywana w każdym rodzaju działalności ludzkiej (życie pryw atne, zaw odow e, n au k a itp.). N a przykład uczeń w szkole powinien odkryć zależność między uczeniem się a uzyskiwaniem dobrych stopni. Pracow nik pow inien być w ynagradzany w taki sposób, aby rozum iał, że lepsza praca pow oduje uzyskiwanie wyższego w ynagrodzenia. M akler chciałby poznać za leżność między stanam i gospodarki a ceną papierów wartościowych n a giełdzie. P o d czas kam panii wyborczej sztab danego kandydata chciałby poznać różne zależności, np. z ilom a wyborcami pow inien się spotkać kandydat, żeby uzyskać dobry wynik wyborczy, jak akcja rozdaw ania ulotek wpływa na ostateczny wynik wyborów itp. Podane przykłady świadczą o tym, że poszukiw anie zależności m iędzy zjawiskami jest powszechne i stanow i bardzo ważny problem .
Przedstawimy teraz statystyczne m etody badania związków między zm iennym i od zwierciedlającymi różnego rodzaju zjawiska. B adania te noszą nazwę an alizy w sp ó ł zależności zjaw isk. A naliza m oże dotyczyć zarów no zjawisk, k tó re możem y zm ie rzyć i wyrazić w postaci liczbowej odpow iednich jednostkach (np. w m etrach, sztukach itp.) lub wartościowo w jednostkach pieniężnych, jak i zjawisk, które są niem ierzalne i najczęściej określa się je słownie, tak jak na przykład: preferencje, uczucia, wykształ cenie31 itp.
W badaniach współzależności m ożem y interesow ać się związkam i m iędzy dwo ma zjawiskami, które m ożem y wyrazić przez zm ienne, k tó re oznaczymy jak o X i Y. Związek m iędzy nim i m ożem y przedstaw ić graficznie w postaci d ia g ra m u k o r e lacyjnego. W układzie w spółrzędnych zaznaczam y kolejne punkty odpow iadające wynikom obserwacji. K ażda obserw acja jest opisana przez p arę liczb: x, orazy, b ęd ą
cych realizacjam i zm iennych X i Y, gdzie symbol / oznacza n um er jednostki staty stycznej ( / = 1, 2 ,..., n).
N a przykład badając związek między w zrostem i m asą ciała, przeprowadzim y obserw ację, w której jednostkam i są osoby. Każdej z nich przypisano parę liczb (*„>',) będących odpow iednio w artościam i zm iennej X (w zrost) oraz zm iennej Y (m asa cia ła). P unkty na wykresie są ilustracją wyników obserwacji. Przykładow ą postać związ ku przedstaw iono na rysunku 4.1.
Yi
X, X,
Rys. 4.1. Diagram korelacyjny między zmiennymi X i Y Źródło: opracowanie własne.
N a podstaw ie diagram u korelacyjnego m ożem y uzyskać odpow iedź na następu jące pytania:
1) czy m iędzy rozpatryw anym i zm iennym i w ystępuje związek? 2) jak a jest jego postać; liniowa czy nieliniow a?
3) jaki jest kieru n ek powiązań; d odatni czy ujem ny? 4) czy m ożem y traktow ać te pow iązania jak o silne?
N a podstaw ie wizualnej analizy m ożem y uzyskać ważne wskazówki co do dalsze go postępow ania badawczego. B iorąc pod uwagę układ punktów , możemy powie dzieć, że pom iędzy rozpatryw anym i zm iennym i w ystępuje związek, poniew aż punkty nie są rozrzucone chaotycznie po całej pow ierzchni układu, ale tworzą smugę, która sugeruje w ystępow anie związku. P unkty obrazujące obserw acje em piryczne układają się w linię p rostą, dlatego m ożem y przypuszczać, że mam y do czynienia ze związkiem o postaci liniowej. K ierunek pow iązań zm iennej Y i zm iennej X jest dodatni, p o nie waż w zrastającym w artościom zm iennej X odpow iada wzrost średnich wartości
zmień-nej Y. M ożemy przypuszczać, że związek ten jest dość silny, poniew aż rozproszenie punktów nie jest duże.
Inną postać związku przedstaw ia diagram korelacyjny - rys. 4.2. Jest to związek nieliniow y, w tym wypadku paraboliczny. M oże on występować m iędzy zm ienną Y (koszty jednostkow e) oraz zm ienną A' (wielkość produkcji). Zw iązek nieliniowy m oże mieć również inną postać, na przykład: funkcji hiperbolicznej, wykładniczej, po tęg o wej, logistycznej.
wielkość produkcji w tys. sztuk
Rys. 4.2. Współzależność między kosztami jednostkowymi i wielkością produkcji
Na podstaw ie diagram u korelacyjnego m ożem y ustalić, że w ystępuje dość silny związek m iędzy długością serii i kosztam i jednostkow ym i. Paraboliczny kształt o zna cza zm ianę kierunku powiązań z ujem nego na dodatni. O znacza to, że istnieje pew na optym alna długość serii, po przekroczeniu której należy oczekiwać w zrostu kosztów jednostkowych.
Stw ierdzenie związku między zm iennym i tylko n a podstaw ie diagram u k o re la cyjnego nie m oże zadowolić statystyka. Prawidłowości te są bowiem sform ułow ane nieprecyzyjnie. Będziemy zatem poszukiwać odpow iednich m ierników, k tó re pozwolą zmierzyć silę i ustalić kierunek pow iązań m iędzy rozpatrywanym i zm iennym i. W d al szym ciągu będziem y starać się ująć te relacje w postaci liczbowej, wykorzystując w tym celu m etody statystyczne. W tym zakresie m ożem y zastosow ać dwa ściśle ze sobą pow iązane ujęcia, a m ianowicie analizę korelacji i analizę regresji.
Związek korelacyjny występuje wówczas, gdy w artościom jednej zm iennej są przy p orządkow an e w arunkow e rozkłady drugiej zm ienn ej. Jeśli w arunkow y rozkład ujmiemy sumarycznie za pom ocą wartości średniej, to m ożemy powiedzieć, że w związ ku korelacyjnym w artościom jednej zm iennej przyporządkow ane są średnie w aru n kowe drugiej zm iennej.
W tablicy 4.1 p o d an o przykładowy rozkłady liczby mężczyzn i kobiet według wie ku w chwili zaw arcia m ałżeństw a. Tablicę tę nazywamy tablicą korelacyjną. Z esta w iono w niej dwa szeregi rozdzielcze. R ozkład liczby mężczyzn (kolum ny) i liczby kobiet (w iersze) w edług wieku w chwili zaw arcia m ałżeństw a. W iekowi mężczyzny [kolum na (1)] jest przyporządkow any średni wiek kobiet [kolum na (11)]. Związek ten przedstaw iono na rysunku 4.3.
6 0 - 50 - 4 0
-I-
C ■§ 45 20 -10 - o-Rys. 4.3. Związek między wiekiem mężczyzn i średnim wiekiem kobiet w chwili zawarcia małżeństwa w Polsce w 2000 roku
wiek mężczyzn