Wybrane metody opisu niepewno±ci

Podstawowymi metodamiformalnymiopisu stanu niepewno±ci, wynikaj¡cego z przypadkowo±ci zdarze«, lub z niedostatecznej wiedzy o obserwowanych zdarzeniach, s¡ funkcje prawdopodobie«stwa oraz funkcje przekonania ⁶. W kolejnych punktach podaje si¦ elementarne informacje z zakresu teorii tych funkcji. Informacje o innych podej±ciach do opisu stanu niepewno±ci, w szczególno±ci opartych na logice rozmytej, mo»na znale¹¢ np. w pracach [Kacprzyk 1988] i [Zadeh 1992].

3.3.1 Funkcje prawdopodobie«stwa

Przyjmuj¡c jako punkt wyj±cia klasyczne poj¦cie przestrzeni probabilistycz-nej (^C, -^C, Pr), w której jako zbiór zdarze« elementarnych rozwa»any jest (sko«czony) zbiór klas okre±lonych w danym zadaniu klasykacji^C, a odpo-wiedni zbiór zdarze« stanowi pewne -ciaªo podzbiorów zbioru^C: -^{C }2^C. Funkcjami prawdopodobie«stwa Pr nazywane s¡ funkcje okre±lone na-ciele zdarze«-^C, speªniaj¡ce nast¦puj¡ce warunki ([Jakubowski 2010] s. 11) ⁷

Pr(A) ^ 0 dla wszystkich A²-^C (3.13.1)

Pr(^C) = 1 (3.13.3)

oraz je±liAi ²-^C;i = 1;2;:::;n i Ai^\Aj =^; dla i⁶=j, to Pr(^[n

i⁼¹Ai) = ^Xn

i⁼¹Pr(Ai) (3.13.3) W przestrzeni probabilistycznej (^C, -^C, Pr) funkcja Pr jest przeliczaln¡

addytywn¡ i nieujemn¡ miar¡ unormowan¡ okre±lon¡ na -^C. Rozszerze-niami miary Pr na 2^C s¡ prawdopodobie«stwa dolne Pr^i górne Pr^, okre±lone

6Interpretacj¦ funkcji przekonania nieodwoªuj¡c¡ si¦ w sposób jawny do probabilistyki podali Smets i Kennes [Smets 1994] w postaci modeluTransferable Belief Model.

7Na u»ytek rozprawy odbiegamy od rozpowszechnionego w literaturze zapisu symbo-licznego⁽;^;^P), przyjmuj¡c^C.

3.3 Wybrane metody opisu niepewno±ci 43 dla A²2^C nast¦puj¡co

Pr^(A) = sup^fPr(X)^jX ^A orazX ²-^{C g} (3.14.1) Pr^(A) = inf^fPr(X)^jX ^A ^orazX ²-^{C g} (3.14.2) Dla ka»dego zbioru A ² 2^C zachodzi Pr^(A) ^ Pr^(A). Je±li A ² -^C, to Pr^(A) = Pr(A) = Pr^(A).

Prawdopodobie«stwo zaj±cia zdarzeniaA pod warunkiem zaj±cia zdarze-nia B nazywane jest prawdopodobie«stwem warunkowym Pr(A ^j B). Dla B ²-^C takiego, »e Pr(B) > 0, wyra»a si¦ ono wzorem

Pr(A^jB) = Pr(A^\B)=Pr(B) (3.15) Szczególnie wa»na jest nast¦puj¡ca interpretacja poj¦cia prawdopodo-bie«stwa warunkowego. Niech Pr⁰(A) okre±la pocz¡tkowe (a priori) prawdo-podobie«stwo zdarzenia A. Wtedy prawdopodobie«stwo warunkowe (3.15) okre±la zaktualizowane prawdopodobie«stwo (a posteriori) zdarzenia A po powzi¦ciu informacji o zaj±ciu zdarzeniaB.

3.3.2 Funkcje przekonania

Funkcje przekonania (ang. belief functions) stanowi¡ klas¦ funkcji Bel : 2^{C 7!}

[0;1] speªniaj¡cych nast¦puj¡ce warunki ([Shafer 1976] s. 39)

Bel(^f;g) = 0 (3.16.0)

Bel(A) ^ 0 dla wszystkichA^22C (3.16.1)

Bel(^C) = 1 (3.16.2)

Bel(^[n

i⁼¹Ai) ^{ X}

I^f1;:::;n^g;I^6=;(^?1)^jIj+1Bel(^\

i²IAi) (3.16.3) W powi¡zaniu z funkcj¡ przekonania Bel deniowana jest funkcja domnie-mania Pl : 2^{C 7!}[0;1], okre±lona jako

Pl(A) = 1^?Bel(A) gdzieA =^{C n}A (3.17) Denicj¦ funkcji przekonania mo»na równie» wprowadzi¢ deniuj¡c naj-pierw poj¦ciepodstawowego przypisania prawdopodobie«stwa(ang. basic pro-bability assignment, bpa) okre±lonego jako funkcja m : 2^{C 7!} [0;1] o

wªasno-±ciach

m(^;) = 0 (3.18.1)

X

A^Cm(A) = 1 (3.18.2)

44 Rozdziaª 3. Proponowana metoda selekcji

Wielko±¢ m(A) mierzy stopie« przekonania przypisany bezpo±rednio i niepodzielnie zbiorowi A. Je±li m jest funkcj¡ podstawowego przypisania prawdopodobie«stwa okre±lon¡ na 2^C, to przyjmuje si¦, »e caªkowity stopie«

przekonania co doA wyra»a funkcja Bel : 2^{C 7!}[0;1] o warto±ciach Bel(A) = ^X

B^Am(B) (3.19)

która speªnia warunki funkcji przekonania. Wyst¦puje wzajemnie jedno-znaczna zale»no±¢ pomi¦dzy funkcjami bpa i funkcjami przekonania. Wzór (3.19) okre±la funkcj¦ przekonania Bel skojarzon¡ z funkcj¡ bpa m. Jedno-cze±nie, dla danej funkcji przekonania Bel istnieje tylko jedna funkcja bpa, dla której zastosowanie wzoru (3.19) prowadzi do danej funkcji Bel. Taka funkcja bpa dla ustalonej funkcji Bel wyra»a si¦ wzorem

m(A) = ^X

B^A(^?1)^jA?BjBel(B) (3.20) Podzbiory A ^{ C} takie, »e m(A) > 0 nosz¡ nazw¦ elementów ognisko-wych (ang. focal elements) funkcji podstawowego przypisania prawdopodo-bie«stwam (i skojarzonej z ni¡ funkcji przekonania).

Funkcje przekonania Bel i domniemania Pl wykazuj¡ formalne powi¡za-nia z rozszerzepowi¡za-niami (3.14.1) i (3.14.2) miary Pr ([Fagin 1991b]). Mianowi-cie dla danej funkcji przekonania Bel okre±lonej na zbiorze 2^C mo»na zna-le¹¢ przestrze« probabilistyczn¡ (^C, -^C, Pr), w której Bel(A) = Pr^(A) oraz Pl(A) = Pr^(A), dla ka»dego A ^{ C}. I przeciwnie, je±li (^C, -^C, Pr) jest przestrzeni¡ probabilistyczn¡, wówczas Pr^ jest funkcj¡ przekona-nia okre±lon¡ na 2^C, a Pr^ odpowiedni¡ funkcj¡ domniemania. Para od-powiadaj¡cych sobie funkcji Pr^ i Pr^ okre±lonych na zbiorze 2^C wyznacza pewien zbiór funkcji prawdopodobie«stwa ^P = ^fPri^g konstruowalnych na

-ciaªach -^Ci ^ 2^C przy speªnieniu warunków (3.13.1-3.13.3), takich, »e Pr^(A)^Pri(A)^Pr^(A) dla ka»dego A² -^Ci.

Z funkcjamiPr^oraz Pr^ zwi¡zane s¡ wielko±ci dolnej oraz górnej warto±ci oczekiwanej zmiennej losowej wzgl¦dem zbioru funkcji prawdopodobie«stwa

P, zdeniowane odpowiednio jako funkcjonaªy ([Dempster 1967] s. 327)

E

P[V ] = min

Pr2P E

Pr[V ] (3.21.1)

E



P[V ] = max

Pr2P E

Pr[V ] (3.21.2)

gdzieV oznacza zmienn¡ losow¡ zdeniowan¡ na zbiorze zdarze« elementar-nych^C. Je»eli odpowiadaj¡ce sobie funkcje Pr^ i Pr^ okre±lone na 2^C dane s¡

3.3 Wybrane metody opisu niepewno±ci 45 podstawowym przypisaniemprawdopodobie«stwam a V jest zmienn¡ losow¡

zdeniowan¡ jak poprzednio, wówczas ([Smets 1981])

E

 P[V ] = ^X

A^Cm(A)
min_c

2A V (c) (3.22.1)

E



P[V ] = ^X

A^Cm(A)
max_c

2A V (c) (3.22.2) i dla ka»dego Pr^2P zachodzi

E

P[V ]^EPr[V ]^EP[V ] (3.23) Formalna odpowiednio±¢ funkcji Bel i Pr^ oraz Pl i Pr^, daje podstaw¦ by funkcje przekonania interpretowa¢ jako uogólnienie funkcji prawdopodobie«-stwa na zbiory zdarze«, na których nie mo»na skonstruowa¢ miary Pr speª-niaj¡cej warunki (3.13.1-3.13.3). Przy takiej interpretacji mo»na rozwa»a¢

warunkowe funkcje przekonania Bel(
^jB) i domniemania Pl(
^jB) ⁸. Odpo-wiednim rozszerzeniem reguªy (3.15) wyznaczania prawdopodobie«stwa wa-runkowego Pr(A^jB) s¡ reguªy aktualizacji (warunkowania) (ang. updating) funkcji przekonania Bel(A) i domniemania Pl(A) pod wpªywem wyst¡pie-nia zdarzewyst¡pie-nia (przesªanki) B, gdy Bel(B) > 0. Podano kilka sformuªowa«

reguª aktualizacji, logicznie spójnych, ale prowadz¡cych do ró»nych

warto-±ci funkcji Bel(A^jB), odpowiednio Pl(A^jB). Wymieni¢ tu mo»na oryginalne sformuªowanie Dempstera [Dempster 1967] oraz pó¹niejsze Fagina i Halperna [Fagin 1991a].

W innej interpretacji traktuje si¦ funkcj¦ przekonania jako reprezentacj¦

przesªanki (ang. evidence). W takim uj¦ciu warto±¢ funkcji Bel(A) odpo-wiada stopniowi w jakim ta przesªanka wpªywa na zmian¦ przekonania co do A^C [Shafer 1976]. Halpern i Fagin [Halpern 1992] okre±laj¡ przesªank¦, i reprezentuj¡c¡ j¡ funkcj¦ przekonania Bel, jako przeksztaªcenie sªu»¡ce ak-tualizacji funkcji prawdopodobie«stwa

Bel : Pr ^7! Pr⁰ gdzie Pr;Pr^02P (3.24) Halpern i Fagin [Halpern 1992] rozró»niaj¡ wi¦c dwie interpretacje funk-cji przekonania: jako uogólnionej funkfunk-cji prawdopodobie«stwa i jako repre-zentacji przesªanki. Z ka»d¡ z tych interpretacji wi¡»e si¦ inna operacja dokonywana wzgl¦dem funkcji przekonania po powzi¦ciu nowej przesªanki.

W pierwszym przypadku mamy do czynienia zaktualizacj¡ (ang. updating)

8Jako rozszerzenia klasycznego prawdopodobie«stwa warunkowego ^{Pr (
j}B⁾: dolne prawdopodobie«stwo warunkowe ^Pr(
jB⁾ oraz górne prawdopodobie«stwo warunkowe

Pr



(
jB⁾.

46 Rozdziaª 3. Proponowana metoda selekcji

uogólnionej funkcji prawdopodobie«stwa, za± w drugim z ª¡czeniem (ang.

combining) przesªanek. Halpern i Fagin wskazuj¡, »e brak rozró»nienia tych dwóch interpretacji i zwi¡zanych z nimi operacji prowadzi do licznych za-strze»e« wobec stosowanej w ramach teorii Dempstera-Shafera tzw. reguªy Dempstera (sumy ortogonalnej). Halpern i Fagin stwierdzaj¡, »e ta operacja powinna by¢ stosowana tylko wtedy, gdy interpretujemy funkcje przekona-nia jako reprezentacje przesªanek. Natomiast dla przypadku interpretacji funkcji przekonania jako uogólnionej funkcji prawdopodobie«stwa proponuj¡

oni inny sposób aktualizacji [Halpern 1992]. W naszych rozwa»aniach przyj-mujemy t¦ pierwsz¡ interpretacj¦, wi¦c reguªa Dempstera, któr¡ opisujemy poni»ej, znajduje zastosowanie.

Reguªa Dempstera, zwana te» operacj¡ sumy ortogonalnej, pozwala na okre±lenie ª¡cznej reprezentacji(w postaci ª¡cznej funkcji przekonania) zbioru przesªanek reprezentowanych ró»nymi funkcjami przekonania

Bel^ = Beln<sup>


</sup>Bel^2Bel¹ (3.25) Operacj¦ t¦ najdogodniej wyrazi¢ deniuj¡c j¡ dla funkcji podstawowego przypisania prawdopodobie«stwa bpa

m^=mn<sup>


</sup>m^2m¹ (3.26) przyjmuj¡cm^(^f;g) = 0 oraz dla niepustych podzbiorów A^C

m^(A) =

PBi¹Bi^\B¹;Bii<sup>2\


\2</sup>;:::;BinB_in⁼Am¹(Bi¹)m²(Bi²)


mn(Bin) 1^?P Bi¹;Bi²;:::;Bin

Bi^1\Bi<sup>2\


\</sup>B_in^=;m¹(Bi¹)m²(Bi²)


mn(Bin) (3.27) Je±li mianownik wyra»enia (3.27) jest równy 0, to oznacza to, »e prze-sªanki zakodowane za pomoc¡ poszczególnych funkcji bpa mi s¡ sprzeczne.

Takie funkcje bpa, jak i skojarzone z nimi funkcje przekonania, nie s¡ wtedy kombinowalne z u»yciem reguªy Dempstera.

Przesªanka wskazuj¡ca dokªadnie jeden niepusty podzbiór A ^{ C} na-zywana jest przesªank¡ homogeniczn¡. Funkcja przekonania reprezentuj¡ca przesªank¦ homogeniczn¡ nazywana jestprost¡ funkcj¡ wsparcia (ang. simple support function). Przyjmuj¡c, »e liczba s ² [0;1] oddaje stopie« wsparcia udzielany stwierdzeniom zwi¡zanym z A przez przesªank¦ homogeniczn¡ ^s, reprezentuj¡ca j¡ prosta funkcja wsparcia Bel^s ma posta¢

Bel^s(X) =

8

>

<

>

:

0 je±li A^6X

s ^{je±li AX}, przy czymX^6=C

1 je±li X ^=C (3.28)

3.3 Wybrane metody opisu niepewno±ci 47 Zgodnie z (3.20) odpowiadaj¡ca Bel^s funkcja bpa m^s ma posta¢

m^s(A) = Bel^s(A) m^s(^C) = 1^?Bel^s(A)

m^s(X) = 0 dla wszystkich pozostaªychX ^C (3.29) Górny indeks (
^s) w (3.28) i (3.29) wskazuje, »e wielko±ci te okre±lono na podstawie przesªanki ^s. Funkcja wsparcia Bel^s = Bel^s_n<sup>


</sup>Bel^s2Bel^s1 powstaªa ze zªo»enia prostych funkcji wsparcia nazywana jest separowaln¡

funkcj¡ wsparcia(ang. separable support function). Je±li dla pewnych funkcji przekonania zachodzi równo±¢ Bel^s0 = Bel^s0Bel^s1 to funkcja Bel^s1jest nazywna znaczeniowo niezale»n¡ wzgl¦dem Bel^s1, i odwrotnie.

Informacje na temat rozszerze« i zastosowa« teorii Dempstera-Shafera zawiera praca pod redakcj¡ Yagera, Kacprzyka i Fedrizziego [Yager 1994].

3.3.3 Podejmowanie decyzji przy niepeªnej informacji

Rozwa»amy tu ogólne zadanie podejmowania decyzji, które mo»na sformu-ªowa¢ nast¦puj¡co. Nale»y podj¡¢ jedn¡ z decyzji ze zbioru^D =^fdi^g. Efekt podj¦tej decyzji di zale»y od stanu ±wiata cj ^{2 C} i wyra»a si¦ on

warto-±ci¡ funkcji strat l(di;cj), okre±lonej jako l : ^{D C 7!} R. Z zaªo»enia nie posiadamy peªnej informacji co do stanu ±wiata, a jedynie dysponujemy ob-serwacj¡^s, która pozwala na pewn¡ ocen¦ ilo±ciow¡ przypuszcze«, co do tego, z którym ze stanów ±wiata cj ^2C mamy do czynienia.

Gdy obserwacje ^s pozwalaj¡ niepewno±¢ co do faktycznego stanu ±wiata zredukowa¢ do postaci prawdopodobie«stw warunkowych Pr(ci^js) okre±lo-nych dla poszczególokre±lo-nych stanów ci ^{2 C}, warto±¢ straty oczekiwanej L(di^js) dla poszczególnych decyzjidi obliczana jest jako

L(di^js) =^EPr(Cjs)[l] = ^X

cj^2Cl(di;cj)
Pr(cj^js) (3.30) Post¦puj¡c zgodnie z zasadami statystycznej teorii decyzji, analizuj¡c ob-serwacj¦ ^s nale»y podejmowa¢ decyzj¦ d^{ 2 D} = ^fd¹;d²;:::;dn^g, z któr¡

wi¡»¦ si¦ najni»sza strata oczekiwana

d^ = arg minL(di^js)

di^2D (3.31)

Yager [Yager 1992] i Denoeux [Den÷ux 1997] adaptuj¡ formuª¦ (3.30) dla potrzeb podejmowania decyzji w sytuacjach, gdy pozyskane dane ^s pozwa-laj¡ zredukowa¢ niepewno±¢ jedynie do postaci funkcji przekonania Bel^s(^Cj) (równowa»nie, do odpowiedniej funkcji bpam^s(^Cj) okre±lonej na podzbiorach

48 Rozdziaª 3. Proponowana metoda selekcji

Cj ^C). Den÷ux [Den÷ux 1997] proponuje by przez analogi¦ do (3.30) u»y¢

równa« (3.22.1) i (3.22.2), podanych na s. 45, i rozpatrywa¢ strat¦ oczeki-wan¡ doln¡ oraz strat¦ oczekioczeki-wan¡ górn¡, zdeniowane jako

L^(di^js) = ^EP[l] = ^X

A^Cm^s(A)
min_cj

2A l(di;cj) (3.32.1) L^(di^js) = ^EP[l] = ^X

A^Cm^s(A)
max_cj

2A l(di;cj) (3.32.2) Wielko±ciL^(di^js) iL^(di^js) mog¡ sta¢ si¦ podstaw¡ rozstrzygni¦¢ (3.31) do-konywanych ze skrajnie ró»nych stanowisk przy subiektywnej ocenie niezna-nego faktyczniezna-nego stanu ±wiata. Podej±ciem umiarkowanym jest arbitralny wybór ze zbioru funkcji prawdopodobie«stwa

P =^fPr(A^js) : Bel^s(A)^Pr(A^js)^Pl^s(A) dla ka»degoA^{ Cg} (3.33) pewnej funkcji Pr, i obliczenie starty oczekiwanejL^Pr(di^js) zgodnie z

zale»no-±ci¡ (3.30). Smets [Smets 1994] podaj¡c sformuªowanie teorii funkcji przeko-nania nieodwoªuj¡ce si¦ jawnie do intuicji probabilistycznych argumentuje, i»

w sytuacji gdy podstawowe przypisanie prawdopodobie«stwa m jest najpeª-niejszym i najbardziej szczegóªowym znanym opisem stanu ±wiata, podstaw¡

wyznaczania L(di^js) powinna by¢ szczególna funkcja prawdopodobie«stwa tzw. pignistic probability, deniowana dla ka»dego cj ^2C jako

BetP(cj^js) = ^X

A^C

fcj^g\A^6=;

m^s(A)

jA^j (3.34)

Obliczona zgodnie z formuª¡ (3.30) strata oczekiwana po podj¦ciu decyzjidi, dla rozkªadu BetP wynosi

LBet(di^js) =^X

c^2Cl(di;cj) ^X

A^C

fcj^g\A^6=;

m^s(A)

jA^j = ^X

A^Cm^s(A) ^X

cj²A

l(di;cj)

jA^j (3.35) iL^{ }LBet ^L^.

Wyra»enia (3.32.1-3.32.2) oraz (3.35) wedªug których obliczane s¡ war-to±ci strat oczekiwanych L^, L^ i LBet mog¡ by¢ uwa»ane za szczególne przypadki w zaproponowanej przez Yagera ([Yager 1992], [Yager 1997]) re-prezentacji straty oczekiwanej przy zastosowaniu operatorów uporz¡dkowa-nej ±redniej wa»ouporz¡dkowa-nej (ang. Ordered Weighted Averaging, OWA). Operatory OWA przyjmuj¡ jako argumenty sko«czone ci¡gi liczb rzeczywistych i zwra-caj¡ ±rednie wa»one wyrazów tych ci¡gów po uprzednim ich uporz¡dkowa-niu [Yager 1988]. Operator OWA o wymiarze n i wektorze nieujemnych

3.3 Wybrane metody opisu niepewno±ci 49 wag W = [w¹;w²;:::;wn] speªniaj¡cych warunek ^P_ni⁼¹wi = 1, jest funk-cj¡OW : R^n?![0;1], dan¡ jako

OW(a¹;a²;:::;an) =^Xn

i⁼¹wi
bi (3.36) gdziebi jest i-tym wyrazem ci¡gu ^fb¹;b²;:::;bn^gzbudowanego z uporz¡dko-wanych malej¡co wszystkich wyrazów ci¡gu ^fa¹;a²;:::;an^g podanego jako argument. Dla wektorów wag WMin = [0;:::;0;1], WMax = [1;0;:::;0] i WAve = [_n¹;:::;_n¹], operatory OMin, OMax i OAve s¡ odpowiednio operato-rami wyboru: najmniejszego wyrazu, najwi¦kszego wyrazu oraz obliczania

±redniej arytmetycznej wszystkich wyrazów ci¡gu.

Yager [Yager 1988] wprowadza dwie miary charakteryzuj¡ce operatory OWA. Dla operatoremOW o wymiarzen, miara stopnia optymizmu denio-wana jest jako wspóªczynnik optymizmu Opt⁹

Opt(OW) = 1n^?1

n

X

i⁼i(n^?i)
wi (3.37) a dyspersja operatora OW jako wielko±¢ Disp

Disp(OW) =^{? Xn}

i⁼¹ wi⁶⁼⁰

wi
ln(wi) (3.38) Warto±¢ wspóªczynnika Opt(OW) ² [0;1] przyjmuje dla wyró»nionych operatorów OWA nast¦puj¡ce warto±ci: Opt(OMin) = 0, Opt(OAve) = 0:5, Opt(OMax) = 1.

W literaturze zaproponowano wiele sposobów okre±lania wektora wag operatorów OWA. Jedna z nich ([Yager 1992]) polega na okre±leniu klasy operatorów OWA OW_n, które dla danego wymiaru n wykazuj¡ najwy»sz¡

mo»liw¡ warto±¢ dyspersji Disp(OW_n) przy zadanej warto±ci Opt(OW_n) =. Wektory wag operatorów OW_n wyznaczane s¡ wtedy jako rozwi¡zanie na-st¦puj¡cego zadania optymalizacyjnego

max ^?P_ni⁼¹wi
lnwi w¹;w²;:::;wn

p.o. ^P_ni⁼¹ _n^n?1?i
wi =

Pni⁼¹wi = 1

wi ^0 gdziei = 1;:::;n 0^{ }1

(3.39)

9Wspóªczynnik optymizmuOpt, zdeniowany jako (3.37), w literaturze jest równie» na-zywany wspóªczynnikiem A-C od ang. attitudinal character, lub wspóªczynnikiem ORness, jako »e charakteryzuje podobie«stwo danego operatora OWA do operatora OR (OR jest deniowany jak operator O^Max).

50 Rozdziaª 3. Proponowana metoda selekcji

W kontek±ciereprezentowanianiepewno±ci z u»yciemfunkcjiprzekonania, Yager [Yager 1992] stosuje operatory OWA do wyra»enia oczekiwanej straty L(di^js) w sposób nast¦puj¡cy

LOW(di^js) = ^X

A^C A^=fcj¹;cj²:::;c_jn^g

m^s(A)
OW_n[l(di^jcj¹);l(di^jcj²);:::;l(di^jcjn) ] (3.40) W ogólno±ci zachodzi: LOMin ^LOW ^LOMax. Przyj¦cie w (3.40) warto±ci  równej 0, 0.5 i 1 pozwala wyrazi¢ (3.32.1), (3.32.2) i (3.35) z u»yciem (3.40) w nast¦puj¡cy sposób

L^(di^js) ^ LO_Min(di^js) (3.41.1) L^Bet(di^js) ^ LOAve(di^js) (3.41.2) L^(di^js) ^ LOMax(di^js) (3.41.3)

W dokumencie Selekcja na bie»¡co z danych masowych przy u»yciu zespoªu klasykatorów (Stron 46-54)