NIEZAWODNOŚĆ I JAKOŚĆ ENERGII
4.3. Wybrane struktury niezawodnościowe
W praktyce rozróżniamy kilka podstawowych struktur niezawodnościo-wych, np. szeregową, równoległą, progową, mostkową oraz kombinacje powyższych.
Analiza struktury szeregowej
System ma szeregową strukturę niezawodnościową, jeżeli niesprawność dowolnego elementu powoduje niesprawność całego systemu. Z definicji struktury szeregowej wynika, że obiekt jest sprawny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego elementy są sprawne [1-3].
1 2 n
Rys. 4.2. Szeregowa struktura niezawodnościowa
Jeżeli uszkodzenia poszczególnych elementów systemu są zdarzeniami niezależnymi, to prawdopodobieństwo, że wszystkie elementy będą nie- uszkodzone, jest równe iloczynowi współczynników (prawdopodobieństw) zdatności wszystkich elementów
- = w œ!
;%!& = %_ > !& = %_ > !, _ > !, … , _³ > !& =
Ri(t) – funkcja niezawodności q-tego elementu systemu,
%!& – dystrybuanta czasu poprawnej pracy %_ & q-tego elementu.
Dla rozkładu wykładniczego wynika, że
Ö;%!& = - %!& ‚ - %!& ‚ ⋯ ‚ -³%!& = Ø - %!&
³ Õ
(4.10) gdzie:
Ö;%!& – funkcja intensywności uszkodzeń systemu,
- %!& – funkcja intensywności uszkodzeń q-tego elementu systemu, co oznacza, że intensywność uszkodzeń o strukturze szeregowej jest równa sumie intensywności uszkodzeń wszystkich elementów systemu.
Struktury równoległe i progowe
System ma równoległą strukturę niezawodnościową, jeżeli zdatność dowol- nego elementu tego systemu powoduje zdatność całego systemu. Z równo- ległą strukturą połączenia elementów w systemie mamy do czynienia wtedy, gdy wszystkie elementy wykonują to samo zadanie. Z definicji struktury równo- ległej wynika, że system jest sprawny wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego elementów jest sprawny [1-3].
1
Rys. 4.3. Niezawodnościowe struktury: a) równoległe, b) progowe
a) b)
W systemie o równoległej strukturze niezawodnościowej dla prawidło- wej pracy tego systemu wymagane jest prawidłowe działanie tylko jednego elementu. Zatem zależności określające ;%!& i ;%!& będą następujące
Ogólna zależność na prawdopodobieństwo poprawnej pracy systemu o strukturze progowej przy założeniu, że czasy poprawnej pracy jego obiek-tów są niezależnymi zmiennymi losowymi, jest następująca:
;%!& = %_ ž !& = Ø ²%!& =
²%!& – prawdopodobieństwo poprawnej pracy odniesione do Ý-tej kombinacji zdat-nych elementów, dającej zdatność systemu,
– liczba kombinacji zdatnych elementów, dających zdatność systemu (liczba stanów zdatności systemu).
Prawdopodobieństwo poprawnej pracy dowolnej Ý-tej kombinacji zdatnych elementów, dającej zdatność systemu, można wyznaczyć jako
²%!& = Ô¦ %!&§ Þ¦1 • %!&§% ± Þ&
³ Õ
(4.13)
gdzie – wskaźnik przyjmujący wartość 1, gdy element występujący w Ý-tej kombinacji elementów jest zdatny, lub 0, gdy jest niezdatny.
Struktury mieszane
Najczęściej spotykanymi strukturami mieszanymi są: struktura równoległo- -szeregowa (rys. 4.4) i struktura szeregowo-równoległa (rys. 4.5).
Dla przykładu, dystrybuanta czasu poprawnej pracy systemu o równoległo- -szeregowej strukturze niezawodnościowej ma postać
7%!& = Ô ß1 • Ô `, %!&
`,%!& – funkcja niezawodności q-tego elementu w -tym podsystemie szeregowym, â – liczba podsystemów szeregowych,
` – liczba elementów w -tym podsystemie szeregowym.
1 2
Rys. 4.4. Równoległo-szeregowa struktura niezawodnościowa 1
2
1 1
2 2
n1 n2 nk
Rys. 4.5. Szeregowo-równoległa struktura niezawodnościowa
Przykład 4.1
Badaniom eksploatacyjnym poddano próbkę obiektów o liczebności P = 50.
W okresie użytkowania ! uległo niesprawnościom = 5 egzemplarzy obiektu.
Należy określić wartość estymatora funkcji niezawodności badanego obiektu dla okresu !.
Korzystamy z oszacowania, otrzymując ã%!& = 1 • %!&P = 1 • 5
50 = 0,90
Takie oszacowanie nie zawiera pełnej informacji o funkcji niezawodności obiektu i może być traktowane jedynie jako zgrubne [4].
Przykład 4.2
Badaniom eksploatacyjnym poddano próbkę statystyczną obiektów o liczeb- ności początkowej P%0& = 700. W kolejnych okresach ∆! = 100 ℎ funkcjonowa- nia obiektów zanotowano liczby uszkodzonych ich egzemplarzy, co podano w tabeli:
t [h] 100 200 300 400 500
b 8 7 5 3 2
Należy oszacować wartości intensywności niesprawności (uszkodzeń) obiektu z badanej populacji.
Estymator intensywności niesprawności ma postać -å%!& ≈ %!, ! ‚ ∆!&
P%!& ∆!
Wyznaczono liczebność P%!& badanej próbki na początku każdego okresu
∆!, po odliczeniu liczby egzemplarzy obiektu, które uległy uszkodzeniu w poprzedzającym okresie. Wynosi ona kolejno: 700, 692, 685, 680, 677, 675.
Po podstawieniu wartości P%!& oraz wartości ∆! i dla kolejnych okresów otrzymuje się wartości -å%!&, co przedstawiono na poniższym wykresie:
Przebieg funkcji -%!& w czasie jest charakterystyczną wielkością dla większości obiektów technicznych, jak również przy analizie danych demograficznych [4].
Przykład 4.3
Obliczyć prawdopodobieństwo niezawodnej pracy systemu w ciągu 10 lat, składającego się z dziesięciu jednakowych obiektów, posiadających szeregową
strukturę niezawodności. Wiadomo, że intensywność pracy jednego obiektu wynosi - = 0,01/rok. Obliczyć wartość oczekiwaną czasu braku uszkodzeń systemu oraz jego dystrybuanty. Założyć, że -%!& = - = const.
1 2 3 4 10
Intensywność uszkodzeń dla systemu
-æ = - = 10 ⋅ 0,01 = 0,1 Prawdopodobieństwo niezawodnej pracy w ciągu roku
æ%1& = ±¤, ⋅ = 0,9048
Prawdopodobieństwo zawodnej pracy w ciągu roku (dystrybuanty)
æ%1& = 1 • æ%1& = 1 • 0,9048 = 0,0952 Wartość oczekiwana czasu niezawodnej pracy systemu
_ = 1
-æ = 10 lat
Przykład 4.4
Rozpatrzymy dwa jednakowe obiekty pracujące równolegle, każdy ze współ- czynnikiem intensywności - = 0,0005 uszkodzeń na godzinę. Znaleźć wartości prawdopodobieństwa niezawodnej pracy, średni czas niezawodnej pracy dla pojedynczego obiektu oraz systemu składającego się z dwóch równolegle połączonych obiektów, dla czasu równego 200 godzin. Założono, że -%!& =
= - = const.
Prawdopodobieństwo niezawodnej pracy jednego elementu
%!& = ±¤,¤¤¤¼⋅ ¤¤ = ±¤, = 0,9048
Prawdopodobieństwo niezawodnej pracy przy równoległej pracy dwóch elementów
%!& = 1 • %1 • 0,9048& = 0,9991
Wartość oczekiwana czasu niezawodnej pracy jednego elementu _|= 1
- = 1
0,0005 = 2000 h
Wartość oczekiwana czasu niezawodnej pracy równoległej dwóch elementów
_||= 3
2- = 3
2 ⋅ 0,0005 = 3000 h
Przykład 4.5
System zbudowany jest z trzech jednakowych obiektów, połączonych równolegle, posiadających współczynnik intensywności niezawodnej pracy - = 0,01 rok–1. Znaleźć niezawodności pracy systemu w ciągu roku. Założono, że -%!& = - = const.
Prawdopodobieństwo zawodnej pracy systemu w ciągu roku wynosi
æ%1& = %1 • ±¤,¤ ⋅ &„ = 0,00001
Prawdopodobieństwo niezawodnej pracy systemu w ciągu roku wynosi
æ%1& = 1 • æ%1& = 0,99999
Wartość oczekiwana czasu braku uszkodzeń pracy systemu wynosi _||| = 1
0,01 {1 ‚1 2 ‚1
3| = 183,3 lat
Przykład 4.6
Odbiorca jest zasilany z dwóch niezależnych źródeł, które mają współ- czynnik intensywności uszkodzeń równy - = 0,1 rok–1 każde. Określić prawdo- podobieństwo niezawodnej pracy źródeł w ciągu roku:
a) przy włączeniu drugiego źródła tylko wtedy, gdy pierwsze ulegnie uszkodzeniu,
b) przy równoległej pracy obu źródeł.
Założono, że moc każdego ze źródeł całkowicie pokrywa potrzeby obciążenia oraz że - = const.
a) Prawdopodobieństwo niezawodnej pracy tylko jednego źródła wynosi
%1& = ±¤, ⋅ = 0,9048
Wartość oczekiwana czasu niezawodnej pracy jednego źródła wynosi _ = 1
0,1 = 10 lat
b) Przy równoległej pracy obu źródeł można obliczyć prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy z zależności
3 %!& = 2 ±• • ± •
gdzie 3 – prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy grupy dwóch źródeł.
Stąd
3 %1& = 2 ±¤, ⋅ • ± ⋅¤, ⋅ = 0,9909
Wartość oczekiwana czasu niezawodnej pracy jednoczesnej dwóch źródeł równa się
_ = 3
2 ⋅ 0,1 = 15 lat
4.4. Metody wyznaczania niezawodności