Wyja´snienie anomalnej zale˙zno´sci temperaturowej czasu przenie-

3.2 Szczegóły symulacji i wyniki

3.2.3 Wyja´snienie anomalnej zale˙zno´sci temperaturowej czasu przenie-

Poprzednie symulacje stanowiły wst˛ep do zadania jakim było zastosowanie modelu do wyja´snienia anomalnej zale˙zno´sci temperaturowej zaobserwowanej przez Fleminga, Mar-tina i Bretona [41]. Zajmowali si˛e oni centrami fotosyntetycznymi bakterii Rhodopseu-domonas viridis oraz Rhodobacter sphaeroides i eksperymentalnie wyznaczyli zale˙zno´s´c stałej szybko´sci przeniesienia elektronu od temperatury. Autorzy wprawdzie dokonali próby dopasowania pewnych krzywych teoretycznych do wyników eksperymentalnych lecz szczególnie w przypadku Rhodopseudomonas viridis próby te, jak sami przyznali, zawiodły. Anomalna zale˙zno´s´c temperaturowa skłania do zwrócenia uwagi na problem wyboru wibracyjnego stanu pocz ˛atkowego. Aby otrzyma´c zale˙zno´s´c obserwowan ˛a eks-perymentalnie, nale˙zy wybra´c stan pocz ˛atkowy powy˙zej stanu przej´sciowego.

Dwa wspomniane bakteryjne centra reakcji ró˙zni ˛a si˛e nieznacznie, jednak˙ze prezen-tuj ˛a znaczn ˛a ró˙znic˛e w szybko´sci przeniesienia elektronu w niskich temperaturach [41, 43]. Wa˙zne jest stwierdzenie, które parametry rzeczywi´scie wpływaj ˛a na te ró˙znice. Za-kładamy, ˙ze centra reakcji nie mog ˛a si˛e znacznie ró˙zni´c w cz˛esto´sci ω, parametrze tłu-mieniaκ i energii stanu pocz ˛atkowegoe0wyznaczonego przez kwant wzbudzenia. Zatem fizycznie mo˙zliwe zmiany mog ˛a dotyczy´c energii reorganizacjiλ, a zatem energii stanu przej´sciowegoǫ^‡.

Zało˙zono, ˙ze w obu przypadkach stan pocz ˛atkowy m jest identyczny (przyj˛eto, ˙ze wzbudzenie jest niekoherentne, tzn. mo˙zliwe jest wzbudzenie pojedynczego poziomu wibracyjnego), lecz centra te ró˙zni ˛a si˛e poło˙zeniem stanu przej´sciowegon o jeden kwant ω. Odpowiednie stałe szybko´sci mo˙zna ogólnie zapisa´c dla Rhodopseudomonas viridis (krótszy czas) jako

k_vir⁻¹ = τ_vir = τ (e₀ → ǫ^‡_vir) = τ (m → n) , (3.24)

2 4 6 8 10 12 14 16

50 100 150 200 250 300 350

rate/1011 s-1

T/K

Rysunek 3.7. Zale˙zno´s´c temperaturowa szybko´sci pierwotnego przeniesienia elektronu w bakte-ryjnych fotosyntetycznych centrach reakcji. Dopasowano wyniki symulacji komputerowych (li-nie ci ˛agłe; za prac ˛a [B]) do danych do´swiadczalnych (otwarte kółka Rhodobacter sphaeroides, zamkni˛ete Rhodopseudomonas viridis; za prac ˛a [41]).

a dla Rhodobacter sphaeroides (dłu˙zszy czas) jako

k_sph⁻¹ = τsph= τ (e0 → ǫ^‡_sph) = τ (m → n − 1) . (3.25) Jak ju˙z wspomniano wcze´sniej, w temperaturze 0 K b˛ed ˛a zachodzi´c tylko przej´scia po-mi˛edzy najbli˙zszymi s ˛asiadami w dół, st ˛ad ´srednie czasy pierwszego przej´scia z równa´n (3.24) i (3.25) b˛ed ˛a sum ˛a kolejnych ´srednich czasów pierwszego przej´scia dla poszcze-gólnych pojedynczych kroków. W temperaturze 0 K z równania (3.11) otrzymujemy

τ (n → n − 1) = 1

2nκ, (3.26)

st ˛ad

k(0)⁻¹_sph= k(0)⁻¹_vir+ 1

2nκ. (3.27)

Porównuj ˛ac warto´sci k(0)⁻¹_vir i k(0)⁻¹_sph w temperaturze 0 K dopasowano warto´sci m = 5, n = 3 dla Rhodopseudomonas viridis oraz m = 5, n − 1 = 2 dla Rhodobacter sphaeroides. St ˛ad

τvir = τ (5 → 4) + τ (4 → 3) (3.28) oraz

τsph= τ (5 → 4) + τ (4 → 3) + τ (3 → 2) . (3.29)

Korzystaj ˛ac z eksperymentalnych warto´scik(0)⁻¹_vir i k(0)⁻¹_sph oraz równania (3.26) otrzy-mujemy przybli˙zon ˛a warto´s´c parametru tłumieniaκ⁻¹ = 3, 25 ps. Zało˙zono, ˙ze cz˛esto´s´c ω wynosi 200 K, st ˛ad okres drga´n wynosi 0,25 ps. Porównuj ˛ac ten okres drga´n z

warto-´sci ˛aκ⁻¹ wida´c, ˙ze rzeczywi´scie mamy do czynienia ze słabym tłumieniem wibracyjnym (okres tłumienia ponad 10 razy dłu˙zszy od okresu drga´n).

Rezultat dopasowania wyników symulacji komputerowych i wyników eksperymen-talnych przedstawiono na rysunku 3.7. Mimo, ˙ze dopasowanie szczególnie w niskich temperaturach jest do´s´c dobre, to trzeba pami˛eta´c, ˙ze model ten jest grubym przybli˙ze-niem ze wzgl˛edu na szereg wprowadzonych zało˙ze´n, takich jak cho´cby nieodwracalno´s´c reakcji czy te˙z zało˙zenie, ˙ze czas przej´scia ze stanu przej´sciowego do limbo jest zanie-dbywalnie krótki [B]. Jednak˙ze model ten mo˙ze by´c podstaw ˛a do dalszych bada´n. Warto te˙z zauwa˙zy´c, ˙ze kompletny opis kolejnych etapów przeniesienia elektronu w fotosynte-tycznym centrum reakcji wymaga ze wzgl˛edu na inne skale czasowe uwzgl˛ednienia do-datkowych czynników, np. wpływu dynamiki przej´s´c konformacyjnych, a tak˙ze innych modów drga´n.

Rozdział 4

Efekty dynamiki przej´s´c konformacyjnych:

przetwarzanie energii swobodnej

W poprzednim rozdziale dotycz ˛acym dynamiki wibracyjnej obiektem zainteresowania były pierwotne procesy przeniesienia elektronu zachodz ˛ace w bakteryjnych fotosynte-tycznych centrach reakcji. Jednym z kolejnych etapów fotosyntezy jest redukcja chinonu Q do hydrochinonu (chinolu) QH₂, której poszczególne fazy

Q−→ Q^e⁻ ^{•− H}−−−−→ QH⁺^+e⁻ ^{− H}−−→ QH⁺ ₂

zwi ˛azane s ˛a z przej´sciami konformacyjnymi [51]. Podobna reakcja przeniesienia elek-tronu, ale w odwrotn ˛a stron˛e, zachodzi w kompleksie cytochromów bc1, który jest biał-kiem błonowym katalizuj ˛acym utlenianie hydrochinonu (chinolu) i redukcj˛e cytochromu c w bakteryjnych ła´ncuchach oddechowych i fotosyntetycznych, a tak˙ze w mitochondrial-nych ła´ncuchach oddechowych [52, 53].

W kompleksie cytochromówbc1, chinol jest utleniany, a chinon redukowany w dwóch odr˛ebnych miejscach oznaczanych jakoQoorazQi. Utlenianie cz ˛asteczki chinolu dostar-cza dwóch elektronów, które przemieszdostar-czaj ˛a si˛e dwiema drogami. Uwa˙za si˛e, ˙ze jeden elektron jest przekazywany do centrum ˙zelazowo-siarkowego i nast˛epnie na cytochrom c₁. Powstaje wtedy semichinon Q^•−, a nast˛epnie kolejny elektron jest przekazywany do hemubL(b566) i dalej przez hembH(b562) doQi. Osobn ˛a kwesti ˛a jest problem stabilno´sci semichinonu i mechanizmy zabezpieczaj ˛ace przed przeniesieniem dwóch elektronów ko-rzystniejsz ˛a energetycznie drog ˛a na cytochromc1[53]. Struktury takiego kompleksu oraz schematy zachodz ˛acych reakcji mo˙zna odnale´z´c w literaturze [51]. Dynamika procesu jest bardzo zło˙zona ale powolna, st ˛ad te˙z główn ˛a rol˛e odgrywa dynamika przej´s´c kon-formacyjnych, a przyjmowanie okre´slonej konformacji przez białko wpływa na proces przetwarzania energii swobodnej.

Najwa˙zniejszym faktem dla tworzonego modelu dynamiki przej´s´c konformacyjnych

jest sprz˛e˙zenie procesu dostarczaj ˛acego energi˛e swobodn ˛a (transport elektronów) (QH₂)_out+ 2c³⁺ ↔ Qout+ 2H⁺_out+ 2c²⁺

i odbieraj ˛acego energi˛e swobodn ˛a (transport protonów w poprzek błony) Q + 2H⁺

in+ (QH₂)_out ↔ Q + 2H⁺

out+ (QH₂)_in .

Indeksyin i out oznaczaj ˛a cz ˛asteczk˛e przył ˛aczon ˛a w centrumQi iQo, odpowiednio po wewn˛etrznej i zewn˛etrznej stronie błony. Transport cz ˛asteczki chinolu z pozycji(QH₂)_in do (QH₂)_out poł ˛aczony z transportem chinonu z pozycji Qout doQin oznacza transport dwóch atomów wodoru w poprzek błony. Jest to równowa˙zne z transportem dwóch pro-tonów przy zało˙zeniu, ˙ze dwa elektrony s ˛a przenoszone w kierunku przeciwnym [52, 53].

Powszechnie przyjmuje si˛e, ˙ze sprz˛e˙zenie transportu elektronów z transportem proto-nów zachodzi w stosunku 1:1, tzn. w centrumQo musi nast ˛api´c bifurkacja i dokładnie jeden elektron przemieszcza si˛e na cytochrom c₁ i jeden na centrum Q_i [52, 53]. Jest to tylko hipoteza; Kurzy´nski przedstawił argumenty, ˙ze wcale tak by´c nie musi [54].

Znane s ˛a inne przykłady zmiany współczynników stechiometrycznych w zale˙zno´sci od warunków otoczenia. Grupa Yanagidy zaobserwowała, ˙ze głowa miozynowa mo˙ze wy-konywa´c wiele kroków na jedn ˛a hydrolizowan ˛a cz ˛asteczk˛e ATP [55]. Innym przykładem mog ˛a by´c wyniki eksperymentalne Kettnera i współpracowników, którzy obserwowali ró˙zn ˛a liczb˛e przepompowywanych protonów na jedn ˛a hydrolizowan ˛a cz ˛asteczk˛e ATP w V-ATPazie [56].

Głównym celem rozwa˙za´n przedstawionych w tym rozdziale jest próba odpowiedze-nia przy pomocy symulacji komputerowych na pytanie, czy mo˙zliwe jest przetwarzanie energii swobodnej ze zmieniaj ˛acym si˛e stopniem sprz˛e˙zenia pomi˛edzy procesem dostar-czaj ˛acym i odbieraj ˛acym energi˛e swobodn ˛a i przy jakich warunkach stopie´n sprz˛e˙zenia mo˙ze by´c wi˛ekszy od 1.

4.1 Teoretyczne sformułowanie problemu

Maszyna jest dowolnym układem fizycznym, który umo˙zliwia innym układom wykonanie pracy jednemu na drugim. W warunkach izotermicznych wykonanie pracy jest to˙zsame z przetwarzaniem energii swobodnej, st ˛ad takie maszyny nazywane s ˛a przetwornikami energii swobodnej (ang. free energy transducers) [10].

Wspomniany białkowy kompleks enzymatyczny jest przykładem chemochemicznej maszyny molekularnej. Poniewa˙z zachodz ˛ace reakcje s ˛a wysoce zło˙zone dla uproszcze-nia załó˙zmy, ˙ze rozwa˙zana tu maszyna katalizuje i sprz˛ega dwie jednocz ˛asteczkowe reak-cje: dostarczaj ˛ac ˛a energi˛e swobodn ˛aR1 ↔ P1 i odbieraj ˛ac ˛a energi˛e swobodn ˛aR2 ↔ P2.

Rysunek 4.1. Schemat maszyny chemochemicznej sprz˛egaj ˛acej dwa procesy: dostarczaj ˛acy i odbieraj ˛acy energi˛e swobodn ˛a. Po lewej stronie we wn˛etrzu szarej skrzynki wyró˙znione s ˛a poje-dyncze bramy, po prawej stronie przedstawiono rozszerzenie na wiele bram. Za prac ˛a [C].

Z osobna ka˙zda reakcja zachodzi w kierunku okre´slonym przez drug ˛a zasad˛e termo-dynamiki, tzn. w takim, ˙ze ilo´s´c dysypowanej energii chemicznej jest dodatnia. Jednak˙ze je´sli obie reakcje zachodz ˛a w tym samym cyklu (u˙zywaj ˛a tego samego enzymu), to mog ˛a zachodzi´c w t ˛a sam ˛a stron˛e, tzn. jedna z reakcji zachodz ˛aca w zgodzie z drug ˛a zasad ˛a ter-modynamiki mo˙ze „zmusi´c” drug ˛a reakcj˛e do zachodzenia przeciw drugiej zasadzie ter-modynamiki, czyli zmienia´c jej kierunek na przeciwny do ustalonego przez stacjonarne warto´sci st˛e˙ze´n [14]. W ten sposób pierwsza reakcja przekazuje cz˛e´s´c swojej energii swobodnej odzyskanej z dysypacji wykonuj ˛ac prac˛e na rzecz drugiej reakcji.

Standardowa kinetyka chemiczna zakłada, ˙ze przed ka˙zdym krokiem kinetycznym szybka dynamika wewn ˛atrzmolekularna powoduje ustalenie si˛e stanu równowagi cz˛e´scio-wej. Jednak˙ze wewn˛etrzna stochastyczna dynamika białka tworz ˛acego maszyn˛e moleku-larn ˛a jest bardzo skomplikowana i co wi˛ecej powolna, a sprz˛e˙zone reakcje enzymatyczne s ˛a przez ni ˛a kontrolowane, co prowadzi do konieczno´sci zast ˛apienia rozkładu równowa-gowego stanów konformacyjnych rozkładem stacjonarnym [10].

Elektron mo˙ze znajdowa´c si˛e na donorze lub akceptorze przył ˛aczonym do enzymu tworz ˛acego kompleks, którego stany zarówno elektronowe jak i konformacyjne opisuje wn˛etrze szarej skrzynki z rysunku 4.1. W ogólno´sci kompleks mo˙ze znajdowa´c si˛e w ogromnej liczbie stanów konformacyjnych. Jak ju˙z wspomniano, mi˛edzy nimi ustala si˛e stan stacjonarny, a nie stan równowagi cz˛e´sciowej. Tylko niektóre stany konforma-cyjne enzymu umo˙zliwiaj ˛a przył ˛aczania substratów i odczepianie produktów. Najprost-szy schemat maNajprost-szyny chemochemicznej przedstawiono na rysunku 4.1 po lewej stronie.

Stany konformacyjne umo˙zliwiaj ˛ace zachodzenie procesów zredukowane s ˛a do pojedyn-czej bramy wej´sciowej (indeks bis) i wyj´sciowej (indeks prim) dla procesu dostarcza-j ˛acego (oznaczonego jako 1) i odbieraj ˛acego (oznaczonego jako 2) energi˛e swobodn ˛a.

Schemat ten mo˙zna rozszerzy´c na wi˛eksz ˛a liczb˛e bram co przedstawiono na rysunku 4.1 po prawej stronie.

St˛e˙zenia substratów mog ˛a by´c stałe, wtedy [Ri] = [Ri]₀ = const, albo mog ˛a by´c

zwi ˛azane ze st˛e˙zeniem produktów,[Ri]+[Pi] = [Ri]₀ = const. Zmiennymi okre´slaj ˛acymi strumie´n reakcji s ˛a st˛e˙zenia produktów [Pi] (i = 1, 2). Dokładniej, strumie´n Ji (i = 1, 2) okre´slony jest jako liczba cz ˛asteczek produktu wytwarzana przez jedn ˛a cz ˛asteczk˛e enzymu na jednostk˛e czasu:

J_i = 1 [E]0

d[Pi]

dt , (4.1)

gdzie[E]0oznacza całkowite st˛e˙zenie enzymu. Sprz˛e˙zone ze strumieniamiJisiłyAi(i = 1, 2) s ˛a z definicji ró˙znicami pomi˛edzy potencjałami chemicznymi produktu i substratu:

βAi = ln Ki

[Ri]

[Pi], Ki ≡ [Pi]^eq

[Ri]^eq , (4.2)

gdzieK_i jest stał ˛a równowagi, a indekseq oznacza st˛e˙zenie równowagowe. Siły A_i s ˛a miar ˛a odległo´sci od stanu równowagi, w którym znikaj ˛a [C, 8].

Dla schematu z pojedynczymi bramami udało si˛e otrzyma´c wyra˙zenia analityczne.

Zale˙zno´s´c strumie´n-siła dla dwóch sprz˛e˙zonych reakcji ma ogóln ˛a posta´c [8, 10]

Ji = 1 − e^−β(Aⁱ^−A^stⁱ⁾

J_+i⁻¹+ J_−i⁻¹e^−β(Aⁱ^−A^stⁱ ⁾+ J_0i⁻¹(Ki+ e^βAⁱ)⁻¹ , (4.3) gdzieβ = (kBT )⁻¹. ParametryJ+i,J−i,J0iiA^st_i s ˛a zale˙zne od wn˛etrza szarej skrzynki.

A^st_i ma sens siły blokuj ˛acej (ang. stalling force), dla której strumie´nJi znika (Ji(A^st_i ) = 0).

Rysunek 4.2. Schematyczna zale˙zno´s´c strumieniaJ_i od siłyA_i. Zaznaczono charakterystyczne parametryJ+i,J−iorazA^st_i . Pogrubiona linia oznacza obszar przetwarzania energii swobodnej.

Za prac ˛a [10].

Zale˙zno´s´c strumieniaJi od siłyAi przedstawiono schematycznie na rysunku 4.2. Zale˙z-no´s´cJi(Ai) jest rosn ˛aca z punktem przegi˛ecia zale˙z ˛acym od J0i i dwiema asymptotami J+iiJ−i [8, 10].

Bardzo wa˙zny jest iloczynJ2A2, który ma sens mocy wyj´sciowej maszyny. Je´sli jest on ujemny (strumie´n i odpowiadaj ˛aca mu siła maj ˛a przeciwny znak), to w tym obszarze zachodzi przetwarzanie energii swobodnej. Z równania (4.3) wynika, ˙ze dzieje si˛e tak kiedy odpowiadaj ˛aca siła blokuj ˛acaA^st_i jest ujemna.

W ogólno´sci wydajno´s´c maszyny okre´slona jest jako stosunek mocy wyj´sciowej do mocy wej´sciowej:

η = −J2A2/J1A1, (4.4)

a sam iloraz strumieni

ǫ = J2/J1 (4.5)

nazywany jest stopniem sprz˛e˙zenia [10]. Je´sliǫ < 1, to mówimy, ˙ze maszyna ma po´slizg.

Dla reakcji z pojedynczymi bramami udało si˛e znale´z´c wyra˙zenia analityczne na za-le˙zno´s´c stopnia sprz˛e˙zenia odA1 iA2 [8, 10]:

ǫ = 1 − e^−β(A¹^+A²⁾+ W1(A1)(1 − e^−βA²)

1 − e^−β(A¹^+A²⁾+ W₂(A₂)(1 − e^−βA¹), (4.6) a siła blokuj ˛acaA^st₂ wyra˙za si˛e poprzez

βA^st₂ = lne^−βA¹ + W1(A1)

1 + W1(A1) . (4.7)

Wyra˙zenie na A^st₁ mo˙zna uzyska´c zA^st₂ przez zamian˛e indeksu 1 z 2 i na odwrót. Wiel-ko´sci Wi(Ai) s ˛a miar ˛a po´slizgu – im mniejszy stopie´n po´slizgu tym mniejsza warto´s´c odpowiadaj ˛acej wielko´sci W_i. Stopie´n po´slizgu odpowiada za liczb˛e „bezproduktyw-nych” cykli, czyli takich, w których proces dostarczaj ˛acy energi˛e swobodn ˛a nie nap˛edza procesu odbieraj ˛acego energi˛e swobodn ˛a. Dla przypadku braku po´slizgu otrzymujemy:

A^st₂ = −A1 iA^st₁ = −A2. Wtedy stopie´n sprz˛e˙zenia osi ˛aga maksymaln ˛a mo˙zliw ˛a war-to´s´c dla schematu z jednym procesem dostarczaj ˛acym i jednym odbieraj ˛acym energi˛e swobodn ˛a,ǫ = 1.

Stopie´n po´slizguW₁(A₁) dany jest przez wyra˙zenie

W1(A1) = τM(1^′′↔ {1^′, 2^′}) + τM(1^′ ↔ {1^′′, 2^′′})e^−βA¹+ τ1(A1)

τM(1^′ ↔ {1^′′, 2^′}) − τM(1^′ ↔ {1^′′, 2^′′}) , (4.8) natomiast po zast ˛apieniu indeksów 1 z 2 i na odwrót otrzymujemy wyra˙zenie dla stopnia po´slizguW2(A2) [8]:

W2(A2) = τM(2^′′↔ {1^′, 2^′}) + τM(2^′ ↔ {1^′′, 2^′′})e^−βA²+ τ2(A2)

τM(2^′ ↔ {1^′, 2^′′}) − τM(2^′ ↔ {1^′′, 2^′′}) . (4.9) Jak poka˙zemy pó´zniej, kolejno´s´c stanów w nawiasach klamrowych nie ma znaczenia, st ˛ad przy zamianie indeksów zachowywano kolejno´s´c z W1(A1) je´sli było to mo˙zliwe.

W równaniach (4.8) i (4.9) odpowiednie czasyτi(Ai) zwi ˛azane s ˛a z odwrotno´sciami sta-łych szybko´sci przej´s´c na zewn ˛atrz szarej skrzynki reprezentuj ˛acej kompleks przej´sciowy (rysunek 4.1), natomiast τM s ˛a ´srednimi czasami pierwszego przej´scia wewn ˛atrz. Oba równania zawieraj ˛a ten sam mianownik, co wymaga osobnego dowodu analitycznego [C], lecz w dalszej cz˛e´sci pracy zostanie to udowodnione tak˙ze numerycznie.

Obie warto´sci Wi maj ˛a ten sam znak, dodatni lub ujemny. St ˛ad wynikaj ˛a wa˙zne wnio-ski z wcze´sniejszych równa´n. W równaniu (4.7) wyra˙zenie pod logarytmem jest zawsze dodatnie. Dodatkowo je´sliβA1 ≥ 0 i βA2 ≤ 0 i oba Wis ˛a dodatnie, to znakiβA^st_i z rów-nania (4.7) s ˛a takie same jak powi ˛azanych z nimi sił βAi (obszar przetwarzania energii swobodnej).

Przy zało˙zeniu, ˙zeβA1 → ∞, równanie (4.7) redukuje si˛e do postaci βA^st₂(∞) = ln W1(∞)

1 + W1(∞), (4.10)

podczas gdy równanie (4.8) przyjmuje posta´c

W1(∞) = τ_M(1^′′↔ {1^′, 2^′}) + τ₁(A₁)

τM(1^′ ↔ {1^′′, 2^′}) − τM(1^′ ↔ {1^′′, 2^′′}). (4.11) Przy zało˙zeniu, ˙zeβA1 → ∞ i βA2 = 0, równanie (4.6) redukuje si˛e do postaci

ǫ(0) = 1

1 + W2(0), (4.12)

gdzie ǫ(0) jest najwi˛ekszym mo˙zliwym stopniem sprz˛e˙zenia w obszarze przetwarzania energii swobodnej. Natomiast równanie (4.9) przyjmuje posta´c

W2(0) = τM(2^′′↔ {1^′, 2^′}) + τM(2^′ ↔ {1^′′, 2^′′}) + τ2(A2)

τM(2^′ ↔ {1^′, 2^′′}) − τM(2^′ ↔ {1^′′, 2^′′}) . (4.13) DlaW₂(0) równego zeru, stopie´n sprz˛e˙zenia ǫ(0) wynosiłby 1.

W równaniach (4.8) oraz (4.9) wyst˛epuj ˛a ´srednie czasy pierwszego przej´scia „do przodu” i „do tyłu” zdefiniowane jako [8]

τ_M(a ↔ {b, c}) = τ_M(a → {b, c}) + τ_M({b, c} → a) . (4.14) O ile człon τ_M(a → {b, c}) mo˙zna łatwo zinterpretowa´c jako ´sredni czas pierwszego przej´scia od stanua do stanu b lub c, to ju˙z interpretacja czasu τ_M({b, c} → a) jest pro-blematyczna nie tylko koncepcyjnie ale i obliczeniowo (jeden w˛edrowiec nie mo˙ze jedno-cze´snie rozpocz ˛a´c ewolucji z dwóch stanów). Mo˙zna próbowa´c ´sledzi´c ewolucj˛e dwóch w˛edrowców z tym samym zestawem liczb pseudolosowych i sprawdza´c, z którego stanu doszedł jako pierwszy, ale znów nie we wszystkich ewolucjach dojdzie pierwszy startuj ˛ac z tego stanu. Problem ten mo˙zna znacznie pro´sciej rozwi ˛aza´c analitycznie korzystaj ˛ac z wyra˙zenia [8]

τ_M(b → a) = τ_M({b, c} → a) + τ_M(b → {a, c}) , (4.15)

co prowadzi nas do równania

τ_M({b, c} → a) = τ_M(b → a) − τ_M(b → {a, c}) . (4.16) Ostatecznie zatem równanie (4.14) mo˙zna zapisa´c jako

τ_M(a ↔ {b, c}) = τ_M(a → {b, c}) + τ_M(b → a) − τ_M(b → {a, c}) . (4.17) Zało˙zenie, ˙ze mamy tylko jeden proces dostarczaj ˛acy i jeden odbieraj ˛acy energi˛e swo-bodn ˛a jest bardzo ograniczaj ˛ace. Niestety próba wyprowadzenia wyra˙ze´n analitycznych dla wi˛ekszej liczby procesów prowadzi do niezwykle nieprzejrzystych wzorów. Wobec tego jedyn ˛a rozs ˛adn ˛a metod ˛a bada´n s ˛a symulacje Monte Carlo na konkretnych sieciach.

Pierwszym krokiem jest porównanie wyników symulacji z wyra˙zeniami analitycznymi dla pojedynczych procesów. Zgodno´s´c wyników upewni nas, ˙ze po rozszerzeniu modelu na wi˛eksz ˛a liczb˛e procesów, wyniki b˛ed ˛a nadal wiarygodne. Ze wzgl˛edu na posta´c

wyra-˙zenia (4.17) dyskusj˛e analityczn ˛a kiedyǫ(0) jest najwi˛eksze mo˙zna przeprowadzi´c na do-wolnej sieci, jednak˙ze nale˙zy obliczy´c wyst˛epuj ˛ace warto´sci ´srednich czasów pierwszego przej´scia. St ˛ad te˙z wybór konkretnych stanów na danej sieci i ich geometria wpływaj ˛a na ´srednie czasy pierwszego przej´scia, a st ˛ad na stopie´n sprz˛e˙zenia. Najwa˙zniejszym ce-lem jest poszukiwanie takiego modelu, w którym stopie´n sprz˛e˙zenia mo˙ze przekroczy´c warto´s´c 1. Jest to próba realizacji idei tzw. „przekładni molekularnej”, czyli układu, w którym na jeden proces dostarczaj ˛acy energi˛e swobodn ˛a mo˙ze realizowa´c si˛e kilka pro-cesów odbieraj ˛acych energi˛e swobodn ˛a [54].

Nale˙zy zaznaczy´c, ˙ze w tym rozdziale przedstawione zostan ˛a wyniki dwóch nieza-le˙znych eksperymentów numerycznych, dla których napisano ró˙zne programy. W pierw-szym z nich wyznaczano ´srednie czasy pierwszego przej´scia, w drugim strumienie. Oba eksperymenty razem wzi˛ete pozwol ˛a na porównanie wyników symulacji z przewidywa-niami teoretycznymi.

4.2 Szczegóły symulacji i wyniki

W symulacjach dynamiki przej´s´c konformacyjnych zazwyczaj potrzebujemy sieci, na której ka˙zdy stan b˛edzie miał wi˛ecej ni˙z jednego s ˛asiada. Najprostszym i najbardziej symetrycznym typem sieci, dla której nie trzeba definiowa´c warunków brzegowych, jest wielowymiarowy hipersze´scian (patrz rozdział na temat metodologii bada´n). Dyskusj˛e przeprowadzimy dla przypadku d = 5, dla którego ka˙zdy stan ma pi˛eciu najbli˙zszych s ˛asiadów. Rzeczywiste sieci maj ˛a ró˙zne energie stanów konformacyjnych. W zwi ˛azku z tym, ˙ze dyskusja byłaby zbyt zło˙zona ograniczymy si˛e do stanów izoenergetycznych.

Zespół statystyczny układów (w˛edrowców) umieszczono na wielowymiarowym hi-persze´scianie, którego w˛ezły (stany konformacyjne kompleksu przej´sciowego) ponume-rowano liczbami całkowitymi od m = 0 do m = L − 1 (L oznacza liczb˛e w˛ezłów).

Na sieci zachodz ˛a dwa rodzaje przej´s´c pomi˛edzy stanami: wewn˛etrzne (wewn ˛atrz sza-rej skrzynki) oraz zewn˛etrzne (pomi˛edzy bramami). Przej´scia wewn˛etrzne dozwolone s ˛a tylko pomi˛edzy s ˛asiednimi stanami, a odległo´s´c pomi˛edzy wszystkimi w˛ezłami sieci jest stała. Wybrane stany b˛ed ˛ace bramami pozwalaj ˛a na zachodzenie z okre´slonym prawdo-podobie´nstwem przej´s´c zewn˛etrznych – procesów dostarczaj ˛acych i odbieraj ˛acych ener-gi˛e swobodn ˛a. W tych przej´sciach zaburzany jest warunek równowagi szczegółowej. Z bram mog ˛a zachodzi´c te˙z przej´scia wewn˛etrzne. Symulacja składa si˛e z ewolucji pew-nego zespołu statystyczpew-nego w˛edrowców przez okre´slony czas mierzony liczb ˛a kroków, a głównymi obliczanymi tu wielko´sciami s ˛a strumienie procesów dostarczaj ˛acych i od-bieraj ˛acych energi˛e swobodn ˛a.

Warto wspomnie´c, ˙ze wybór hipersze´scianu w pocz ˛atkowych etapach tworzenia i te-stowania modelu nie jest wyborem przypadkowym. W odró˙znieniu od sieci liniowej, na hipersze´scianie nie jest potrzebna bariera odbijaj ˛aca (rozumiana jako rodzaj warunku brzegowego). Jednak˙ze ju˙z na trójk ˛acie Sierpi´nskiego warunki brzegowe musz ˛a by´c zde-finiowane i przy zbyt małym rz˛edzie trójk ˛ata wybór konkretnego typu warunków brze-gowych ma wpływ na przebieg symulacji. Ponadto ze wzgl˛edu na hierarchiczno´s´c sieci fraktalnych (system „w ˛askich gardeł”) czas pierwszego przej´scia nie musi by´c identyczny dla ró˙znych par stanów b˛ed ˛acych w tej samej odległo´sci od siebie. Co wi˛ecej zamienia-j ˛ac stan pocz ˛atkowy z ko´ncowym cz˛esto otrzymuje si˛e ró˙zne ´srednie czasy pierwszego przej´scia, cho´c prawdopodobie´nstwo równowagowego obsadzenia stanów nie zmienia si˛e. Szukaj ˛ac mo˙zliwie najlepszego modelu dla procesu nale˙zy unika´c, przynajmniej w pocz ˛atkowych etapach jego tworzenia, potencjalnie niebezpiecznych zachowa´n układu na sieci, st ˛ad te˙z wybór sieci regularnej w postaci hipersze´scianu, która ma jednoznacznie okre´slon ˛a zale˙zno´s´c ´sredniego czasu pierwszego przej´scia od odległo´sci (rysunek 2.11).

Wybórd = 5 tak˙ze nie jest przypadkowy. Z rysunku 2.12 wynika jak szybko potrafi ro-sn ˛a´c ´sredni czas pierwszego przej´scia przy zmianie wymiaru hipersze´scianu nawet przy odległo´sci 1 pomi˛edzy stanem pocz ˛atkowym i ko´ncowym. St ˛ad te˙z wybórd = 5 warun-kuje rozs ˛adne pod wzgl˛edem czasu oblicze´n ´srednie czasy pierwszego przej´scia i zapew-nia dostateczn ˛a liczb˛e stanów.

Przykładow ˛a realizacj˛e na sieci o wymiarze d = 3 z jednym procesem dostarcza-j ˛acym energi˛e swobodn ˛a i dwoma odbieraj ˛acymi przedstawiono na rysunku 4.3 (w tym przypadku przej´scie zewn˛etrzne powoduje przeskok do stanu odległego o 1, ale w ogól-no´sci tak by´c nie musi).

Parametry wej´sciowe symulacji przedstawiono w tabeli 4.1. W programie

umiesz-Tabela 4.1. Parametry wej´sciowe symulacji numerycznych dynamiki przej´s´c konformacyjnych.

Parametr Znaczenie

Nw Liczba układów (w˛edrowców), których ewolucja była ba-dana.

N_k Czas ewolucji ka˙zdego w˛edrowca wyra˙zony w liczbie kro-ków symulacji (z uwzgl˛ednieniem mo˙zliwo´sci czekania).

NP 1 Liczba bram (wej´sciowa plus wyj´sciowa) typu 1 (dostarcza-nie energii swobodnej).

NP 2 Liczba bram (wej´sciowa plus wyj´sciowa) typu 2 (odbieranie energii swobodnej).

a1 = βA1 Siła nap˛edzaj ˛aca przej´scie zewn˛etrzne typu 1.

a₂ = βA₂ Siła nap˛edzaj ˛aca przej´scie zewn˛etrzne typu 2.

v1 Prawdopodobie´nstwo przej´scia zewn˛etrznego typu 1 „do przodu”.

v2 Prawdopodobie´nstwo przej´scia zewn˛etrznego typu 2 „do przodu”.

v1exp(−a1) Prawdopodobie´nstwo przej´scia zewn˛etrznego typu 1 „do tyłu” (wyznaczane na podstawiev1 ia1).

v₂exp(−a₂) Prawdopodobie´nstwo przej´scia zewn˛etrznego typu 2 „do tyłu” (wyznaczane na podstawiev2 ia2).

p Prawdopodobie´nstwo przej´s´c wewn˛etrznych pomi˛edzy sta-nami konformacyjnymi.

bc bc

0 4

2 6

3 7

1 5

v

₁

v

₂

v

Rysunek 4.3. Przykład realizacji modelu przej´s´c konformacyjnych na sze´scianie z jednym proce-sem dostarczaj ˛acym energi˛e swobodn ˛a (z prawdopodobie´nstwemv₁) i dwoma odbieraj ˛acymi (z prawdopodobie´nstwemv2). Strzałkami zaznaczono kierunek przej´s´c zewn˛etrznych „do przodu”.

Nie zostały zaznaczone przej´scia zewn˛etrzne „do tyłu”.

czono kod sprawdzaj ˛acy czy dany zestaw parametrów jest dozwolony i czy sie´c jest pra-widłowo zdefiniowana. Prawdopodobie´nstwa przej´s´c wewn˛etrznychp pomi˛edzy wszyst-kimi stanami s ˛a identyczne (wszystkie stany maj ˛a tak ˛a sam ˛a równowagow ˛a energi˛e swo-bodn ˛a) – zale˙z ˛a one od parametrów ale nie zmieniaj ˛a si˛e zale˙znie od stanu (ró˙znica w stosunku do poprzednich symulacji dynamiki wibracyjnej na sieci liniowej). Koniecz-no´s´c wprowadzenia dodatkowych prawdopodobie´nstw przej´s´c ze stanów b˛ed ˛acych bra-mami zrekompensowano niezerowym prawdopodobie´nstwem czekania przez jeden krok iteracji. Wprowadzenie czekania było konieczne, gdy˙z prawdopodobie´nstwa przej´s´c we-wn˛etrznych do i od stanu b˛ed ˛acego bram ˛a musz ˛a by´c identyczne, a całkowite prawdo-podobie´nstwo wszystkich mo˙zliwych przej´s´c z danego stanu musi by´c równe jedno´sci.

W dokumencie Symulacje numeryczne wpływu dynamiki białka na pewne biomolekularne procesy przeniesienia elektronu (Stron 54-114)