W analizach porównawczych rozproszenia różnych zmiennych nie można stoso-wać odchylenia standardowego (wariancji), ze względu na ich zależność od obsza-ru zmienności porównywanych zmiennych. Tak więc, czy odchylenie standardowe równe 50 jest duże, czy małe? Duże będzie w przypadku wieku osób (w latach), na-tomiast małe dla płac (w zł). W takich sytuacjach należy stosować względne mia-ry zróżnicowania/rozproszenia, które są niezmienne względem skali. Względne miary zróżnicowania to wielkości stosunkowe, zwane współczynnikami zmien-ności (V), które mierzą stopień, skalę rozproszenia. Ich stosowanie jest niezbędne w porównaniach wielkości zróżnicowania. Wykorzystywane są do porównywania zróżnicowania kilku zbiorowości pod względem jednej cechy lub kilku cech jed-nej zbiorowości. Najczęściej wyrażone są w procentach. Wartości współczynni-ków zmienności określają procentowy udział bezwzględnego odchylenia zmiennej w wartości miary tendencji centralnej.
Współczynnik zmienności (V) to stosunek bezwzględnej miary odchylenia (tj. odchylenia standardowego S lub odchylenia ćwiartkowego Q) do średniej, wyra-żony w procentach. Jak zauważono (rysunek 3.5), współczynniki zmienności mo-żemy podzielić na klasyczne i pozycyjne.
Współczynnik zmienności odchylenia standardowego
Najczęściej stosowanym klasycznym współczynnikiem zmienności jest współczyn-nik zmienności odchylenia standardowego:
100 S S V x = × . (6)
Informuje on o tym, jaki jest procentowy udział odchylenia standardowego w średniej arytmetycznej.
Współczynnik zmienności odchylenia ćwiartkowego
Współczynnik ten należy do grupy miar pozycyjnych. Mierzy zróżnicowanie, po-dobnie jak odchylenie ćwiartkowe, tylko 50% środkowych jednostek zbiorowości. Wyznacza się go ze wzoru:
100 Q Q V Me = × . (7)
Współczynnik zmienności odchylenia ćwiartkowego określa procentowy udział odchylenia ćwiartkowego w wartości mediany (analiza dotyczy 50% środkowych jednostek zbiorowości).
62 Statystyki opisowe w analizie rozkładu empirycznego zmiennej
3.2.3. Miary skośności rozkładu
Kolejnym etapem analizy rozkładu jest badanie asymetrii (skośności) rozkładu. Ustalenie położenia i zróżnicowania rozkładu zmiennej nie daje jeszcze pełnego opisu. Zdarza się, że takie same wartości miar położenia i zróżnicowania mogą dotyczyć zasadniczo odmiennych rozkładów. Badanie średniego poziomu zmien-nej oraz rozproszenia nie obrazuje dostatecznie istnienia różnic między rozkła-dami, a bardziej szczegółowa obserwacja wyklucza podobieństwo analizowanych rozkładów. W celu pełniejszego opisu rozkładu należy zastosować miary asy-metrii (skośności). Dzięki tym miarom możemy się zorientować, czy odchyle-nia od wartości średniej (centralnej) w jedną stronę są mniej lub bardziej liczne od odchyleń w drugą stronę (Grzelak, 2009, s. 144–146). Analizując na przykład poziom płac w przedsiębiorstwie, obliczamy średnią płacę i chcemy ustalić, czy liczba pracowników, których płaca jest wyższa od płacy średniej, jest większa czy mniejsza od liczby pracowników, których płaca jest niższa od płacy średniej.
Szereg symetryczny to taki szereg, w którym liczebności rozkładają się w spo-sób identyczny po obu stronach dominanty. Zachodzi wówczas równość:
0
x=Me=D . W przypadku asymetrii prawostronnej mamy: D0< Me < x, a dla asymetrii lewostronnej: x<Me<D0. Relacje te zobrazowano na rysunku 3.6.
Rozkład symetryczny xi ni xi ni xi ni
Asymetria prawostronna Asymetria lewostronna x = Me = D
x
x Me
Me D
D
Rysunek 3.6. Asymetria (skośność) rozkładu zmiennej
Statystyki opisowe rozkładu zmiennej 63 Siłę i kierunek skośności (asymetrii) rozkładu mierzą współczynniki skośno-ści. Poniżej scharakteryzowano jeden z nich – klasyczny współczynnik asymetrii (Pułaska-Turyna, 2005, s. 85–86), który w IBM SPSS Statistics nosi nazwę Skoś-ność. Obliczany jest następująco:
3 3 3 W
s
µµ
= (8)gdzie μ3 to trzeci moment centralny.
Trzeci moment centralny (w szeregu szczegółowym) wyznaczany jest zgodnie z poniższą regułą: 3 1 3 ( ) N i i x x n µ = − =
∑
. (9) Klasyczny współczynnik asymetrii (skośność) przyjmuje na ogół wartości z przedziału od –2 do +25. W przypadku skrajnie silnej asymetrii współczynnik przekracza (wychodzi poza) powyższe wartości. Znak współczynnika informuje o kierunku asymetrii, a wartość bezwzględna o sile, którą określa się następująco (Pułaska-Turyna, 2005, s. 85–86):• |0,0–0,4| – asymetria rozkładu bardzo słaba; • |0,4–0,8| – asymetria rozkładu słaba;
• |0,8–1,2| – asymetria rozkładu umiarkowana; • |1,2–1,6| – asymetria rozkładu silna;
• |więcej niż 1,6| – asymetria rozkładu bardzo silna.
Skośność jest miarą symetrii, miarą kształtu rozkładu. Jej wartość w przypadku rozkładu normalnego wynosi zero. Jeżeli wartość skośności jest większa od zera, oznacza to, że mamy do czynienia z asymetrią prawostronną (rozkład jest dodatnio skośny, prawoskośny, prawostronny – Bedyńska, Cypryańska, 2013a, s. 104), czyli taką, gdzie częstość występowania wyników niskich jest większa niż wyników wy-sokich. Jeżeli wartość skośności jest mniejsza od zera, mówimy wtedy o asymetrii 5 W literaturze przedmiotu można znaleźć również bardziej restrykcyjne kryteria (Bulmer, 1979, s. 63): jeśli współczynnik skośności jest większy od +1 lub mniejszy od –1, mamy do czynienia z silną asymetrią, jeśli kształtuje się między –0,5 a –1 lub między +0,5 a +1, asymetria jest umiarkowana, natomiast gdy jest (co do wartości bezwzględnej) mniejszy od 0,5, rozkład jest zbliżony do symetrycznego. Oznacza to nałożenie większych rygorów na wyniki, co ma znaczenie szczególnie w kontekście zgodności rozkładu z rozkładem nor-malnym.
64 Statystyki opisowe w analizie rozkładu empirycznego zmiennej
lewostronnej (o rozkładzie ujemnie skośnym, lewoskośnym), w którym częstość występowania wyników niskich jest mniejsza niż wysokich (przeważają jednostki badania o wartościach zmiennej wyższych niż średnia).
3.2.4. Miary koncentracji rozkładu (spłaszczenia)
Omówione wcześniej miary średnie, zróżnicowania i skośności pozwalają już dość dokładnie opisać rozkład, ale do pełnego, wyczerpującego opisu brakuje jeszcze analizy koncentracji. Wyróżnia się dwa rodzaje koncentracji. W niniejszym opra-cowaniu rozważana będzie jedynie koncentracja rozumiana jako skupienie po-szczególnych wartości zmiennej (cechy) wokół średniej. Ten rodzaj koncentracji można analizować tylko w przypadku rozkładów symetrycznych, a miarą skupie-nia poszczególnych obserwacji wokół średniej jest współczynnik spłaszczeskupie-nia (sku-pienia) – kurtoza (K), obliczany następująco (Sobczyk, 2000, s. 64):
4 4 K S µ = , (10)