Wzrost zrównoważony

Dotychczas rozważaliśmy jedynie procesy wzrostu (y_t, y_t+1) ∈ Y opisujące zmiany

zachodzące w gospodarce w ciągu jednego okresu. Wzrost gospodarki w horyzoncie T = {0, . . . , t₁} przedstawiają (k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalne procesy wzrostu, które definiujemy następująco:

Definicja 2.3. Ciąg stanów gosodarki {yt}^t1

t=0 spełniających w horyzoncie

czaso-wym T = {0, . . . , t₁} układ warunków (2.1)–(2.11) oraz założenie (Z4) nazywamy

(k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalnym procesem wzrostu. W procesie tym ciąg iP t

t1

t=0

nazywamy (k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalną trajektorią inwestycji produkcyjnych, ciąg k_t t1

t=0 nazywamy (k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalną trajektorią kapitału produkcyjne-go, etc.

Nietrudno zauważyć, że proces wzrostu {yt}t1

t=0jest (k0, g₀, h₀, w₀, t₁ )-dopuszczal-ny wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym okresie t ∈ {0, . . . , t1−1} ma miejsce inkluzja (y_t, y_t+1) ∈ Y .

Definicja 2.4. Niech t₁ = +∞. (k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalny proces wzrostu nazy-wamy procesem stacjonarnym, jeżeli w procesie tym kapitał produkcyjny, kapitał in-nowacyjny, kapitał ludzki wykorzystywany w procesach produkcyjnych, kapitał ludzki wykorzystywany w działalności badawczo rozwojowej, produkcja oraz wiedza rosną ze stałymi, takimi samymi we wszystkich gałęziach gospodarki stopami wzrostu λk, λg, λ_b, λ_d, λ_x oraz λ_w:

k_t= (1 + λ_k)tk₀, g_t= (1 + λ_g)tg₀, b_t= (1 + λ_b)tb₀, d_t = (1 + λ_d)td₀, xt= (1 + λx)^tx0, wt= (1 + λw)^tw0.

W stacjonarnym procesie wzrostu zarówno w działach produkcyjnych, jak i ba-dawczo–rozwojowych wszystkich gałęzi w kolejnych okresach utrzymana zostaje stała struktura oraz tempo wzrostu zasobów kapitału fizycznego i ludzkiego. Nie-zmienna pozostaje również struktura i tempo wzrostu produkcji oraz wykorzysty-wanej w gospodarce wiedzy technicznej. Mimo że definicja 2.4 dopuszcza by stopy wzrostu wszystkich wymienionych wielkości różniły się między sobą to okazuje się, że przy poczynionych założeniach sytuacja taka jest niemożliwa. Mówi o tym nastę-pujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.4. W procesie stacjonarnym stopy wzrostu kapitału produkcyjnego, kapitału innowacyjnego, kapitału ludzkiego wykorzystywanego zarówno w procesach produkcyjnych, jak i w działalności badawczo rozwojowej, produkcji oraz wiedzy są sobie równe, czyli λ_k= λ_g = λ_b = λ_d = λ_x = λ_w = λ.

Dowód15: Z równania dynamiki kapitału produkcyjnego (2.4) w procesie stacjonar-nym mamy:

k₀(1 + λ_k)^t+1 = (E − δ^P)k₀(1 + λ_k)^t+ σ^Pi^P_t , zatem

k₀(1 + λ_k) = (E − δ^P)k₀+ σ^Pi^P_t (1 + λ_k)^−t.

Ponieważ det σ^P 6= 0, możemy zapisać

i^P₀ = (σ^P)⁻¹(λkE + δ^P)k0,

i^P_t = (1 + λ_k)^t(σ^P)⁻¹(λ_kE + δ^P)k₀,

co oznacza, że w procesie stacjonarnym inwestycje produkcyjne zmieniają się ze

stałą stopą równą stopie wzrostu kapitału produkcyjnego λk. Analogicznie, zauważyć

można, że inwestycje innowacyjne również zmieniają się ze stałą stopą wzrostu λ_g.

Jednocześnie, z równania dynamiki kapitału ludzkiego (2.9) wynika, że w procesie stacjonarnym spełniony jest warunek

h_t+1 = (E − δ^H)h_t+ σ^H(1 + λ_w)^tw₀,

wobec którego ∀t h_t = (1 + λ_w)th₀
. Przekształcając równanie bilansowe (2.3) oraz nierówność (2.2) otrzymujemy zależność:

(E − A)x₀ ≥ SPi^P₀ ^{(1 + λk)} t (1 + λ_x)t + S^Ri^R₀ ^{(1 + λg)} t (1 + λ_x)t + ¯ceoh₀^{(1 + λw)} t (1 + λ_x)t.

Aby była ona spełniona ∀t ≥ 0 musi zachodzić warunek λ_x ≥ max{λ_k, λ_g, λ_w}.

Ponieważ ∀t ≥ 0 x_t ∈ TP(k_t, oρ_th_t)
, zatem z własności (T1) przekształcenia TP

otrzymujemy: x₀ ∈ TP k₀^{(1 + λk)} t (1 + λ_x)t, oρ_th₀^{(1 + λw)} t (1 + λ_x)t ! .

Z domkniętości wykresu przekształcenia technologicznego T^P (warunek (T7)) oraz

faktu, iż ∀t (0 ≤ ρ_t ≤ E) płynie wniosek, że jeżeli λ_x > max{λ_k, λ_w}, wówczas

0 6= x₀ ∈ TP(0, 0), co jest niemożliwe (sprzeczne z warunkiem (T3)). Tym samym

λ_x = max{λ_k, λ_w}. Jeśli jednak λ_k 6= λ_w, to albo 0 6= x₀ ∈ TP(k₀, 0), albo 0 6= x₀ ∈ TP(0, oρ0h₀) dla pewnej diagonalnej macierzy ρ0 z elementami ρ⁰_i ∈ [0, 1] na głównej przekątnej, i = 1, . . . , n, co również jest niemożliwe. W rezultacie zachodzi więc równość λ_k = λ_w = λ_x.

Zauważmy, że jeżeli ∀t w_t= (1+λ_w)tw₀
, to na podstawie równania (2.11) wnio-skujemy, że liczba innowacji opracowywanych w gospdodarce zmienia się również ze

15Dowód twierdzenia 2.4 wzorowany jest na dowodzie lematu 6.4 w pracy E. Panek [82], str. 343. Por. również B. Jurek [45].

stopą wzrostu λ_w. Wiemy przy tym, że ∀t q_t ∈ TR(g_t, o(E − ρ_t)h_t)
. Z własności

(T1) przekształcenia TR wynika, że

q₀ ∈ TR g₀^{(1 + λg)}

t

(1 + λ_w)t, o(E − ρ_t)h₀ !

.

Jeśli więc λ_w > λ_g, to na podstawie własności (T7) przekształcenia TRwnioskujemy, że 0 6= q₀ ∈ TR 0, o(E − ρ_t)h₀
, co przeczy warunkowi (T3). Tym samym λ_w = λ_g.

Jednocześnie, na podstawie równań (2.7), (2.8) wnioskujemy, że λ_b = λ_d = λ_w, co

w konsekwencji oznacza, iż λk = λ_g = λ_b = λ_d= λ_x = λ_w = λ. 

Z twierdzenia 2.4 wynika natychmiast, że w stacjonarnym procesie wzrostu ma-cierz wskaźników udziału pracowników produkcyjnych w ogólnej liczbie zatrudnio-nych w poszczególzatrudnio-nych gałęziach gospodarki pozostaje stała w czasie, tzn. ∀t

(ρ_t = ρ = const). Ponadto, na podstawie równania bilansowego (2.3) łatwo

za-uważyć, że jeżeli produkcja oraz oba rodzaje kapitału fizycznego rosną we wszyst-kich gałęziach ze stopą wzrostu λ, to również konsumpcja zmienia się w kolejnych okresach z tą samą stopą. Podobnie, wzrost wykorzystywanej w gospodarce wiedzy technicznej ze stopą wzrostu λ pociągą za sobą, wobec równania (2.9), zmiany ka-pitału ludzkiego także ze stopą wzrostu λ. W procesie stacjonarnym spełniony jest więc warunek

c_t= (1 + λ)^tc₀, h_t= (1 + λ)^th₀.

Z twierdzenia 2.4 wynika zatem, że jeżeli (k₀, g₀, h₀, w₀, t₁)-dopuszczalny proces wzro-stu jest procesem stacjonarnym, to utrzymana zostaje w nim stała struktura gospo-daraki w każdym okresie dowolnie długie horyzontu czasowego T . Tym samym, ∀t ∈ T = {0, . . . , t₁}

y_t = (1 + λ)^ty₀.

Stopa wzrostu gospodarki wyznacza przy tym stałą w czasie wartość wskaźnika efektywności procesu wzrostu, tzn. ∀t ∈ {0, . . . , t₁− 1}

α(y_t, y_t+1) = (1 + λ).

Nie podkreślając tego specjalnie, w dalszej części pracy zakładamy, że w rozpatry-wanej gospodarce istnieją takie stacjonarne procesy wzrostu, w których osiągana jest dodatnia stopa wzrostu λ.

Rozpatrzmy następujące zadanie: znaleźć

przy ograniczeniach xt∈ T^P(kt, oρht), q_t∈ TR g_t, o(E − ρ)h_t
, x_t= Ax_t+ S^Pi_t^P + S^Ri^R_t + c_t, kt+1 = (E − δ^P)kt+ σ^Pi^P_t , g_t+1 = (E − δ^R)g_t+ σ^Ri^R_t , h_t+1 = (E − δ^H)h_t+ σ^Hw_t, (2.16) wt+1= wt+ W qt, c_t eoht ≥ ¯c, x_t= (1 + λ)^tx, k_t = (1 + λ)^tk, g_t= (1 + λ)^tg, ht= (1 + λ)^th, ct= (1 + λ)^tc, i^P_t = (1 + λ)^ti^P, i^R_t = (1 + λ)^ti^R, q_t= (1 + λ)^tq, w_t = (1 + λ)^tw, k₀ ≥ 0, g₀ ≥ 0, h₀ ≥ 0, w₀ ≥ 0, 0 ≤ ρ ≤ E, t = 0, 1, . . . .

Rozwiązanie zadania (2.15)–(2.16) wskazuje na taki proces stacjonarny, w którym osiągana jest najwyższa stopa wzrostu konsumpcji w zbiorze wszystkich procesów stacjonarnych, startujących z dowolnego nieujemnego poziomu kapitału produkcyj-nego, innowacyjprodukcyj-nego, ludzkiego oraz wiedzy. Z uwagi na postać poszczególnych tra-jektorii oraz własności przekształceń T^P i T^R, zadanie (2.15)–(2.16) jest równoważne z zadaniem znaleźć max λ (2.17) przy ograniczeniach (E − A)⁻¹γ ∈TP(κ, oρχ) − Ω^Pκ − Ω^Rφ , W⁻¹λ(σ^H)⁻¹(λE + δ^H)χ ∈ T^R φ, o(E − ρ)χ
, (2.18) γ ≥ ¯c, 0 ≤ ρ ≤ E,

gdzie Ω^P = (E − A)⁻¹SP(σP)⁻¹(λE + δP), ΩR = (E − A)⁻¹SR(σR)⁻¹(λE + δR), γ = c/eoh, κ = k/eoh, φ = g/eoh, χ = h/eoh. Dodatkowo niech ξ = x/eoh, µ = b/eoh, η = d/eoh, ω = w/eoh. Zmiennymi zadania (2.17)–(2.18) są λ, γ, κ, φ, χ, ρ. Niech szóstka (¯λ, ¯γ, ¯κ, ¯φ, ¯χ, ¯ρ) oznacza rozwiązanie zadania (2.17)–(2.18)16,

a ¯ξ, ¯µ, ¯η, ¯ω odpowiadające mu optymalne (w myśl kryterium (2.17)) wektory pro-dukcji globalnej, kapitału ludzkiego wykorzystywanego w procesach propro-dukcji, kapi-tału ludzkiego wykorzystywanego w działalności badawczo–rozwojowej oraz wiedzy. O wektorze

¯

ψ = (¯κ^T, ¯φ^T, ¯µ^T, ¯η^T, ¯χ^T, ¯ξ^T, ¯ω^T, ¯γ^T)

mówimy, że wyznacza optymalny stan gospodarki. Łatwo przy tym zauważyć, że

liczba 1 + ¯λ jest optymalnym wskaźnikiem efektywności wzrostu w rozpatrywanej

gospodarce, tzn. α_M = 1 + ¯λ.

Definicja 2.5. Proces stacjonarny, w którym

ψ_t= ^yt

eoh_t ^{= ¯ψ = const}

nazywamy procesem wzrostu na magistrali lub optymalnym stacjonarnym procesem wzrostu. Promień

N = {β ¯ψ | β > 0}

nazywamy magistralą lub promieniem von Neumanna. Promienie

N_k= {β ¯κ | β > 0}, N_g = {β ¯φ | β > 0}, N_h = {β ¯χ | β > 0}, N_b = {β ¯µ | β > 0}, N_d = {β ¯η | β > 0}, N_x = {β ¯ξ | β > 0}, N_c = {β ¯γ | β > 0}, N_w = {β ¯ω | β > 0}

nazywamy magistralami, odpowiednio, kapitału produkcyjnego, kapitału innowacyj-nego, kapitału ludzkiego, kapitału ludzkiego wykorzystywanego w procesach produk-cyjnych, kapitału ludzkiego wykorzystywanego w działalności badawczo-rozwojowej, produkcji, konsumpcji i wiedzy.

O ważnej właności optymalnych stacjonarnych procesów wzrostu mówi następu-jący lemat:

Lemat 2.1. W optymalnym stacjonarnym procesie wzrostu ¯γ = ¯c.

Dowód: Załóżmy, wbrew tezie, że w procesie magistralnym ¯γ ¯c. Wówczas, wobec

założenia (Z1), zachodzi nierówność (E −A)⁻¹γ > (E −A)¯ ⁻¹¯c. Oznacza to, że istnieje taki wektor ε > 0, że

(E − A)⁻¹¯c ∈TP

(¯κ, o ¯ρ ¯χ) − ¯Ω^Pκ − ¯¯ Ω^Rφ − ε .^¯

Można wówczas wskazać taką liczbę ˆλ > ¯λ, wektor ˆφ > ¯φ, macierze ˆΩP

_Ω¯P, ˆ

ΩR

_Ω¯R oraz wartości wskaźników ˆρ_i < ¯ρ_i, i = 1, . . . , n, że (E − A)⁻¹¯c ∈TP

(¯κ, o ˆρ ¯χ) − ˆΩ^Pκ − ˆ¯ Ω^Rφ ,^ˆ W⁻¹λ(σ^{ˆ H})⁻¹(ˆλE + δ^H) ¯χ ∈ T^R φ, o(E − ˆ^ˆ ρ) ¯χ
.

Warunek ten implikuje istnienie stacjonarnego procesu wzrostu, w którym osiągana jest stopa wzrostu ˆλ > ¯λ, co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność dowodzi

praw-dziowości lematu. 

Zgodnie z lematem 2.1, najwyższa stopa wzrostu w procesie stacjonarnym osią-gana jest tylko wtedy, gdy konsumpcja w przeliczeniu na jednostkę kapitału

ludz-kiego kształtuje się na ustalonym poziomie normatywnym ¯c. Dzieje się tak dlatego,

że konsumpcja w naszym modelu jest wielkością rezidualną, nie sprzężoną zwrotnie (pozytywnie) z żadnym czynnikiem wzrostu. Z drugiej strony, każde jej zwiększenie ogranicza (pośrednio) możliwości wzrostu zasobów zarówno kapitału fizycznego, jak i ludzkiego.

W ogólnym przypadku, w gospodarce istnieć może wiele różnych optymalnych stacjonarnych procesów wzrostu. Okazuje się jednak, że przy założeniach (G1)–(G6), (Z1)–(Z4) rozwiązanie zadania (2.17)–(2.18) jest jednoznaczne. Mówi o tym nastę-pujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.5. W gospodarce (2.1)–(2.11) spełniającej warunki (T1)–(T7) oraz założenia (Z1)–(Z4) rozwiązanie zadania (2.17)–(2.18) jest jednoznaczne.

Dowód: Załóżmy, wbrew tezie lematu, że istnieją dwa różne optymalne stacjonarne procesy wzrostu, w których

(κ¹, φ¹, µ¹, η¹, χ¹, ξ¹, ω¹, γ¹) 6= (κ², φ², µ², η², χ², ξ², ω², γ²).

Z lematu 2.1 wiemy, że γ1 = γ2 = ¯c. Załóżmy, że (κ^1T, µ^1T, φ^1T, η^1T)

eoχ1 6= ^(κ

2T, µ^2T, φ^2T, η^2T)

eoχ2 .

Wobec założenia (Z2) oznacza to, że dla każdej liczby β ∈ (0, 1) istnieje taki wektor ξ > βξ1+ (1 − β)ξ2, że zachodzi inkluzja

ξ ∈ T^P βκ¹+ (1 − β)κ², βµ¹+ (1 − β)µ²
.

Można wówczas, podobnie jak w dowodzie lematu 2.1, wskazać taki proces

sta-cjonarny, w którym osiągana jest stopa wzrostu wyższa od ¯λ, co, oczywiście, jest

niemożliwe. A zatem (κ2, µ2, φ2, η2) = N (κ1, µ1, φ1, η1), gdzie N > 0. Z warun-ków (2.7), (2.8) wynika, że µ1 + η1 = oχ1 oraz µ2 + η2 = oχ2. Jeśli więc N 6= 1, to eoχ1 6= eoχ2 i, tym samym, e(oh1/eoh1) 6= e(oh2/eoh2), co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że (κ¹, µ¹, φ¹, η¹) = (κ², µ², φ², η²). W szczegól-ności oznacza to, że µ¹+ η¹ = µ²+ η², co jest równoważne z warunkiem oχ¹ = oχ².

z równania dynamiki kapitału ludzkiego (2.9) wynika, że ω1 = (σH)⁻¹(¯λE + δH)χ1

oraz ω2 = (σH)⁻¹(¯λE + δH)χ2. Jeśli więc χ1 = χ2, to również ω1 = ω2. Na koniec wystarczy zauważyć, że warunek bilansowy (2.3) implikuje równość

ξ¹ = (E − A)⁻¹γ¹+ ¯Ω^Pκ¹+ ¯Ω^Rφ¹ = (E − A)⁻¹γ²+ ¯Ω^Pκ² + ¯Ω^Rφ² = ξ²

i w rezultacie (κ1, φ1, µ1, η1, χ1, ξ1, ω1, γ1) = (κ2, φ2, µ2, η2, χ2, ξ2, ω2, γ2). 

W myśl twierdzenia 2.5, optymalny wskaźnik efektywności wzrostu jest wyższy od wskaźnika efektywność każdego procesu, w którym wyjściowy stan gospodarki odbiega od położenia magistralnego, tzn. ∀(yt, y_t+1) ∈ Y

y_t∈ N ⇒ α(y/ _t, y_t+1) < α_M.

Z definicji magistrali wynika, że jeżeli wektor y_twyznacza optymlany stan gospo-darki, tzn. y_t ∈ N , to każdy wektor βy_t, β > 0, również wyznacza optymalny stan

gospodarki. Przyjmijmy więc, że ¯y jest wektorem leżącym na magistrali, którego

norma jest równa 1:

¯

y ∈ N , k¯yk = 1.

Twierdzenie 2.6. Dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba ϑ_ε> 0, że

(yt, yt+1) ∈ Y ∧ y_t ky_tk^{− ¯y} ≥ ε ⇒ α(yt, yt+1) ≤ αM − ϑε.

Dowód: Utwórzmy zbiory:

G =  (z_t, z_t+1)   (z_t, z_t+1) = ^{(yt, yt+1)} ky_tk ^{∧ (yt, yt+1) ∈ Y ∧ kzt− ¯yk ≥ ε}  , A =α | α = α(z_t, z_t+1) ∧ (z_t, z_t+1) ∈ G .

Z dodatniej jednorodności stopnia 0 funkcji α wynika, że α(Y ) = α(G). Zbiór G

jest przy tym zwarty oraz α ∈ C0(G), zatem A = α(G) ⊂ R1

+ również jest zbiorem

zwartym. Funkcja liniowa f (α) = α − α_M osiąga na nim maksimum, które, wobec

twierdzenia 2.5, jest liczbą ujemną. Tym samym istnieje liczba ϑ_ε > 0 spełniająca

tezę twierdzenia.