Podstawowy model stochastycznej zmienności BNS mimo wielu własności zgodnych z obserwowanymi empirycznie szeregami czasowymi, posiada pewne ograniczenia. Jednym z nich jest struktura typu ARMA(1,1) dla autokorelacji kwadratów loga-rytmicznych stóp zwrotu opisana wzorem (2.30). Choć taką samą strukturę korelacji ma powszechnie używany model GARCH(1,1), a także model stochastycznej
zmien-Rozdział 2. Niegaussowskie modele zmienności stochastycznej typu
Ornsteina-Uhlenbecka 67
ności CEV11, to jednak uważa się to za wadę, a nie zaletę. Proces ARMA(1,1) jest procesem z krótką pamięcią. W szczególności dla funkcji autokorelacji kwadratów stóp zwrotu w modelu BNS zachodzi
+∞ X s=−∞ |r(s)| = +∞ X s=−∞ ce−λ|∆s|= c1 + e λ∆ 1 − eλ∆ < +∞.
Natomiast obserwacje finansowych szeregów czasowych sugerują, że kwadraty stóp zwrotu mogą charakteryzować się długą pamięcią (por. Kliber (2013, str. 52)). Autokorelacja kwadratów logarytmicznych stóp zwrotu maleje początkowo szybko, a potem od pewnego momentu dużo wolniej, zachowując wartości istotnie różne od zera nawet dla bardzo długich opóźnień. Wyklucza to funkcję autokorelacji w postaci przeskalowanej funkcji wykładniczej. Lepsze dopasowanie uzyskuje się wy-korzystując przeskalowane funkcje potęgowe. Są to funkcje autokorelacji odpowiada-jące procesom o długiej pamięci. Część autorów kwestionuje istnienie długiej pamięci i występujące anomalie wiążą z niestacjonarnością szeregów czasowych (Mikosch i Starica, 2000). Inni autorzy wskazują na niedoskonałości procedur testowania dłu-giej pamięci i uważają istnienie dłudłu-giej pamięci za kwestię otwartą (Cont, 2005). Nie zawsze także badania empiryczne potwierdzają istnienie długiej pamięci (Gie-rej, 2008).
W celu uzyskania bardziej zbliżonej z obserwacjami funkcji autokorelacji dla kwa-dratów stóp zwrotów (Barndorff-Nielsen i Shephard, 2001b) zaproponowali złożenie (superposition) kilku procesów zmienności w postaci sumy.
Definicja 2.2.
Złożeniem procesów Ornsteina-Uhlenbecka o rozkładzie stacjonarnym D nazywamy proces wariancji chwilowej (σ2(t))t>0 powstały jako suma
σ2(t) = P
X
p=1
σp2(t) (2.32)
niezależnych dostatnich niegaussowskich procesów Ornsteina-Uhlenbecka o stacjo-narnych rozkładach należących do jednej rodziny rozkładów samorozkładalnych D
11Model stochastycznej zmienności CEV, ma taką samą postać funkcji autokorelacji dla procesu wariancji chwilowej co model BNS. Jeżeli w modelu CEV składniki losowe procesu cen instrumentu finansowego i zmienności są nieskorelowane, to postać autokorelacji kwadratów logarytmicznych stóp zwrotu jest dokładnie taka sama jak w modelu BNS (Barndorff-Nielsen i Shephard, 2001b).
Rozdział 2. Niegaussowskie modele zmienności stochastycznej typu
Ornsteina-Uhlenbecka 68
zamkniętej ze względu na splot i spełniającymi dla p = 1, ..., P stochastyczne równa-nia różniczkowe
dσ2p(t) = −λpσ2(t)dt + dZp(λpt), σ2(0) > 0, (2.33) gdzie (Z1(λ1t))t>0, ..., (ZP(λPt))t>0 są niezależnymi procesami podporządkowanymi.
Złożenie procesów Ornsteina-Uhlenbecka o rozkładzie stacjonarnym D można w skrócie zapisać jako proces D − supOUP. Identyfikacja modelu wymaga, aby przyjąć dodatkowe założenie dla parametrów λ1, ..., λP np. λ1 < λ2 < ... < λP.
Liniowa postać złożenia (2.32) oraz założenie o niezależności procesów BDLP powoduje że wariancje scałkowane i aktualne są również sumami
σ2∗(t) = P X p=1 σp2∗(t), σn2 = P X p=1 σp,n2 .
Przykładami rodzin rozkładów samorozkładalnych zamkniętych ze względu na splot są gamma i odwrotny Gaussa. Natomiast rodzina uogólnionych rozkładów odwrotnych Gaussa nie jest zamknięta ze względu na splot poza tymi dwoma szcze-gólnymi przypadkami. Jeżeli Xp ∼ Ga(νp, α), dla p = 1, ..., n, to suma X = Xd 1 + X2, ..., XP ma rozkład Ga(PP
p=1νp, α). Podobnie można pokazać w przypadku roz-kładu odwrotnego Gaussa: jeżeli Xp ∼ IG(δp, γ), dla p = 1, ..., n, to suma X = Xd 1+ X2, ..., XP ma rozkład IG(PP
p=1δp, γ). Dodatkowo przyjmując dla rozkładu gamma ν =PP
p=1νp oraz wp = νp/ν oraz dla rozkładu odwrotnego Gaussa δ =PP
p=1δp oraz wp = δp/δ otrzymujemy
EXp = wpξ oraz Var(Xp) = wpω2, (2.34) gdzie EX = ξ oraz Var(X) = ω2. Pozwala to na skonstruowanie procesu D−supOUP o rozkładzie stacjonarnym gamma lub odwrotny Gaussa, dla których każda ze skła-dowych procesów złożeniaσ2
p(t)
t>0 ma taki sam stosunek wartości oczekiwanej do wariancji rozkładu stacjonarnego ξp/ω2p jak suma σp2(t)
t>0 dana wzorem (2.32): ξp ω2 p = wpξ wpω2 = ξ ω2.
W konsekwencji można otrzymać proces D − supOUP o takim samym o rozkładzie co D − OU, ale o bogatszej strukturze autokorelacji procesu wariancji chwilowej.
Rozdział 2. Niegaussowskie modele zmienności stochastycznej typu
Ornsteina-Uhlenbecka 69
Funkcja ta przyjmuje dla złożenia (2.32) postać
r(t) = P X p=1 wprp(t) = P X p=1 wpe−λp|t| (2.35)
gdzie wagi wp, ..., wP są nieujemne i sumują się do 1. W konsekwencji funkcja auto-korelacji kwadratów stóp zwrotów przyjmuje postać
cory2n, y2n+s= P X p=1 cpe−λ∆(s−1), (2.36) gdzie cp = wp/λ 2 p 1 − e−λp∆2 6PP p=1wp/λ2 p(e−λp∆− 1 + λp∆) + 2∆2(PP p=1ξ)2/(Pp p=1ωp)2.
Należy zwrócić uwagę, że kwadraty stóp zwrotu dla proces wariancji chwilowej supOU mają nadal krótką pamięć, ponieważ ich funkcja autokorelacji jest skończoną sumą funkcji autokorelacji o skończonych sumach. Natomiast funkcja autokorelacji dana wzorem (2.36) ma dużo lepsze dopasowanie do empirycznej funkcji auokore-lacji niż model bez złożenia. Badania empiryczne z wykorzystaniem modelu BNS wskazują, że z reguły złożenie dwóch procesów zmienności dostarcza odpowied-nie dopasowaodpowied-nie do danych empirycznych (por. Griffin i Steel (2010) oraz Taufer i in. (2011)). Procesy te można następująco interpretować: pierwszy o dużej warto-ści parametru λ odpowiada za duże, ale rzadkie skoki zmiennowarto-ści, natomiast drugi (o mniejszej wartości parametru λ) za małe, ale częstsze skoki zmienności. Jest to zgodne z oberwacjami m.in Alizadeh i in. (2002) oraz Lebaron (2001), którzy zaproponowali użycie modeli stochastycznej zmienności o dwóch składnikach (nie będących niegaussowskimi procesami Ornsteina-Uhlenbecka): jednym odpowiadają-cym za długookresową, a drugi za krótkookresową dynamikę zmienności. Podobnie, na istnienie dwóch czynników w zmienności stóp zwrotu, jednego o bardzo krótkiej, a drugiego o długiej persystencji wskazali Andersen i in. (2002).
Na rysunku 2.5 przedstawiono wykresy funkcji autokorelacji dla pojedynczej funkcji wariancji chwilowej oraz dla złożenia dwóch i trzech funkcji zmienności. Dla uproszczenia przyjęto ∆ = 1 oraz równe wagi.
Rozdział 2. Niegaussowskie modele zmienności stochastycznej typu Ornsteina-Uhlenbecka 70 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 0 25 50 75 100 t r(t) Funkcja autokorelacji: r(t) = e−t r(t) =12e−t+1 2e−0,1t r(t) =1 3e−t+1 3e−0,1t+1 3e−0,01t
Rysunek 2.5: Funkcje autokorelacji dla jednego procesu zmienności o parametrze λ = 1
(kolor czerwony), dwóch procesów o parametrach λ = 1 oraz λ = 0, 1(kolor zielony) i trzech procesów zmienności o parametrach λ = 1, λ = 0, 1 oraz λ = 0, 01 (kolor
niebieski). Dla uproszczenia zapisu przyjęto ∆ = 1.
Źródło: opracowanie własne.
Barndorff-Nielsen i Shephard (2001b) wskazali również, że można uogólnić złoże-nie skończonej ilości procesów zmienności na przypadek złożenia złoże-nieskończonej ilości, co pozwala uzyskać funkcję autokorelacji procesu wariancji chwilowej z długą pamię-cią. Zwiększając liczbę składników we wzorze 2.32 można w granicy przy P → +∞ otrzymać proces ciągłego złożenia procesów zmienności, dla którego funkcja auto-korelacji przyjmuje postać
r(t) = (1 + λ|t|)−2(1−H), (2.37) gdzie H ∈ (1
2, 1) jest parametrem długiej pamięci. Griffin i Steel (2010) zapropono-wali, aby złożenie procesów zmienności w niegaussowskich modelach stochastycznej zmienności typu Ornsteina-Uhlenbecka zapisać w postaci
σ2(t) =
Z
σ2λ(t)dF (λ), (2.38)
gdzie F jest rozkładem prawdopodobieństwa, który Griffin i Steel (2010) nazwali rozkładem miksującym. Funkcja autokorelacji procesu (σ2(t))t>0 przyjmuje wówczas
Rozdział 2. Niegaussowskie modele zmienności stochastycznej typu Ornsteina-Uhlenbecka 71 postać r(t) = Z exp (−λ|t|) dF (λ). (2.39)
Wybór rozkładu determinuje postać funkcji autokorelacji. W szczególności rozkład dyskretny o skończonej liczbie punktów z dodatnim prawdopodobieństwem prowa-dzi do funkcji autokorelacji postaci 2.35. Natomiast rozkład gamma o parametrze kształtu α i skali φ prowadzi do funkcji autokorelacji postaci
r(t) = 1 + |t| φ
!−α