Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 5.11. Pewien ichtiolog pobrał losow ˛a prób˛e 15 ryb i zmierzył ich długo´s´c. Otrzymał nast˛epuj ˛ace wyniki (w mm):

92, 88, 85, 82, 89, 86, 81, 66, 75, 61, 78, 76, 91, 82, 82.

Zakładaj ˛ac, ˙ze rozkład długo´sci ryb badanego gatunku jest normalny, zweryfikuj hipo-tez˛e, ˙ze ´srednia długo´s´c ryb tego gatunku przekracza 78 mm. Przyjmij poziom istotno´sci

α = 0.01.

Zadanie 5.12. Pewien ksi˛egowy przypuszcza, ˙ze przeci˛etne saldo na kontach klientów jego firmy jest mniejsze ni˙z 31 tys. e. ˙Zeby to sprawdzi´c, pobrał losow ˛a prób˛e kont, otrzymuj ˛ac nast˛epuj ˛ace wyniki dotycz ˛ace przeci˛etnego salda (w tys.e):

30.0, 30.0, 29.9, 31.3, 32.0, 32.0, 32.1, 30.5, 32.3, 29.5, 27.8, 27.3, 31.1, 30.7, 24.5, 28.3, 31.3, 32.7, 33.3, 26.8.

Czy prawdziwe jest przypuszczenie ksi˛egowego? Zweryfikuj stosown ˛a hipotez˛e na po-ziomie istotno´sci 0.01.

Zadanie 5.13. Na podstawie danych zawartych w pliku samochody.csv zweryfikuj przypuszczenie, ˙ze ´srednia moc silnika samochodów wyprodukowanych w latach 1979– 1981 wynosi 84 KM (wykorzystaj zmienne moc i rok). Przyjmij poziom istotno´sci 0.01. Zadanie 5.14. Oszacowano przeci˛etn ˛a długo´s´c ˙zycia w wybranych losowo 18 krajach. Wyniki przedstawia poni˙zsza tabela:

Kraj Długo´s´c ˙zycia Argentyna 70.5 Etiopia 51.5 Niemcy 76 Indie 57.5 Iran 64.5 Włochy 78.5

Kraj Długo´s´c ˙zycia Japonia 79 Kenia 61 Meksyk 72 Maroko 64.5 RPA 64 Hiszpania 78.5

Kraj Długo´s´c ˙zycia Sudan 53 Tajwan 75 Tajlandia 68.5 Turcja 70 Ukraina 70.5 USA 75.5

Czy na podstawie tych danych mo˙zemy twierdzi´c, ˙ze ´srednia długo´s´c ˙zycia przekracza 62 lata? Przyjmij poziom istotno´sci 0.05.

Zadanie 5.15. Na podstawie danych dotycz ˛acych parametrów kilku wybranych ma-rek samochodów (plik samochody.csv) stwierd´z, czy wyst˛epuje statystycznie istotna ró˙znica w przyspieszeniu samochodów produkowanych w USA i w Japonii. Przyjmij poziom istotno´sci α = 0.05.

Zadanie 5.16. Badano wytrzymało´s´c 20 losowo wybranych wsporników betonowych, przy czym 10 z nich wykonano metod ˛a tradycyjn ˛a, a pozostałe niedawno opatentowan ˛a, now ˛a metod ˛a. Wyniki pomiarów (w MPa) podano w poni˙zszej tabeli:

Metoda tradycyjna 53, 51, 62, 55, 59, 56, 61, 54, 47, 57 Nowa metoda 62, 55, 61, 58, 54, 49, 56, 60, 52, 63

Czy na podstawie tych danych mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze wytrzymało´s´c wsporników wykona-nych now ˛a metod ˛a przewy˙zsza istotnie wytrzymało´s´c wsporników wykonanych metod ˛a tradycyjn ˛a? Przyjmij poziom istotno´sci 0.04.

Zadanie 5.17. Badano liczb˛e recept wypisywanych w ci ˛agu 14 losowo wybranych dni przez pewnych dwóch lekarzy. Otrzymano nast˛epuj ˛ace wyniki:

Lekarz I 19, 21, 15, 17, 24, 12, 19, 14, 20, 18, 23, 21, 17, 12 Lekarz II 17, 15, 12, 12, 16, 15, 11, 13, 14, 21, 19, 15, 11, 10

Zakładaj ˛ac, ˙ze badana cecha ma rozkład normalny, zweryfikuj przypuszczenie, ˙ze lekarz I wypisuje ´srednio wi˛ecej recept ni˙z lekarz II. Przyjmij poziom istotno´sci 0.05.

Zadanie 5.18. Badano przeci˛etn ˛a długo´s´c filmów produkowanych przez dwie konku-ruj ˛ace ze sob ˛a firmy. W tym celu wylosowano do badania kilka filmów i otrzymano nast˛epuj ˛ace dane (w minutach):

Długo´sci filmów produkcji A 102, 86, 98, 109, 92, 102, 95, 120

Długo´sci filmów produkcji B 81, 165, 97, 134, 92, 87, 114, 120, 95, 136, 170 Czy mo˙zna twierdzi´c, ˙ze przeci˛etna długo´s´c filmów produkcji A przewy˙zsza przeci˛etn ˛a długo´s´c filmów produkcji B? Zweryfikuj stosown ˛a hipotez˛e na poziomie istotno´sci 0.01. Zadanie 5.19. Badano wpływ nowego leku na zmian˛e poziomu pewnej substancji we krwi (w mg/ml). W tym celu zmierzono poziom tej substancji u 8 losowo wybranych osób, a nast˛epnie, po upływie 30 minut od podania owego leku, powtórzono badanie na tej samej grupie osób. Otrzymano nast˛epuj ˛ace wyniki:

Pacjent 1 2 3 4 5 6 7 8

Poziom przed 2.76 5.18 2.68 3.05 4.10 7.05 6.60 4.79 Poziom po 7.02 3.10 5.44 3.99 5.21 10.26 13.91 14.53

Czy na podstawie powy˙zszych danych mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze nowy lek powoduje istotne podwy˙zszenie poziomu owej substancji we krwi? Przyjmij poziom istotno´sci α = 0.05 oraz zało˙zenie o normalno´sci rozkładu badanej cechy.

Zadanie 5.20. Badano wag˛e (w kilogramach) losowo wybranych kobiet pal ˛acych papie-rosy przed i 5 tygodni po rzuceniu przez nich palenia. Otrzymano nast˛epuj ˛ace wyniki:

Palaczka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Waga przed 67 65 62 62 66 65 61 63 64 71 69 65 61 60 Waga po 69 71 65 67 74 62 69 64 70 68 73 71 67 62 Czy na podstawie powy˙zszych danych mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze rzucenie palenia wpływa na wzrost wagi pal ˛acej papierosy kobiety? Przyjmij poziom istotno´sci α = 0.05.

Zadanie 5.21. W´sród pracowników naukowych pewnej uczelni przeprowadzono an-kiet˛e dotycz ˛ac ˛a sta˙zu pracy i stanu cywilnego. Otrzymano nast˛epuj ˛ace wyniki liczby osób wedle stanu i sta˙zu pracy (w latach):

Sta˙z pracy Panna/kawaler M˛e˙zatka/˙zonaty

0–5 6 20

5–10 8 20

10–15 3 60

15–20 2 25

20–25 1 15

Zweryfikuj hipotez˛e, ˙ze w grupie m˛e˙zatek i ˙zonatych odsetek osób pracuj ˛acych na owej uczelni dłu˙zej ni˙z 15 lat wynosi 0.3. Przyjmij poziom istotno´sci α = 0.05.

Zadanie 5.22. Na podstawie danych zawartych w pliku samochody.csv:

1. Podaj przedział ufno´sci dla odsetka samochodów maj ˛acych moc wi˛eksz ˛a ni˙z 80 KM (wykorzystaj zmienn ˛a moc). Przyjmij poziom ufno´sci 0.95.

2. Zweryfikuj hipotez˛e, ˙ze ponad 50% samochodów ma moc wi˛eksz ˛a ni˙z 80 KM. Przyjmij poziom istotno´sci 0.06.

3. Rozpatrz te problemy ponownie ograniczaj ˛ac si˛e do samochodów produkowanych wył ˛acznie w Ameryce i Japonii (wykorzystaj zmienne producent i legenda).

5.4. Wskazówki i odpowiedzi do zadań

Ad zad. 5.12. UWAGA! W tym zadaniu, jak i w kilku nast˛epnych, nale˙zy zweryfiko-wa´c hipotez˛e o normalno´sci rozkładu, z którego pochodzi próbka.

Test normalno´sci Shapiro -Wilka: warto´s´c statystyki testowej to T = 0.932238, za´s

p-warto´s´c wynosi 0.1705, czyli mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze próba pochodzi z rozkładu normal-nego.

Do weryfikacji hipotezy H : µ = 31 przeciw K : µ < 31 wykorzystujemy test t. Warto´s´c statystyki testowej to T = −1.65, za´s p-warto´s´c = 0.06. Zatem odrzucamy H na rzecz K, co oznacza, ˙ze przypuszczenie ksi˛egarza okazało sie prawdziwe.

Ad zad. 5.14. Test normalno´sci Shapiro-Wilka: warto´s´c statystyki testowej to T = 0, 9305 za´s p-warto´s´c = 0.1985, czyli mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze próba pochodzi z rozkładu normalnego.

Do weryfikacji hipotezy H : µ = 62 przeciw K : µ > 62 wykorzystujemy test t. Warto´s´c statystyki testowej to T = 3.148, za´s p-warto´s´c = 0.00295. Zatem odrzucamy

H na rzecz K, tzn. ´srednia długo´s´c ˙zycia w badanych krajach przekracza 62 lata.

Ad zad. 5.15. UWAGA! W tym zadaniu (jak i w niektórych nast˛epnych) nale˙zy zwe-ryfikowa´c hipotez˛e o równo´sci wariancji w obu próbach.

Ad zad. 5.16. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze próby pochodz ˛a z rozkładów normalnych o rów-nych wariancjach.

Do weryfikacji hipotezy H : µ₁ = µ₂przeciw K : µ₁ < µ₂ wykorzystujemy test t. Warto´s´c statystyki testowej to T = −0, 73, za´s p-warto´s´c = 0.23695. Zatem nie mamy podstaw do odrzucenia H, co oznacza, ˙ze wytrzymało´s´c wsporników wykonanych now ˛a metod ˛a nie przewy˙zsza istotnie wytrzymało´sci wsporników wykonanych metod ˛a trady-cyjn ˛a.

Ad zad. 5.18. Próby pochodz ˛a z rozkładów normalnych, ale nie mo˙zna przyj ˛a´c zało-˙zenia o równych wariancjach.

Do weryfikacji hipotezy H : µ₁ = µ₂ przeciw K : µ₁ > µ₂ wykorzystujemy test t Welcha. Warto´s´c statystyki testowej to T = −1.69, za´s p-warto´s´c = 0.94. Zatem nie mamy podstaw do odrzucenia H, co oznacza, ˙ze przeci˛etna długo´s´c filmów produkcji A nie przewy˙zsza przeci˛etnej długo´sci filmów produkcji B.

Ad zad. 5.19. Obserwacje parami zale˙zne.

Ad zad. 5.20. Próby parami zale˙zne, pochodz ˛ace z rozkładów normalnych. Do wery-fikacji hipotezy H : µ1 = µ₂ przeciw K : µ1 < µ2 wykorzystujemy test t. Warto´s´c statystyki testowej to T = −3.85, za´s p-warto´s´c = 0.001. Zatem odrzucamy H na rzecz

6