Rozdział 6. Zadania
6.6. Zadania z elektromagnetyzmu
Zadanie 1. Wyprowadzić równania falowe dla fal elektromagnetycznych w próżni, czyli równania postaci:
0 𝜀0 jest prędkością rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w próżni.
Rozwiązanie:
Z równań Maxwella mamy:
𝑑𝑖𝑣 𝐸�⃗ = 0 𝑑𝑖𝑣 𝐵�⃗ = 0
więc z równań 1) i 2) otrzymujemy równanie falowe pola 𝐸�⃗:
∆ 𝐸��⃗= 𝜇0𝜀0𝜕2𝐸��⃗
𝜕𝑡2 Podobnie:
𝑟𝑜𝑡 �𝑟𝑜𝑡 𝐵�⃗� = 𝑔𝑟𝑎𝑑 �𝑑𝑖𝑣 𝐵�⃗� − ∆𝐵�⃗ = −∆𝐵�⃗
oraz:
𝑟𝑜𝑡 �𝜇0𝜀0𝜕 𝐸��⃗
𝜕𝑡 � = 𝜇0𝜀0 𝜕
𝜕𝑡 �𝑟𝑜𝑡 𝐸��⃗� = 𝜇0𝜀0 𝜕
𝜕 𝑡 �–
𝜕𝐵�⃗
𝜕𝑡 � = − 𝜇0𝜀0𝜕2𝐵�⃗
𝜕𝑡2 stąd równanie falowe pola 𝐵�⃗:
∆ 𝐵�⃗ = 𝜇0 𝜀0 𝜕2 𝐵�⃗
𝜕 𝑡2 Uwaga
Nie każde rozwiązanie równań falowych spełnia automatycznie równania Maxwella.
Zadanie 2. Płaska ramka o powierzchni 𝑆 znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym. W chwili początkowej ramka jest położona prostopadle do linii pola.
a) Znaleźć strumień magnetyczny przenikający ramkę, jeżeli:
𝐵�⃗ = 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Rys. 6.33. Położenie wektora normalnego i wektora indukcji magnetycznej 𝐵�⃗
Rozwiązanie:
Strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię 𝑆 jest równy:
Ф0= � 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗
𝑆
= � 𝐵𝑒⃗𝐵∘ 𝑒⃗𝑛𝑑𝑆
𝑆
= 𝐵 � 𝑑𝑆
𝑆
= 𝐵𝑆
gdzie S to pole powierzchni ograniczonej ramką.
b) Znaleźć siłę elektromotoryczną zaindukowaną w ramce, jeżeli ramka obraca się jednostajnie z prędkością kątową 𝜔 wokół osi symetrii, prostopadłej do linii pola:
Rys. 6.34. Obrót ramki wokół osi symetrii Rozwiązanie:
Rys. 6.35. Kąt między wektorami 𝑛�⃗ oraz 𝐵�⃗ po obrocie ramki 𝑒⃗𝐵∘ 𝑒⃗𝑛= cos 𝛼
stąd:
Ф = � 𝐵(𝑒⃗𝐵∘ 𝑒⃗𝑛)𝑑𝑆
𝑆
= 𝐵 � 𝐵|𝑒⃗𝐵||𝑒⃗𝑛| cos 𝛼 𝑑𝑆
𝑆
= � 𝐵 cos 𝛼 𝑑𝑆
𝑆
= 𝐵|𝑆| cos 𝛼
Ponieważ 𝛼 = 𝜔𝑡, więc:
Ф = 𝐵𝑆 cos 𝜔𝑡 = Ф0cos 𝜔𝑡
Na mocy prawa Faradaya siła elektromotoryczna zaindukowana w ramce jest równa prędkości zmian strumienia magnetycznego, czyli:
𝑒(𝑡) = −𝑑Ф
𝑑𝑡 = 𝐵𝑆𝜔 sin 𝜔𝑡 = Ф0𝜔 sin 𝜔𝑡 Największa wartość SEM (dla 𝜔𝑡 =𝜋2+ 2𝑘𝜋) wynosi:
e𝑚(𝑡) = 𝜔Ф0 wartość skuteczna e𝑠𝑘(𝑡) dla 𝜔𝑡 =𝜋4+ 2𝑘𝜋 wynosi zaś:
e𝑠𝑘(𝑡) =√2 2 𝜔Ф0
c) Obliczyć siłę elektromotoryczną zaindukowaną w ramce, jeżeli pole 𝐵�⃗ jest zmienne (zależne od czasu), np. 𝐵�⃗ = 𝐵0𝑒⃗𝐵sin 𝜔𝑡.
Rozwiązanie:
ponieważ:
𝑒(𝑡) = −𝑑Ф oraz: 𝑑𝑡
Ф = 𝐵0𝑆 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 więc:
𝑒(𝑡) = − 𝑑
𝑑𝑡[𝐵0𝑆 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡] = −𝜔𝐵𝑆 cos 2𝜔𝑡
d) Obliczyć e(t) zaindukowaną w ramce, jeżeli w chwili 𝑡 = 0 ramka tworzy z prostą 𝑙 kąt 𝛼 (rys. 6.36) i wiruje z prędkością 𝑛 obrotów w jednostce czasu, czyli w chwili 𝑡 = 0 tworzy kąt 𝜔𝑡 + 𝛼 (gdzie 𝜔 = 2𝜋𝑛).
Rozwiązanie:
Ф = 𝐵𝑆 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 𝑒(𝑡) = 𝐵𝑆𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
Rys. 6.36. Ilustracja do wyznaczania strumienia magnetycznego przenikającego ramkę nachyloną do poziomu pod kątem 𝛼
Siła elektromotoryczna zaindukowana w ramce jest niezależna od położenia osi obrotu, którą może być np. symetralna ramki, jeden z boków lub prosta równoległa do boku, pod warunkiem jednak, że oś obrotu jest prostopadła do linii pola. SEM jest zaindukowana w bokach, które podczas obrotu przecinają linie pola.
Zadanie 3. Ramka o 𝑧 zwojach i powierzchni 𝑆 wiruje z prędkością kątową 𝜔 w zmiennym polu magnetycznym o indukcji 𝐵 = 𝐵0sin 𝛽𝑡. Znaleźć SEM zaindukowaną w ramce.
Rozwiązanie:
Z zadania 2 wynika, że Ф = 𝐵𝑆 cos 𝛼, czyli Ф = 𝐵0𝑆 cos 𝛼 sin 𝛽𝑡. Siła elektromotoryczna jest równa sumie SEM rotacji i SEM transformacji. SEM transformacji jest wywołana zmianą strumienia magnetycznego przepływającego przez nieruchomą ramkę i wynika ze zmian czasowych pola:
SEM𝑇 = −𝑧𝑑Ф
𝑑𝑡 = −𝑧𝐵0𝛽 cos 𝛼 sin 𝛽𝑡
SEM rotacji wynika z obrotu ramki w polu magnetycznym (przy czym 𝛼 = 𝜔𝑡):
SEM𝑟𝑜𝑡= −𝑧𝑑Ф 𝑑𝛼
𝑑𝛼
𝑑𝑡 = 𝑧𝜔𝐵0𝑆 sin 𝜔𝑡 sin 𝛽𝑡 Ostatecznie:
𝑒(𝑡) = −𝑧𝐵0𝑆[𝛽 cos 𝜔𝑡 cos 𝛽𝑡 − 𝜔 sin 𝜔𝑡 sin 𝛽𝑡]
Zadanie 4. W odległości 𝑥0 od długiego przewodu z prądem 𝐼 znajduje się prostokątna ramka (rysunek 6.37).
Rys. 6.37. Ilustracja do wyznaczania pola 𝐵�⃗ prostokątnej ramki Znaleźć:
a) strumień magnetyczny przenikający ramkę, jeżeli prąd 𝐼 jest stały Rozwiązanie:
Wokół przewodu z prądem w punktach odległych o 𝑟 od przewodu pole 𝐵�⃗ ma postać:
𝐵�⃗ = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟 𝑒⃗𝜑 Ponieważ we współrzędnych walcowych:
𝑑𝑆⃗ = 𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧𝑒⃗𝑟+ 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑒⃗𝜑+ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑒⃗𝑧
W punktach odległych o 𝑥 od przewodu pole magnetyczne ma postać:
𝐵�⃗ = 𝜇𝐼
Zgodnie ze wzorem Lorentza:
SEM = − ��𝑣⃗ × 𝐵�⃗�
Rys. 6.38. Ilustracja do wyznaczania SEM zaindukowanej w ramce (ze wzoru Lorentza) Całki po 𝐿2 i 𝐿4 są równe zeru, gdyż boki 𝐿2 i 𝐿4 są prostopadłe do wektora 𝑣⃗ × 𝐵�⃗.
𝐿1: �𝑥 = 𝑥0+ 𝑣𝑡 𝑧 = 𝜏 𝑑𝐿 = 𝑑𝜏 𝐿2: �𝑥 = 𝑥0+ 𝑏 + 𝑣𝑡
𝑧 = 𝜏
� 𝐵𝑣
𝐿1
𝑑𝐿 =𝜇𝐼𝑣 2𝜋 �
𝑑𝜏 𝑥0+ 𝑣𝑡
𝑎 0
= 𝜇𝐼𝑣𝑎
2𝜋(𝑥0+ 𝑣𝑡)
� 𝐵𝑣
𝐿3
𝑑𝐿 =𝜇𝐼𝑣 2𝜋 �
𝑑𝜏 𝑥0+ 𝑏 + 𝑣𝑡
0 𝑎
= −𝜇𝐼𝑣𝑎
2𝜋(𝑥0+ 𝑏 + 𝑣𝑡)
SEM = − � � 𝐵𝑣
𝐿1
𝑑𝐿 + � 𝐵𝑣
𝐿3
𝑑𝐿� = 𝜇𝐼𝑎𝑏𝑣
2𝜋(𝑥0+ 𝑣𝑡)(𝑥0+ 𝑏 + 𝑣𝑡)
Zadanie 5. Ramka w kształcie trójkąta znajduje się w odległości 𝑥0 od długiego przewodu z prądem 𝐼 (jak na rys. 6.39) i leży w płaszczyźnie przewodu.
Rys. 6.39. Ilustracja do wyznaczania pola 𝐵�⃗ trójkątnej ramki Znaleźć:
a) strumień przenikający ramkę, jeżeli prąd jest stały, a ramka się nie obraca Rozwiązanie:
W punktach odległych o 𝑥 od przewodu pole magnetyczne ma postać:
𝐵 = 𝜇𝐼 2𝜋𝑥 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗ = 𝜇𝐼
2𝜋𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 Ponieważ powierzchnię 𝑆 można przedstawić w postaci:
𝑆: �𝑧 = − 𝑎
𝑏(𝑥 − 𝑥0− 𝑏) 𝑦 = 0 więc:
Ф =𝜇𝐼
2𝜋 � 𝑑𝑥 𝑥
𝑥0+𝑏
𝑥0
� 𝑑𝑧
−𝑎𝑏(𝑥−𝑥0−𝑏) 0
=𝜇𝐼𝑎
2𝜋𝑏 � 𝑥0+ 𝑏 − 𝑥 𝑥
𝑥0+𝑏
𝑥0
𝑑𝑥 =𝜇𝐼𝑎
2𝜋𝑏�(𝑥0+ 𝑏) ln𝑥0+ 𝑏 𝑥0 − 𝑏�
b) indukcyjność wzajemną między ramką a przewodem Rozwiązanie:
Ponieważ:
𝑀 =𝜓 𝐼
𝜓 = Ф stąd na mocy podpunktu a):
𝑀 = 𝜇𝑎
2𝜋𝑏�(𝑥0+ 𝑏) ln𝑥0+ 𝑏 𝑥0 − 𝑏�
Zadanie 6. Ramka z poprzedniego zadania porusza się z prędkością 𝑣 w kierunku osi 𝑂𝑥+. Znaleźć SEM zaindukowaną w ramce o 𝑧 zwojach na skutek zmian prądu 𝐼 = 𝐼0sin 𝜔𝑡.
Rozwiązanie:
Strumień:
Ф =𝜇𝐼0𝑧𝑎
2𝜋𝑏 �(𝑥0+ 𝑏) ln𝑥0+ 𝑏
𝑥0 − 𝑏� sin 𝜔𝑡 SEM jest sumą SEM transformacji i SEM translacji:
SEM𝑇 =𝜇𝐼0𝑧𝑎
2𝜋𝑏 �(𝑥0+ 𝑏) ln𝑥0+ 𝑏
𝑥0 − 𝑏� 𝜔 cos 𝜔𝑡 Uwzględniając, że 𝑥0= 𝑣𝑡, SEM translacji (przesunięcia):
SEM𝑃= −𝑑Ф 𝑑𝑥0
𝑑𝑥0 𝑑𝑣 =
𝜇𝐼0𝑧𝑣 2𝜋 �
𝑎
𝑥0− ln𝑥0+ 𝑏
𝑥0 � sin 𝜔𝑡 ostatecznie:
𝑒(𝑡) = SEM𝑇+ SEM𝑃
Zadanie 7. Znaleźć indukcyjność własną cewki toroidalnej o 𝑛 zwojach (przez które płynie prąd stały) o promieniu wewnętrznym 𝑎, zewnętrznym 𝑏 i wysokości ℎ.
Rys. 6.40. Ilustracja do wyznaczania strumienia skojarzonego cewki toroidalnej
Rozwiązanie:
Prąd na powierzchniach górnej i dolnej cewki płynie wzdłuż promienia, a na wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni bocznej płynie południkowo. Wektor indukcji pola magnetycznego leży w płaszczyźnie prostopadłej do przepływu prądu (linie pola są okręgami o środkach leżących na osi przewodu tworzącego zwój), jego kierunek wyznacza zaś reguła korkociągu.
Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami prąd 𝐼 płynący w pojedynczym zwoju wytwarza pole 𝐵�⃗ wyznaczone z prawa przepływu:
𝐵2𝜋𝑟 = 𝜇𝐼 𝑑𝑙𝑎 𝑟 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉
stąd:
𝐵 = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟
𝜇 = 𝜇0𝜇𝑟, gdzie 𝜇𝑟 jest współczynnikiem przenikalności magnetycznej rdzenia cewki.
Uwzględniając fakt przepływu prądu przez 𝑛 zwojów:
𝐵�⃗ = �𝜇𝐼𝑛
2𝜋𝑟𝑒⃗𝜑 wewnątrz cewki 0 na zewnątrz cewki Strumień indukcji przenikający przez jeden zwój:
Ф = �𝜇𝐼𝑛
𝐷 2𝜋𝑟
𝑑𝑟𝑑𝑧 =𝜇𝐼𝑛 2𝜋 � 𝑑𝑧
ℎ 0
�1 𝑟
𝑏 𝑎
𝑑𝑟 =𝜇𝐼𝑛 2𝜋ln𝑏
𝑎 Strumień sprzężony 𝜓 = 𝑛Ф, więc indukcyjność własna cewki:
𝐿 =𝜓
𝐼 =𝜇𝑛2ℎ 2𝜋 ln
𝑏 𝑎
Zadanie 8. Znaleźć indukcyjność wzajemną cewki toroidalnej o 𝑛 zwojów z prostoliniowym przewodem z prądem 𝐼 przechodzącym przez oś cewki.
Rys. 6.41. Ilustracja do wyznaczania strumienia skojarzonego cewki toroidalnej
Pole 𝐵�⃗ na zewnątrz prostoliniowego przewodu ma postać:
𝐵�⃗ = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟 𝑒⃗𝜑
Strumień przenikający cewkę (na mocy poprzedniego zadania):
Ф =𝜇𝐼ℎ𝑛 2𝜋 ln𝑏 Strumień sprzężony: 𝑎
𝜓 = 𝑛Ф stąd indukcyjność wzajemna:
𝑀 =𝜓
𝐼 =𝜇𝑛2ℎ 2𝜋 ln
𝑏 𝑎
Zadanie 9. Ramka o 𝑛 zwojach i kształcie jak na rys. 6.42 znajduje się w odległości 𝑥0 od długiego przewodnika z prądem 𝐼. Znaleźć:
a) strumień przenikający ramkę,
b) indukcyjność wzajemną ramki i przewodu z prądem.
Rys. 6.42. Ilustracja do wyznaczania strumienia magnetycznego ramki trójkątnej Rozwiązanie:
a) I metoda
Strumień magnetyczny przenikający przez elementarną powierzchnię 𝑑𝑆 jest równy:
𝑑Ф = 𝐵𝑑𝑆 Ponieważ:
𝑑𝑆 = 2
√3(𝑥 − 𝑥0)𝑑𝑥
oraz wokół przewodnika z prądem pole 𝐵 jest równe:
Obszar 𝐷 jest dany równaniem:
𝐷: �𝑧 =𝑥 − 𝑥0
Z twierdzenia Gaussa wynika, że całkowity prąd wypływający z powierzchni zamkniętej 𝑆 otaczającej obszar 𝑉 jest równy:
𝐼 = � 𝐽⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗
przewodnika i zawraca po powierzchni współosiowego walca o promieniu 𝑎. Znaleźć całkowity prąd przesunięcia.
Rys. 6.43. Ilustracja do wyznaczania prądu przesunięcia w przewodniku walcowym Rozwiązanie:
Ponieważ prąd zawraca po powierzchni walca, więc pole elektromagnetyczne istnieje wewnątrz walca. Z prawa Ampere’a cyrkulacja wektora 𝐵�⃗ po linii 𝐿 jest równa:
� 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗ = 2𝐵𝜋𝑟 = 𝜇0𝐼 =
𝐿
𝜇0𝐼0cos 𝜔𝑡 stąd:
𝐵 = �𝜇0𝐼0cos 𝜔𝑡
2𝜋𝑟 𝑑𝑙𝑎 𝑟 < 𝑎 0 𝑑𝑙𝑎 𝑟 > 𝑎 𝐵�⃗ = −𝐵𝑒⃗𝜑
Strumień wektora 𝐵�⃗ przez powierzchnię:
Ф𝐵= � 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗ = �𝜇0𝐼0cos 𝜔𝑡
2𝜋𝑟 𝑒⃗𝜑∘ 𝑑𝜑𝑑𝑟𝑒⃗𝜑=
𝑆 𝑆
𝜇0𝐼0cos 𝜔𝑡
2𝜋 � 𝑑𝜑 �𝑑𝑟 𝑟 =
𝑎 𝑟 2𝜋
0
= 𝜇0𝐼 cos 𝜔𝑡 𝑙𝑛𝑎 𝑟 Ponieważ:
� 𝐸�⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗
𝐿
= −𝑑Ф 𝑑𝑡
więc: Gęstość prądu przesunięcia: 𝑟
𝐽⃗𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠 = 𝜀0𝑑𝐸�⃗
𝑑𝑡 =
𝜀0𝜇0𝐼0𝜔2
2𝜋 cos 𝜔𝑡 𝑙𝑛𝑎 𝑟 Całkowity prąd przesunięcia wewnątrz walca:
𝐼𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠 = � 𝐽⃗𝑃∘ 𝑑𝑆⃗
Obliczając całkę metodą całkowania przez części i uwzględniając, że:
lim𝑟→0𝑟2ln𝑎 𝑟 = 0 (na mocy twierdzenia de l’Hospitala) otrzymamy:
� 𝑟 𝑙𝑛𝑎
oznacza prędkość światła (falową).
Zadanie 12. Znaleźć pole elektryczne w punktach na okręgu o promieniu 𝑅, indukowane przez pole magnetyczne 𝐵�⃗(𝑡) zmienne w czasie 𝑡, skierowane prostopadle do powierzchni ograniczonej okręgiem.
I. Elektrostatyka (ładunki są stacjonarne)
𝐸�⃗ – natężenie pola elektrycznego 𝜑𝐸 – potencjał pola 𝐸�⃗
𝑄 – ładunek (źródło)
𝜌 – gęstość ładunku
𝐷��⃗ – indukcja pola elektrycznego Ф𝐷��⃗ – strumień indukcji
𝐶𝐸 – cyrkulacja pola 𝐸�⃗
𝜀0=36𝜋1 10−9�𝑚𝐹� – przenikalność dielektryczna próżni
𝜀𝑟 – względna przenikalność dielektryczna ośrodka
Równania Maxwella dla elektrostatyki 1. Postać różniczkowa
w próżni:
𝑑𝑖𝑣 𝐸�⃗ =𝜀𝜌
0 (prawo Gaussa) 𝑟𝑜𝑡 𝐸�⃗ = 0
w dielektryku:
𝑑𝑖𝑣 𝐷��⃗ = 𝜌 𝑟𝑜𝑡 𝐷��⃗ = 0
2. Postać całkowa (z twierdzenia Stokesa)
𝐶𝐸= � 𝐸�⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗𝐿
= � 𝑟𝑜𝑡 𝐸�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗ = 0
𝑆
gdzie krzywa 𝐿 jest brzegiem powierzchni 𝑆
Ф𝐷 = � 𝐷��⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗ = � 𝑞𝑖 𝑆 𝑖
= 𝑄
(całkowity ładunek swobodny wewnątrz powierzchni 𝑆) Przy czym:
𝑑𝑄 = 𝜌𝐿𝑑𝐿 (𝜌𝐿 – gęstość liniowa)
𝑑𝑄 = 𝜌𝑆𝑑𝑆 (𝜌𝑆 – gęstość powierzchniowa) 𝑑𝑄 = 𝜌𝑉𝑑𝑉 (𝜌𝑉 – gęstość objętościowa)
3. Potencjał skalarny
Potencjał skalarny 𝜑 znajdujemy ze związku:
𝐸�⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 lub z równania Poissona
∆𝜑 = − 𝜌 𝜀0
Twierdzenie Gaussa:
� 𝐸�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗
𝑆
= � 𝑑𝑖𝑣 𝐸�⃗𝑑𝑉
𝑉
gdzie 𝑆 jest powierzchnią Gaussa ograniczającą obszar 𝑉
II. Magnetostatyka
𝐻��⃗ – wektor natężenia pola magnetycznego 𝐵�⃗ – wektor indukcji magnetycznej
Ф – strumień magnetyczny
𝜑 – strumień sprzężony (skojarzony) 𝐽⃗ – wektor gęstości prądu
𝐴⃗ – potencjał wektorowy
𝜇0= 4𝜋10−7 𝐴𝑚 – przenikalność magnetyczna próżni
𝜇𝑟 – względna przenikalność magnetyczna ośrodka
Równania Maxwella dla magnetostatyki 1. Postać różniczkowa
w próżni:
𝑑𝑖𝑣 𝐵�⃗ = 0 (prawo źródeł = prawo Gaussa)
𝑟𝑜𝑡 𝐵�⃗ = 𝜇0𝐽⃗
(prawo Ampere’a)
w materii:
𝑟𝑜𝑡 𝐻��⃗ = 𝐽⃗𝑠𝑤𝑜𝑏𝑜𝑑𝑛𝑦
w próżni:
� 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗
𝐿
= 𝜇0𝐼𝐶
𝐼𝐶 – całkowity prąd otoczony konturem 𝐿 (Ampere’a)
w materii:
� 𝐻��⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗ = 𝐼𝐶 𝐿
𝐼𝐶 – całkowity prąd swobodny, płynący przez kontur Ampere’a
3. Potencjał wektorowy
𝑑𝑖𝑣 𝐴⃗ = 0 𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ = 𝐵�⃗
4. Strumień magnetyczny przez powierzchnię 𝑺
Ф𝐵= � 𝐵�⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗
𝑆
Z twierdzenia Gaussa
Ф𝐵= � 𝑑𝑖𝑣 𝐵�⃗ 𝑑𝑉 = 0
𝑉
przez dowolną powierzchnię zamkniętą 𝑆 otaczającą obszar 𝑉
Ф𝐻= � 𝐻��⃗ ∘ 𝑑𝑆⃗
𝑆
5. Równania materiałowe
w próżni:𝐷��⃗ = 𝜀0𝐸�⃗
𝐵�⃗ = 𝜇0𝐻��⃗
w materii:
𝐷��⃗ = 𝜀𝐸�⃗ = 𝜀0𝜀𝑟𝐸�⃗
𝐵�⃗ = 𝜇𝐻��⃗ = 𝜇0𝜇𝑟𝐻��⃗
𝐽⃗ = 𝜎𝐸�⃗ (prawo Ohma)
gdzie 𝜎 to przewodność elektryczna
III. Pola elektrodynamiczne (zmienne w czasie)
Równania Maxwella
Tablica 1. Postać różniczkowa
W próżni W materii
𝐽⃗ – gęstość prądu przewodzenia 𝐽⃗𝑃= 𝜀𝜕𝐸�⃗
– gęstość prądu przesunięcia 𝜕𝑡
Występują prądy swobodne i ładunki
Tablica 2. Postać całkowa
� 𝐸�⃗ ∘ 𝑑𝐿�⃗
Literatura
1. Frisz S., Timoriewa A., Fizyka, t. II, Warszawa, PWN 1965.
2. Griffiths D., Podstawy elektrodynamiki, Warszawa, PWN 2001.
3. Jackson J.D., Elektrodynamika klasyczna, Warszawa, PWN 1982.
4. Karaśkiewicz E., Zarys teorii wektorów i tensorów, Warszawa, PWN 1976.
5. Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. II, Warszawa, PWN 1983.
6. Kurdziel R., Podstawy elektrotechniki, Warszawa, WNT 1971.
7. Pczelin B.K., Analiza wektorowa dla inżynierów, Warszawa, PWN 1971.
8. Piątek Z., Jabłoński P., Podstawy teorii pola elektromagnetycznego, Warszawa, WNT 2010.
9. Purcell E.M., Elektryczność i magnetyzm, Warszawa, PWN 1971.
10. Wierzbicki M., Elektrodynamika klasyczna, Warszawa, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2008.