Zadanie 8.1. Załó˙zmy, ˙ze Ω = B(0, 2) ⊂ R2. Dla jakich warto´sci dodatniego parametru k nast˛epuj ˛ace zagadnienie ma dokładnie jedno słabe rozwi ˛azanie?
−∆u + x1 120u =
1
|x|k w Ω u = 0 na ∂Ω.
Zadanie 8.2. Niech Ω ⊂ R2b˛edzie obszarem ograniczonym oraz f ∈ L2(Ω). Wykaza´c istnienie słabych rozwi ˛aza´n nast˛epuj ˛acego zagadnienia
−uxx− 4uyy+ ux+ uy + 5u = f w Ω u = 0 na ∂Ω.
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
85/166
Zadanie 8.3. Niech Ω ⊂ R2b˛edzie obszarem ograniczonym oraz f ∈ L2(Ω). Wykaza´c istnienie słabych rozwi ˛aza´n nast˛epuj ˛acego zagadnienia
−uxx− 4uyy+ ux+ uy + 5u = f w Ω u = 2 na ∂Ω.
Zadanie 8.4. Niech Ω ⊂ R2 b˛edzie obszarem ograniczonym. Wykaza´c istnienie słabych roz-wi ˛aza´n zagadnienia
−uxx− 2uyx− 3uyy+ ux= x w Ω u = 0 na ∂Ω.
Zadanie 8.5. Załó˙zmy, ˙ze Ω ⊂ R2 jest ograniczonym obszarem. Dla jakich α ∈ R zagadnienie jest dobrze postawione w słabym sensie?
2uxx− 2uxy + uyy = 1
|x|α w Ω u = 0 na ∂Ω.
Zadanie 8.6. Załó˙zmy, ˙ze Ω ⊂ R3 jest ograniczonym obszarem. Dla jakich α ∈ R zagadnienie jest dobrze postawione w słabym sensie?
uxx− 2uxy + 2uyyuzz = |x|αln |x| w Ω u = 0 na ∂Ω.
Zadanie 8.7. Niech Ω ⊂ R2 b˛edzie obszarem ograniczonym. Dla jakich parametrów rzeczywi-stych k zagadnienie −div 1 k 0 4 ∇u = (ln |x|)x1 w Ω u = 0 na ∂Ω. jest dobrze postawione w słabym sensie?
Zadanie 8.8. Niech Ω ⊂ R2 b˛edzie obszarem ograniczonym. Wykaza´c, ˙ze nast˛epuj ˛ace zagad-nienie jest dobrze postawione w słabym sensie
−div 1 2 0 3 ∇u = 1 |x| w Ω ~ n ·1 2 0 3 ∇u = 0 na ∂Ω Z Ω u = 0.
Zadanie 8.9. Niech Ω = B(0, R) ⊂ Rndla n > 1. Dla jakich a ∈ R zagadnienie −∆u = n − 1 |x| + a w Ω ∂u ∂~n = 0 na ∂Ω Z Ω u dx = 0 jest dobrze postawione w słabym sensie?
Zadanie 8.10. Czy nast˛epuj ˛ace zagadnienie jest dobrze postawione w słabym sensie? −uxxxx = 1 − δ0 na (−1, 1),
u(−1) = u(1) = 0, ux(−1) = ux(1) = 0. W powy˙zszym równaniu δ0 oznacza Delt˛e Diraca.
Zadanie 8.11. Załó˙zmy, ˙ze Ω = B(0, R) ⊂ R2 oraz f ∈ L2n/(n+2)(Ω). Dla jakich α ∈ R zagadnienie
−∆u − α|x|2u = f w Ω u = 0 na ∂Ω jest dobrze postawione w słabym sensie?
Zadanie 8.12. Niech Ω = B(0, R) − B(0, r) b˛edzie pier´scieniem w R2. Przez Γ1 oznaczmy zewn˛etrzn ˛a cz˛e´s´c brzegu, przez Γ2natomiast wewn˛etrzn ˛a. Rozpatrzmy zagadnienie
−∆u + 2u = ln |x| w Ω u = 0 na Γ1
∂u
∂~n = 0 na Γ2. Czy jest ono dobrze postawione w słabym sensie?
Zadanie 8.13. Niech Ω ⊂ Rnb˛edzie obszarem ograniczonym a f ∈ L2(R). Wykaza´c istnienie słabego rozwi ˛azania zagadnienia
∆u − u = f w Ω ∂u
∂~n + u = 0 na ∂Ω.
Zadanie 8.14. Niech Ω ⊂ R2 b˛edzie obszarem ograniczonym a f ∈ Lp(R) dla pewnego p ∈ [1, ∞). Dla jakich p istnieje słabe rozwi ˛azanie zagadnienia
−∆u + u = f w Ω ∂u
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
87/166
Zadanie 8.15. Niech Ω ⊂ Rnb˛edzie obszarem o ograniczonym. Rozwa˙zmy ci ˛ag zagadnie´n − div ((kj(x) + 1)∇uj) + uj = 1 w Ω (8.7)
uj = 0 na ∂Ω, gdzie kj(x) ∈ L∞(Ω) s ˛a funkcjami dodatnimi, j = 1, 2, 3, . . .
Niech kj → k w normie L∞(Ω) przy j → ∞. Wykaza´c, ˙ze funkcje uj b˛ed ˛ace słabymi rozwi ˛azaniami (8.7) zbiegaj ˛a w normie W1,2(Ω) do funkcji u, która jest słabym rozwi ˛azaniem problemu
−div ((k(x) + 1)∇u) + u = 1 w Ω u = 0 na ∂Ω. Zadanie 8.16. Niech Ω = B(0, 1) ⊂ Rn. Rozwa˙zmy ci ˛ag zagadnie´n
− ∆uj+ 1
juj = fj w Ω (8.8)
uj = 0 na ∂Ω, gdzie fj(x) ∈ L2(Ω), j = 1, 2, 3, ....
Niech fj → f w normie L2(Ω) przy j → ∞. Wykaza´c, ˙ze funkcje uj, b˛ed ˛ace słabymi rozwi ˛ a-zaniami (8.8), zbiegaj ˛a w normie W1,2(Ω) do funkcji u, która jest słabym rozwi ˛azaniem
−∆u = f w Ω
u = 0 na ∂Ω.
Lemat Weyla
9.1 Naturalne pytania
Czytelnika, który przeczytał rozdziały 2, 7 i 8, mog ˛a, mimo komentarzy wplecionych w tekst tych rozdziałów, niepokoi´c, a nawet dr˛eczy´c, nast˛epuj ˛ace — sk ˛adin ˛ad bardzo naturalne — pyta-nia i w ˛atpliwo´sci:
1. Skoro rozwi ˛azania równa´n Laplace’a czy Poissona mo˙zna konstruowa´c i bada´c metodami, wspomnianymi w rozdziale 2, np. stosuj ˛ac Twierdzenie 2.1, to po co rozwa˙za´c jakie´s skomplikowane słabe rozwi ˛azania, wymagaj ˛ace wszak solidnego i abstrakcyjnego aparatu analitycznego?
W dodatku, funkcje z przestrzeni Sobolewa mog ˛a by´c nieci ˛agłe. W wymiarach n ≥ 2 wiedza, ˙ze u ∈ W1,2(Ω) nie daje przecie˙z gwarancji, ˙ze u jest cho´cby ci ˛agła. ´Swiadczy o tym przykład, podany w Zadaniu 5.5. Zatem, słabe rozwi ˛azanie, uzyskane np. dzi˛eki lematowi Laxa i Milgrama lub dzi˛eki minimalizacji odpowiednio dobranego funkcjonału na jakiej´s przestrzeni Hilberta, mo˙ze — przynajmniej a priori — by´c funkcj ˛a nieci ˛agł ˛a, i to (teoretycznie) w bardzo paskudny sposób, nawet na całej swojej dziedzinie, tak jak funkcja, o której mowa w Zadaniu 5.6.
A metody klasyczne pozwalaj ˛a uzyska´c rozwi ˛azania gładkie, tzn. w jakim´s sensie lepsze, wi˛ec dlaczego nie ograniczy´c si˛e do nich?
2. Równanie Laplace’a na kuli (ale i na obszarach ograniczonych z gładkim brzegiem) ma rozwi ˛azania klasy C∞. Podobnie jest z równaniem Poissona ∆u = f , gdy f ∈ C∞. Czy, konstruuj ˛ac słabe rozwi ˛azania tych równa´n, odnajdujemy w istocie te same rozwi ˛azania, które widzieli´smy wcze´sniej, tylko wskutek przyj˛etych metod nie wiemy, ˙ze mamy do czynienia z funkcjami gładkimi?
Mo˙ze za´s produkujemy jakie´s zupełnie inne, bardzo nieregularne funkcje, które spełniaj ˛a równania tylko w słabym sensie i nie s ˛a np. klasy C2?
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
89/166
istocie rozwi ˛azaniem klasycznym, ró˙zniczkowalnym w sposób ci ˛agły tyle razy, ˙ze wszyst-kie pochodne wyst˛epuj ˛ace w równaniu s ˛a funkcjami ci ˛agłymi?
Pełne odpowiedzi na powy˙zsze pytania wykraczaj ˛a znacznie poza zakres tego tekstu. Do´s´c powiedzie´c, ˙ze dla równa´n eliptycznych drugiego rz˛edu ostatnie z powy˙zszych pyta´n, w nie-znacznie zmienionej wersji, było tre´sci ˛a jednego z problemów Hilberta, a na odpowied´z, która pojawiła si˛e wskutek długiej, wieloetapowej pracy licznych sławnych matematyków,1trzeba było poczeka´c blisko 60 lat. (Nic wi˛ec dziwnego, ˙ze i dzi´s nie mo˙zna si˛e nauczy´c, co to s ˛a słabe roz-wi ˛azania, nie wkładaj ˛ac w to pewnego wysiłku. . . ).
Jedna z mo˙zliwych odpowiedzi na pierwsze pytanie — dlaczego w ogóle rozwa˙za´c słabe rozwi ˛azania? — polega na tym, ˙ze warto mie´c abstrakcyjny aparat, który pozwala oddzieli´c py-tanie o samo istnienie rozwi ˛aza´n, od pyta´n o ich regularno´s´c. Zast˛epuj ˛ac przestrze´n Ck któr ˛a´s z przestrzeni Sobolewa Wm,p, uzyskujemy obszerniejszy zbiór kandydatur na rozwi ˛azanie. Zy-skujemy te˙z dodatkowe narz˛edzia analizy funkcjonalnej, które mo˙zna stosowa´c. Ponadto za´s, przeprowadzaj ˛ac dowody istnienia, nie musimy dba´c o to, by z rozumowania wynikało, ˙ze zna-leziona funkcja ma ci ˛agłe pochodne do pewnego rz˛edu wł ˛acznie. Musimy wykaza´c mniej, wi˛ec mo˙zna mie´c nadziej˛e, ˙ze b˛edzie to łatwiejsze. I, jak mo˙zna było zauwa˙zy´c w dwóch poprzednich rozdziałach, to istotnie bywa łatwiejsze.
Cena, jak ˛a trzeba zapłaci´c za t˛e wygod˛e, jest taka, ˙ze uzyskujemy mniej informacji; st ˛ad bior ˛a si˛e pytania drugie i trzecie. W prostych sytuacjach mo˙zna udzieli´c na nie skromnych, ale w gruncie rzeczy pełnych odpowiedzi. Tym si˛e teraz zajmiemy. Zacznijmy od tego, co najła-twiejsze: je´sli mamy do czynienia z funkcjami o odpowiedniej gładko´sci, to wszystko jedno, czy mowa jest o rozwi ˛azaniach słabych, czy rozwi ˛azaniach klasycznych.
Zadanie 9.1. Wykaza´c, ˙ze je´sli funkcja u ∈ W1,2(Ω) ∩ C2(Ω), gdzie Ω ⊂ Rn jest dowolnym zbiorem otwartym, jest słabym rozwi ˛azaniem równania Laplace’a w Ω, tzn.
Z
Ω
∇u∇ϕ dx = 0 dla ka˙zdej ϕ ∈ C0∞(Ω), to ∆u = 0 w ka˙zdym punkcie Ω.
Szkic rozwi ˛azania.Posługuj ˛ac si˛e zało˙zeniem u ∈ C2, wykona´c w równo´sci R ∇u∇ϕ dx = 0 jedno całkowanie przez cz˛e´sci, a nast˛epnie posłu˙zy´c si˛e wynikiem Zadania 7.1.
Okazuje si˛e, ˙ze zało˙zenie, i˙z u ∈ C2, jest w Zadaniu 9.1 niepotrzebne. Mówi o tym
Twierdzenie 9.1 (lemat Weyla, wersja I). Je´sli funkcja u ∈ W1,2(Ω), gdzie Ω ⊂ Rnjest dowol-nym zbiorem otwartym, jest słabym rozwi ˛azaniem równania Laplace’a wΩ, tzn.
Z
Ω
∇u∇ϕ dx = 0 dla ka˙zdej ϕ ∈ C0∞(Ω), to wówczasu ∈ C∞(Ω) i ∆u = 0 w ka˙zdym punkcie Ω.
1Nale˙zeli do nich m.in. wspomniani we wcze´sniejszych rozdziałach Sobolew i Morrey, a tak˙ze Weyl, De Giorgi, Nash i Moser; pełna lista byłaby znacznie dłu˙zsza.
Wspomnijmy, ˙ze twierdzenie zwane zwykle lematem Weyla jest mocniejsze i dotyczy wszyst-kich rozwi ˛aza´n dystrybucyjnych równania Laplace’a, nie tylko za´s takich rozwi ˛aza´n dystrybu-cyjnych, które s ˛a funkcjami z przestrzeni W1,2.
Twierdzenie 9.2 (lemat Weyla, wersja II). Je´sli dystrybucja u ∈ D(Ω) spełnia równanie La-place’a, tzn.
hu, ∆ϕi = 0 dla ka˙zdej ϕ ∈ C0∞(Ω), to wówczasu ∈ C∞(Ω) i ∆u = 0 w ka˙zdym punkcie Ω.
Podobne twierdzenia mo˙zna uzyskiwa´c dla słabych rozwi ˛aza´n równa´n eliptycznych i para-bolicznych. Wi˛ecej informacji znajdzie Czytelnik w podr˛eczniku Evansa [8] (patrz np. Twierdze-nie 3 w podrozdziale 6.3, TwierdzeTwierdze-nie 7 w podrozdziale 7.1, a tak˙ze podrozdział 8.3, dotycz ˛acy równa´n nieliniowych).
Dowód twierdzenia 9.1 mo˙zna przeprowadzi´c kilkoma sposobami. Wska˙zemy dwie z mo˙zli-wych dróg, posługuj ˛ac si˛e odpowiednio dobranymi zadaniami.
Wprowad´zmy pomocnicze poj˛ecie tzw. jedynki aproksymatywnej. Niech ψ ∈ C0∞(B(0, 1)) b˛edzie ustalon ˛a nieujemn ˛a funkcj ˛a gładk ˛a na Rn, o no´sniku zawartym w kuli jednostkowej B(0, 1) i o całceR ψ = 1. Połó˙zmy, dla ε > 0,
ψε(x) = ε−nψ(x/ε) .
(To wła´snie jest jedynka aproksymatywna; dla ε → 0 funkcje ψε s ˛a coraz lepszymi przybli˙ze-niami delta Diraca; tej intuicji mo˙zna nada´c ´scisły sens). Oznaczmy
uε:= u ∗ ψε.
Je´sli u jest funkcj ˛a lokalnie całkowaln ˛a na Rn, to splot uεjest funkcj ˛a gładk ˛a (klasy C∞). Pierwszy z dowodów Twierdzenia 9.1 korzysta z liniowo´sci równania Laplace’a, własno´sci klasycznych funkcji harmonicznych i własno´sci splotu.
Zadanie 9.2. Wykaza´c, ˙ze je´sli funkcja u ∈ W1,2(Ω) jest słabym rozwi ˛azaniem równania La-place’a w Ω, to splot uε = u ∗ ψεjest dobrze okre´slony w ka˙zdym punkcie zbioru
Ωε = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) > ε}
i spełnia w tym zbiorze równanie Laplace’a ∆uε= 0 (w sensie klasycznym).
Wskazówka. Wykaza´c, ˙ze uε jest słabym rozwi ˛azaniem równania Laplace’a w Ωε, a nast˛epnie posłu˙zy´c si˛e wynikiem Zadania 9.1.
Zadanie 9.3. Przekona´c si˛e, ˙ze teza poprzedniego zadania poł ˛aczona z własno´sciami funkcji harmonicznych, podanymi w Zadaniach 2.5 i 2.6, poci ˛aga za sob ˛a Twierdzenie 9.1 jako natych-miastowy wniosek.
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
91/166
Uwaga. W podobny sposób mo˙zna udowodni´c ogóln ˛a wersj˛e Lematu Weyla. Nieco inny wa-riant dowodu Twierdzenia 9.1 podany jest w podrozdziale 7.4 skryptu [22].
Uwaga. Nie jest na ogół prawd ˛a, ˙ze słabe rozwi ˛azanie równania cz ˛astkowego ma tyle pochod-nych ci ˛agłych, ile potrzeba, ˙zeby wypisa´c równanie, nie odwołuj ˛ac si˛e do jego dystrybucyjnej interpretacji. Z utrat ˛a gładko´sci mamy cz˛esto do czynienia w równaniach hiperbolicznych.
Najprostszy przykład takiej sytuacji mo˙zna znale´z´c w podrozdziale 15.1, analizuj ˛ac zacho-wanie rozwi ˛aza´n równania struny (15.6). Wszystkie rozwi ˛azania s ˛a dane wzorem d’Alemberta (15.8). Kto´s, kto wie, ˙ze istniej ˛a funkcje ci ˛agłe, ale nigdzie nie ró˙zniczkowalne, mo˙ze posłu˙zy´c si˛e komentarzem zamieszczonym bezpo´srednio po tym wzorze i Definicj ˛a 15.2, by bez wi˛ek-szego trudu poda´c przykłady takich słabych rozwi ˛aza´n równania struny utt− c2uxx = 0, które s ˛a wprawdzie klasy C1, ale nie maj ˛a w ˙zadnym punkcie drugich pochodnych!
9.2 Zadania
Zadanie 9.5. Uogólni´c wynik zadania 9.1 na równania eliptyczne o zmiennych współczynni-kach, tzn. udowodni´c twierdzenie zawarte w ostatnim zdaniu podrozdziału 8.1.2.
Jedna z technik dowodzenia gładko´sci rozwi ˛aza´n równa´n eliptycznych i parabolicznych polega na tym, ˙ze dowodzi si˛e, ˙ze słabe rozwi ˛azanie u ma wi˛ecej słabych pochodnych, ni˙z a priori za-kładamy, a w dodatku (wszystkie lub niektóre) pochodne funkcji u s ˛a słabymi rozwi ˛azaniami podobnych równa´n. Bardziej rozbudowane przykłady takich sytuacji mo˙zna znale´z´c w Roz-dziale 11, po´swi˛econym metodzie Galerkina.
Tu, w zadaniach, podamy bardzo prosty, jednowymiarowy przykład takiego sposobu post˛e-powania, oraz wielowymiarow ˛a technik˛e, któr ˛a mo˙zna wykorzysta´c do dowodzenia gładko´sci równa´n eliptycznych o stałych współczynnikach.
Zadanie 9.6. Niech u ∈ W01,2((a, b)) b˛edzie słabym rozwi ˛azaniem równania −u00 = λu na przedziale (a, b) ⊂ R, z warunkami brzegowymi Dirichleta u(a) = u(b) = 0. Inaczej mówi ˛ac, zakładamy, ˙ze Z b a u0ϕ0dx = λ Z b a
uϕ dx dla wszystkich ϕ ∈ C0∞((a, b)).
Posługuj ˛ac si˛e wył ˛acznie definicj ˛a słabej pochodnej, wykaza´c, ˙ze funkcja u ma słabe pochodne wszystkich rz˛edów nale˙z ˛ace do przestrzeni L2((a, b)). Wywnioskowa´c st ˛ad, ˙ze ka˙zde słabe roz-wi ˛azanie równania −u00 = λu jest funkcj ˛a klasy C∞.
Wskazówka.Patrz Zadania 5.8 i 6.23.
Zadanie 9.7 (nierówno´s´c Caccioppoliego dla równania Laplace’a). Niech u ∈ W1,2(Ω) b˛edzie słabym rozwi ˛azaniem równania Laplace’a ∆u = 0 w Ω i niech Br = B(a, r) oraz BR= B(a, R)
b˛ed ˛a współ´srodkowymi kulami o promieniach 0 < r < R < dist(a, ∂Ω) (punkt a nale˙zy do Ω). Wykaza´c, ˙ze dla pewnej stałej C0zachodzi tzw. nierówno´s´c Caccioppoliego
Z Br |∇u|2dx ≤ C0 (R − r)2 Z BR |u|2dx .
Wskazówka. Warunek z definicji słabego rozwi ˛azania zachodzi w istocie dla wszystkich ϕ ∈ W01,2(Ω); podstawi´c ϕ = ζ2u, gdzie ζ = 1 na Br, ζ = 0 poza BR, ζ ∈ C0∞, ζ ≥ 0; nast˛epnie, całk˛e, w której wyst˛epuje kwadrat gradientu, umie´sci´c po lewej stronie równo´sci, a inne całki – po prawej stronie.
Zadanie 9.8 (zbie˙zno´s´c pochodnych w L2). Niech u ∈ W1,2(Ω) b˛edzie słabym rozwi ˛azaniem równania Laplace’a ∆u = 0 w Ω. Rozwa˙zmy funkcje uε= u∗ψε, gdzie ψε(x) = ε−nφ(x/ε) jest jedynk ˛a aproksymatywn ˛a, zdefiniowan ˛a wcze´sniej. Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ Ω i ka˙zdego multiindeksu α istnieje takie N > 0, ˙ze ci ˛ag funkcji
{Dαu1/j}∞j=N
spełnia warunek Cauchy’ego w przestrzeni L2(K). Wywnioskowa´c st ˛ad i z zupełno´sci przestrze-ni Wm,2, ˙ze u jest funkcj ˛a gładk ˛a.
Wskazówka.Czy pochodne funkcji uεspełniaj ˛a równanie Laplace’a? W jakim sensie? Po udzie-leniu odpowiedzi na te pytania spróbowa´c posłu˙zy´c si˛e wynikiem poprzedniego zadania. (Zbiór zwarty K mo˙zna pokry´c sko´nczon ˛a liczb ˛a małych kul o promieniu r > 0, dobranych tak, by nieco wi˛eksze kule wci ˛a˙z jeszcze były zawarte w Ω.) W ko´ncówce rozumowania wykorzysta´c Zadanie 6.23.
Jak wida´c, ostatnie zadanie dostarcza nieco innego dowodu Twierdzenia 9.1. Pewna zaleta wskazanej w nim metody polega na tym, ˙ze nie musimy polega´c na bardzo szczególnej wła-sno´sci funkcji harmonicznych, podanej w Zadaniu 2.6 (chodzi o to, ˙ze splot z funkcj ˛a radialn ˛a zachowuje harmoniczno´s´c); korzystamy jedynie z liniowo´sci splotu i z eliptyczno´sci, a to nieco mniej. Dlatego podobnie mo˙zna post˛epowa´c z innymi równaniami.
Zadanie 9.9 (gładko´s´c funkcji własnych laplasjanu). Niech Ω ⊂ Rn b˛edzie obszarem ogra-niczonym. Sprawdzi´c, ˙ze tezy obu powy˙zszych zada´n pozostaj ˛a w mocy, gdy zamiast słabych rozwi ˛aza´n równania Laplace’a rozpatrujemy słabe rozwi ˛azania u ∈ W01,2(Ω) równania
−∆u = λu gdzie λ ∈ R jest stał ˛a.
Rozdział 10
Słaba zbie˙zno´s´c w przestrzeniach Hilberta
W tym rozdziale skupimy si˛e na przedstawieniu podstawowych faktów i twierdze´n z analizy funkcjonalnej, potrzebnych do wprowadzenia słabej zbie˙zno´sci ci ˛agów w przestrzeniach Hilber-ta. Z punktu widzenia równa´n ró˙zniczkowych cz ˛astkowych wystarczy ograniczy´c si˛e do rozwa-˙zania przestrzeni o´srodkowych. Hilbertowskie przestrzenie nieo´srodkowe wyst˛epuj ˛a do´s´c cz˛esto w zastosowaniach fizycznych, lecz s ˛a one do´s´c dalekie od głównego nurtu tematów, obj˛etych zwykle wykładem z Równa´n Ró˙zniczkowych Cz ˛astkowych I.
Z podobnych powodów ograniczymy si˛e do przestrzeni Hilberta nad ciałem liczb rzeczywi-stych. Istnieje uogólnienie teorii na przestrzenie nad ciałem liczb zespolonych, jednak tym nie b˛edziemy si˛e tym zajmowa´c. Podstawowymi przestrzeniami b˛ed ˛a tu
L2(Ω), H01(Ω), Hm(Ω).
Pami˛etamy o konwencji W2m = Hm. Definicje mo˙zna znale´z´c w rozdziale, po´swi˛econym przes-trzeniom Sobolewa.
Zacznijmy od podstawowych definicji.
Definicja 10.1. Niech H b˛edzie przestrzeni ˛a Banacha nad ciałem liczb rzeczywistych, wyposa-˙zon ˛a w iloczyn skalarny, tj. w dwuliniowy funkcjonał
(·, ·) : H × H → R taki, ˙ze
(i) (x, x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0; (ii) (x, y) = (y, x) dla wszystkich x, y ∈ H;
(iii) (λx, y) = λ(x, y) dla wszystkich x, y ∈ H i λ ∈ R; (iv) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) dla wszystkich x, y, z ∈ H.
Tak ˛a przestrze´n H, z norm ˛a
kxk := (x, x)1,2, x ∈ H, nazywamy przestrzeni ˛a Hilberta.
Definicja 10.2. Mówimy, ˙ze h∗ ∈ H∗jest funkcjonałem liniowym ci ˛agłym na H, je´sli h∗ : H → R oraz
h∗(αx + βy) = αh∗x + βh∗y dla x, y ∈ H, α, β ∈ R.
Przestrze´n wszystkich funkcjonałów liniowych jest przestrzeni ˛a Banacha. Nazywamy j ˛a przes-trzeni ˛a dualn ˛a do H i oznaczamy symbolem H∗. Norma w H∗ zdefiniowana jest w nast˛epuj ˛acy sposób:
kh∗k = sup
h
h∗h,
gdzie supremum brane jest po wszystkich h ∈ H takich, ˙ze khk ≤ 1.
Je´sli H jest przestrzeni ˛a Hilberta, to przestrze´n dualn ˛a do niej, H∗, mo˙zna w naturalny sposób uto˙zsami´c z sam ˛a przestrzeni ˛a H. Mówi o tym twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału (patrz np. [1], [16]).
Twierdzenie 10.1 (Riesza o reprezentacji). Niech h∗ ∈ H b˛edzie funkcjonałem liniowym ci ˛ ag-łym naH. Istnieje wtedy element h ∈ H, jednoznacznie wyznaczony przez h∗ i taki, ˙ze
h∗g = (g, h) dla ka˙zdegog ∈ H.
B˛ed ˛ac tak wyposa˙zeni, mo˙zemy wprowadzi´c główn ˛a definicj˛e tego rozdziału. Definicja 10.3. Mówimy, ze ci ˛ag {hn} zbiega słabo do h ∈ H wtedy i tylko wtedy gdy
(hn, g) → (h, g) dla ka˙zdego g ∈ H
Słab ˛a zbie˙zno´s´c oznaczamy zwyczajowo w nast˛epuj ˛acy sposób hn * h w H.
Oczywi´scie słaba zbie˙zno´s´c jest implikowana przez siln ˛a (w normie), tj. zachodzi implikacja khn− hk → 0 ⇒ hn * h.
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
95/166
Przykład 10.1. Rozwa˙zmy ci ˛ag w przestrzeni Hilberta L2(R) funkcji un = 1 dla x ∈ [n, n + 1)
0 dla x ∈ R \ [n, n + 1) dla n = 0, 1, ... Zauwa˙zmy, ˙ze
kunkL2(R)= 1 oraz kun− umkL2(R)=√
2(1 − δmn), gdzie δmnjest delt ˛a Kronekera.
Ci ˛ag (um) nie ma wi˛ec ˙zadnych podci ˛agów Cauchy’ego (silnie zbie˙znych). Natomiast dla dowolnej funkcji v ∈ L2(R) mamy
(un, v) = Z R un(x)v(x)dx = Z n+1 n v(x)dx. Zatem, korzystaj ˛ac z nierówno´sci Schwarza, otrzymujemy
|(un, v)| ≤ Z n+1 n v2 1/2 → 0, gdy˙z całkaR
Rv2dx jest sko´nczona. Na mocy Definicji 10.3 stwierdzamy, ˙ze ci ˛ag unsłabo zbiega do zera w L2(R), tj.
un* 0 w L2(R).
Warto zwróci´c uwag˛e, ˙ze słaba zbie˙zno´s´c jest czym innym ni˙z silna, jak równie˙z ró˙zni si˛e od zbie˙zno´sci punktowej. W szczególno´sci musimy bardzo uwa˙za´c, posługuj ˛ac si˛e tym poj˛eciem w równaniach nieliniowych, gdy˙z mo˙ze si˛e zdarzy´c tak, ˙ze ci ˛ag unzbiega słabo do u, ale ci ˛ag u2n wcale nie jest zbie˙zny do u2, nawet je´sli zało˙zymy, ˙ze ma granic˛e. Warto podkre´sli´c, ˙ze poj˛ecie słabej zbie˙zno´sci zdefiniowane jest dla szerokiej klasy przestrzeni Banacha [1]. Dla nas jednak analiza na przestrzeniach Hilberta jest wystarczaj ˛aca.
Głównym powodem wprowadzenia do teorii równa´n cz ˛astkowych słabej zbie˙zno´sci jest po-ni˙zsze twierdzenie, b˛ed ˛ace ubog ˛a wersja ogólnego twierdzenia Banacha-Alaoglu, wykorzystu-j ˛acego własno´sci topologii produktowych (patrz [16]). Tu, ograniczaj ˛ac si˛e do o´srodkowych przestrzeni Hilberta, dostajemy nast˛epuj ˛ace twierdzenie, stanowi ˛ace podstaw˛e metody Galer-kina, przedstawionej w nast˛epnym rozdziale.
Twierdzenie 10.2. Niech H b˛edzie o´srodkow ˛a przestrzeni ˛a Hilberta i niech ci ˛ag {un} ⊂ H b˛edzie ograniczony, tj.
sup
n
kunk ≤ M. Wtedy istniejeu ∈ H oraz podci ˛ag{unk} taki, ˙ze
unk * u w przestrzeniH oraz kuk ≤ M.
Dowód. Niech {wk}k∈N b˛edzie baz ˛a ortonormaln ˛a w H. Wtedy ka˙zdy element un jest sum ˛a zbie˙znego w przestrzeni H szeregu
un =
∞
X
k=0
aknwk,
gdzie ci ˛ag współczynników {akn}k∈N dany jest wzorami akn= (un, wk)
i nale˙zy do przestrzeni l2. Warunek (wk, wl) = δklimplikuje natychmiast równo´s´c norm
kunk2 =
∞
X
k=0
(akn)2.
Krok 1. Ustalmy indeks m ∈ N. Z ograniczono´sci ci ˛agu {um} oraz nierówno´sci Schwarza otrzymujemy jednostajne oszacowanie ci ˛agu {am
n}n∈N
|amn| ≤ |(un, wm)| ≤ M dla n = 1, 2, . . .. Mo˙zemy zatem wybra´c podci ˛ag z ci ˛agu {un} taki, ˙ze
vlm = unm l oraz amn l → am ∗ dla pewnego am ∗ ∈ R.
Krok 2 (metoda przek ˛atniowa). Teraz konstruujemy szukany podci ˛ag. Rozwa˙zmy podci ˛ag wy-brany w poprzednim kroku dla m = 0, tj. {v0
l}. Nast˛epnie wybieramy podci ˛ag z ci ˛agu {v0 l} dla m = 1 i nazywamy go {vl1}. Indukcyjnie okre´slamy podci ˛ag {vlm+1} z danego ci ˛agu {vlm}, tak, ˙zeby
am+1
nm+1l → am+1
∗ dla l → ∞.
By unikn ˛a´c niepotrzebnych rozwa˙za´n, mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze nm+11 > nm m. Twierdzimy, ˙ze podci ˛ag
vll = unl l
jest szukanym ci ˛agiem. Zauwa˙zmy, ˙ze z konstrukcji wynika, ˙ze dla ustalonego k ci ˛ag {vll}l>k jest podci ˛agiem ci ˛agu {vlk}l>k. Zatem dla ka˙zdego k
aknl l → ak ∗ dla l → ∞, czyli (vll, wk) = aknl l → ak∗ dla l → ∞.
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
97/166
Krok 3 (kandydat na granic˛e). By wykaza´c, ˙ze wybrany ci ˛ag ma słab ˛a granic˛e, musimy naj-pierw sprawdzi´c, ˙ze kandydat
u =
∞
X
k=0
ak∗wk
jest elementem H. Rozwa˙zmy aproksymacj˛e uN =
N
X
k=0
ak∗wkdla N ∈ N. Zauwa˙zmy, ˙ze
kuNk = sup
φ
(uN, φ),
gdzie supremum jest brane po φ ∈ H takich, ˙ze kφk ≤ 1. Mamy ponadto sup φ (uN, φ) = sup φ (uN, PNφ) = sup φ lim l→∞(vll, PNφ),
gdzie PNoznacza rzut na przestrze´n rozpi˛eta przez wektory w0, ..., wN(Czytelnik zechce pomy´s-le´c, dlaczego prawdziwa jest ostatnia równo´s´c powy˙zej). Dlatego
N X k=0 ak∗21/2 = kuNk ≤ sup φ lim l→∞kvl lkkPNφk ≤ M.
St ˛ad wnioskujemy, ˙ze szeregX
k
(am∗ )2 jest zbie˙zny; co za tym idzie,
u ∈ H oraz kuk ≤ M.
Krok 4 (słaba zbie˙zno´s´c). Pozostaje pokaza´c, ˙ze u jest słab ˛a granic ˛a {vll}. Ustalmy h ∈ H oraz ε > 0. Wtedy
(vll− u, h) = (vll− u, PNh) + (vll− u, (Id − PN)h). Wybierzmy N tak du˙ze, by
k(Id − PN)hk ≤ ε 4M. Daje to nast˛epuj ˛ace oszacowanie drugiego składnika:
|(vl
l − u, (Id − PN)h)| ≤ 2M ε 4M =
ε 2.
Przy ustalonym N mo˙zemy wybra´c tak du˙ze l0, ˙zeby dla ka˙zdego l > l0 nierówno´s´c (aml − am
∗ )2 ≤ ε
2
4(N + 1)khk2
zachodziła dla wszystkich m = 0, 1, . . . , N . Wtedy |(vl l− u, PNh)| = |(PN(vll− u), h)| ≤ kPN(vll− u)kkhk ≤ N X k=0 (aml − am ∗ )2 !1/2 khk ≤ (N + 1) ε 2 4(N + 1)khk2 1/2 khk = ε/2. Zatem wykazali´smy, ˙ze dla dowolnego ε > 0
lim
l→∞|(vl
l− u, h)| ≤ ε. Wobec dowolno´sci ε dostajemy
lim
l→∞|(vl
l − u, h)| ≤ 0, czyli unl l * u. Twierdzenie 10.2 zostało wykazane.
10.1 Zadania
Zadanie 10.1. Niech
un : (0, 1) → R oraz un(x) = sin nx. Wykaza´c, ˙ze
un* 0 w L2(0, 1) oraz ˙ze {sin2nx} nie zbiega słabo do zera (dla n → ∞).
Zadanie 10.2. Niech {un} ⊂ H, gdzie H jest przestrzeni ˛a Hilberta. Wiemy, ˙ze un* u w H oraz kunk → kuk.
Wykaza´c, ˙ze un→ u w H (silnie).
Zadanie 10.3. Niech {un} ⊂ L2(0, 1) zbiega słabo do zera. Czy {un} zbiega punktowo do 0 p.w.?
Zadanie 10.4. Niech {un} ⊂ L2(0, 1) zbiega silnie do zera. Czy {un} zbiega punktowo do 0 p.w.? Czy odpowied´z zmieni si˛e, je´sli ograniczymy si˛e do podci ˛agu?
Zadanie 10.5. Niech un∈ H1(0, 1) = W1,2(0, 1). Wiemy, ˙ze un* u w L2(0, 1) oraz sup
n
kunk ≤ M. Czy u2n * u2 w L2(0, 1)?
Korzystaj. Mów, sk ˛ad wzi ˛ałe´s. c MIM UW
99/166
Zadanie 10.6. Wiadomo, ˙ze
bn * b w L2(0, 1) oraz sup n kunkH1(0,1) ≤ M. Obliczy´c lim n→∞ Z 1 0 bnsin nxdx.
Zadanie 10.7. Niech P b˛edzie wielomianem. Niech un ∈ W1,1(0, 1) oraz sup
n
kunkW1
1(0,1) ≤ M. Czy ci ˛ag {P (un)}n∈N} ma podci ˛ag słabo zbie˙zny w L2(0, 1)?
Metoda Galerkina
Równania ró˙zniczkowe cz ˛astkowe stoj ˛a na pograniczu matematyki stosowanej i analizy matema-tycznej. Ze wzgl˛edu na wymagania, jakie stawiaj ˛a nauki przyrodnicze i in˙zynieryjne, celem jest dokłada analiza układu stanowi ˛acego model opisywanego zjawiska. Pojawia si˛e wi˛ec potrzeba konstruktywnego rozwi ˛azywania równa´n: wskazania takiej metody, która w sposób bezpo´sredni mogłaby przeło˙zy´c si˛e na efektywny schemat numeryczny i da´c precyzyjnie przybli˙zenie szuka-nego rozwi ˛azania badanego modelu.
Takim przykładem jest metoda Galerkina, patrz np. ksi ˛a˙zki Evansa i Temama [8, 25]. Mo˙zna j ˛a stosowa´c do równa´n eliptycznych, a tak˙ze do du˙zej klasy równa´n ewolucyjnych. Chcemy tu przedstawi´c ogóln ˛a ide˛e metody oraz dwa przykłady, po to, by da´c Czytelnikowi podstaw˛e do samodzielnych uogólnie´n na bardziej skomplikowane układy. Warto podkre´sli´c bezpo´srednie zwi ˛azki tej teorii z analiz ˛a numeryczn ˛a, tj. z metod ˛a elementu sko´nczonego.
B˛edziemy post˛epowa´c według nast˛epuj ˛acego ogólnego przepisu.
Przepis, tzn. podstawowe kroki metody Galerkina
Krok I. Znalezienie odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej oraz bazy umo˙zliwiaj ˛acej sko´nczon ˛a aproksymacj˛e w normie; w tej przestrzeni b˛edziemy konstruowa´c rozwi ˛azania;
Krok II. Konstrukcja sko´nczenie wymiarowego przybli˙zenia badanego układu i dowód istnienia rozwi ˛aza´n układu przybli˙zonego;
Krok III. Znalezienie wspólnego oszacowania na rozwi ˛azania układów przybli˙zonych;
Krok IV. Znalezienie odpowiedniej słabej granicy ci ˛agu rozwi ˛aza´n przybli˙zonych i wykazanie, i˙z spełnia ona wyj´sciowy układ, najcz˛e´sciej tylko w słabym sensie.