Spróbujmy otrzyma¢ przybli»one rozwi¡zanie analityczne dla zagadnienia wzgl¦dnego dwóch ciaª ze sªab¡ siª¡ tarcia P styczn¡ do pr¦dko±ci
P =−ε v. (3.75)
Je±li ε ≪ 1, to mo»emy posªu»y¢ si¦ metod¡ u±redniania.
Prze±led¹my po kolei wymienione wy»ej kroki.
Krok 1
Wypisujemy równania Gaussa, podstawiaj¡c Q = −v, czyli dla skªadowej stycznej, normalnej i binormalnej
S =−v, N = B = 0.
Powstaj¡ równania znane z Matematycznych podstaw mechaniki nieba (rozdz.
1.5.9 i 1.6.1)
˙a = −ε 2 v2 n2a,
˙e = −ε2 p r cos E, dI
dt = Ω = 0,˙
˙
ω = −ε2 e sin f, M˙ = n− ε
√1− e2 e
(
1 +2 r e2 p
) sin f.
W równaniu dla ˙a mo»emy uwzgl¦dni¢ caªk¦ siª »ywych v2 =−µ/a + 2 µ/r = n2a2(2 a/r− 1), i ostatecznie w równaniach typu (3.66) mamy
F(a) = −2 a (
2a r − 1
) ,
F(e) = −2 p
U±redniamy prawe strony F . Oprócz dwóch trywialnych przypadków
⟨0⟩ = 0, mamy tu tak»e dwie funkcje nieparzyste, wi¦c
⟨F(I)⟩ = ⟨F(ω)⟩ = ⟨F(Ω)⟩ = ⟨F(M )⟩ = 0.
Pozostaªe dwie funkcje u±redniamy korzystaj¡c mi¦dzy innymi z wzoru (3.23) jak równie» z liniowo±ci operacji u±redniania
⟨
Jak wida¢, równania dla zmiennych ±rednich s¡ bardzo proste i sprowadzaj¡
si¦ do
WYKAD 14 Krok 3
W omawianym przez nas przykªadzie równania dla zmiennych ±rednich mog¡ zosta¢ rozwi¡zane bez wi¦kszego trudu. Równanie ró»niczkowe (3.79) mo»na rozwi¡za¢ metod¡ separacji zmiennych; po sprowadzeniu do postaci
da′
a′ =−2 ε dt, i obustronnym caªkowaniu dochodzimy do
a′ = a0 exp [−2 ε t], (3.82) gdzie a0oznacza staª¡ caªkowania w tym wypadku jest to warto±¢ ±redniej póªosi wielkiej a′ w epoce t = 0. Znaj¡c zale»no±¢ a′(t)mo»emy przej±¢ do równania (3.81), które sprowadza si¦ do prostej kwadratury
∫ M′
M0
dM′ =
∫ t
0
√ µ
(a′)3dt =
√ µ (a0)3
∫ t
0 (exp [−2 ε t])−3/2 dt =
= n0
∫ t
0
exp [3 ε t] dt = n0
3 ε(exp [3 ε t]− 1) .
Przyjmuj¡c epok¦ t = 0 jako moment przej±cia przez perycentrum, co od-powiada staªej dowolnej caªkowania M0 = 0, otrzymujemy rozwi¡zanie dla
±redniej anomalii ±redniej M′ = n0
3 ε(exp [3 ε t]− 1) . (3.83) Wszystkie pozostaªe równania dla elementów ±rednich s¡ trywialne i maj¡
rozwi¡zania w postaci staªych
e′= e0, I′ = I0, ω′ = ω0, Ω′ = Ω0. (3.84) Mo»emy teraz podsumowa¢ wiadomo±ci na temat zachowania elementów
±rednich w zagadnieniu dwóch ciaª z siª¡ tarcia (3.75). Orbita ±rednia ma staª¡ orientacj¦ w przestrzeni i staªy mimo±ród, ale jej ±rednica (póªo± wielka) maleje wykªadniczo, d¡»¡c asymptotycznie do zera. Zmiany w póªosi wielkiej wpªywaj¡ na ruch ±redni a wi¦c na pr¦dko±¢ zmian anomalii ±redniej M′.
rednia anomalia ±rednia ro±nie wykªadniczo, przy czym mo»emy sprawdzi¢,
»e na maªych odcinkach czasu odst¦pstwa od III prawa Keplera s¡ niewielkie. Dodajmy dla ±cisªo±ci, »e wªa±ciwo±¢ e′ = const jest specy czna dla siªy P = −ε v; dla innych rodzajów siªy tarcia (proporcjonalnej do v2 albo z g¦sto±ci¡ o±rodka zale»n¡ od r) mimo±ród ±redni równie» maleje wykªad-niczo. Pami¦tajmy tak»e, »e w naszej analizie nie uwzgl¦dnili±my efektów drugiego rz¦du (proporcjonalnych do ε2) dla zmiennych ±rednich. Tak wi¦c mimo±ród mo»e systematycznie male¢ ale w tempie o wiele wolniejszym ni»
póªo± wielka.
Krok 4
Zasadnicze wnioski jako±ciowe wysnuli±my na podstawie zmiennych ±red-nich. Mo»emy teraz przej±¢ do perturbacji okresowych. Nie b¦dziemy znajdo-wa¢ wzorów dla wszystkich sze±ciu zmiennych a jedynie dla ilustracji przyj-rzymy si¦ póªosi wielkiej a.
W ±wietle równa« (3.72) mamy dla póªosi wielkiej X˙(a) = F˜(a) = F(a)− ⟨F(a)⟩ =
= −2 a′ (2(a′/r′)− 1)− (−2 a′) =
= −4 a′((a′/r′)− 1). (3.86) Przypominamy, »e caªkuj¡c powy»sze równanie zakªadamy ruch keplerowski zmiennych ±rednich a wi¦c
Xa =
Zwró¢my uwag¦, »e poszukuj¡c perturbacji okresowych nie wprowadzamy nowych staªych caªkowania, gdy» zrobili±my to ju» dla zmiennych ±rednich.
Krok 5
W ten sposób zako«czyli±my proces przybli»onego rozwi¡zywania równa«
Gaussa. Dla wszystkich sze±ciu zmiennych oskulacyjnych mo»emy znale¹¢
perturbacje okresowe. Na przykªad dla póªosi wielkiej a mamy wedªug (3.74)
a = a′+ ε X(a) = a′− ε4 a′e′
n′ sin E′, (3.88) gdzie
a′ = a0 exp [−2 ε t], e′ = e0,
E′ = M′+ e′ sin E′, n′ = (a′)−32√
µ.
Rozdziaª 4
Metody numeryczne mechaniki nieba
W obecnym rozdziale zajmiemy si¦ bli»ej metodami numerycznymi. Przed-miotem zainteresowa« b¦d¡ gªównie metody caªkowania numerycznego, to znaczy numerycznego rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych zwyczajnych.
Nie nale»y myli¢ tego terminu z numerycznym obliczaniem caªek oznaczo-nych, czyli z tzw. kwadraturami numerycznymi.
4.1 Aproksymacja Hermite'a, Lagrange'a i Taylora
Niech zmienna rzeczywista x nale»y do przedziaªu domkni¦tego a ¬ x ¬ b.
W przedziale tym wybieramy m + 1 punktów xi ∈ {x0, x1, . . . xm} ,
które nazywa¢ b¦dziemy w¦zªami. Wprowad¹my teraz dowoln¡ funkcj¦
f : x→ f(x) : [a, b] → R.
W ka»dym w¦¹le posiadamy pewn¡ informacj¦ na temat warto±ci funkcji f (xi) = fi = fi(0),
oraz jej pochodnych a» do rz¦du n:
[df dx
]
x=xi
= fi′, . . .
[dnf dxn ]
x=xi
= fi(n).
Ogólnym zagadnieniem aproksymacji Hermite'a nazywa¢ b¦dziemy konstruowanie wielomianu W (x), zwanego dalej wielomianem aproksymacyj-nym, który speªni (m + 1) × (n + 1) równa« warunkowych
W(j)(xi) = fi(j), i = 0, . . . , m; j = 0, . . . , n. (4.1) Ogólna posta¢ wielomianu stopnia N to
WN(x) =
∑N k=0
akxk. (4.2)
Posiada on N + 1 wspóªczynników ak. Na podstawie liczby równa« warun-kowych (4.1) stwierdzamy, »e wielomian aproksymacyjny W (x) b¦dzie wie-lomianem stopnia
N = (m + 1)× (n + 1) − 1,
posiadaj¡cym N + 1 wspóªczynników ak otrzymywanych jako rozwi¡zanie ukªadu N + 1 równa« liniowych (4.1).
Skostruowany na podstawie równa« warunkowych (4.1) wielomian WN(x) mo»e posªu»y¢ do oblicznia przybli»onych warto±ci funkcji f(x) i jej pochod-nych poza w¦zªami. Oznaczamy to symbolicznie jako
f (x)∼ WN(x). (4.3)
Bª¦dem aproksymacji nazywamy ró»nic¦
δN(x) = f (x)− WN(x). (4.4) Istniej¡ formalne oszacowania, w my±l których bª¡d δN(x)mo»e zosta¢ przy-bli»ony wielomianem stopnia N + 1.
Je±li funkcj¦ f(x) aproksymujemy pomi¦dzy w¦zªami, tzn. na przedziale [x0, xm], mówimy o zagadnieniu interpolacji a wielomian aproksymacyjny WN(x)nazywamy wielomianem interpolacyjnym. Gdy aproksymujemy poza przedziaªem w¦zªów, tzn. dla x ∈ [a, x0) ∪ (xm, b], mówimy o zagadnieniu ekstrapolacji i wielomian WN(x)nazywamy ekstrapolacyjnym.
W ogólnym zagadnieniu aproksymacji Hermite'a mo»emy wyró»ni¢ dwa przypadki skrajne o du»ym znaczeniu praktycznym. Przyjmijmy jako usta-lony stopie« wielomianu aproksymacyjnego N. WN(x) mo»e zosta¢ otrzy-many z N +1 w¦zªów zawieraj¡cych jedynie warto±ci funkcji (n = 0, m = N);
jest to zagadnienie aproksymacji Lagrange'a. Druga skrajno±¢ to sytu-acja, gdy dysponujemy tylko jednym w¦zªem (m = 0) i znamy w nim po-chodne funkcji a» do rz¦du n = N. Powstaje wtedy wielomian ekstrapo-lacyjny Taylora.
4.1.1 Ekstrapolacja Taylora
Wielomian ekstrapolacyjny Taylora, konstruowany na podstawie informacji o funkcji f(x) w w¦¹le x0, to suma cz¦±ciowa szeregu Taylora
WN(x) = gdzie h = x−x0. Bª¡d ekstrapolacji szacujemy na podstawie wzoru dla reszty wielomianu Taylora
δN(x) = f(N +1)(ξ(x))
(N + 1)! hN +1, (4.6)
gdzie ξ(x) jest nieznan¡ liczb¡ z zakresu x0 ¬ ξ ¬ x gdy h > 0, lub x ¬ ξ ¬ x0 gdy h < 0.
Wzór (4.6) informuje nas wyra¹nie, »e bª¡d ekstrapolacji zale»y z jednej strony od aproksymowanej funkcji, a z drugiej od odlegªo±ci od w¦zªa.
4.1.2 Aproksymacja Lagrange'a
Przypomnijmy, »e aproksymacja Lagrange'a wykorzystuje jedynie informa-cje o warto±ciach funkcji fi= f (xi), a wi¦c dla m+1 w¦zªów xikonstruujemy wielomian interpolacyjny Wm(x)stopnia m na podstawie równa« warunko-wych (4.1) zredukowanych do
Wm(xi) = fi, i = 0, . . . , m. (4.7) Wielomian interpolacyjny Lagrange'a jest wyznaczony jednoznacznie przez m + 1 wspóªczynników ak otrzymanych z (4.7). Nie znaczy to jednak,
»e nie mo»na go zapisa¢ na rozmaite sposoby i st¡d mamy wiele wzorów interpolacyjnych: Lagrange'a, Bessela, Newtona, Everetta itd. Wszystkie one dotycz¡ jednak jednego i tego samego wielomianu Lagrange'a. Przytoczmy tu posta¢ Lagrange'a wielomianu Lagrange'a (sic!)
Wm(x) =
Wypiszmy dla przykªadu pierwsze trzy wielomiany Lagrange'a stopni 0, 1 i 2.
W0(x) = f0, (4.9)
W1(x) = f0
x− x1
x0− x1
+ f1
x− x0
x1− x0
, (4.10)
W2(x) = f0
(x− x1)(x− x2) (x0− x1)(x0− x2) + f1
(x− x0)(x− x2) (x1− x0)(x1− x2) + +f2
(x− x0)(x− x1)
(x2− x0)(x2− x1). (4.11) Spójrzmy na wzór (4.11). W w¦¹le x1 znikn¡ skªadniki z f0 i f2, gdy» to-warzyszy¢ im b¦dzie czynnik (x − x1)x=x1 = 0. Natomiast liczniki i mia-nowniki uªamka towarzysz¡cego f1 uproszcz¡ si¦ do jedno±ci, gdy wstawimy x = x1. Podobne rozumowanie mo»na przeprowadzi¢ dla dowolnego w¦zªa i dla dowolnego stopnia wielomianu, co potwierdza, »e (4.8) istotnie speªnia równania warunkowe (4.7).
Podobnie jak dla ekstrapolacji Taylora, potra my poda¢ ±cisªy wzór dla bª¦du aproksymacji Lagrange'a
δm(x) = f(m+1)(ξ(x)) (m + 1)!
∏m j=0
(x− xj). (4.12) Je±li mamy mo»liwo±¢ wyboru w¦zªów dla aproksymacji Lagrange'a, to mo»emy przyj¡¢ w¦zªy równoodlegªe lub w¦zªy specjalne.
W¦zªy równoodlegªe prowadz¡ do uproszczenia postaci wzorów, gdy» za-dajemy je poprzez w¦zeª pocz¡tkowy x0 i krok h
xj = x0+ j h, j = 0, . . . , m. (4.13) Dla dostatecznie maªego kroku mo»emy wtedy, na podstawie równania (4.12) oszacowa¢
δm ∝ hm+1. (4.14)
Bª¡d aproksymacji jest jednak wtedy rozªo»ony nierównomiernie, osi¡gaj¡c maksima w pobli»u kra«ców przedziaªu aproksymacji.
W sytuacjach po±rednich mi¦dzy aproksymacj¡ Taylora i Lagrange'a, gdy mamy conajmniej dwa w¦zªy i conajmniej jedn¡ pochodn¡ w w¦zªach, mówimy o ogólnej aproksymacji Hermite'a.