290 AKCEPTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW
6 Zakończenie
Spróbujmy ocenić przedstawione eksperymenty oraz podsumować poczynione uwagi i spostrzeżenia.
Cztery typy dowodów powtarzające się w zestawach fiszek wykorzystanych w badaniach, w których wzięli udział uczniowie klas IV i V, zostały uporządkowane
zgodnie z rosnącą abstrakcyjnością i ogólnością oraz malejącą enaktywnością.
Enaktywność ta nie ograniczała się do samego działania, lecz odnosiła się do działania, które ma pewne znaczenie symboliczne, np. związane z szukaniem jakichś niezmienników i towarzyszących im operacji. Widać, że uczestnicy tych eksperymentów.sięgali najchętniej właśnie po te rozumowania, które są najbar
dziej konkretne, enaktywne i wizualne. W stworzonej przez siebie hierarchii zaprezentowanych dowodów najwyżej postawili uzasadnienia operujące pionka
mi i modelami z kropkami, różniąc się jedynie stopniem akceptacji modeli bez kropek.
Argumentując uczniowie poszukiwali pewnych operacji, które wydobywały i zachowywały własności wykorzystywanych obiektów istotne dla rozważanego faktu. Zatem akcentowali zachowanie kształtu, gdy dosuwali do siebie modele bez kropek; równoliczność pionków, gdy dostawiali po jednym do obu części tworzonej układanki itp. Wydaje się, że ta niezmienniczość, istotnie łącząca się z rekurencyjną naturą operacji ją pokazujących, miała istotne znaczenie dla akceptowalności poszczególnych uzasadnień oraz dla ich skuteczności w trakcie przekazu. W swych spontanicznych rekurencyjnych rozumowaniach uczniowie niekiedy zbliżali się do nieformalnej wersji indukcji matematycznej.
Z przebiegu tych eksperymentów wynika, że ich uczestnicy na ogół dobrze zrozumieli sens zaproponowanych na Uszkach przykładów paradygmatycznych.
Najpierw dotarły do nich właśnie te argumentacje, które pozwalały im widzieć rzeczy ogólne na szczegółowych i te właśnie wybierali do przekazu. Dla pod
kreślenia ogólności swoich rozważań wielokrotnie wykorzystywali sformułowania zastępujące kwantyfikator ogólny — „ileś tam” , „jakakolwiek” . Niekiedy odwo
ływali się do „losowego” wybierania liczb występujących w tworzonych uzasa
dnieniach — budowali „losowe” przykłady paradygmatyczne. Widać, że dowody algebraiczne były dla nich niezrozumiałe, choć uczniowie klasy V starali się to ukrywać manipulując symbolami.
Ich wypowiedzi zawierają wiele różnorakich figur — na ogół podwójnych, które łączą w sobie cechy metonimii i metafory. Można dostrzec, że układają się one w pewne łańcuchy — jedne pociągają za sobą następne. Gdy spojrzy
my na te eksperymenty jako na pewną całość, możemy zauważyć, jak uczniowie tworzą na własny użytek pewien figuratywny język, pewną symbolikę. Wi
dać, że brakuje im słów, nie posiadają terminologii pozwalającej na adekwatne wyrażanie myśli, zatem biorą zwroty, które są „pod ręką” , nadają im pewien sens i zaczynają je stosować we właściwych kontekstach sytuacyjnych. Słowa te nabierają zaakceptowanego przez wszystkich uczestników rozmów znaczenia.
Powstaje więc, na swój sposób symboliczny, język. Jest on oczywiście gorszy od języka matematycznego, ale jest uczniom bardzo bliski i jest dla nich naturalny, podczas gdy symbolika matematyczna jest dla nich jeszcze, ze względu na swój charakter, nieosiągalna.
Kilkakrotnie przy okazji tworzenia lub odtwarzania dowodów widać było u uczniów dążenie do zobaczenia pewnej symetrii, która odnosiła się do wystę
pującej w argumentacji reprezentacji „czynnościowej” , tzn. enaktywnej lub
iko-O AKCEPTOWALNOSCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 55 nicznej. Widać było, że dostrzeżenie tej symetrii ułatwiało uczestnikom badań akceptację uzasadnienia, zaś fakt jej obecności niekiedy był bardzo wyraźnie i świadomie akcentowany, np. w sposób enaktywny.
Wiele spośród zaobserwowanych zjawisk mogło zaistnieć tylko dzięki wyko
rzystaniu w poszczególnych uzasadnieniach dwóch lub większej liczby równo
ległych reprezentacji. Z przeprowadzonych eksperymentów wynika, że porów
nanie tych reprezentacji i zauważenie istniejących między nimi analogii oraz ich wzajemnej odpowiedniości miało dla uczniów istotne znaczenie. Równoległość ta pozwala na lokowanie fragmentów dowodów w takim kontekście, do którego najlepiej one pasują, który w konkretnych warunkach jest najbardziej dydak
tycznie cenny, wykorzystanie tej reprezentacji, której użycie najbardziej ułatwia zobaczenie danej prawidłowości. Uczestnicy badań bardzo chętnie korzystali z tych możliwości, niekiedy dodatkowo dołączając reprezentacje samodzielnie przez siebie tworzone.
Większość ze spostrzeżeń sformułowanych dotychczas dotyczy również po
zostałych eksperymentów — niezależnie od wieku osób biorących w nich udział.
Widać to także na przykładzie przytoczonych fragmentów. Uczestnicy ekspery
mentów chętnie odwoływali się do tych uzasadnień, w których oprócz reprezen
tacji symbolicznej pojawiały się inne, bardziej wizualne sposoby przedstawiania obiektów, chętnie sięgali w swych argumentacjach po ruch lub obraz. Kilkakrot
nie dało się zauważyć, ża działania wykonane w obrębie reprezentacji enaktywnej czy ikonicznej pozwoliły lepiej i głębiej wniknąć w sens i istotę pojawiającej się w rozumowaniu symboliki matematycznej. Zobaczenie równoległości reprezen
tacji stwarzało sytuację, w której na reprezentację symboliczną „przenosiła” się wizualność tej drugiej. Uczestnicy badań często odwoływali się do zauważonej symetrii sytuacji czy konfiguracji, przy czym była to symetria natury seman
tycznej, tzn. odnosiła się ona do pewnego wewnętrznego obrazu, a nie tylko narysowanych kropek czy ustawionych pionków.
Jak widzieliśmy, najmłodsi uczniowie bardzo szybko i bez oporów zaakcep
towali argumentacje mające postać przykładów paradygmatycznych. Uczniowie szkoły średniej i studentki pełną ich aprobatę musieli poprzedzić pewnym okre
sem „oswajania się” , co jednak nie przeszkodziło im ostatecznie docenić walorów takich rozumowań. W wypowiedziach wszystkich badanych osób występowały, choć z różnym nasileniem, metonimie i metafory. Pojawiały się one zazwyczaj tam, gdzie dostrzegano, w mniej lub bardziej świadomy sposób, równoległość reprezentacji wykorzystywanych w rozpatrywanym dowodzie. W ślad za jej zobaczeniem szedł figuratywny sposób wysławiania się i rozumowania. Kilka
krotnie dało się zauważyć, jak w miarę pogłębiającego się rozumienia analizowa
nego uzasadnienia następowała ewolucja padających wypowiedzi. Początkowo w miejsce jednych figur pojawiały się inne, później te ostatnie były zastępowane sformułowaniami dosłownymi.
Sposób zorganizowania przedstawionych badań oraz nie pozbawiona pewnej dawki subiektywizmu metoda analizowania zgromadzonego materiału empirycz
nego zmuszają do ostrożności przy formułowaniu wypływających z tych badań
56 M D
wniosków. Uważamy jednak, że przeprowadzone eksperymenty potwierdzają słuszność sformułowanych hipotez. Wydaje się, że na akceptowalność dowodu przez uczniów, i to w znacznej mierze niezależnie od ich wieku, mogą wpłynąć pozytywnie takie cechy uzasadnienia jak: jego wizualność i figuratywność, sy
metria wykorzystywanego w nim postępowania, sięgnięcie w nim po dwie lub większą liczbę równoległych reprezentacji, nadanie mu postaci przykładu para- dygmatycznego oraz wykorzystanie w nim rozumowania rekurencyjnego, o ile matematyczna treść rozpatrywanego faktu na to pozwala.
L i t e r a t u r a
B a u e r s f e l d , H., Z a w a d o w s k i , W., 1988, Metafory i metonimie w nauczaniu matematyki, Dydaktyka Matematyki 8, s. 155-186.
B e l l , E.T., 1945, The development of mathematics, sec. ed., New York.
B r u n e r , J.S., 1978, Przebieg rozwoju poznawczego, w zbiorze artykułów Poza dostarczone informacje, PWN, Warszawa, s. 544-583.
D ą b r o w s k i , M., 1986i, O sile przekonującej dowodów w nauczaniu mate
matyki (rozprawa doktorska), IM UW, Warszawa.
D ą b r o w s k i , M., 19802, O dowodach kamyczkowych, Matematyka 1, s. Dydaktyka Matematyki 5, s. 7-25.
G l a e s e r , G., 1985, Epistemologia liczb względnych, Dydaktyka Matematyki 4,
O AKCEPTOWALNOSCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 57 ed. Rechensteine, Experiment, Sprache, Stuttgart.
O t t e, M., Z a w a d o w s k i , W., 1985, Creativity, Educational Studies in nauczających młodsze dzieci?, Matematyka 5, s. 299-309.
S e m a d e n i , Z., 1983, Integration of content and pedagogy in pre-service train
ing of mathematics teacher, Proceedings of the Foxirth International Congress on Mathematical Education, Birkhauser, Boston.
S e m a d e n i , Z., 1984, Action Proofs in Primary Mathematics Teaching and
ficzna?, Wiadomości Matematyczne 18, s. 113-129.
T y m o c z k o , Th., 1986, The four-color problem and its philosophical signifi
dations and Methodology of the Discipline of Mathematics Education, Proc. of the 2nd TME-G'onference, Bielefeld, s. 262-267.
58
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego? *
Weźmy dwie liczby parzyste, np. te z rysunku 1, i dodajmy je do siebie tak, jak na rysunku 2.
Jako sumę dostajemy liczbę z rysunku 3, która składa się z dwóch identycznych części, zatem jest liczbą parzystą.
Suma dwóch liczb parzystych jest więc liczbą parzystą.
ooooo OOOOO
ooo
Rys. 1
ooo
^ooooo ooooo
\ooq)
Rys. 2
(ooo
(oo3poooo
Rys. 3
oooodçxx)
Fiszka 1
O AKCEPTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 59
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Weźmy dwie liczby parzyste, np. te z rysunku 1, i znajdźmy ich sumę. wystarczy w tym celu zsunąć je tak, jak na rysunku 2.
Widać, że uzyskana liczba jest liczbą parzystą.
Suma dwóch liczb parzystych jest więc liczbą parzystą.
O O O O O
o o o o o
o o o o o o
Rys. 1
O o o o o o o o o o o o o o o o
Rys. 2
Fiszka 2
60
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Weźmy dwie dowolne liczby parzyste (rysunek 1) i znajdźmy ich sumę. Wystarczy w tym celu zsunąć je tak, jak na rysunku 2.
Widać, że uzyskana liczba jest liczbą parzystą.
Zatem suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Rys. 1
Rys. 2
Fiszka 3
O AKCEPTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 61
Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Niech m i n są liczbami parzystymi. Ponieważ obie liczby są parzyste, można je przedstawić w postaci:
m = 2 • k i n = 2 • / (k, l - liczby całkowite).
Policzmy ich sumę:
iii -f ?i — 2 • k Ą-2 - I — 2 • (Är 4- /)•
Zatem suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Fiszka 4
62 M D
Różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Weźmy dwie liczby parzyste, np. te z rysunku 1, i od górnej odej
mijmy dolną. Dla znalezienia tej różnicy wystarczy odjąć od siebie odpowiednie połówki tych liczb (rysunek 2).
Widać, że otrzymana liczba składa się z dwóch identycznych części, jest więc liczbą parzystą (rysunek 3).
Zatem różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą.
ooooo O O O O O
ooo
Rys. 1
ooo
ooooo ooooo
ooo
Rys. 2
ooo
oo
Rys. 3
oo
Fiszka 5
O AKCEPTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 63
Różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Weźmy dwie liczby parzyste, np. te z rysunku 1, i znajdźmy ich różnicą. Można to zrobić „odcinając” mniejszą liczbę od większej (rysunek 2).
Widać, że otrzymana różnica jest liczbą parzystą.
Różnica dwóch liczb parzystych jest więc liczbą parzystą.
O O O O 0 o o o o o o o o o o o
Rys. 1
O OlO o o o o!o o o
Rys. 2
Fiszka 6
64
Różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Weźmy dwie dowolne liczby parzyste (rysunek 1) i znajdźmy ich różnicą. Możemy to zrobić „odcinając” mniejszą liczbę od większej (rysunek 2).
Widać, że otrzymana różnica jest liczbą parzystą.
Zatem różnica dwóch dowolnych liczb parzystych jest liczbą parzystą.
Rys. 1
Rys. 2
Fiszka 7
O AKCEFTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW_________ 65
Różnica dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą
Dlaczego?
Niech m i n są dowolnymi liczbami parzystymi. Ponieważ obie są parzyste, można je przedstawić w postaci:
m = 2 • k i n = 2 • / (k, ł - liczby całkowite).
Policzmy ich różnicę:
m — n = 2 • k - 2 • / = 2 • (k — /).
Różnica dwóch dowolnych liczb parzystych jest więc liczbą parzystą.
Fiszka 8
TWIERDZENIE:
Suma n początkowych kolejnych liczb naturalnych wyraża się wzo
rem:
1 + 2 + • • • + 71 n ■ (n + 1) 2 DOWOD:
Przedstawmy za pomocą odpowiednio ustawionych pionków lub nary
sowanych kropek sumę dowolnej liczby początkowych kolejnych liczb naturalnych (rys. 1). Uzupełnijmy tę układankę czy rysunek do prostokąta - tak jak na rysunku 2.
Porstokąt ten składa się z n poziomych rzędów po n + 1 kropek w każdym. Jest więc zbudowany z n ■ (n + 1) kropek i ich liczba jest dwukrotnie większa od interesującej nas sumy - kropek czerwonych jest tyle samo co niebieskich.
Zatem dla dowolnego naturalnego n zachodzi wzór:
+ 2
71 '
+ n
1 + 2 + • • • + n 71 • (71 + 1) 2
n /---A---S
1 + 2 + • • • -f 71
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
O • • • • • O O • • • • o o o • • • o o o o • • o o o o o •
Rys. 1 Rys. 2
Fiszka 9
O AKCEPTOWALNOŚCI DOWODÓW PRZEZ UCZNIÓW 67
TWIERDZENIE:
Suma n początkowych kolejnych liczb nieparzystych wyraża się wzo
rem:
1 T 3 -f- 5 + • • • 4* (2
n— 1) = n2,
DOWÓD:
Dla policznia sumy kolejnych liczb nieparzystych przedstawimy pro
ces ich dodawania za pomocą kropek — tak jak na rysunku.
Widać, że kropki te układają się zawsze na podobieństwo kwadratu, którego bok zawiera ich tyle, ile liczb dodano.
Zatem suma kolejnych początkowych liczb nieparzystych równa się kwadaratowi ich liczby, tzn.:
1 + 3 + 5 + • • • + (2n - 1) = n2.
N---v--- ' n liczb
O 1
IX i+*
O O O O O O O O O O O C) 0 -0 -0 (!)
1+3+5+7
O O O O O O O-©-®
1+3+5
O O O O © O O O O O O O O O O O O O O O
o e -e-o-è
1+3+5+7+9
Fiszka 10