Zasady statyki

Statyka jako dział mechaniki ogólnej wykorzystuje następujące zasady (aksjomaty), które wynikają z obserwacji otaczających nas zjawisk, których się nie udowadnia, a przyjmuje jako pewniki.

• Zasada pierwsza (zasada równoległoboku)

Dowolne dwie siły Pr₁

i Pr₂

przyłożone do jednego punktu można zastąpić siłą wypadkową Wr

przyłożoną do tegoż punktu. Wektor wypadkowej jest prze-kątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił Pr₁

i Pr₂

w sposób poka-zany na rysunku 3.20a.

Rys. 3.20. Wypadkowa sił Pr₁

i Pr₂

O wypadkowej Wr

mówimy, że jest ona siłą równoważną układowi sił Pr₁

i Pr₂

. Jeżeli dany jest kąt ϕ między prostymi działania sił P₁ i P₂, wartość liczbową wy-padkowej

Wr

możemy obliczyć ze wzoru:

ϕ cos 2 _{1 2} 2 2 2 1 P PP P W = + + , (3.1)

Z powyższego wzoru wynika, że gdy siły Pr₁

i Pr₂

działają wzdłuż jednej prostej i ich zwroty są zgodne (rys. 3.20b), wartość wypadkowej W =P₁+P₂ (za kąt ϕ należy podstawić wtedy 0°), gdy natomiast siły te są przeciwnie skierowane (rys. 3.20c), pod-stawiamy ϕ = 180° i otrzymujemy W =P₁−P₂.

Kąty α i β, jakie linia działania wypadkowej Wr

tworzy z kierunkami sił Pr₁ i Pr₂

, określimy z twierdzenia sinusów stosując je do trójkąta ABD lub ACD:

( )

(

α β

)

α ⁼ sin180− + sin AD BD

, czyli: sinα ⁼ sin

(

180−ϕ

)

2 W

P

,

z czego otrzymujemy: sinα 2sinϕ

W P = (3.2) a) b) c) A B D C A A P1 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P W ϕ − 180 β

• Zasada druga

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy dzia-łają wzdłuż jednej prostej, mają te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty.

Na rysunku 3.21 siły Pr i Pr₁

przyłożone do punktów A i B równoważą się, gdy

działają wzdłuż jednej prostej AB, mają przeciwne zwroty i gdy ich wartości liczbowe są sobie równe (P₁=P).

W zapisie wektorowym, dla oznaczenia wektorów o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, w danym przypadku, zapiszemy: Pr Pr

− =

1 .

Rys. 3.21. Układ sił równoważących się

Często spotykanym przykładem ciała pozostającego w równowadze pod działaniem dwóch sił jest pręt, do którego na obu jego końcach przyłożone są siły obciążające, tak jak to pokazano na rysunku 3.22.

Siły Pr i Pr₁

w przypadku równowagi spełniają opisane wyżej warunki, a więc

działają wzdłuż osi pręta, mają jednakowe wartości i przeciwne zwroty. Gdy siły te działają tak jak na rysunku 3.22a, pręt jest rozciągany, gdy zaś tak jak na rys. 3.22b – ściskany. W opisanym przypadku pominęliśmy ciężar pręta, co jest usprawiedliwione, gdy jest on nieznaczny w porównaniu z siłami przyłożonymi na końcach.

Rys. 3.22. Pręt rozciągany (a) i ściskany (b) • Zasada trzecia

Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do niego dodamy lub odejmiemy dowolny układ sił równoważących się, czyli tzw. układ zerowy. B A P P₁ = − P ^l A B B C C

P

1 P a) b)

P

1 P

Jako przykład rozpatrzmy ciało, do którego w punkcie A jest przyłożona siła Fr

(rys. 3.23a). Do dowolnego punktu B leżącego na linii działania tej siły przyłożymy dwie równoważące się siły Pr

i Pr₁

, których wartości liczbowe są równe sobie i równe wartości siły Fr

(rys. 3.23b) F P P= ₁=

Przy tym założeniu siły Fr

i Pr₁

, przyłożone odpowiednio do punktów A i B, tworzą także zerowy układ sił. Zgodnie z zasadą trzecią możemy te siły odrzucić i pozostanie wówczas jedynie siła Pr

przyłożona w punkcie B, której wartość liczbowa równa jest F. Siła Pr

jest równoważna sile Fr

, gdyż ma ten sam co siła Fr

moduł, zwrot oraz tę samą prostą działania (rys 3.23c).

Rys. 3.23. Ilustracja zasady trzeciej Udowodniliśmy więc następujące TWIERDZENIE

Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesuwać dowolnie wzdłuż jej prostej działania.

Wektor siły jest więc wektorem przesuwnym – niezwiązanym z punktem zaczepie-nia, lecz związanym z prostą działania. Dla celów obliczeniowych można go przesunąć nawet poza obręb rozpatrywanego ciała materialnego, gdyż możemy zawsze myślowo związać ten wektor z ciałem za pomocą układu sztywnych, nieważkich prętów.

Powyższe twierdzenie może być stosowane przy rozpatrywaniu równowagi ciał, na-tomiast przy wyznaczaniu sił wewnętrznych w tych ciałach stosowanie tego twierdzenia wymaga ostrożności przy jego wykorzystywaniu. Ilustruje to rysunek 3.22, gdzie siły

Pr i Pr₁

na rys. a) i b) zostały zamienione miejscami poprzez przesunięcie wzdłuż swych prostych działania, w wyniku czego pręt rozciągany stał się prętem ściskanym. Można też sobie wyobrazić przesunięcie obu sił do punktu C . Zaczepienie ich w punk-cie C sprawia, że w prępunk-cie AB nie ma żadnych sił wewnętrznych – nie jest on ani ści-skany, ani rozciągany.

a) _b) c) A A _A B B l l l

F _F

P1

P _P ≡ _F

• Zasada czwarta (zasada zesztywnienia)

Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił,to po zesztywnieniu również będzie ono pozostawało w równowadze.

Z zasady tej wynika, że warunki równowagi, jakie muszą spełniać siły działające na ciało sztywne, obowiązują również dla identycznego ciała odkształcalnego. Jednak warunki, które w przypadku ciała sztywnego mogą być warunkami wystarczającymi, w przypadku ciała odkształcalnego mogą wymagać uzupełnień zależnych od rodzaju ciała.

• Zasada piąta (zasada działania i przeciwdziałania)

Każdemu działaniu towarzyszy przeciwdziałanie: równe co do wartości, o przeciwnym zwrocie, skierowane wzdłuż tej samej prostej.

Zasada ta jest trzecim prawem Newtona sformułowanym dla dowolnego ciała mate-rialnego, a nie tylko dla punktu materialnego. Przykładem może być jednorodna kula o ciężarze G zawieszona na linie (rys. 3.24a). Kula działa na linę w punkcie B siłą Gr

, powstanie więc tam reakcja Sr

, przy czym Sr Gr −

= . Również na punkt zamocowania A działa kula swym ciężarem za pośrednictwem liny, wywołując tym reakcję Rr

. (Gr Rr

−

= ), W układzie kula – lina - sufit działają więc siły pokazane na rysunku 3.24d, przy czym ich wartości liczbowe są sobie równe.

Rys. 3.24. Ilustracja zasady działania i przeciwdziałania Ciężar ciała Gr

jest siłą zewnętrzną czynną, siła reakcji Rr

jest siłą zewnętrzną bierną, a siła Sr

siłą wewnętrzną w linie.

• Zasada szósta (zasada oswobodzenia od więzów)

Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym działanie tych więzów odpowiednimi reakcjami, a następnie rozpa-trywać jako ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych oraz reakcji więzów.

G ^G

G

S

S

−

R

R

G

S=−

S

G=−

A A A A B B B B a) b) c) d)

Zasadę powyższą ilustruje przykład pokazany na rysunku 3.25. Działanie ścian, na których oparta jest w dwóch punktach swej powierzchni gładka kula o ciężarze Gr

, zastąpione jest tu reakcjami Rr₁

i Rr₂

.

Rys. 3.25. Ilustracja zasady szóstej

W dokumencie Mechanika ogólna z przykładami obliczeń (Stron 31-35)