ZASTOSOWANIE METODY NAPRZEMIENNYCH KIERUNKÓW (ADI)

Naturalnym zastosowaniem metod ADI są oczywiście problemy niestacjonar­

ne zawierające operator 3 \3t [84]. Można jednak traktować rozwiązanie równania eliptycznego typu (7.19) jako stan ustalony równania o postaci:

W = A1T+A2T - (7'36)

Taka interpretacja pozwala na zastosowanie metody ADI do zagadnień opisa­

nych równianiami eliptycznymi. Parametr At traci oczywiście w tym wypadku sens przyrostu czasu i staje się parametrem iteracji dobieranym z uwagi na minimalną liczbę iteracji, potrzebną do rozwiązania otrzymanego po dyskre- tyzacji przestrzennej układu równań algebraicznych.

Można przypomnieć, że zastosowanie metody ADI do równań parabolicznych wiąże się z podziałem każdego elementarnego kroku czasowego At na mniejsze kroki o długości związanej z ilością zmiennych przestrzennych. Pozwala to zapisać równanie (7.26) w postaci układu równań:

Tj_{+ 1 / 2} _Tj czasowym At/2 wymagane jest rozwiązanie jedynie trójdiagonalnego układu równań algebraicznych. Wielu autorów uważa, że stosowanie metody ADI do rozwiązywania zagadnień dwuwymiarowych jest ekonomicznie uzasadnione [97, 98, Ul],

Rozważmy równanie rzędu drugiego w ogólnej postaci:

2 2

a u , 3 u 3u , Su _ -n,

a - + b ł + c + d +eu+ = f . (7.39)

3x 3y 3x 3y

Metoda ADI, podobnie jak inne metody różnic skończonych, prowadzi do

-107-układu równań algebraicznych w ogólnej postaci:

Au = b . (7.40)

Zapiszmy macierz A układu (7.40) w postaci:

A = H+V+Z , (7.41)

gdzie macierze H,V,£ związane są z następującymi członami równania (7.39):

W metodach ADI nie czyni się żadnych założeń odnośnie operatorów z wyjątkiem jednego naturalnego założenia o nieosobliwości operatorów

związane z możliwością wyboru optymalnych wartości parametrów iteracji

ratorów Lj i L ^. Operatory i w równaniu eliptycznym zapisanym we współrzędnych walcowych w przypadku symetrii osiowej są przemienne i samo- sprzężone. Można jednak określić warunki zbieżności metody ADI również w przypadku ogólnym, tj. gdy operatory nie są przemienne [1 1 1].

Określmy teraz warunki, które będą równoważne założeniu przemienności operatorów Lj.L,,, a jakie muszą spełniać macierze H,V,£, tak aby metoda ADI była zbieżna. Definiując macierze A^ i A^H+0,5£i A2=V+0,5£, tak że A=A1+A2 ,warunek zbieżności rozwiązania równania (7.40) metodą ADI sprowa­

dza się do założenia, że A^>A2 musz8l być symetryczne i dodatnio określone oraz A1A2=A2A J. Warunek przemienności jest niestety bardzo silny i jest spełniony tylko dla wąskiej klasy zagadnień brzegowych [149]. Mimo to praktyczne doświadczenia z metodami ADI nasuwają przypuszczenie, że sprzy­

jające własności tych metod zachodzą także często i w przypadku nieprze- miennym, gdy przy rozwiązaniu stosuje się ciąg parametrów optymalnych u>k wyznaczony dla przypadku przemiennego.

Po wprowadzeniu macierzy A j. A2 woźna iteracyjnie poszukiwać rozwiązania układu (4.7) według zależności:

(7.42)

d y ^ d y Z: eu .

(w^D+L^) dla <x=l,2. Dodatkowe założenia nakładane na operatory L ^ , L ^ są

1 2

o>k,£Jk ’ Tymi dodatkowymi założeniami są samosprzężenie i przemienność

ope-(7.43)

(W i 0)u = b' (Ar V i ,)u'

Wybierając spośród wielu wariantów metod typu ADI metodę Peacemana- Rachforda można jej algorytm zapisać w postaci:

(A +w 0)u(n+1/,2)= b-(A -w 0 )u(n)

1 n+ 1 2 n+1

(n+1) , ,. „,(n+1/2)

2 n+1 =b-(Ar wn+l0)

(7.44)

Określenie optymalnego doboru ciągu parametrów dla równania elip­

tycznego wymaga korzystania z funkcji eliptycznych Jacobiego i z numerycz­

nego punktu widzenia pozostaje problemem nierozwiązanym. W praktyce korzy­

sta się z algorytmów przybliżonego doboru podanych przez Wachspressa lub Peacemana i Rachforda (98,149), który był wykorzystywany w tej pracy.

Dotyczą one zagadnień płaskich z warunkami brzegowymi pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju przy spełnieniu założeń o stałości pewnych współczyn­

ników w tych warunkach [111]. Eksperymenty numeryczne wykazały, że zaleca­

ne ciągi a>k dają również dobrą zbieżność dla układów równań zespolonych.

Oto parę uwag na temat stabilności metody ADI. W przypadku dwuwymiaro­

wym metoda ta jest bezwarunkowo stablina, pomimo że każdy z jej elementar­

nych półkroków jest warunkowo stabilny i posiada dokładność drugiego rzędu

[

(ńr) , (Az) , (At)^{2 2 2l} Dla większej ilości wymiarów metoda może posiadać uwarunkowaną stabilność, ale zazwyczaj do stabilności całego układu wymagana jest stabilność opera­

tora zawierającego największą liczbę pochodnych; pozostałe operatory mogą być niestabilne.

Można więc stwierdzić, że równanie typu:

(7.45)

określone na prostokącie, na bokach którego zadane są kombinacje warunków brzegowych jednego z trzech typów i przy założeniach, że k^=k^(r), k^k^iz), q=const, może być rozwiązane metodą naprzemiennych kierunków.

Założenia o stałości q oraz zależności współczynników k tylko od jednej współrzędnej r lub z są istotne. Gdy chociaż jedno z tych założeń nie jest spełnione, to macierze A^ i A₂ nie będą przemienne.

Zastosowanie metody ADI do pełnego równania transportu, tj. gdy jedno­

cześnie występuje dyfuzja i konwekcja, nie zmienia bezwzględnej stabilnoś­

i a du d du

r d r

v —

_{d r} ^{+ —}_{d z} ^k3 _dz -qu = -f (r, z)

-109-ci metody. Stwierdzono, że może jednak nastąpić utrata bezwarunkowej sta­

bilności metody przy rozwiązywaniu równań o zmiennych współczynnikach lub równań opisanych w obszarach innych niż prostokątne [111]. Pomimo to eks­

perymenty numeryczne pokazały, że metoda ADI może być stosowana do znacz­

nie szerszej klasy równań różniczkowych niż równania o stałych współczyn­

nikach w obszarach prostokątnych.

Porównując metodę ADI z innymi metodami iteracyjnymi, można stwierdzić, że osiągnięcie określonej dokładności wymaga ln(l/ńx) iteracji przy wymia­

rze siatki Ax dążącym do 0 oraz 1/Ax iteracji dla metody SOR lub iteracji Jacobiego z przyśpieszeniem Czebyszewa. Metoda ADI jest możliwa do zasto­

sowania, jak się wydaje, do mniejszej klasy problemów niż metody pozosta­

łe. Jej każdy krok jest znacznie bardziej pracochłonny niż w przypadku in­

nych metod iteracyjnych, a jej większa szybkość zbieżności ujawnia się do­

piero przy optymalnym doborze parametrów Obliczenia wykazały, że zakładając poprawność zastosowania ADI, istnieje taka wartość kroku przes­

trzennego Axg,że dla Ax>Axg metody typu SOR są zalecane, a dla Ax<Axg me­

toda ADI gwarantuje szybszą zbieżność.

W dokumencie Pola sprzężone elektromagnetyczne i temperatury w nagrzewnicach indukcyjnych rur (Stron 105-108)