Rozwinięcia asymptotyczne mocy testów przybliżonych
Przykład 7. Zastosujemy twierdzenie 6 do rozwinięć wyprowadzonych w
+ (1 − pn)P0(Sn∗ + Xn¬ cα) dostajemy, po pewnych przekształceniach
cα− c∗α ∼ 3 2n −k −1 − α 2α n −k+1 (1 − pn)2.
Połóżmy k := 1 i (1 − pn)2 := 1/ log n, i odnotujmy, iż (ii) zachodzi z c(∞)α = 3/2, ale (4.4) nie zachodzi. W zamian, mamy
cα− c∗α ∼ −1 − α 2α
1
log n. (4.10)
Przy H1połóżmy pn= 1, tj. Sn= Sn∗(1−n−k) i niech Sn∼ U [0, 3]. Zauważmy, że (i),(iii) i (v) z r = 1 zachodzą przy H1, ale z (4.10), mamy
βSn− βS∗ n 1 log n.
Zatem, same warunki (i),(ii),(iii) i (v) nie wystarczą w twierdzeniu 6.
Przykład 7. Zastosujemy twierdzenie 6 do rozwinięć wyprowadzonych w
rozdziale 3.1. W celu jednoczesnego ujęcia rozwinięć dla obu alternatyw rozważanych w podrozdziałach 3.4 i 3.6, oznaczmy przez TNTN statystykę testową najmocniejszego testu niezmienniczego, TLapniech oznacza jej aproksy-mację bazującą na rozwinięciu Laplace’a, a TIW statystykę testową testu ilo-razu wiarogodności (por. wzory (3.25), (3.32) dla alternatywy jednostajnej oraz wzory (3.38), (3.39) dla alternatywy wykładniczej).
Mamy
TNTN = TLap1 + Op(n−2) (4.11) oraz
TNTN = TIW (1 + Op(log n/n)) , (4.12) przy obu hipotezach H∗0i H∗1oraz dla obu alternatyw. By móc użyć twierdzenia 6, rozważmy równoważne statystyki testowe log TNTN, log TLap i log TIW. Z (4.11) i (4.12) wynika, że
i
log TNTN = log TIW + Op(log n/n) .
Choć formalna weryfikacja warunku (ii) wydaje się zadaniem zbyt skompli-kowanym, można zdobyć pewien wgląd w tę kwestię poprzez następującą analizę. Zgodnie z uwagą 6, istotą warunku (ii) jest istnienie rozkładu asymp-totycznego statystyk testowych przy H∗0. Oczywiście, wystarczy zbadać tylko jedną spośród statystyk log TLap i log TIW, powiedzmy log TIW.
Niech ˜R(·) oznacza albo rozstęp, gdy chodzi o alternatywę jednostajną, albo wartość bezwzględną minimum, gdy rozważamy alternatywę wykład-niczą. Dla konfiguracji próby Y mamy
TIW = ˜R(Y(2)) min
s∈R
˜
R(Y(1)+ sY(2)).
Ponadto, dzięki lematom 4 i 5, dla dostatecznie dużych n, mins∈RR(Y˜ (1)+ sY(2)) ˜R(Y(2)) ≈ ˜R(Y(1)) ˜R(Y(2)), więc log TIW ≈ log( ˜R(Y(1)) ˜R(Y(2))). W następującym lemacie pokażemy ściśle taki związek przyjmując, że rozważamy alternatywę jednostajną. Dla alternatywy wykładniczej teza tego lematu jest analogiczna, a dowód podobny do podanego niżej.
Lemat 9 (Rezultat własny). Przy H∗0 mamy min
s∈R R(Y(1)+ sY(2))R(Y(2))
R(Y(1))R(Y(2)) → 1 p.p. Dowód:
Przy H∗0, X1 ∼ N2(m, Σ). Lemat 4 i teza (3.18) lematu 5 dla hn(s) = (8 log n)−1/2R(X(1) + sX(2)), A(s) = [(1, s)Σ(1, s)T]1/2, ˜s = −σ12/σ2 2 oraz s∗n:= −ˆσ12/ˆσ2 2 dają 1 √ 8 log n min s∈R R(X(1)+ sX(2)) − R(X(1)+ s∗nX(2)) = o(1) p.p. (4.13) Z (3.27) otrzymujemy zależności ˆ σ1q1 − r2 12 min s∈R R(Y(1)+ sY(2)) = min s∈R R(X(1)+ sX(2)) ˆ σ1 q 1 − r2 12R(Y(1)) = R(X(1)+ s∗nX(2)) (4.14)
i korzystając z mocnej zbieżności statystyki ˆσ1q1 − r2
12 do swego odpowied-nika z populacji, przekształcamy (4.13) do postaci
1 √ 8 log n min s∈R R(Y(1)+ sY(2)) − R(Y(1)) = o(1) p.p. (4.15) Następnie zauważmy, że
R(Y(1)) √
8 log n → 1 p.p., co wynika z (4.14), oraz faktu, że Rn/√
8 log n → 1 p.p., gdy Rnjest rozstępem próby prostej z rozkładu normalnego o wariancji 1. Zatem, mnożąc (4.15) przez √
8 log n/R(Y(1)) (co zbiega mocno do 1), otrzymujemy
min
s∈R R(Y(1)+ sY(2))
R(Y(1)) → 1 p.p., co oczywiście jest równoważne z tezą lematu.
Rozważmy wpierw testowanie przeciwko alternatywie jednostajnej. Szkut-nik pokazał, że przy H∗0 zmienna losowa
(4 log n)[log( ˜R(Y(1)) ˜R(Y(2))) − log(8 log n)] + 2(log log n + log 4π) ma rozkład asymptotyczny ([50, twierdzenie 3 dla p = 2]), który ma ściśle dodatnią i ciągłą gęstość. Oryginalne testy bazujące na statystykach TNTN, TLap i TIW odrzucały H0∗, gdy wartości statystyk były zbyt małe. Celem właściwego ich dostosowania do bieżących sformułowań oraz, by otrzymać prawostronne i właściwie przeskalowane testy, definiujemy
SIW = −(4 log n) [log TIW − log(8 log n)] , SLap= −(4 log n) [log TLap− log(8 log n)] , SNTN = −(4 log n) [log TNTN − log(8 log n)] , mamy
SNTN = SLap+ Op(log n)/n2, (4.16) SNTN = SIW + Op(log2n)/n, (4.17)
i możemy oczekiwać (por. lemat 9), że te statystyki mają niezdegenerowane słabe granice.
Podobnie dla alternatywy wykładniczej, korzystając z twierdzenia 3 z pracy [50], przy H∗0 zmienna
(2 log n)[log( ˜R(Y(1)) ˜R(Y(2))) − log(2 log n)] + (log log n + log 4π) zbiega słabo do zmiennej o gęstości ściśle dodatniej i ciągłej i właściwym skalowaniem w tym przypadku jest
SNTN = −(2 log n) [log TNTN − log(2 log n)]
i podobnie dla pozostałych statystyk. Zależności (4.16) i (4.17) obowiązują również w tym przypadku.
Zatem, jeśli warunki (iii) i (iv) twierdzenia 6 zachodzą dla SNTN, to βTNTN(α) = βTLap(α) + o(1) i βTNTN(α) = βTIW(α) + o(1). Ponieważ rozkłady statystyk testowych nie są znane w jawnej postaci, wykonano symulacje, by uzyskać wgląd w stosowalność twierdzenia 6 i możliwych wartości r. Dla obu typów alternatyw, wygenerowano 10.000 replikacji statystyk SNTN, SLapi SIW przy H∗j, j = 0, 1. Dla dwuwymiarowej alternatywy jednostajnej rozważane były rozmiary próby n = 5, 15, 50, 125, a dla dwuwymiarowej alternatywy wykładniczej 5, 15, 50. Wykresy 4.1 przedstawiają estymatory jądrowe gęs-tości statystyk SNTN. Rozkłady przy H∗0 stabilizują się, a przy H∗1 przesuwają się na prawo i wszystkie gęstości są dzwonowate, tak więc warunki (ii)-(iv) powinny zachodzić.
Do zweryfikowania warunku (v), obliczone zostały momenty empiryczne kilku rzędów dla Zn = (n2/ log n)(SNTN − SLap) i Zn = (n/ log2n)(SNTN − SIW). Wyniki dla dwuwymiarowej alternatywy jednostajnej przedstawione są w tabelach 4.1 i 4.2. Dla testu opartego na aproksymacji Laplace’a, momenty empiryczne rosną wraz z n przy H∗0 i H1∗, podczas gdy dla testu IW maleją dla wszystkich wartości r. To sugeruje zamianę rzędu reszty w (4.16). Po za-mianie (log n)/n2 na (log n)/n w (4.16), momenty absolutne w warunku (v) maleją dla obydwu testów, tym szybciej im większe jest r, ponieważ rozkłady coraz bardziej koncentrują się w zerze. Należy jednak odnotować, iż 1/n w (4.16) byłoby zbyt szybkie i sprawiłoby, że momenty ponownie eksplodowa-łyby. Odpowiednie rozwinięcia dla funkcji mocy testów przybierają zatem postać
0 5 10 15 20 25 0.0 0.2 0.4 0.6 n=5 n=15 n=50 n=125
(a) Statystyka NTN przy H∗0. Dwuwymia-rowa alternatywa jednostajna.
0 5 10 15 20 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=5 n=15 n=50
(b) Statystyka NTN przy H0∗. Dwuwymia-rowa alternatywa wykładnicza.
0 5 10 15 20 25 0.0 0.2 0.4 0.6 n=5 n=15 n=50 n=125
(c) Statystyka NTN przy H∗1. Dwuwymia-rowa alternatywa jednostajna.
0 5 10 15 20 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=5 n=15 n=50
(d) Statystyka NTN przy H1∗. Dwuwymia-rowa alternatywa wykładnicza.
Rysunek 4.1: Ewolucja ze zmianą n gęstości statystyk testowych NTN. (es-tymatory jądrowe bazujące na 10, 000 replikacjach).
i
βNTN = βIW + O(n/ log2n)−a, z a dowolnie bliskim jedynki.
Dla dwuwymiarowej alternatywy wykładniczej potrzebna jest podobna zamiana w (4.16). Tym razem rząd przybliżenia w (4.16) musi być zamieniony
Tablica 4.1: Empiryczne momenty absolutne rzędu r dla Zn = (n2/ log n)(SNTN − SLap) i dwuwymiarowej alternatywy jednostajnej.
H∗ 0 H∗ 1 H H H H H H H p r .125 .25 0.5 1 3 .125 .25 0.5 1 3
5 1.4 2.0 4.0 2.0e1 5.4e4 1.4 2.0 4.2 2.2e1 7.0e4
15 1.4 2.3 5.6 4.0e1 8.3e5 1.5 2.4 6.6 5.6e1 1.2e6
50 1.5 2.4 7.2 8.8e1 1.6e7 1.8 3.3 1.2e1 1.8e2 3.7e7
125 1.4 2.4 8.6 1.6e2 1.7e8 2.0 4.1 1.8e1 4.4e2 5.7e8
Tablica 4.2: Empiryczne momenty absolutne rzędu r dla Zn = (n/ log2n)(SNTN − SIW) i dwuwymiarowej alternatywy jednostajnej.
H∗ 0 H∗ 1 H H H H H H H p r .125 .25 0.5 1 3 .125 .25 0.5 1 3 5 1.2 1.4 2.0 4.0 8.3e1 1.2 1.4 2.0 4.4 8.3e1 15 1.2 1.3 1.8 2.8 3.2e1 1.1 1.3 1.6 2.8 1.9e1 50 1.1 1.3 1.6 2.4 1.9e1 1.1 1.1 1.4 2.0 6.4e0 125 1.1 1.3 1.4 2.0 1.3e1 1.1 1.1 1.2 1.6 3.8e0
na (log2n)/n. Wówczas maksymalna dopuszczalna wartość r wynosi 1 dla zarówno testu opartemu na aproksymacji Laplace’a, jak i testu ilorazu wiaro-godności, co daje
βNTN = βLapl+ O(n/ log2n)−1/2 i
βNTN = βIW + O(n/ log2n)−1/2.
Symulacje z pracy [31] przedstawione w podrozdziale 3.7 pokazały, iż pomimo pozornie lepszego przybliżenia testu opartego na aproksymacji La-place’a (por. (4.11) i (4.12)), test IW okazał się w większości przypad-ków mocniejszy niż test bazujący na aproksymacji Laplace’a. Koreluje to
koniecznością zmiany rzędu błędu rozwinięcia (4.16) w celu zaspokojenia warunku (v). Z drugiej strony sugeruje to, że w rzeczywistości rząd aproksy-macji testu IW może być wyższy niż w (4.12). Zależność ta bowiem została otrzymana w [31] najpierw przez potraktowanie TLapjako aproksymacji TNTN, a dopiero później TIW jako aproksymacji TLap. Bezpośrednia analiza TNTN − TIW, gdyby udało się ją przeprowadzić, mogłaby, potencjalnie, dać lepszy rząd aproksymacji.
Podsumowanie
Celem niniejszego rozdziału jest streszczenie najważniejszych nowych wy-ników osiągniętych w tej rozprawie. Dla lepszej czytelności podajemy je w punktach.
• Najważniejszym wynikiem rozdziału 2 jest dowód twierdzeń 1 i 2 o postaci rozwinięć Laplace’a, które w kompletnej postaci nie zostały podane w znanej autorowi literaturze. Punkt (i) twierdzenia 1 zawiera ponadto istotnie nowy fakt odnośnie rzędu metody Laplace’a w przy-padku mniej regularnych funkcji, a przykład 3 dostarcza symulacyjnych argumentów za istotnością przyjętych założeń.
• W podrozdziale 3.4 rozważane były NTN dla problemu testowania (H∗0, H1∗) z dwuwymiarowym rozkładem normalnym i rozkładem jed-nostajnym na kwadracie. Przy użyciu metody Laplace’a skonstruowa-ne zostało przybliżenie TU† dla statystyki testowej G∗-NTN podanej we wzorze 3.14. Wyprowadzona została postać testu IW i pokazano, że jego statystyka testowa jest formalnym rozwinięciem statystyki TU†, a stochastyczny rząd względnego błędu tego przybliżenia to Op(log n/n) (por. twierdzenie 4). Warto podkreślić fakt, iż związek między statys-tykami testowymi testu IW i testu opartego na aproksymacji Laplace’a były sugerowane w przypadku testów dla danych jednowymiarowych ([14, 16, 40]), ale żadne rozwinięcia nie zostały tam wyprowadzone. • W lematach 3, 4 i 5 scharakteryzowano kształt i asymptotykę funkcji
występującej w całkowych reprezentacjach NTN. W niniejszej pracy posłużyło to do wyprowadzenia przybliżeń, o których mówiliśmy w poprzednim punkcie, oraz zostało wykorzystane w całkowaniu nume-rycznym podczas symulacji mocy z podrozdziału 3.7. Wynik ten doty-czy też przypadków o wymiarze wyższym niż 2.
• Wyniki podrozdziału 3.4 pozwoliły wyjaśnić naturę heurystycznego przybliżenia z pracy [48], które w istocie okazało się praktycznie rów-noważne testowi IW.
• W podrozdziale 3.5 przedyskutowano możliwość rozszerzenia wyników dotyczących związków NTN i testów IW na problemy p-wymiarowe z p 3.
• Wszystkie uwagi z czterech powyższych punktów stosują się również dla problemu testowania (H∗0, H∗1) z dwuwymiarowym rozkładem nor-malnym i dwuwymiarową alternatywą wykładniczą.
• Wartości mocy z tablicy 3.1 dla p ∈ {2, 3, 4, 5} oraz z wykresów z rysunku 3.1 dla p ∈ {2, 3, 4} stanowią przybliżone górne oszacowania dla dowolnego G∗-niezmienniczego testu dla odpowiednich problemów testowania. Ponieważ G∗ ⊂ G, są to również górne ograniczenia dla mocy testów G-niezmienniczych, choć w tym przypadku nie muszą one być osiągalne.
• Twierdzenie 6 rozstrzyga krytyczną kwestię rozwinięć mocy testów konstruowanych poprzez przybliżenia statystyk testowych, co oczywiś-cie dotyczy także QNTN oraz przybliżeń tutaj wyprowadzonych. W twierdzeniu 7 pokazujemy, że warunki (i)-(iv) twierdzenia 6 są dosta-teczne dla zbieżności do zera różnicy mocy testów dokładnego i przy-bliżonego. Jak dowodzimy w przykładzie 4, warunki (i)-(iv) nie są wystarczające do otrzymania tempa zbieżności do zera różnicy mocy z tezy twierdzenia 6.
• W przykładzie 5 dowodzimy, że bez spełnienia warunku (iii) jest moż-liwe, iż różnica mocy testów dokładnego i przybliżonego nie zbiega do zera, nawet gdy stochastyczny rząd zbieżności do zera różnicy statystyk testowych tych testów jest dowolnie wysoki.
• W przykładzie 6 dowodzimy, że same warunki (i),(ii),(iii) oraz (v) nie wystarczają do osiągnięcia tempa z tezy twierdzenia 6.
• W przykładzie 7 zastosowano twierdzenia 6 do rozwinięć wyprowa-dzonych w tej rozprawie, ale wobec trudności technicznych kluczowe warunki zweryfikowano tylko przy pomocy symulacji. Doprowadziło to do konkluzji, że moc testu opartego na aproksymacji Laplace’a i moc testu IW mają w zasadzie identyczne rozwinięcia względem mocy NTN, mimo (pozornie) lepszego przybliżenia statystyki NTN statystyką testu opartego na aproksymacji Laplace’a.
• Tezy twierdzeń 6, 7, przykładów 4, 5 i 6, oraz rozważania z przykładu 7 rzucają nowe światło na istniejące w literaturze aproksymacje (por. podrozdziały 3.2 i 3.3). Tempo stochastycznej zbieżności różnicy statys-tyk testowych testu dokładnego i przybliżonego nie musi determinować (asymptotycznej) jakości aproksymacji testu. Wydaje się, że równie is-totnym aspektem jest zachowanie się momentów bezwzględnych unor-mowanej różnicy statystyk testowych z warunku (v) twierdzenia 6. W szczególności może to wyjaśnić fenomen dominacji testu IW nad testem opartym na aproksymacji Laplace’a w symulacjach z pracy [40], o którym była mowa w podrozdziale 3.3.
[1] Andersen PK, Gill RD (1982) “Cox’s regression model for counting pro-cesses: a large sample study”. Annals of Statistics 10:1100-1120
[2] Alva JAV, Estrada EG (2009) “A generalization of Shapiro-Wilk’s test for multivariate normality”. Communications in Statistics - Theory and Methods 38:1870-1883
[3] Andersson SA (1982) “Distributions of maximal invariants using quo-tient measures”. Annals of Statistics 10, 955-961
[4] Arcones MA (2007) “Two tests for multivariate normality based on the characteristic function”. Mathematical Methods of Statistics 16:177-201 [5] Arnold BC, Balakrishnan N (1989) Relations, Bounds and
Approxima-tions for Order Statistics. Lecture Notes in Statistics 53
[6] Barbe P (1993) “Limiting distribution of the minimal spacing”. Mathe-matical Methods of Statistics 3:306-325
[7] Barndorff-Nielsen OE, Blæsild P, Eriksen PS (1989) Decomposition and Invariance of Measures with a View to Statistical Transformation Mo-dels. Lecture Notes in Statistics 58, Springer, Heidelberg
[8] Barndorff-Nielsen OE, Cox DR (1989) Asymptotic Techniques For Use in Statistics. Chapman and Hall, London
[9] Barndorff-Nielsen OE, Cox DR (1994) Inference and Asymptotics. Chap-man and Hall, London
[10] Barndorff-Nielsen OE, Jupp PE (1988) “Differential geometry, profile likelihood, L-sufficiency and composite transformation models”. Annals of Statistics 16:1009-1043
[11] Bleistein N, Handelsman RA (1975) Asymptotic Expansions of Integrals. Holt, Rinehart and Winston, New York
[12] Chiu SN, Liu KI (2009) “Generalized Cram´er von Mises goodness-of-fit test for multivariate distributions”. Computational Statistics and Data Analysis 53:3817-3834
[13] Copson, ET (1965) Asymptotic Expansions. University Press, Cambridge [14] Cox DR (1961) “Tests of separate families of hypotheses.“ Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Pro-bability. Volume 1:105-123. University of California Press, Berkeley, Ca-lifornia.
[15] Ducharme GR, Frichot B (2002) “Quasi most powerful invariant goodness-of-fit test”. Technical report no 02-07, Groupe de Biostatis-tique et d’Analyse des Syst`emes, Universit´e Montpellier II.
[16] Ducharme GR, Frichot B (2003) “Quasi most powerful invariant goodness-of-fit tests”. Scandinavian Journal of Statistics 30:399-414 [17] Dyer AR (1974) “Hypothesis testing procedures for separate families of
hypotheses”. Journal of the American Statistical Association 69:140-145 [18] Eaton ML (1983) Multivariate Statistics: A Vector Space Approach.
Wi-ley, New York
[19] Eaton ML (1989) Group invariance applications in statistics Regional Conference Series in Probability and Statistics. Volume 1, Institute of Mathematical Statistics and the American Statistical Association. [20] Erd´elyi A (1967) Rozwinięcia asymptotyczne. PWN, Warszawa
[21] Farrel PJ, Salibian-Barrera M, Naczk K (2007) “On tests for multiva-riate normality and associated simulation studies. Journal of Statistical Computation and Simulation 77:1065-1080
[22] Fattorini L, Pisani C (2000) “Assessing multivariate normality on the “worst” sample configuration”. Metron 58:23-38
[23] Fisher RA (1936) “The use of multiple measurements in taxonomic prob-lems”. Annals of Eugenics 7/II:179-188
[24] Franck WE (1981) “The most powerful invariant test of normal versus Cauchy with applications to stable alternatives”. Journal of the Ameri-can Statistical Association 76:1002-1005
[25] H´ajek J, ˇSid´ak Z, Sen PK (1999) Theory of Rank Tests, 2nd ed. Aca-demic Press, San Diego
[26] Hanusz Z, Tarasińska J (2008) “A note on Srivastava and Hui’s tests of multivariate normality”. Journal of Multivariate Analysis 99:2364-2367 [27] Henze N (2002) “Invariant tests for multivariate normality: a critical
review”. Statistical Papers 43:467-506
[28] Hsu LC (1948) “A Theorem on the asymptotic behavior of a multiple integral”. Duke Mathematical Journal 15:623-632
[29] Hsu LC (1951) “On the asymptotic Evaluation of a Class of Multi-ple Integrals Involving a Parameter”. American Journal of Mathematics 73:625-634
[30] Liang J, Pan WSY, Yang Z-H (2004) “Characterization-based Q-Q plots for testing multinormality”. Statistics and Probability Letters 70:183-190
[31] Majerski P, Szkutnik Z (2010) “Approximations to most powerful inva-riant tests for multinormality against some irregular alternatives”. TEST 19:113-130
[32] Majerski P, Szkutnik Z (2011) “A note on asymptotic expansions for the power of perturbed tests”. Journal of Statistical Planning and Inference 141:3736-3743
[33] Mann HB, Wald A (1943) “On stochastic limit and order relationship”. Annals of Mathematical Statistics 14:217-226
[34] Mardia KV (1970) “Measures of multivariate skewness and kurtosis with applications”. Biometrika 57:519-530
[35] Maruyama Y (2010) “A multinormality test based on mixture of skew-ness and kurtosis”. Far East Journal of Theoretical Statistics 30:49-59 [36] Mecklin CJ, Mundfrom DJ (2004) “An appraisal and bibliography
of tests for multivariate normality”. International Statistical Review 72:123-138
[37] Okamoto N, Seo T (2010) “On the distributions of multivariate sample skewness”. Journal of Statistical Planning and Inference 140:2809-2816
[38] Olver FWJ (1974) Asymptotics and Special Functions. Academic Press, New York
[39] Pace L, Salvan A (1997) Principles of Statistical Inference. World Scien-tific, Singapore
[40] Pace L, Salvan A, Ventura L (2006) “Likelihood-based discrimination between separate scale and regression models”. Journal of Statistical Planning and Inference 136:3539-3553
[41] Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (1995) Numeri-cal Recipies in C. The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge University Press, New York
[42] Rockafellar RT (1970) Convex Analysis Princeton University Press, Princeton
[43] Serfling RJ (1980) Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York
[44] Shun Z, McCullagh P (1995) “Laplace approximation of high dimen-sional integrals”. Journal of the Royal Statistical Society B 57:749-760 [45] S¨ur¨uc¨u B (2006) “Goodness-of-fit tests for multivariate distributions”.
Communications in Statistics - Theory and Methods 35:1319-1331 [46] Sz´ekely GJ, Rizzo ML (2005) “A new test for multivariate normality”.
Journal of Multivariate Analysis 93:58-80
[47] Szkutnik Z (1987) “On invariant tests for multidimensional normality”. Probability and Mathematical Statistics 8:1-10
[48] Szkutnik Z (1988) “Most powerful invariant tests for binormality”. An-nals of Statistics 16:292-301
[49] Szkutnik Z (1992) “Special capacities, the Hunt-Stein theorem and transformation groups”. Annals of Statistics 20:1120-1128
[50] Szkutnik Z (2011) “On the Durbin-Wagle randomization device and some of its applications”. Nieopublikowany mauskrypt.
[51] Tenreiro C (2009) “On the choice of the smoothing parameter for the BHEP goodness-of-fit test”. Computational Statistics and Data Analysis 53:1038-1053
[52] Tenreiro C (2011) “An affine invariant multiple test procedure for asses-sing multivariate normality”. Computational Statistics and Data Ana-lysis 55:1980-1992
[53] Uthoff VA (1970) “An optimum test property of two well-known statis-tics”. Journal of the American Statistical Association 65:1597-1600 [54] Uthoff VA (1973) “The most powerful scale and location invariant test
of the normal versus the double exponential”. Annals of Statistics 1:170-174
[55] Watson GN (1918) “Harmonic functions associated with the parabolic cylinder”. Proceedings of the London Mathematical Society Series 2, 17:116-148
[56] Wijsman RA, (1985) “Proper action in steps, with application to density ratios of maximal invariants”. Annals of Statistics 13:395-402