2
B T
T
, (102)
gdzie ΔB0 jest miarą niejednorodności pola, a g jest czynnikiem giromagnetycznym jądra.
W próbkach układów biologicznych o niskiej hydratacji sygnał zaniku swobodnej precesji dla protonów jest sumą składowych pochodzących od frakcji stałej i frakcji ciekłej.
W próbkach cieczowych molekuły poruszają się szybko, wartość pól lokalnych uśrednia się, a linia rezonansowa jest wąska – opisana jest funkcją Lorentza. Zanik swobodnej precesji FID opisany jest wtedy funkcją eksponencjalną. W ciałach stałych ruch molekuł jest znacznie wolniejszy, pola lokalne nie ulegają uśrednieniu, dlatego linia absorpcji jest szeroka.
Wzbudzenie występuje w większym zakresie częstości.
W próbkach, w których sygnał pochodzi zarówno od ciała stałego, jak i od cieczy rejestrowany sygnał FID będzie sumą (Derbyshire i in. 2004):
t fsFs
t f F
tF L L (103)
gdzie FS(t) to sygnał pochodzący od frakcji stałej sygnału FID, natomiast FL(t) to sygnał pochodzący od protonów mobilnych, fS i fL, to współczynniki, będące miarą udziału składowej stałej oraz składowej cieczowej w sygnale. Schemat sygnału FID wraz z widmem MRJ pochodzącym z układu dającego sygnał ciała stałego oraz cieczy, przedstawiony został na Rycinie 16.
Rycina 16. Zestawienie zaników swobodnej precesji oraz widm NMR pochodzących od próbki zawierającej zarówno frakcję stałą, jak i frakcję cieczową (Derbyshire i inni, 2004)
67 1.4.9.3. Transformacja Fouriera
Sygnał zaniku swobodnej precesji FID jest obserwowany w domenie czasu. Dzięki przejściu do domeny częstotliwości, za pomocą transformacji Fouriera, możemy uzyskać informacje o częstościach ω fali elektromagnetycznej, która jest pochłaniana w czasie zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego oraz emitowana podczas relaksacji jądrowej.
Mając funkcję czasu F(t), taką, że istnieją całki: oraz
za pomocą transformacji Fouriera możemy uzyskać funkcję f(ω) w następujący sposób
W technice impulsowego magnetycznego rezonansu jądrowego w celu wzbudzenia spinów, stosuje się krótkie pola impulsowe o częstotliwości radiowej (rf). Impulsy te, nie są monochromatyczne, lecz polegają na wygenerowaniu fal elektromagnetycznych o częstotliwościach z zakresu zbliżonego do częstotliwości rezonansowej ω. Skrócenie czasu trwania impulsu powoduje, że szerokość tego przedziału częstości poszerza się (Hausser , Kalbitzer 1993).
Przez działanie bardzo krótkiego impulsu, czyli o dużej szerokości spektralnej, chcemy uzyskać równomierne wzbudzenie całej szerokości obserwowanego pasma.
Rejestrowany zanik swobodnej procesji będzie wtedy złożeniem wielu różnych funkcji, a nie tylko pojedynczą funkcją eksponencjalną (Hausser, Kalbitzer, 1993). Jeśli mamy do czynienia z układem biologicznym o niskiej hydratacji, sygnał FID jest sumą sygnału pochodzącego od frakcji stałej oraz frakcji cieczowej.
1.4.9.4. Składowa zaniku swobodnej precesji pochodząca od spinów fazy stałej
Jeśli założy się, że hamiltonian jest sumą tak dużej liczby oddziaływań dipolowych, że prowadzi do szerokiej linii z bardzo skomplikowaną strukturą, składową stałą funkcji zaniku swobodnej precesji, FS, warto rozwinąć w szereg momentów statystycznych linii MRJ:
68
gdzie M2n oznacza kolejne parzyste momenty linii rezonansowej. Momenty nieparzyste wynoszą zero (Abragam 1961).
1.4.9.5. Zastosowanie funkcji Gaussa w analizie widma NMR oraz FID
Pola lokalne w ciele stałym nie uśredniają się do zera. Jądra, które wchodzą w skład badanej próbki oddziałują zarówno z zewnętrznym, stałym polem magnetycznym o indukcji B0, jak i z lokalnymi polami wytwarzanymi przez sąsiadujące jądra. W zależności od tego jakie jądra sąsiadują z jądrem rezonansowym, takie będzie lokalne pole. W przypadku substancji amorficznej rozkład pól lokalnych, a przez to również częstości rezonansowych, jest przypadkowy i dobrze opisany funkcją Gaussa:
,Transformacja Fouriera funkcji Gaussa jest również funkcją Gaussa:
, opisywana właśnie krzywą gaussowską. Model ten wielokrotnie został już wykorzystany do opisu układów biologicznych, takich jak plechy grzybów zlichenizowanych (Harańczyk i in.2009), DNA (Harańczyk i in. 2012a), czy dentyny (Funduk i in. 1986).
Funkcję Gaussa można rozwinąć w następujący szereg momentów (Abragam 1961):
gdzie M2 to drugi moment statystyczny, przedstawiany jako:
TG
natomiast T2G to efektywny czas relaksacji poprzecznej, zwykle oznaczany przez . Sygnał zaniku swobodnej precesji, Fs, może być opisany sumą większej liczby funkcji Gaussa:
gdzie Si są amplitudami składowych stałych, a mierzonymi czasami relaksacji spin–spin.
69 1.4.9.6. Model funkcji Abragama
Sygnał zaniku swobodnej precesji pochodzący od matrycy stałej dla niektórych próbek zawierających protony o małej ruchliwości, w układach krystalicznych bądź w fazie szklistej, lepiej opisuje tzw. funkcja Abragama (Abragam 1961, Dries van Den i in. 1998). W domenie czasu jest ona iloczynem funkcji Gaussa i funkcji sinkus:
btRozwinięcie funkcji w Abragama w szereg momentów przedstawia się następująco:
,
...,gdzie drugi i czwarty moment są równe:
2
Funkcja Abragama była z powodzeniem używana do opisu sygnału MRJ w domenie czasu dla wielu układów biologicznych np. w kompleksie CTMA - DNA (Harańczyk i in.2012a) czy w niektórych porostach antarktycznych (Harańczyk i in. 2012c). Sygnał FID opisywany funkcją Abragama oraz odpowiadające mu widmo MRJ przedstawiony został na Rycinie 18.
1.4.9.7. Dublet Pake’a
Dla jąder o spinie I = 1/2 tylko dwa rzuty spinów na oś kwantyzacji są dozwolone. Kąt między wektorem łączącym dipole a wektorem indukcji zewnętrznego pola wyraża się jako . Energię oddziaływania dipolowego można zapisać jako:
Dgdzie r to odległość między oddziałującymi spinami.
Korzystając z powyższego wzoru zależne od orientacji rozszczepienie dipolowe można przedstawić jako:
jest niezależną od pola magnetycznego stałą sprzężenia dipolowego.
70
Dla próbki monokrystalicznej, zawierającej odizolowane pary jąder, ze wzoru 116 można wywnioskować, że widmo będzie złożone z dwóch linii rozdzielonych na odległość rzędu D, zależną od orientacji kryształu względem pola zewnętrznego. W próbce polikrystalicznego proszku, dozwolone są wszystkie wartości kąta , przez co widoczny jest tzw. dublet Pake’a (Pake 1948), czyli superpozycja wszystkich linii położonych w zakresie dozwolonym przez wartości wyrażenia ( ). W przypadku takiej próbki, rejestrowany sygnał jest zdominowany przez oddziaływanie dipolowo-dipolowe między dwoma najbliższymi spinami, poszerzony oddziaływaniem ze spinami dalszymi. Widmo przedstawiające dublet Pake’a P(ω) będzie sumą dwóch składników P1(ω) oraz P2(ω), odpowiadającym dwóm stanom spinowym sąsiada (Derbyshire i in. 2004):
P1
P2
Parametr L określa maksymalne rozszczepienie. W wyniku heterojądrowego sprzężenia dipolowego odległość pomiędzy maksimami w dublecie jest równa stałej sprzężenia dipolowego D (Rys. 17) (Laws, Bitter, Jerschow 2002). Wierzchołki dubletu Pake’a odpowiadają sytuacji, kiedy wektor jest prostopadły (θ = 90°) oraz równoległy (θ = 0) do wektora zewnętrznego pola magnetycznego . Jeśli wektor jest zorientowany pod kątem θ
= 54,7° do wektora sprzężenie dipolowe jest równe zero i nie ma wpływu na częstotliwość rezonansową (Laws, Bitter, Jerschow 2002). W przypadku homonuklearnym piki w dublecie są rozszczepione na odległość .
71
Rycina 17. Dipolowy dublet Pake’a dla pary spinów oddziałujących w polikrystalicznej