Współczynniki DOP
i miary dokładności
w obserwacjach satelitarnych
dr hab. inż. Paweł Zalewski
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
„Dilutions of precision” (DOP) są współczynnikami geometrycznymi dokładności spodziewanych wyników pozycji w odbiorniku GPS. Wartość tych współczynników jest uzależniona od wzajemnych położeń na orbicie satelitów, których sygnał wykorzystywany jest do pozycjonowania, czyli od geometrii ich konfiguracji.
Wartości DOP mogą być wyrażane w różny sposób w zależności od wpływu pozycji satelitów na poszczególne komponenty pozycji odbiornika:
GDOP geometrical dilution of precision (geometryczny) PDOP positional dilution of precision (pozycyjny)
HDOP horizontal dilution of precision (w poziomie) VDOP vertical dilution of precision (w pionie)
GDOP geometrical dilution of precision
Ogólny współczynnik geometrycznej dokładności odnoszący się do czterech zmiennych opisujących wyznaczoną z systemu GPS pozycję (X, Y, Z, t) lub (B(φ), L(λ), h, t). Współczynnik ten łączy czasowo przestrzenną istotę pomiaru opisując jakość oszacowania w przestrzeni 4D:
gdzie:
- błąd pomiaru parametru linii pozycyjnej – pseudoodległości, zakłada się, że dla każdego satelity równy 1,
- jednowymiarowe błędy średniokwadratowe (odchylenia standardowe) wyznaczonej w trzech wymiarach pozycji i czasu. lub: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 dt z y x t c z y x c GDOP
ct z y x , , ,DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
2 2 2 2 2 1 dt U N E c GDOP
PDOP positional dilution of precision
Przestrzenny współczynnik geometrycznej dokładności 3D odnoszący się do pozycji trójwymiarowej (X, Y, Z) lub (B, L, h) stosowany w nawigacji lotniczej, kosmicznej, lądowej i precyzyjnym miernictwie – geodezji.
lub: 2 2 2 1 z y x PDOP
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
2 2 2 1 U N E PDOP
HDOP horizontal dilution of precision
Płaszczyznowy (poziomy) współczynnik geometrycznej dokładności 2D odnoszący się do pozycji dwuwymiarowej (X, Y) lub (φ, λ). Istotny w nawigacji morskiej, gdy brak jest konieczności oszacowywania wysokości (h).
lub:
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
2 2 1 y x HDOP
2 2 1 N E HDOP
VDOP vertical dilution of precision
Wertykalny (pionowy) współczynnik geometrycznej dokładności 1D odnoszący się do pomiaru wysokości – jednowymiarowej linii pozycyjnej (Z) lub (h). Istotny w nawigacji lotniczej, kosmicznej i morskiej (np. pomiarach osiadania statku).
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
UTDOP time dilution of precision
Czasowy współczynnik geometrycznej dokładności 1D odnoszący się do pomiaru czasu – jakości szacowania t.
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
ct c dt• Wymienione współczynniki geometryczne zależą odwrotnie proporcjonalnie do błędu pomiaru parametru mierzonego w systemie, a wprost proporcjonalnie do błędów wyznaczenia każdej ze współrzędnych, w tym czasu.
• Wyrażenie pod pierwiastkiem odpowiada błędowi średniemu pozycji
M.
• DOP 3D jest zawsze większe równe od DOP 2D.
• Zagadnienie minimalizacji DOP jest kluczowym problemem umożliwiającym otrzymanie współrzędnych pozycji z wysoką dokładnością.
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
Oz Rz htmin P S Powierzchnia ZiemiStrefa widzialności satelity
Równik
Płaszczyzna horyzontu topocentrycznego
Strefa widzialności satelity z uwzględnieniem dolnej granicznej wysokości topocentrycznej – wpływa na DOP i dostępność pozycji.
DOP – współczynniki geometrycznej dokładności:
N W E S 04 23 16 25 29 14 27 13 30 09 05- 13 - Dokładność określenia pozycji w systemie satelitarnym można określić poprzez macierz kowariancji przyrostu współrzędnych.
Wektor przyrostu współrzędnych geocentrycznych lub geodezyjnych:
gdzie:
- przyrost wektora stanu w kierunku N-S, - przyrost wektora stanu w kierunku E-W,
- przyrost wektora stanu w kierunku wertykalnym, - przyrost poprawki zegara odbiornika.
Analityczne wyznaczenie DOP:
t t h x z y x x
lub t h
Macierze kowariancji wektora x (przyrostu współrzędnych):
- geocentrycznych:
- geograficznych lub geodezyjnych (topocentrycznych):
Analityczne wyznaczenie DOP:
2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) ( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) , cov( ) ( t t h h h h h h H H D z y x z y z x z y z y x y x z x y x A A D t t t t h t t T W GS t t t t z t y t x T x
Transformacja z Dx do DWGS lub kowariancji pomiarów topocentrycznych następuje poprzez rotację R (pomijając składową czasu):
Analityczne wyznaczenie DOP:
2 2 2 sin sin cos cos cos 0 cos sin cos sin sin cos sin h h h h h T Xxyz W GS RD R D R
2 2 2 U UE UN EU E EN NU NE N topo D
Analityczne wyznaczenie DOP:
2 2 2 2 2 2 2 2 44 33 22 11 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 ) trace( Z Y X U E N E N U TDOP PDOP HDOP VDOP D D D D D GDOP D D D D D D D D D D D D D D D D D
- 17 -
Analityczne wyznaczenie DOP:
1
)
(
90
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cos
sin
sin
cos
sin
.
.
.
.
.
.
.
.
.
NEU T NEU Si Si Si Si Si Si Si i i i NEUA
A
D
h
z
z
Az
z
Az
z
U
E
N
A
Korzystając z macierzy współczynników przyrostów szacowań topocentrycznych uzależnionych od odległości zenitalnych i azymutów satelitów:
Odległość zenitalna względem wysokości topocentrycznej: Macierz kowariancji pomiarów:
Analityczne wyznaczenie DOP:
1
sin
cos
cos
sin
cos
1
sin
cos
cos
sin
cos
1
sin
cos
cos
sin
cos
)
4
(
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n NEUTel
Az
el
Az
el
el
Az
el
Az
el
el
Az
el
Az
el
n
A
Minimalizacja DOP – maksimum objętości bryły:
)}
min{trace( D
Minimalizacja DOP:
...
...
...
1
)
sin(
)
cos(
1
)
sin(
)
cos(
1
)
sin(
)
cos(
3 3 2 2 1 1Az
Az
Az
Az
Az
Az
A
NEUPrzy braku wysokościowej rzędnej minimalizacja DOP następuje, gdy satelity rozmieszczone są równomiernie dookoła widnokręgu (minimalne pole figury zbudowanej z błędów linii pozycyjnych oraz maksymalne pole figury o wierzchołkach w pozycjach satelitów przy równych odstępach kątowych: Azi - Azj=const.=360˚/nSAT).
Przykładowo, gdy:
szukamy najpierw stosunku dla systemu B:
Porównanie jakości uzyskanych pozycji z dwóch odbiorników GPS - RTK:
Jeżeli system A ma według specyfikacji producenta dokładność 20mm DRMS3D a system B dokładność 10mm CEP, to który z nich wyznacza dokładniej pozycję?
Przykład wykorzystania DOP:
8 . 1 HDOP PDOP HDOP PDOP HDOP PDOP B B A A
Odpowiedź zależy od stosunku PDOP do HDOP wyznaczanych pozycji, gdyż miara DRMSA3D odnosi się do przestrzeni trójwymiarowej, a miara CEPB do dwuwymiarowej. B D B CEP DRMS x 3
Porównanie jakości uzyskanych pozycji z dwóch odbiorników GPS – RTK:
Przykład wykorzystania DOP:
Skąd dla systemu B: HDOP PDOP DRMS DRMS CEP DRMS x D B D B B D B 8326 . 0 8326 . 0 2 3 3 16 . 2 8326 . 0 8 . 1 x ] mm [ 6 . 21 10 16 . 2 3D B DRMS
Ponieważ dokładność DRMS3D systemu A wynosząca 20mm jest lepsza, ten system jest dokładniejszy przy aktualnej konfiguracji satelitów.
