• Nie Znaleziono Wyników

View of Models for Aristotle’s Syllogistic in the Domain with Two Members

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "View of Models for Aristotle’s Syllogistic in the Domain with Two Members"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E Tom XLVI-XLVII, zeszyt 1 -1 9 9 8 -1 9 9 9

PIOTR KULICKI Lublin

M O D E L E D LA S Y L O G IS T Y K I A R Y S T O T E L E S A W D Z IE D Z IN IE D W U E L E M E N T O W E J

Sylogistyka Arystotelesa ma swoją powszechnie znaną i naturalną interpre­ tację w algebrze zbiorów. F. Johnson (por. [1]) pokazał, że dla specyficznego rodzaju formuł, łańcuchów sylogistycznych, można ograniczyć modele pozwa­ lające na rozstrzygnięcie formuły do dziedziny trzyelementowej. Jest to istotne ze względu na efektywność procedury rozstrzygania wykorzystującej modele. W pracy tej pokażemy, że dla sylogizmów pozytywnych można zredukować rozpatrywane modele do dziedziny dwuelementowej. Zbudowaną na tej podsta­ wie procedurę decyzyjną rozszerzamy na wszystkie wyrażenia sylogistyki wzbogaconej o spójniki klasyczne.

Przez s y s t e m s y l o g i s t y k i rozumiemy aksjomatyczny

system sylogistyki zdań asertorycznych nabudowany na klasycznym rachunku zdań, przedstawiony przez J. Łukasiewicza (por. [2]). Przyjmuje się w nim regułę odrywania i podstawiania za zmienne nazwowe, wszystkie podstawie­ nia tez klasycznego rachunku zdań oraz następujące specyficzne aksjomaty:

SaS, SiS,

MaP a SaM —> SaP,

MaP a MiS -» SiP.

J. Słupecki (por. [3]) udowodnił, że każdy sylogizm pozytywny (tzn. im­ plikacja, której poprzednikiem jest koniunkcja pozytywnych zdań kategorycz­ nych, a następnikiem pozytywne zdanie kategoryczne) albo jest tezą systemu sylogistyki, albo jest aksjomatem odrzuconym, A x '1, bądź daje się otrzymać z wyrażenia odrzuconego za pomocą jednej z dwóch reguł odrzucania: przez

(2)

2 4 0 PIOTR KULICKI

odrywanie, M P '1, lub przez podstawianie, Subst'1. Aksjomat odrzucony i reguły mają postać:

(Ax"') i SaM a PaM -> SiP,

| a - > ( 3 , --- 1 3 (Mp->) , i cc ! e(a) (Subst"1) :--- > 1 Ot

gdzie a i 3 są dowolnymi wyrażeniami prostymi sylogistyki, a e dowolnym podstawieniem za zmienne nazwowe.

W pracy rozpatrujemy modele dla systemu sylogistyki wyznaczone przez następujące macierze: a 01 10 11 01 V F V 10 F V Y 11 F F V i 01 10 11 01 V F V 10 F V V 11 V V V

Argumenty charakteryzowanych funkcji a oraz i odpowiadają niepustym zbiorom w dziedzinie dwuelementowej, a ich wartości są wartościami logicz­ nymi odpowiednich zdań atomowych (V - verum, F - falsum ).

Twierdzenie: Każdy sylogizm pozytywny jest rozstrzygalny za pomocą

modeli z dziedziny dwuelementowej.

Dowód: Badając rozstrzygalność sylogizmów za pomocą danego zbioru

modeli, wystarczy rozpatrzyć następujące warunki:

(1) Specyficzne aksjomaty są spełnione w każdym z modeli. (2) Pewien model falsyfikuje aksjomat odrzucony.

(3) Jeżeli wyrażenie a —> 3 j est spełnione w każdym modelu, a wyrażenie 3 falsyfikowane w pewnym modelu, to wyrażenie a jest falsyfikowane w jakimś modelu.

(3)

MODELE DLA SYLOGISTYKI ARYSTOTELESA W DZIEDZINIE DWUELEMENTOWEJ 2 4 1

(4) Jeżeli wyrażenie e(a) jest falsyfikowane w pewnym modelu, to jest też w pewnym modelu falsyfikowane wyrażenie a .

Dowód faktu (1) pozostawiamy Czytelnikowi. Dla udowodnienia (2) wy­ starczy w aksjomacie odrzuconym położyć za M, P i S odpowiednio wartości: 11, 01, 10. Otrzymujemy wtedy:

10 a 11 a 01 a 11 —> 10 i 01 = V a V -> F = F. Zachodzenie (3) oraz (4) jest oczywiste. Q.E.D.

Aby posłużyć się macierzą analogiczną do naszej przy ujęciu rezultatu Johnsona, musimy użyć trzech elementów generujących jej argumenty. W ten sposób otrzymuje się osiem wartości, z których Johnson eliminuje skrajne. Tak więc w jego ujęciu rozpatruje się faktycznie sześć argumentów, a u nas tylko trzy.

Rozszerzymy teraz nasz rezultat do dowolnych wyrażeń języka sylogistyki. Każda formuła z języka sylogistyki wzbogaconej o spójniki klasyczne da się rozłożyć na koniunkcję formuł o postaci:

A t a ... Am -> Bj v Bn (m, n > 0),

gdzie Aj, ..., Am, Bj, ..., Bn są pozytywnymi zdaniami kategorycznymi. Z cytowanej pracy Słupeckiego wynika, że wyrażenie o tej postaci jest tezą, gdy tezą jest przynajmniej jedno z wyrażeń:

A[ a . . . a Am —> Bj (1 < i < n).

Wynika stąd i z naszego twierdzenia:

Wniosek: Każda formuła sylogistyki wzbogaconej o spójniki klasyczne

(4)

2 4 2 PIOTR KULICKI

B IB L IO G R A F IA

1. J o h n s o n F ., T hree-m em bered D om ain s for A r isto tle ’s S y llo g is tic , „Studia L o g ica ”, L, 5 0 (1 9 9 1 ), nr 2, s. 181-187.

2. L u k a s i e w i c z J., O sy lo g isty c e A rystotelesa, (Sp raw ozd ania P o lsk iej A kadem ii U m iejętn o ści, 44, nr 6 ), Kraków 1939, s. 2 2 0 -2 2 7 .

3. S 1 u p e c k i J., Z badań nad sy lo g isty k ą A rystotelesa, W rocław 1948.

M O D E L S FOR A R IST O T L E ’S SY L L O G IST IC IN TH E D O M A IN W ITH T W O M E M B E R S

S u m m a r y

The paper sh o w s that it is enough to con sid er m o d els in a dom ain w ith tw o m em bers to invalidate any p o sitiv e sy llo g is m that is not a theorem o f A r isto tle ’s s y llo g is tic . The respective m atrices that can be used for resulting d ecisio n procedure are sh ow n . The presented result is extended to a d e c isio n procedure for any form ula o f A r isto tle ’s s y llo g is tic enriched w ith c la s s i­ cal co n n ectiv es.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dwa miliony ateistów z czerwoną pieczęcią na czołach; Dwadzieścia milionów wiernych ochrzczonych w kościołach; Pokoleń aspiracje, słowiański papież im iści?. A tu - wbrew

Żydowie nie chcą się zachować w Rzeczypospolitej wedle konstytu- cyi, to jest iż się wdawają w sprawy Rzeczypospolitej stanowi szlachec- kiemu należące, tedy prosić Króla

Die einige Tausend Exemplare zählende Auflage wurde sehr schnell ver­ griffen, obwohl der polnische Leser sowohl über Island als auch über Laxness eher wenig wußte..

Z takiego punktu widzenia celowa wydaje się nie tylko prewencja zdarzeń krytycznych, co bardzo często nie jest po prostu moŜliwe, ile podwyŜszenie indywidualnych moŜliwości

Wystąpienia referatowe, komunikaty i postery doty- czyły: zmian klimatu w plejstocenie; późnoglacjalnych i holoceńskich laminowanych osadów jeziornych z Pol- ski

Juz˙ samo zastosowanie stylizacji biblijnej moz˙e nam wiele powiedziec´ o nadawcy tego komunikatu. Ten głos rozlega sie˛ w konteks´cie trzech s´wiatów, o których mys´li bohater.

On the occasion of the upcoming beatification, the bishops of Argentina, gathered at the 180th plenary meeting (August 21–23, 2018), sent a letter to the administrator of the

The conciliar declaration as well as the conceptual and redaction process which belong to the LEF projects demonstrate the legislator’s intention regarding the direc- tion of