Scheepsbewegingen

4-Rapport 209-K

ZEEGOLVEN EN SREEPSBEWEGINGEN.

CoUep. 1961,

rofIr

7. Gerritsma.

i

n3.øiij.n.

Het ged'ag van eon

schip

in golven is eaata1. redenen Van belang

voor de eobeepabottwluande,

We zullen dit aan de

hand

van eon paar voorbealden toelichten, zon

dei' op dit moment volleclig te willen zijn,

n de eei'ste plaate zijn de bewegingen van can sobip, dat in golven

vaart,

belangrijk in verband

met

de veiliheid VaX2 het echip.

Iet overnamen

van

groen water over de boeg of de zijden van hot

ochip, hat paaltos piken, kaajer's, zijn verschijnselen die

_kunnen

optreden ala gevolg van

de acheepsbeweingen in golvea. Daarbi3

kunnen

ongewenate

of zelfe

gevaarlijke toestanden ontstaan,

Eau schip

dat tevee]. water' aan dek krtjgt. kan

beechadigd

worden

(bet

inelaart

van luiken op kolensohepen, ingedrukte frontechotten

van

dekhuizen, schade ann dekwerktuigen).

Hot paaltjes

pikken kan aanieiding

geren tot zware p3.aataelijice

deformatios van hot viak in bet voorochip en van de

andere construc.

tiedelen daar ter p].arttee. 'liitmetingen aan schepen is gebleken,

dat hot paaltjes

pikken

(Engelem

Slamming) gepaard kan

gaan met

eon-plaataelijke waterdruk

van

3,5

kg/cm;

in aen enkel goya]. is zelfa

7

kg/cm2 en meer

gemeten1

Daze drukpjekeri. komen in eon zeer koz'te tid tot stand, zodat met

recht van druketoten gesproken kan worden. De trilhingen die bij

hot paaltjes pikken

vaak

optreden, zijn de oorzaak van extra

span

ningen in bet mater'iaal van de acheeperomp, do z.g. whipping stress.

-ten gevo].ge van bet

normale buigende moment in golven + de apanning

als gevoig van bet paaltjea pikken) kan hierdoor in bepaalde geva3.. len gevaaz'lijk hoge waaden aayinemex1 wat uiteraard niet gewenat ja.

Xn de meeete ev-ailen Za]. men door vaart te minderen of door de

koexß vn bet echip te veranderen, trachten hat paaltjee piicken te vermijden.

Uit dit voorbeeld blijkt dat ook de sterkte van bet eohip nauw ver.. band boudt met de bewegingen die bet aohip nzaakt: de zeegang en de

ra8ulterande eebee»sbeweginen zijn

dé oorzak.n van krachten an

butgende momenten die de ecbeepeconstruçtie

moat kunnen doorstaan.

De gebruikeltjke methode orn de

vereiate sterkte Yan

de soheeparomp te bepa3.en is tot dusver boofdzakelijk gebaseerd op eèn atatteche

beechouwing.

lien denkt zieh bet echi» 1.n eau golfdal. o op eon goiftop geplaatat

(etandaard atnetingen van de golfe golfiengte ecbeepalengts,

golthoogte 1/20 van degolfiengte), Sobip

en gof

bewegen niet en

de reaulterende krachten

_{en momenten, ale}

_{gevoig van bet}

verachil in

gewicht en waterverp].aatsjng over de langte vanO hat

echip levaren

de nodige gegevana orn bet buigande moment en daarmede hat weerstanda-moment van de rnaterjaaldooranedan te bepalen.

Dynamische et fac ten veroorzaakt door de acheepabewajngen worden hierbij. at geheel verwaarlooad f

zLj worden op ean zeer

vereenvou-digde wijz&in rekening gebracht,

De toenemende ocheepsgrootte en ¡e toenemende acheepsaneiheid zullen

bet misechian nodig maken orn te onderzóeken of daze

staudaax'dbere-kening gehandhaaft kan

bliJen of dat eon andere

berekaningamatbode

nodig is, waarbij de echeepebewegingen, en dus de dynaxntecbe efteci.

ten eon rol zullen apelen.

Ean ander belangrijk punt is bet al of niet

_{aangenaam bewegen van}

bet sohip. Men zou in dit verband kunnen apreken van de

bwqonbaar-bei øf van bet comfort aan boord ?an eon echip.

De amplituden Van de scheepobewegirigen en de daarbi _optredende veraneflingen moeten beneden zeker'e grenzen blijven. Te grate

elm-gerhoeken en te grate veraneUingen btj eon elingerend soup kunnen

hat verb].ijf sah boord nthder.aangenaam maken orn maar ¿n voorbeeld te noemen. Hat Le overigene moeilijk orn hierbij toêlaatbai-e _grenzen

aan te geven. Bovendien speelt

hat ch.epatype

hierbij eau rol.

Bij sen viskotter za). men anderé maatetaven aan).eggen dan bij sen

groot passagiereechip.

Van sen goed

zeesohip mag geeist worden dat het zieh onder' de measte

omatandighaden ale bet ware ruetig en gemakkelijk gedraagt in

zea-gang. Er' ziju echter weinig concrete criteria

bekend over hat al of

niet toelaatbaar zijn van beweginga-

en veraneUineamp3.ituden.

Enke3.e onderzoekingen ziju verricht omtrent cL. voorwaarden die hat

optreden van zeeziekte bevorderen (zia

diasartatie

Dr. Nieuwenhuizen)

Daarbi.j bleak eau hoge coXzelatie te bestaan tusen de grootte van

de veranelli.ngen ale gevoig van de

scheepsbewegineu en hat

optreden van zeeziekte. _{ie de witdrukken 1, 2 en 3.}

Odcde ecoflomia Van bet

schip is eau factor' die beinvloed wordt door de acheepibewegingen want

acheepebewegingan zijn

vaak de oorzaak

van en.lhejdever).jee.

Op de Noord Atlantische acheparoutea is hat daardoor sonta moeilijk

orn vuarucherna's aan te houdan

Od&t verfraging kan ontataan bij list

aflev.ren van vracht.

Tijdverliea en koatbaar overwerk van bet

havenbodrijf

kunnen

bet gevoig hiervan zijn.

Met bebuip van eei t1s _{onder'zoak toonde Lewis aan dat dit ene)...}

heidaverlies voor

eau norznaa3. vrachtschip (type

Victory) op 4.

Noord Atlantische route zeer aanzienlijk kan ziju.

Witdruk4geeft een indruk van

de grootta van dit

enelheideverlies

ale functie van de toestand van de

mee en van de

r'ichting vari

mee en

wind t.o,v. da koere van bet scbip. Hat is

gebleken dat bij hat over.

echrijden van eau bepaalde golfhoogt., hat grootata deal van bet

enelhejdevez'ljee

veroorzaakt wordt door'

hat vrijwil).ig lrer'minderen

van bet vermogen i.v.m. te heftige aoheapabewgngen, Hat ênelheida..

verliee wordt dus niet in hoofdzaak bepaald door

de grotere

wear-stand di. de golven

veroorzaken. Lewis maakte ook

eon

vergelijking

tuasen 4e preatatie3 van hit Victory schip en aen oudar

type:de

"Sen Tirzo", van ongev.er dezelfde

boofdafmet.ngen, waarvan de be-drijfegegevena in 1921b door' sent gepubliceerd werden.

Hat Victory echi» heaft

sen maximum vermogen van 8500 aplc ter besohik

king, waarmede in viak water eau sneiheid van 1?+ knoop ontwikkeld

kan wox'den.

De "8an Tirzo" beehikt. ov-ei' 1600 apk en de sneiheid in viak water

b.dxoeg ongevaer 10 knoop.

Xneen van vore

inkomende zee, bij wtndkraobt 7

8 Beaufort, bi...

ken b.ide ich.p.n .l.cht. ein enelbeid

van 6

8 knopen te kunnen

ontwikkelen. De "San TirE." b.nutt. daarbij bijna zinn

geh.le

be-echilcbare

verzogen, terwiji

bet Victory echip draetiaob vermogen

mo.t minderen orn da ta heftige scheepebewegingen te verininderen.

Oridanke hit

tut dat de scheepovorm in de afgelopen 2 30 jaar,

wat betreft bet varen in vlÙ water ongeIeer 25 % verbetez'd i., bleek hit Victory echip t ev. de en.3.heid in eagang onder de

ge.-achetete onstandigheden

niet biter te zijn dan

het oude achip

"San Tirzo".

In verband met bet eoma grote anelbeideverliee in goiven werdt tegenwoordig hit z.g. optimale routere bij het bepa3.eu van de route

van bet echip toegepeat. Man

vereteat

hieronder bet voorepellen van ein zodanige route tuasen twee havane, dat

bij gegeven

ve.reometan.

digheden de kortte reieduur bereikt wordt. Men kan in principe oak de route vooraps]l.n waarbij de bewegingen van hit

8Chip bianen

be-pacida, te atufen grenzen, bltjv.n.

Bij hat optirnaal routeren wordt gebruik gemaakt van de weereverwach-.

tingen in bet gebied waár bet achip vaart.

De winduneiheideverwach-tingen gebrutict de oceanograaf orn de toietand van de za. ti voorepelu

len ludien hit gedrag van bet achip in golven bekend ie,bijvoorbeeU

ten aanzieu van hat

artelheideverliee of

ten aanzian van de aehieps-.

bewegingen, dan

kan de vereiete optimale route

bepaald worden. Er zijn aethodon bekend orn volgena eau bepaaid ichema dit optimum

t. bepalen.

Ein dergelijk. optimale navigatie kent men raide geruime tijd bij

hat viiegen. In bet

algemeert ie de aneiheid van vitegtuigen groot ten opzichte van is eneiheid wearmecie aleoht weer zieh verp]-aatet.

ov.ndt.n baeobikt ein vilegtuig ovu' de mogelijkheid orn door

boogte-verandering

dicht

wear ta ontìpen.

Ben sohip ia in

verband met zijn kleinere aneiheid voor bet optimasi routeren ein rnoeilijker object. Niettemin hebben uitvoerige proeven

-5u,

tren eon behoor].ijke tljdwinat behaa]4 kan worden. Een 17 mi jis Vtctoz'y oóhip bleek op de Atiantisohe Oceaan door' optimale router'ing

.n

tijdwinet van gemiddsid 10 uur te

kunnen

bereiken. Qok Nederland-s. Rederijen zijn bezig in .am.nw.z'king met hot K.N.M.I. do mog.lijk. hsdsn van. bet rcut.ren te beatuderen.

Onlang

(1962)

io Ir 1arneinck

geproinoveerd op eon proefeobrift dat o.a. hot routeren behandelde. In hot bovenstaand. zijn wiliekeurig sen aantal voor'boelden verinsid omtr.nt bet gedrag van ecu echip in zeegang waarbij ziob moeilijk'.' beden kunnen vooz'doen di. 4e vei3.igheid van hot echip of

de

soonò-mioche xp],oiti. aryan betreffen,

Men kan nu de vraag ete1ien "Waaraan most een ochip voldoen wil bet eon oed zeeecbi,p zijn?".

flit de gegeven voorbeelden za). bet we). di4delijk zijn dat écu eoberp geformuleerd et.). voorwaarden mosiiijk te gayen is,

Dat ein uchip in zwaar weer' niet ten andar mag gaan door' oorzaken die r4chtetreelce

mot de echeepebeweglngen te maken hebben io duideLjk

vooropgeeteid dat bet sohip op de juiete wijze woz'dt genavig.erd.

Maar demo oie te niet voldoende cm van eon goad meesobip te kunnan

epr'.ken.

ICent heeft in 1950 oui beecbrijving gegeven van wat hij onder eon goed ze.eohip (esakindly ship) veretast.

"E.n goed zeesobip te eon ochip dat in ruwe zoo geen water eau "dek krijgt terwijl maar «einig buiewater ann boor'd komt.

"Onathankeiijk van de ric1ting van wear en wind t1o.v. 4, koers "van bet achip, moot bet dem. koere kunnen voihouden met siechte "wenig roergevens hot echip moat an.). reageren op kleine

roer-"hoeken en sen behoorli3lce enelh.id kunnen ontwikkelen, zonder "paaltjee pikken, abnoreale variatias in bet koppel van de "echroefas of periodisk doorolean van de echroet.

"Open dekken moeten g.mackelijk begaanbaar zijn in zwaar «ser,

D4er dat dit gvaaz opl.v.rt veer de passagiere of de

beman-tInjg

en de beweginçen van bet sobip, meals bet alingeren, etam.

"pen, gieren, donpen, echrikken en vermetten moeten soepol en

"vrij vazt steten of echokken zijn.

"Vooropg.eteld dient te worden dat bet obip op de juiet. wijz.

Dez

detinttie ia kwaZitatjef; hij geeft geen concrete gegeven

om

trent toelaatbare elingez'hoeken, atainphoeken of toelaatbaz'e versne1.

lingen.

Wat is nu 1e

reden dat de schaepebouwkundo niet de bechkking heeft

over duidelik gepr.øiaeerde rnaatetaven ter' beoordeling van bet

ge-drag van een aohip

in zeegang. Biervoor zijn

twee oorzaken aan te wijzen.

:)

Tot voor kort bestond er seen theorie waarmede bet edra van

ean sohip.in regelmatige in onregelmatie golven beschreen kan

wor-den. In hat bijzonder' kon men hat meeetal onregelmattge zaeoppervlalt

niet 1.n een mathematisch model vastleggen.

b). Er waren en er zijn te woinig

taistieche

gegevena beschikbaar

omtrent de toestand van 6e zee, zelfa op druk bevaren

soheeproutes. Cm 6e geoornpl.iceerde bowegingen van acri eohip in onregelniatige golven

te kunnen analyseren is bet nodig dat men hat verband kerittuesen

da oorzaak vari die bewegingen, de. golven, en hat daarutt vølgendo edrag van bet cItip.

Zoals gozegd oùtbrak tot voor Itort hat mathematisch model, dat nodìg

is orn

dit verband vast t

2.eggen.

Zn 1953 alaagderi twee Amerikanen

(st. Denia,

een soheepsbouwkwidtge

en Piereon, een

oceanoraat) arm

op dit gebied eau belangrijke

vooruitgang te boeken. ZJ4 bouwden voort op bepaalde statistische

tbeoz'ien die reeds lang in gebz'uik waren bij de theorie van bet

geluid en die kart geleden in bet bizonder voar de bestudorirzg van eleotrisohe ruiavernr±ijnselén uitgebreid zijn.

De daarbij gebruikte methode van de spectrale analyse, is toe te pae. sen bij de aralyee van de onregeluñatige cabeepabewegingen en is even. eene bruikbaar orn bet onrege3.rnattge zeeoppervlalc te beaohrijven n

te analraererz.

Voorheen warden zeegolven basGhouwd als een volkomen willekeurige

beweging van bet water en de wetten die san dez. onregelniatige golf

beweging ten grondsiag

liggen waren niet bokend.

Soheépebewegingen werden dan ook theoretisch en experimented, bijna

zonder

uitzondering,

bestttdeerd in enkelvot4dig. of

regelmatiga gol-ven, eu d.rgelike aanpak van hat zeevaardigheidaprob3.eem kan niet

tot eon oploesing leiden, want eau erikelvaudige golf is niet te verw

-soiefpabeweg1igan

zijn in bjde gevallén moei1ik te vergelj.jken. Later zai b.&jken dat niettemin

de etudie +an de acheepsbewethgen

in z'egeimatige golven e _{noodzakeltjkonderdeel j vaniet gohele} zeewaardighetde-prob1eem,, .

Het onregelniatige zeooppàrv3ak denkt men etch n.].. opgebouwd uit eeu

oneindig aantal (in de practigobe toepaes.ng: eon zeex groot döch

eiridig aanta3.) rege]inatige go].teystemen4 elk

met hun eigen amplitude,

voortplantingaeneijiejd en voortplantingsrlohting. aet faae-verBchil

tue8en de enkelvoudige Systemen onderling is volkomen willekeurig ver.

deeld,

O

Door de superpositte van de enkevoudige goL.tByetemen ià sen onregel..

matig golfbeeld te oonetrueren0dat ztob in de loop van de tijd teede

in een andere

gedaante laat zien, maar dat zich nooitherhaald.

tatietiaoh geeproken bezit dit go].fbeeLd° dan wl bepaalde

waarden, zoale de geniiddelde hoevetiheid

energie per opperviakte esabeid van

het zeeoppervlak en de kans dat een zekere golfhoote overschroden O

wordt, orn twee voorbeelden te noemen0

8t Deis en Pereon

toonden aan dat de bewegngen an een ochip in

een dergeljjke, eohijnbar zeer verwarde, zee, gevonden kunnen worden door de bewegingen _{ten gevolge van elk der enkelvoudige systemen, te} superponeren zodat inderdaad het onderzoek van regelmatige golven en

regeimatigo soheepsbewegingen belangrijk is.

De snelle vooz'uitgang die ode wetensohap van., de _{scheepbewegingen op}

'het ogenbl&k ondervindt _{al one dichtero brengen bij het uiteindelijke} doe3. bet voorape1le _{van de scheepsbewegingezijn bepaalde go3fsyste} men tidens het° ontwerpataditam van het schp.

Oak bet mode1aiderzoek ?pdit gobied sankt esu ensile ontwikkeuing door, maar we kunnei niet zeggen dat

bet gehele

_{zeevaardigheidewpro..}

bleenten wat datrmede samenhangt opgeiost is.

Doch zeli's bij eon voorlopig beperkt praktisch nut van de theorie en

van de modeiproeven dient

men zieh op de

_{hoogte te stellen van de eie.}

inentaire

begrpevorming vande beikte reauitatekl in dit yak; gezien

de grote interesse die de

_{saheepebeweLngen internatioaaa3. en natio}

nasi genjetenz3. de toekornotige acheepabouwer zieh

0zeer

zekex met

deze wetensohap bezig mosten houden.

Bet

_{onderzoek van bet gedrag van sen soip in zeegang}

_{kan. men op}

ver-schillende manieren aanpacen

De t.aohø..rnathematische methode, waarbij uitgaande van de

vorm en de gewiohteverdeling van hat 8chip en van eon bepaalde zoagang, da b.wegingen of de

vereohtjneelen di. dssrm.da te malten

h.bben berekend wor4,.

De exy.riente1e methode, gebruik makend van de mogelijkheid orn

acheoparnodellen in kunetmatig opgewekte golven in eon aleeptank te ondezzoeken.

o). Hot analyaeren van gegevena die man boord van sobepen verzamaid

worden.

De anaiytieahe

methode en hot model ondez'zoek vullen elkaar aan en

zijn elk voor etch onmiebmer in het geheel.

Immera: ook hot experiment moot a.h.w. geetaund worden door eon

ma-thomatioche beaohrijving ven het

versohijneel terwi.j3. anerzijdo de reeui.taten van de ana3.rtieohe methoden

gecontroleerd en

aangevuld dienen ta word.n, door middel van expai'.mentoe1 anderzoek.

Hat analysaren van metingen man boord vein echepen

moat uiteindelijk

de jtistbei4 van hot aalrtiøohe en hot experimentele ondarzoek

man-tonen.

Bedz'ijfsgegevens kan men op twee manieran verzaiLelen.

De eerst methode maakt gebruik van vele, miesehien minder nauwkeurig.

gegeven.,

die door de opvarenden van hat ochip verzameld worden, zonder dat dauìr kostbare meetappar'atuur man te pas komt.

De analysa van doze gegavena beeXt eon stork statistisch karakter

en

de method. heeft, made door do geringe nauwkaurigheid eon beperkte

toepaebaarheid.

De tweede methode maakt gebruik van speciale meetapparatuuz' zoala

gyroacopen, versnellingometera, drukmetere, torsiemeters ens, onz.

Getraindemeetploe«en ztjn nodig orn de rnetirigen to verrichten, bo5-i we2. er eon sterk etreven is orn autornatisering op dit gebied toe te paasen.

De verwerking van de gegevens is eon belangrijic punt bij hot

verzama-len van bedrijfaresultaten. De grote

hoeveelheid

gegevene die men in

betrekke141c korte tijd kanverzamelem, vraagt cm eon epeoimie ver

werking bijv. met behuip van electronisohe rolteumaohinas.

Uit deze korte inleiding volgt min of meer wolke onderwerpen bij de studio van do eoho.sb.wegingen belangr'ijk zijn en die we daarom in

dit college zullen boliandeliri..

In 4e e.rste plaats

nl1en w. one bezig

houdan met de etudie van

go].ven. De bn.ling van de enkelvoudige golf maakt de kennis van

enkels stellingen uit

de hydrodynamica noodzakelijk, Daarna komt

do theorie van de onregelmatige golf ter aprake.

D. theorie van de aoheepsbewegingen kunnen we op dezelfde wijze on.

derverdelen, nainelijk ten serete bet probleem van de

echeepabewe-gingen in regelmatige gólven (waarbij ook de beweecheepabewe-gingen in viak

water eon rol apelen) en ten tweeds de hewegingen in eon onregelma-. tige zoo.

BIj dit laatote onderwerp zal ook de theorie ter eprake kouien, dl.

het verband aangeeft tuseen twos onregelmatige verschijneelen, wuar-bij bet ene onregelmatige verachijn3el op te vatten is als de

"input" van sen systeein met eon lineair. karakteristiek en bet

andere

versohijneel beechouwt kan worden als de "output" van bøt lineaire eyeteem

10

-2. GoLven.

o

2.1. Xl.idin(.

Zoale rude in hoofdetuk 1 ii opgemerkt kan men de toestand

van list ae.oppirvlak opg.bouwd denken uit ein groot (oneindig)

man-tal enkelvoudig. of regelmatige golf.y.tem.n mit vereohillende golf. langten, golfperioden en voortplantingeriohtingen.

D. amplitud.n van diii enkelvoudig. golf.yet.men aijn zier

klein (oneindig klein) gedacht. Diii .up.rpo.itie wordt verduideltjkt in witdruk.5, en ial later in dit college nadir beeproken worden.

Begonnen wordt met de beapr.king van de rege]matigs of enkelvoudigs golf. Daartoe zullen we sent enige etellingen uit de hydrodynamics behandelen.

2.2. Enkel. .t.11ingen uit de hdrodjnamica.

2.2.1. A].men. opmerkinen.

We besohouwen sen ideale vloeietof; diii is per definiti.:

«ri jvingeloo..

Oneamendrukbaan. Homogeen.

In hit algemeen voldoet water zier goed san deze voorwaarden. D. taaiheid of vicoositeit is gering en ii in hoofdzaak van belang bij atromingen in de nabljhaid van sen vaste wand.

D. wrijvingekracbten di. ein gevoig aijn van de viecositeit worden b.paald door de enelheideveraohi.len tuesen de verechilhende

lagen van de vloeistof en doer de viacositeit. Bij ein gering. vie-cocitsit, zoale bij water1 zijn ze dus ahln van belang, ale di. in.lh.id.veraohuhlen groot zijn.

In bet algemeen is dit niet bet geval bij een vrije etroming. Wl echter in de onmiddellijke nabijheid van ein vaite wand. Men onderecheidt danrom twee gebieden:

hat gebied viali bij ein wand, waar de viecositoit van beslieser

de invloed is op hit g.drag van de etroming.

het gabled daarbuiten wear de viecoeitìeit in de mecate

s

Rit serete gebied le door Pz'andtl de grenelaag geno.md. Bi3 de

studi. van de echeepabewegingen heeft men in hoofdzuk t. rnak.n mit .troming.vsr.ohijne.len waarbij d. viscositeit t. virwaarlozin is. Als uitsond.ring kan biv. grntoemd worden: de 4eaping van de slinger

b.w.ging van ein soh..pemod.l. In dit geval apel.n de wrijvingskraok. ten w.l dsgslijk ..n rol. Over hit aigemeen i. sohter di invlo.d van

de visoositeit bij eoh.epsbswegingen gering, zodat hat xp.rimentele onderzo.k weinig hinder ondsrvindt van achuleffeot.. Bij di weer

stand

in de voortetuwing van ein echip is di viscositeit zier belang

rijk.

Di aantendrukbaarheid van water le bljzond.r klein. Ein maat hiervoor is de e]aatioiteitsrnodulus E, wilke aie voigt g.d.fini..rd i.:

AV

E

_-y

waarin -% di r.lmti.v. volume v.rendering vooratelt di. door ein drukverhogitig Ap ontstaat. Voor water ii E 2.10 kg/a g odat

drukverhoging van I atmoefeir kg/rn2 ein rilatieve volume-v.rand.ring van suchte 0,003% met zioh m..brengt. D batb-soaphe

"Triest." van Piocard die ap 22 janusiri 1960 tot ein diepte van ruis

11.000 meter afdaald. ondervond sen druk van ru 11 x

io6 kg/a2

D. volumi verand.riug van hit zeewater bedroeg daar ongiveer 3% ze dat hot eeart.lLjk gewicht van hat omrng.nd. water ong.ve.r 5j% te. nsa. Net dergelijke extrem. gevallen hebben wij uiteraard niet ti

malten ala w. one bepirken tot opperviakte iohepen

Hit.r ii ale sin boacian. viosistof t. beiohouw.n al. de volumi

element j.c di. we besohouwen groot sijn t.o.v. de aolsoi4airi struc. tuur van hat water. Rierman is bij onze pr.bl.a.n giaslrkelijk

vol-dun.

2.2.2. Di

De oontinutt.itsvergelijking veer en ideal. viosiatof i. di mathematisehe foraulóring van de voorwaarde dat door de begrenzin

viakken van ein kubuaja dat men sich in ein etroiningev.ld g.plaatst

denkt, in ein bepaalde tijd niet meer vioeistof nur binn.n kan stramm als er in dezelfd. tijd uitetroomt.

-w

F%GUU!

De componenten

van de stroiningeeneiheid in

x, y

en z richting

worden voorgeeteld door resp.

'X,

Door viak I etz'oomt in de tijd dt in de kubus eon hoev.elheid

vloei-etof waarvan hot volune bedraagt$

V dy dz dt.

Evinio otroomt per tijde.enheid door viak II naar buiten:

av

(V

+ dx) dy dz dt.

Netto i. due in de

tijd dt

naar binnen geetroomd:

dx dy dz dt

Evenzo in y.'richting:

dx dy dz dt

n in zriohting:

dx dy dz dt

Toteal is meer

naar binnen dan naar

buiten geetrooind:

av av av

+-)dxdydzdt.

Dear de idiale

viosiatof onsaunendrukbaar en due volume

beatendig is,

moot geldens

av av

Dit is de continuiteitavergelijlcjng voor een oneamendrukbars vlo.iatd

1

12

-De plaata van het vloaietofel.mentje is vastgelegd door de

coor-dinaten x, y, z van een reohtboekig rechts draaiend asaenate].ael. (zi. figuur 1).

13

2.2.3. De b.wegingaverge1ijjn vq u1or.

Beachouw nu

ean

vloietof.lementje in de vorm van eon kubue met ribben 4x1 dy en dz (ai. figuur 2)

e

Op dit vloeiatotelementje

werken de volgendo krachten i a.). de zaceakrachten

b). drukkraohteu

o). verenellingakraoht.n.

De maaaa

van hat kubuaje bedraagt

da

fDdxdydz,

waarin p de eoortelijke

maeea of dicbtheid le. De

maasakrachten i1

x, y en z-riobting zijn

reepectievelik:

Xdm, Tdm, Zdm,

ala X, I en Z da op da eenheid van maaea werkande niaoaakrachtou

in

x, y en z-richt±ng

vooratellan.

De drukkz'aohte ataan atoada loodrecht op de beachouwde opper-viakken omdat de ideale vloeiatof ge.n

tangentieLe krachten op

ein opperviak kan uitoefenen,

In x-.riohting bedraagt de netto drukkracht: (zio figuur 2).

dx dy dz . 4m.

Evenzo in y-riohting:

4* 4m,

en in

z-richting:

I % - 1k

11f

-De verenellingekrachten in

x,

y en z-richting zijn respectieveljjk:

av

av

dir

dm,

f

dm en

d.

De bewegtngsvsrgelijking wordt avoorik x...riehting:

dV

s X 4$

-of:

dV

Voor do y-richting geldt:

dv

y

en voor de zu.riohting:

dV

Nu

zijn V, V en V

tuncties

van z,

y, z en t, zodat geldt:

dYx

aV

a

fl E +

8y dt + dV

_av

+

aV

dz

E

at

dV _dx aV _dz aVa + Verder io: dx dv dz S

en

E

Tenolotte merken we op dat

bij

het beetuderen van watergolven als maseakracht al].n de zwaartekracht een rol epeelt. In dat geval te X T O en Z -g ale de z-as verticaal

naar

boyen gericht Le. Dan kunnen do beweingavere1i.jkinen van Euler als voigt gesobreven worden:

V

_{z ex}

J.!,

_V

_azX

+ = (in x-.riohting) aV V,

Z+v4+

at

(iny.ricbting)

:

a'1

_i

z - g -

.(in

e.'.»riohting)

-

15

-2.2.4. Potentiaaimtromin.

In verband met cte bahandeling van de golf ie bet van belang orn op te merken1 dat de bewegingen van ideale vloeiatoffen zich in twee groep.n laten ver'd.l.n en wels

rotatie vzij. atroming.n of potantisalatromingen niet rote.tie-vrije etromingen.

W1j bepsien one in dit college tot de potentiaalatromin1

vo

zover deze bij de bebandeling van de golf naar voran komen. Ean

etz'oming wordt poterttiaaletroming genoemd als de sneiheidecomponen-ten in elk punt van hat beechouwde Btrondrlr;aveid ale voigt

afge-leid kunnen worden uit de a.g. cnelheideotentiaal '?(x, y, z, t) waika in bet algemene gavai een functie le van de piaat en de tijd Er geldt voor eon en.lheidepot.ntisa3. dati

V V

X

%xy

y a s

Hieruit voigt tevene de voorwaarde ooP een potentiaaletroiing1 n.l. dati vz vy = of ens ay ens o.

Men kan anntonen dat de uitdrukkingen ana. can saat zijn voor de rotatie van de vlo.iatofel.mentjee in een

ati'o-sing. le dei. rotatie op jeder tijdetip nui dan hebben wij te as-ken met sen potentisaistrosing.

Bij eon potentiaaiatroming geidt:

aV,

V 2Ç V

e

s

- 16

16

Zodat de continuiteitcvergalijking de volgande vorm aanneemt:

a2 ¿2

JI

-1+

2

Dez. uitdz'ukking wordt de vexgelijkiug van Lap)1aoe geno.md.

2. 2.1. I * yoorbeild.a van _{otentiaaJ.etroinen}

.

_f.

ax + ny + qz, waarin a, n en q conetanten

_{vooretellen. Dit}

is d. inslh.idapotentj.aal

van sen stationnaire stroming want de

tijd t koat in

de

uitdrukking nit voo.

Omdat:

2? t2, %

z

2

72

voidGet aan de varg.lijking van Laplace. Nu is verd.r

- . a; V7 z z n; V - r q.

Hi.ruit blijkt dat de enelh.id van de etroming in jeder punt de-zelfd. grootte en d.z.lfd. riohting heeft.

E.n stroomlijn is sen kronune waarvan de raaklijn in e.n

willekeu-rig punt camenyalt met de an.lheideveotor in dat punt. De ditte-rentiaalvergelijkjng voor sen etroomlijn luidt dusi

dx dy dz

V(x,y,s,t) V7(x,y,z,t

Y(x,y,z,t)

of:

7 dy

V, dx en T1 dy. V dz

In one voorbee].d wordt dat:

n dx a dy en q dy n dz,

waaruit men door integrati. vindt:

y z

_{X +}

Ifl z -

Î

+ c2

De etroom).ijnen vormen due blijkbaar sen atelsel van evenwijdige rechten.

17

..

I

I

b). waarini

Ii een

oouetantô

r de afatand van bet beachouwds punt tot da ooreprong van

hat coordinsten tel*e]..

Nu ial V

s

(dl

-X bx x r V 7 y y r V $

0*

r z3 duet en: n r z -n 17 --

₍₎

R r2 z2 ₊ y2 +

z2p2r dr

2 z dx; R J dx r

De lazar overtulge ziob zeit dat we te mak.n h.bben met ean po tentianlatroming.

Verder vinden we dat:

Vs '' V2 + 1t

+

De difterentiaaivergeljjkingen van de stroomlijnen valgan wear

uit: n z it y n y n s of UI X

_y

18 of 7 z z

2.2,5. De interaal

van

de

van Euler in hot geval

van PQtentiaa]etronijn.

We vonden voor de

verenefling in x.riohting de volgendo uit-drukking:

dV

dxjy

Indien de beechou,f(le _{atroming ein}

Potentisaletroming is, dan kan met behuip van do _otentjaa1

doze uitdrukking ale voigt gesohre..

ven worden: dV _2p 2y 2p x _x of: dV a dt x

1+

{.2

-

18 Integratie levert: In in C an in

Z

of: - C1 eri a

Dit zijri de _{rechten die door de}

ooraprong gaan. 'Ne krijgen due eon atroniing die van hat _{punt nul uitaat}

en zioh radiaal naar alle kanten uitbrejdt, Men noeEt dit _{eon bronatroming (zio figuur}

3).

Io de potentiaa].

dan verlopen de etroomujjnen radlaal naar

bet punt O. Dit hoot sen _3etrom±ng.

()2

+

()2}

+ Nu io:

()2

+

()2

+

()2

+ 2 _{+ y} 2 y z duet dV X a ₊

Al?

De b.wagingev.rgel&jktngen van

Euler krijgen hiermee da volgende

vorm

2

y2

'aiD

a X

V2

W

(.y+) a Z

We vermenigvuldigen nu de serete vergelijking met dx, de tweeds met dy en de darde met dz en teilen het reeultaat op

Xdx+Yci3r+Zdzd(

+.')+dp

flebben de maasakrachten sen potentiaal zodat geldt3

t1 X = = Z a Dan 183

dU a

X dx + ! dy Z dz, zodat we krijgen; + + - U)

Integratie van daze vergelijking geef't:

V2 D

--

+ +

- u

c(t)

De integratisoonet&nte hingt allan van de tijd t af en wordt be-paald door da beginvoorwaarden. Bij onze problemen komt ala maasa-kracht aU6n de zwaartemaasa-kracht in aanmerking dus:

X a

- O

Z a

.g en due

19

Ev.nzo geldts

dV

+

+ +

-C(t)1

Voor

eeu etationnaire atroming ie er géen

_{afhankelijkheid van de} tijd zodat dan de vergelijicing luidt:

T +

+ gz C.

20

We krijgen dans

Dit i. de bekend. vergelijking

_{van Bernouilhi voor een}

_{ideale vloei} tof welk. etationnair etroot. De conatante O ge].dt voor het gehe

le beechouwde gebied

i

21

-2.3.

Enkeivoudige

olven met kleine aaD].jtuden.

2.3.1. De enelhedaiotontial

De hierboven afgeleide

_{beweginge- en}

drukvergelijkingen zullen we nu in eamenwerking met de continuiteitevergelijking gebruik.n orn de oyerviakte golv.n van eeri ideale vlo*istot

te

onderzoeken.

Ret gaat

er daarbij orn de enelh.idapot.ntiaal van e golfbeweging

te

vinden, Ia die

bekend

dan volgen alle andere

_{grootheden die van}

belang ziin! zoala da enelheid

en de

druk

in ean

bepaald punt1 op

aenvoudige wi:Jze. We namen aan dat de verhouding golfhoogte/golf-í

langte aen klein getal le t.o.v. de eanbeld. In dat gevil

zijn da

enelh.den van de watex'deeltjea zo klein,

dat we de kwadratin en ho

gera machten vn dez.

aneiheden t,o.v. de andere

termen die in de

bewegingevergelijkingen voorkomen, kunnen verwaarlozen.

We bee obouwen verder hat gavai dat de kainmen van de golven

recht zijn en ev.nwijdjg aan elkaar, terwijl de waterdiepte sindig is (zia figuurk).

22

-De banen van de waterdeeltjes liggen alle in viakken ioodreoht op do kammen elke dooreriede evenwijdig aan die viakken geeft»reci

h.tzelfde beeld d.wz. we beechouwen a.h.w. bet twee-dimensional. geval waarbij bet golfveld de g.daante heeft van aen golfp]atendak4

W. ki.zen nu aen aseeneteleel ale voigt: de ooraprong O ugt

in bet ongeatoorde stil watei'oppervlak. De z-as is varticaa3. naar boyen gericht en de y-as is evenwijdig aun de golfk..mmen. In dat g&.

val zijn alle

sneiheden in

d y-richting nul en de continuiteitaver. geli jking wordt:

+ O.

z2

Aun deze vergelijking moet da enelbeidepotentiaal van de golfbewe-ging voldoen Daurnaaøt ntoet voidoen aan sen aantal

_{randvoorwuar...}

den,

De eezete

is deze

In de nabijbeid van

de bodem atroomt de

vloeietof evenwijdig aan die bodem; de sneTheidsoomponent loodreoht

op de bodeni is due nul. Due voor:

z = -b, = ₀₄

De tweede randvoorwaarde voigt uit bot andere

begrenzingaoppor-viak van de vloeietof: bet wateropperbegrenzingaoppor-viak Ve gaan uit van de druk. vergelijking:

+ + y2 + + gz = C(t)

en voeren een

fwictie

in

zodanig dat:

(,1

'

_JC(t)dt;

Er geldt dUB dat: 1I

- c(t).

Gesubstitueerd in da drukvergelijkirig levert dit:

+ + y2 + + gz = 0.

Aangezien, zoals we reeds

rn:i:erkten,

de term met y2 verwaarloosd wordt t.o.v. de andere termen vinden we tenalotte:

+ _{+ gz = O}

'23

-Hat vrij, opparviak stellen we voor door de vergelijkiug

z (x,t)

d.w.z. de hoogte van het w3teroppervlak is sen tunoti. van x en t (zio figuur )

z

of:

(z 't

/D

.----gz

De index 2 laten vi in hat varvoig veer weg.

Weyjndennuvoorz.r

_enppas

tilt deze vergelijking is hat opperviak ta bepal.n indian bi-kend is.

- 2k

-X

F1UUR

S

Aan het opperviak geldt voor; z.r

iep-P,

waarin d. atmosforiach. druk voorotelt die overal op hat opper-viak dazeifde waarde heeft

Subetitutj. van daze vooi-waarde in de dz'ukvergelijking levert:

+ _{+ g a O.}

p

Eenvoudigheidshalve namen we de tarin - op in "_, zodat we in plaats van de fiutati. de funotie + invoeren waax

voor g.].dt:

2 a

t

_.*,

- 2

-Daze laatate uitdruitking zullen we nog iete onivormen niet

be-hulp van de voorwaarde dat aan het vrije opperviak de verticale enlheid van dat opperviak gelijk

i8

aan de verticale nelheid van een waterdeelte daar ter plantee.

Aangezien hat opperviak can funotie is van x en t is dus:

dt

'oxdt

Nu is de helling van de golf; daze hailing is klein omdat we een zeer klein. verhouding golfhoogte/golflangte

aangenomen

bobben

Hat product la dua klein van de 2e orde en wordt verwaar-looad

t.OaV.

-up- zodat:

dt

r

De verticale aneiheid van een waterdeeltje 18 gelijk aan

-d-zodat geldt:

dZ

Uit + g O voigt door differentleeren:

;

.pt

t2

Conibinatie van de twee gevonden uitdrukkingen levert:

2

Ovoorz=

èz g

t2

Dit is de tweede randvoorwaarde,

Resunierend: we hebben gevonden dat de enelheidspotentiaal moet voldoen aan:

De v.rgelijking van Laplace:

2 2

De le randvoowaarde - O. voor' z -h.

i

De 2. randvoorwaarde I' Q voor z

z g

B1J gegeven

voigt hot golfprofiel uit:

De druk p in een punt van da vloeistor Voigt uit:

p

Ont nu da enelhaidepotentiaa]. te vinden moeten we de vergelijking

_van

Laplaoe niet de beide randvoorw,arden oploee.n.

W. steilen deze oploeeing in de vorm:

(kx- ut),

d.w.z. ' is het product van twse functies waarvan de earste al].n

van

z afhangt en de tweede allesn

van x en t.

We verwaohtert voor de functi. in x an t een sinus onidat golven

met kleine amplitude een sinuevormig uiterlijk hebben, terwiji een

rsgietratie op ¿n punt van de golfhoogte aie functie van t eveneens aen sinus blijkt te gayen. Onitrent het gedrag van ÇJ _{in verticale}

richting in weinig te

voorapellen.

Nu is:

2(p -.Pk2ein(kx u)t)

d2F

-. ein (lcx u)t) dz - 25 d2P voigt: k2P 0. dz'

Dit is can lineaire differentiaal vergelijking van de 2e orde

waar-van de

oplossing

luidt:

p c1 e' + c2 zodat:

\f= _{cc1 e + c2}

Z)

_ain(kx

De oonetanten worcf.n nu met behuip van de beide randvoorwaarden

be-paaid.

De cerate randvoorwaarde levert one:

(kC1e kC2e') sin (kx ta)t) _{O voor z = -h}

due:

-Ich Ich

01e

-C2e

=0

W. eohrijven: ..kh Ich C1. C2e

_*kC,

dus z C1 4-C. en C2 -dus a6 -= (C1e

+ C2.) sin(kx -)t)

- 51cz 'c'i + sin (kx -zodat 2

'fC COIhk(Z+h)8ifl(kZ.Ut)

Bet golfprofie]. voigt uit:

I ?.'P t)C

h k(z + h) coe (kx _{- t)}

g t g

We

verwaar].ozen5

t.o.v. b, zodat:

ale:

r

jcoah Ich,

dus alci

gr

I

C *

_''co8hkh

De sneiheidepotentimal wordt

terielotte:

cosh k(z + h)

_(kx

_')t)

t) _{cash kh}

Voor soh..pabw.ging.n zijn voornauienlijk de golven op diep wa-ter van bel*ng, Voor bet geval van onsindig diep wawa-ter (de

golven

on-dervinden vr'ijwel geen invloed meer van de bodez alß h zoclo we

later zullen zien) zullen we in

bet volgeride

sen untal belangrijke

betrekkingen

afleiden. Voor hat algeuene

geval worden

alleen de

formu-les gegeven aangezien de

afleiding

geheel analoog is aan bet geval

h ao doch meer schrl.jfwerk vereist

Voor oneindig. waterdiepte wordt de

sneiheidepotentiaci:

eojnicx

t)

27

i

11m 27 -wAnt:

coshk(z+h)

cahkh

=liin -kh kh e

Ret verband tueaen k en c$

wordt gegeven door de tweede

randvoor-waarde:

¿,

+

g

2

-

krge1ein(kx

- b.t)

rue1oin(kx -øt).0

voorz=

due *

kg

Dit io oea asar belanerijke betreicking die later het verband

-tuneen de golfiengte en de

olfpez'ode zal blijken te

gayen.

2,3.2. Ret verband

tuesen olflsn:te :olferiode en faae eneiheid.

We zullen

nu hat gadrag van hat golfoppervial nadar

bezien.

De formule van hat golfopperviak luidt:

r ooe(kx - tot)

a. atollen we t constant dan vinden we hot profiel van de golf. Eenvoudigheidehalve atollen we

t = O; dan is:

r coo kx.

Ret

golfprofiel le due ean ooeinuolijn en de an1.punten met de

x-.ae volgen

uit de voorsaorde (mie figuur 6 )

kx=J (M±11+3,±5

De afatand tusesn twee nuldoorgangen is gelijk aan de halve

-s

of

k noemen we hat golfgeta1

b. Stllen we nu x conøtant; we onderzoeken de variatie van de hoogte

van het go].foppervlak ala funotie van de tijd t (golfhoogte meter

_op

eon vaste plaate), dan ja:

r ooa(-C)t) r cos c)t.

De tijdaduur tuesentweenuldoorgctngen is geiijk aan de halve period.

van de golfbeweing (zio figuur

_{7 )}

i-T . of

Da tijdsduur tuseen

twee nuldoorgangeri vinden

we uit de voorwaarde:

C,,',

- 2 m +

3, + 5 ,

.

. .

.

zdatz

HH

28

-golfiengte *A (zia figuur' 6 ) zodat:

Ci) hoot de cirkeifroquentie, vaak ook de frequentie van de golfbewe.

ging genoemd. De fr.ouontie f voigt uit:

f = duo .)= 2lCf.

o _{Rest one nog orn de vergelijking met de beide variabelen x en t te}

be-kijken:

5=

r cos (kx - 03t).

De maxima en minima vn volgen uit:

kx-Cutn7C(nO,1,2

L J

dus:

_ 29

-Door daze uitdrukking naart te difterentjeeren zien we dat toppen en de dalen alle met dezelfde anelbeid C in de richting van de positieve x-se bewegen:

c*

Daza aneiheid C heet de !ee eneiheid

_{Van de golf. Met}

vinden we:

ßubstitueren we k en C) in Ca.2 kg, dan vinden we:

21U

(Als vuistfornule wordt vaak gebruikt:

T =

_{O,\R',waarbij}

T in sec en

A

in m. )

De fase eneiheid wordt op daze manier:

a=_=4=

₂₇

A18 vuistfor'mule vindan we:

C = 1.2iV',waarbij C in m/z en A in m.

In bet algemene gavai, waurbiJ de waterdiepte beperkt is, luiden

de formulae: a). C32 kg tgh kh b). T

V

g

'tghkh

o), C - e _{g -v tgh Ich} I zia witdruk 6,

De afleiding voigt op analo3e wijze ale voor hat gavai h

-en wordt aan di lezer overg.lat.n.

2.3.3.

De baan van de vlQi1tofdeeit.jee in de golf.

We gaan uit van de enelheidepotentiaal

= e ein Ocx - IA)t)

-/

- 30

Voor eon punt met

coordinaten0(x,z) zijn de componenten van de enel-held van hot deeltje:

dx grk kz - coa(kx due: a'P dz _j

eain(kx

= fi

=

-z z dt ux ,.i.re6co.(kx0 c,.It) dz

_CkreO$jfl(k

..IC)t)

Vz

o

We integreren doze vergelijkin t en vinden:

- )t) + C1

z z -recoe(kx - wt) + C2

Uit doze batrekkinan voigt dat de waterdeeltjes een oeci].latie

uit-t.o.v. de widdenetand (C1, C2). Doze xniddenotand za].

weinig van de rusttoeetand afwijken

(x0,z0)

_{zodat tena].otte de} vol-gende betrekking.n blj benadezing golden:

X -

z r e°ein(kx0

-z - -z0 - +

r ooe (kx

- 6)t)

De baan van de waterde.ltjee verkrijgen we door uit doze vergelij kingen de tijd t te eliminoron. Dit geeft:

Cx -

x0)2 (z -

z0)2

= 14

De bean van de waterdeeltjea blijkt due eon cirke1 te zijn met

etraal:

rèo ; zia witdruk

7 en

8.

31

-Ci)t)

=)reooe(kx

-C&)t)

-c)t)

=&)reejn(kx -)t)

Hot deeltje dat wi beechouwert heeft de coordinaten

(x0.,z0)

in

zijrt ruattoetand1 Omdat de b.w.gingen klein zijn i.v.m. de klein veronderatelde golfboogte magen we ala bradering aehrijven dat:

v

=v

X X0

y

v

In bet algemene geval te de baan oen chipe mst halve asean, resp.

r coeb k(z + h) r smb k(z + h)

sinli Ith smb Ich.

Op de bodam, dus wear z0 -h, is do vertical. as nul: De

water-dealt jee bewegen ioh hier v.nwijdig aan de bodem, wat in over-eenstemming je met de le randvoorwaarde _{(Zia eveneen witdruk 7).}

2.3,. De

in e.n gol!,

De energie van de goU bestast uit twee delen: potontiele energie.

kinetteehe energie.

0m de potentiele energie te berekonen btachouwen we oen vloeistof element met hoogte lengte dx en broedte b (zio figuur

8)

i

y

-

31

-De inhoud van dit deeltje is bdx en bet gewicht is:

g bdx.

Hat zwaartepunt van bet elementje ugt op can hoogte ₃ boyen bet stil water opperv].ak, zodat de potentie].e energie is:

4- 2flgbdx.

Over n golfiengte À en een breedte b is de potentiele energie

due:

+pgbr2fcos2(kx

- ot)dx =

pA

br2 want: ₎ J'co82(kx_wt)dx

=J(3.

+ coa2(kx _CA)t)} dx 32

-P.E

.

,a

2

De kinetisohe enerie.

De kinetieohe energie van een niasea deeltje dm z.t sne].heid

V is + dm

y2.

We besohouwen eon volwnedeeLtjn in de vorm van eon rechthoekig

paraU1.pipU.

(zie figuur 9).

zL

Met

W2

-

32

-sin 2(kx

_t)

e

=

sin 2(2'1-u.)t)

- + sin

2(LUt) =

De poteniele energie is onafhankelijk van t en bedraagt per

opper-viakte ..nh.tda

+fg).br2/ Xb

due

r>'

kg vinden we dat:

=

gkra2

De kinetiecha energie over

n go].flengte

X

en eon breodte b

is

due:

33

-FUUR '

Nu is dz

b dx dz

2+

2 X Z

We vonden a] dat:

2

2r2k2

2kz

2(

v

co

2r2k2 2kz82

_o)t)

z

-V--

V

,-.-..--

33

-Ao

_o

+pbekr2J'/

_{edx dz}

_+,bg

_2A

I

j-00

jhpr2)

-

_{+flgr2X b}

2x2

Per opperviakte aenheid io dit:

*,agr2Xb/Ab

dus

pK.E=,ggr2.f

De totale energie per opperviakte eenheid la due:

I

E=k3gr2

I

Opmerknen.

A), BIj bet bopal.n van de kinetiache energie bebben we in de z-richting geintegreerd van

00

tot O. Juister zou zijn van

00

tot

De benadering die wij

hiermee ingevoord

hebben io van dezelfde orde van grootte ale de andere benaderingen die gebruikt ziju.

b). Roewel we vroeger de kwadraten van de ene3.heden t.o.v, de andere grootheden hebben verwaarlooed blijkt de totaa]. aanwezige

Icine-tische energie per oppervlkte eenheid even groot te zijn ale

de potentiele

energies

Voor bet alemene geval (due eindige

waterdiepte)

vinden we de..

zelÍic

ïarden voci' do potentiele en kinetiache energie.

2.3,5.get

energie transport tu de golfi drukvei'deljug in de golf.

We zullen nu di enelbeid ber.kenen vau'aee de energie in de golf getraneporteerd wordt. (zie figuur io).

LA' io ein denkbeeldig viak dat loodrecht op de voortplantingerich.

ting van da golf

etaat. We berekenen nu hoeu'eel arbeid per tijdeeen-haid door de vicejatof linkcg van AA' verricht wordt op de viosistof

rechte

ervan

Daarbij besobouwen we sen etuk ter breedte b (in y-riohting) mit hoogte dz ter plaatse van z

-

3'

De horizontale anslhid ja daar y en de druk la p. De ver-richte arbeid ja pv b dz. De verrichte arbeid per ttjdaeanb.id over bet gehele viak AA' ia te vinden door int.grati. over de wa-terdiepte. Deze ia dua:

o

(pv b dz.

X

Per eenheid van frontbr.edte ja dit:

dz.

We vonden z'eade dat: (zie biz. 2)

a).

p-, r Verder was: e ein (kx - cat) en dus:

- gr eooe (kx - c&t)

Geaubatitueerd in de drukv.rgelijktng lev.rt dit:

gr aooa (kx ot)

-of: p kz

co(kx- ut)

-pgz

b),

v =»r ecoa Ocx

-due:

- 33

-o o

dz

wr con (kx _cJ*)J':(pa - flgz)dz+

+

,gr2 ooa2(kx

ct)Je2dz.

Daze gebele uitdrukimg fluctu,ert met de tijd t. W1J interea.. séren ens allan voor de zeniddel4s waard. van de energie atroom. De cerate term ii gemiddeld nul, omdat te cosinue term gemiddeld nul oplevert. D. gemiddeld. waarde van ooa2(kx o.t) is

f,

zodat

de gemiddelde verrichte arbeid per tijdeeenheid per cenheid van fzontbreedte gelijk is aan:

e2

flr2.

We venden eerder dati

C

zoclat de

verrichte arbeid gemiddeld per tidneenheid bedraagti

fi

gr2C * C.jfgr2

De eerte factor is de helft van de faae aneiheid van de golf. De tweeda factor i. de gemiddeld. energie per opperviakte eanbeid w.lke in de golf opgehoopt is.

De golf energie wordt bij diep water due getransporteerd met di helft van de fase eneiheid. -Ovordt de jroepasnelheid genoemd Voor bet geva] van da eindige diepte b krijgen:

de drk

-coeh k(z + h)

_{- Cst)}

coab kh

de sneiheid:

i'4coeh

k(z + » ooa(kx -

wt)

x

coehkh

de sneiheid van bet energie transport:

f0(1 +-"-)4pgr2

_smb

_{2 kh}

De aerate term je hier weer de groepasneiheid en de tweede term de energie per opperviakte e.nhei&

-h LL

:

36

-2.3.6e A].prnene opmerkiugen.

We vondert dat de baan van de waterdeeltjea in bet gava], van on-eindig diep water eon cirkel is niet atraal. r e.

Ret verloop van de atraal met de

diepte

onder water is in witdruk ?

aangegevsn. Aan bet

oppervlak bes&irijven de iaterdaeltjee cirkele

met

eon straal we].ke gelijk is

aan de golfatnplitude. Elk deeltje be.

schrijft in hot tljdaverloop van n period. Juist eenmaal zijn

eig-en cirkel.

Het gaat door

zijn

hoogate punt met eau voorwaartsa bewe-ging ala de golfkam passeert en gaut door zijn diepste punt niet eon

teruggaande beweging op hat moment dat bet golfdal paseeert.

(Zia wjtdruk 8).

De afnam. van de otraal van de barton is exponentiel. Ien

be-rekenirig.tje toont aan dat deze afnane zeer sterk met de

diepte

on-der het wateropperviak aamenhangt

is z - dan is

re1

re2

01002r.

iaz

danire

k/2

re

O1Okr'

aeds bij z - is de veretoring van bet water dun a]. zeer ge-ring.

In hot algemeen neemt men ala vuietregel aan dat eon waterdiep.

ti

van f

kan

gelden ale

oneindig

diep water voor golven met ein

lengte} . Men

spreekt in

dit gavai we]. van korte.golvsn of golv.n

o, die water.

18 hot water ondiep, dus waterdiepte

_+A

, dan apreekt men van lange golven. De banen van de waterdeeltjee zijn dan zoal8 we zagen, allipnen zoals eitdruk? aangeeft,

tangs de bodem ontaarden de

ellipeen in.

rechte lijnstukken.

Aan hot opperv].ak zijn de ellipsen bet grootat doch eck daax' zijn

bet gun

cirkela: de gàlf

voelt a.h.w. da bodeni.

Golven op ondiep water zijn g.k.nmerkt door eon grotare hori-zontale waterbeweging dan golven van dezelfde hoogte in diep water. Z. bet water

zeer

ondiep dan zijn

ook aan hat

opperviak de ellipeen zó afgeplat dat bet water practiech eon h.en en weer gaande

bewegin

uitvoert. Hot water is als zeer ondisp t. beachouwen ale de water-di.pte kleiner ie da In dat geval kan men de formule voor

Q,

___-Voor voor Dez.

ln

het h

th--1gemene geva]. eldt:

-op

van onafhankelijk

3d.

benadering

van de

de

water

+

ainli

de algemeno

dat

:

go].flengte en hangt

al-critieche go.fsn.lheid

27Vh

c=tgh2

geldt

2TVh

ala goede

1dus:

i

de waterdiepte

groepenelheid

genoemd sneiheid.

faee

af van

De

Bnel)1eid

V'wordt

ondiep

le gelljk aan de

formule voor de

Cx 2

C X, 008)1 X OU tg)1

/

faee In2mer8

vinden

uitgaande

we:

C(1 + 11 waazin hot

groeps-z io

sneiheid

lirniet

(zie figuur

weergegeven).

Siflh2]V4

ver].00p van

e

,/

,/

il

-E

4

/

FI GU U g 41

Overzicht van de formulee voox' T, en C.

De druk vargelijking voor koz'te golven luidt:

+

'e gr e

ooe(kx - c*t)

(D

ge.

De term p

im conetant en im due gelijit in elk punt

ran de

vloeimtof. Indien we bijv. de druk op da huid van can achip willen

uitrekenen dan hearst man binnen'en buitenkant

van elk

opperviakte

element de druk p.

Netto merkt bet achip due niete van

_Dit

ge-val doet zioh steeda voor bij de studie van de acheepubewegingen, zodet we p eenvoudigbeid6halve uit de formule weglaten, due:

Daze vergelijking geeft voor sen bepaald punt met 000rdinaten (xz) de variatie van

de druk met

de tijd t. Stellen we p conetant dan geeft de formule met x en z ala lopende coordinaten de verg.lijking

van het opperviak

waarvan op elk punt de druk conetant is.

Hat echeidingeviak tuneen

lucht en water ia ¿an

van die vlakkn

(daar g.ldt p - O). De amp]ituden van de golvingen van die drukvlak-ken komen geheel overeen met die van dc atralen van da orbitmalbewe-ging van de waterdeeltjee.

1çele benamine.

Men noeznt ele steilbeid

van de golf,

D. golfh.11ing voigt uit de verg.lijking van het golfopperviak

roo.(kx-o)t)

Korte golven Diep water h C = 27 T Algemen. formule formule

V 3

2

T

=V

ooth Lange golven Zeer ondiep water b T I

Door differentiatie naar x vinden we:

= kr ein (kx

-dz

De amplitud, van de golfh.11ing is dus:

I kr a

(dit kan men dus ook de maximale golfhelling noemen). Pro

memorie:

ex ₊ ooeh x a

ainhxa

2 x -x e e

tghx

x -x

e +o

2.k. Qolven niet eindig. amplitude.

Tot duever hebben w.

veronderGteld dat de golfamplituden klein zijn t.ov. hunlengte. Hot golfprofiel kan in dat geval met zier good. benadering door eon sinus voorgeeteld worden.

De bepaling van golfvormen dio zich, zonder van vorm te varan-deren, voortplant.n en die eon sindig. amplitude hebben gaf read. vroager aanleidtng tot uitgebreid theoretisch ondez'zoek (o.a. door Stokes en anderen). Ala we grootheden van de orde (r/ )3 verwaar-lozen dan g.oft Stokes de volgend.

benadering

van hat golfprofiel:

z j + r ooe ic - icr ooe 2kx +

k2r3ooa

3 kX

Voor - (een zeer .t.il. golf) wordt (r/, )3 a

(j)3

De vorwaarlozing van tersen welk. van de orde (r/

)3

zijn is du. seer goad t. v.rd.dig.n.

Hat blijkt dat voor golven met olndiga amplitude de fase enel..

held afhangt van do golfhoogte. Er geldt n.14

2

e+X

eX

k

\J

L(i

+ -.-- +

i

Verdor zijn bij een eindige golfhoogte de banen van de wcterdeeltjea

gem cirkel. of ellipevormige gealoten Icronimen. Er le eon langzaam

4O-(1 + k2r2 + . I ) of

r

i

_I..

transport in de riohting van de voortplantingerlchtjng van de

_golfa

De bauen van de deeltjea _{ien er ongeveer ale voigt}

uit: (zu

fi-guur 12).

F%G1U.)g

k

De tranepoztenelhejd in voowaaptee

richting

_bedraagt:

k7a

U_k2r2C.2offl.i-2r2Ce

X-Voor z O (un het oppervlak) vinden we:

2 2

k72r2

U k r C i. - _C

D. afgelegde afetand per periode is:

47Vr2 _X

----.0 sTa

1wautT-A2

C

H.t goltprofie]. dat

gegeven

wordt door de genosade benadering _lijkt viel op ein troohoide (zu _{figuur 1), Ein trochoide is sen lijn die}

am _{beeohr.yen kan denkez door ein punt op een spaak van ein rollend} «1.].. Bet wiei-loopt daarbij

_onder

_{tegen ein rechte liju (zu}

figuur

13)4

Dit profiel (en dat van de benadering van Rmt.igh) heeftapitai toppen en brider. daim _{zoale ovsreenkoxnt met watergoiven.}

Geretner he.ft in

î8

_{ein golftheorie opgest.ld ait sen}

tro-choide ale golfprofj.].. Voor lisp

water

_{gelden d.z.lfd. forjnule8}

voor _{T en C welk. voor de golf met zier klein. aapljtuden}

gel-den.

De banen van de

waterdeeltjea zijn cirkels wat echter bij

gol-ven uit eindig. amplitude niet mogelijk

is. Ret is dan ook aan te tonen dat de atrosing welk.

uit

de

thorie van

de trochoide voigt niet rotati. vrij i..

Ei.rdoor verlust deze theorie aan waarde. Ala

verg.lijkiuge-muatetaf b&j

5ter, b.rekeningen wordt de trooboide golfvorm nog g.bruikt. Echter meer uit hietoriache overwegingón dan op

theore..

tische of practieche grondin.

Aangezien de onz'egelmatige zee opgebouwd te denken is uit vele

sinus-of cocinusvorsige golfsyetemen elk met zier kleine amplitud. n de regsimatig. golf met eindige amplitude op zas niet voorkowt

kunn.n wij ona wat het regelmatig. golfbeeld betreft, bepez'ken tot

2.5. Q.gslaetig. ço]vin.

2.5.1. Iniiidin.

De bssprsking van de snkslvoudig. golf was nodig os d %iit-breiding nier h.t onrgalaatige aesoppirviak te kunnen askei.

Zoila b.kasd wordt v.rondsrsteld, cija 6. golven op

Rei

allisbihal-y. r.gslaatig de s.s toont e.0 buid dat a.hijnbaar asir v.rward is, t.naivats dit i. in hit ilg.a..n hit g.val.

Un

der assit opvall.nde f.it.n danrbij ii, dat dit buid voortdurind ast 4. tijd

viciait n niab niit

iohijut te h.rhaleu.

Niet alisen is di horisontale afitand van

de topp.n die lkur op

volg.n (de .ohijnbare goiflengte% nier veriohilland, doch cok da v.rtiael. atitand tuaa.n sen dal u san diarop voig.vtd. top (4. eohiinbar. o1fhoogts wiselt_atesd.. (aie figuur 1k).

z j

FUU

{4,

Man kan de golfiengt. ¿6k difinirer& mit b.hulp van di nul..

doorgaug.ns d aahijnbar. golfl.ngt.' . Uiteraard cuisit cok dens golfiengt. studi. Hetasifd. g.ldt voci' de golfpu'iode; h.t tijdav.rioop tuas.n hit pass.r.0 van twss goiftoppan is

an

d.tijd die nodig i. Toar pesiaren van dri. nuldoorgangen i. 4.

iohijnbars pined. , wilke grootheden steeds cariren..

Golftoppan di. can ist bet oog voigt lijk.n piotseling te v.rdwijnen, ¿f sr ontetian toppan wear dezi serat niet aanw.zig waren. Verdir is k.na.rkind veer sen see dit d. golfkaaan indi1

aijn°; 4. golven sijn this niet i.ngIc-.Mig.

Ein derg.lijk buid ahijnt eon sathesatiache b.eohrijving van hut nesopp.rvlak bij voorbant uit t. aluitan. Er blijkt echter wl sen iath.matisoh statiitisohi besahrijving nog.iijk to zijrs, waarbij gebruik gemaskt wordt van de theorie van sen eationziatr 4e aullen dens isthodi later toeiiohten.

43

-ßijh.t beichouwen van hit se.oppezv3sk aksn «a anderioheid

tuasen seegang en dsining (isa, swell).

is bet gevoig van da ter plut.. ha.runds wind en van

di wind di. ja t. oaaidd.11ijk. asij.ving van 4. b..oheuste

plaat

heirat.. D. k.saukasts eigensehappas van 4e

a..gsng sijn *

di kortk.ig.i4 (4* lasgt. vas de k.isas b.drssgt g.si4

4.14 2 & 3 z I g.aiddilde .okijnbar. golfiangte).

bet asir onr.gelaatig. karaktr van di sea. log. golvea werdan g.volgd door lag. golv.n op ein wijse die niet ti

v.or.p.11en ii.

D. individuels goifkaa.n sohijuan sich in v.rsohiUande richting.n voort t. plant.a dis elk «.1 200 cf 30° kannen sfwij-ken van 4e

g.aiddelds

v.ortplsntingsriehtiag. De g.lfteppu sija tas.3ijk spit.

en sosa sijn ir khi. golvin

op 4. tappen «sar nasen of siji er "dauk.n" in di tappen of dalia.

Iv

Da ohijnbar. periode T wisuilt stark an i. niet op ¿.z.lfd. wij-me afhankelijk vani sos.ha dat bij di ankalvoudig. gelvin hit gavai is

D. delning wordt gsvormd door golvan die uit ein windv.1d vasdaan kosan in dasrbij niet sear ond.rhsvig zinn san da in hit

windvsid hears end, wind. ¡in attivare vors van d.ining kan v.er

kosen bij wiadstilt.. Daising is ein r.gelmstiger golfvsrsshin-s.l dan siegang. D individuel. goiven sijn regehsatigur set sur afg.ronds toppan dan in hit geval van seegang. D. golfkaa-san sijn 6 & 7 i&1 so sag ala 4. gesiddildi sohijnbar.

golf-l.ngt..

D. golfheogte is bitar voerap.lbaar; alo t. gslvea kesgaiji

sullen er e! 6 van ongv.er das.lfde hoogte ein vast pant pas-seres. Lis se laag sijn, 4

kannen as, endenk hat took onregel

atigi karakt.r van hit watueppervlsk, bijv.. «el ¿n of ander-halve ainnut laag blijves. ¡en dusting i. darhalvi min..! iar

voorspeibsar op harte taraija.

De aehijabare golfhengte

X

is set eon afwljking van 10 a 1% te voorsp.11.n ist b.hulp van de 3chijnbara periode T, als

r

s

we van 4. foraule year inkelvoudige golvCn gebruik sinken. De eobij

bare perioden T sijn onderliag niet za erg ver.ahii]rnd.

es desLq.

Z..gug i. ein tsa.lijk goed gd.finia.r&e to.atand ven Act sseopp.rv3..k sadat 4. golv.n ter piuts ward.n opgev.kt door 4e wind. D.ining dasrenteg.n keift tijd nodig on ta ontetean. Ken

paar hondard kiloweter van 4. plut. van da stora kan dc toemte*4 van Ast seeopp.rvlak niet beachreven worden door de sigenachappen die ¿f bij de Seegang ¿f bij de deining horca. W. hsbb.n du t. sakea act bet acist voorkoasade gavai wurbij hat s..epp.rvl.k

niet so onr.g.laatig i. als bij seegang asar eck niet so

regelas.-tig al. bij dsi*ing.

Z.egolvsn ontstaan door kreohten die de wind op hit *etsrep. puviak uito.f.nt; dit sijn .rijviagskz'aoht.n en drukkraokte*. Dc drukkrashtea ontatsan ala gevoig van bet niet viak zijn van het wat.ropp.rvlak. Zij cija afhanka]ijk van bet verichil in wind- en

wat.rsaalh.id en dc golfvox'a (si. figuur 15).

FGUUR

Ais geiolg van

d. vors van de galven ontataan et

overdruk su

onderdruk

v66r

sen goiftop i. sr can druk, achter en top sen trek. Dei. drik'. an ta.kkracht.n babben inlo.d op de golf vora en 4. gotfkoogts.

Golven kassen allah groeión al. sij asir sa.rgi. ontvaaga* van 4. wind di. 4. golven opwakt dea dat .ij verliesen dor de tw.

bul.ntie vea Act pr.ce. (br.ksnd. golvan) en door inwendig. wriJai

viag. Dea. lastete Lnvlocd i. g.ring asar sekijat bU lang v..rt-.

l.pende dsining vsi en rei te ep.lea. Zija ex in bet go2fb.eid

coaponanteìi di. eau voortplanting..n.lheid

hebben wilke grater ii

dan de windensiheid dan verli.ssn aij itergi.. Ook dit ver.obijn sel doct ziab

voor

bijv. biS deining.

-P

I

s

iij eon geh..] ontwikkolde z.. i. ox evenwioht tusain do snot-gie di. ion golf doer do wind ontvangt in do energia die geabsor.

baird wordt door io wrijving.kraokt.n on do tiarbilantie.

D. tota]o .nergi. di. 4. golvea i44.ld por apporviekte eon

heLd b*vatt.n i. du vard.ld over s.s root gabLed van golfiong-toe of goltp.ri.4.n; w. sogg.s dit ir eon plf..otri

i..

it

begriptwordt

ook

bij do theorie

van hit 11okt g.brikt. Wit lieht bUy. ontatsat door hat aaa.nvoog.n va* vil. kiourea 11okt elk a.t

iifl

aigu golfisagta.

lot bogrip

ep.otria sai, latir nadar

toag.lieht cordon.

2.5.2. lot saPs

.ai%iarinoi1. TQot tg4YeA.

D. reg.l.atig. of ankalvoudig. golf aonia wij di.

bpr..s

h.bb.a, h.oft asinig g.a.ea net hit gaitbesid op see iosla wij dat b.aprsk.n hobbea. Veer

e.0

rege].natig. golf vondan weI

-

kg

T.V

o-V

D. n.rjio er opp.rvlkt. senhoid i. g.aiddslds

E -

+psr2.

Est .n.rgi. troasport gisehi.dt ait de anelhuid

Io.

Eat fait

dat

colli da .ehijabar. golfiangt.

nax

.rX

atoada

vsrire*, avisais i. eahijabar. golfhoogto , kan esa al wiarn..

sos ala two. baiSsa lvsn not voraihL]laads p.riod. deh ait

go-113k. v..rtplutiaij.rL.htiag op it.' g.aupsrpsn.ud cordas. Za vera t.rk.s dico golv.s elkair do.rdat 4. golf teppes of golf.

dahu vsa da two.. golfeosp.a.at.a in faa. cija, nona cija s. is t.gonfa.s codat do goifhoogto gering ja. Doordat di two. c.sponon tea o.k eon versohillendo voortplenting..n.].b.id hebban cuisit hit resultant van de up.rpoaiti. oak mit de tijd. Dint do bild.

kelvati4ig. golfaystonen in d.s.lfdo xiohting lopin krijgon w.

op dose manier eon onrigoleintig langk.a"lg golfg.biad. Dit i. ese

¡+6

Latin WI tw.e regilsatig. golv** uit v.rsohilluide riùting.*

lop.n dan i. hit r.sultsat LtL Qok bist kan hit rssutaat

afkaak.lijk

van di bud. golfpuiod.a

nut

pu'i.disk sija.

Iij sin st.3aol g.2vn waarvas ¿s ..spos.nt.n

Ilk u.n v.Ñúilian.

di v..rtplantingsriobtia kób.s, spr..kt sia van sia

tv..ui±..sa-siea&1 goltb..l4. (Zu witdruk 9).

D. v.rg.lijking van isa r.g.laatigs golf di.

nut

in di rich.

ting van 4. po.iti.v. x.sa loopt vind.n W. als voigt.

d..e

itrias-forsatie van hit as..nkrui. tin opsicht. waarvan we 4. v.rgaliJ. king van di r.g.lsatig. golf afl.id.nz (sis figuur _)r

-rnCHTN VPP4 PE

rtauu

De voortplsntingariahting van 4. golf saakt ein bo.kO( sit 4. poaitiis z-na. #. veina sin nisuw assinkruis X'OY' in, waar-van d positievi X'... sassavalt set 4. voortplantingaricbting van 4. golf. D. v.rg.lijking van de golf t.,v. dit sss.nkruis

ittièti

a

os(kz' .(It)

Vudu iii

Xs Z øIi

+ y im«

sodat we vindea

a r o.sCk z sosO( + k7sinc( (.A.)t) j

asagosisas k s kua.n we stellen dati

k z oosO s sak i .inO(

-- 4?

'7

-duo $

k x co. _{- sa k y .ino( - k7.y.}

D. v.rgelijking van bet golfoppsrvlak wordt dani

r oo.(kz + ky - cat).

Door two. galion to .up.rpoa.r.n waarvan da voortplanting...

ziehtiagan abt saaanvall.s on wsarvan da poriodan v.r.okillan kan osa oar.gslastig tw..4is.nai.*anl b..ld seals wo roads ope

a.rkt.0 ont.tamn (zio figuur 17)..

rtuu

(y

In v.rg.lijking

- r ooa(kx +

+ r2(oos k

z + k y

2

Indisa L)1 (wasrin n un gah..l getal) dan vortoont di r.-gistrati. van de golfboogte ap

¿ik

punt eau p.riodi.k mat da tijd

variend v.raohijns.l (bijv.'c.&.)1 - 3C.)a aie figunr 18).

t

F%GWUR

Voor aMi* gatallan a bijv. if

ii

or faon periodioitoit.

(Tutor-aard g.ldt. dit oak voor hat tws.-diaonsional. geval).

Latan wo twos onrigolsatiga eszedia.naionala systoasa asasa. w.rksa wsarbij do voortplantingariohtingea van dio .yatoa.n ond.z. hag v.raohill.n dan wordt bet rosuitsat al s..r onrsg.].aatig on gast al i..l op ian werk.hijk. zas lijk.n.

lot .tsat wil vut dat osa rodelijks oa.ohrijving van hot

sosopparviak aogalijk i. ala son uanooat dat dit oppaz'vlak

opge-bowd g.d*oht wordt uit son soir groot santal ankolvoudig. gol-von .1k sot sin kl.in. asphitud. on set ondorhing v.rachioftde