Golfdrukken tegen vertikale muren

] 8 H .

Golfdrukken tegen vertikaie muren

A f d e l i n g d e r WEG- en WATERBOUWKUNDE Gegevens en "beschouwingen o v e r G o l f d r u k k e n t e g e n v e r t i k a i e muren i n a a n s l u i t i n g op h e t c o l l e g e Havens v a n P r o f . i r . L. v a n Bendegom s a m e n g e s t e l d d o o r i r . P. v a n Rossum. I n h o u d : _{b l z .} 1. I n l e i d i n g . 2 2. Symbolen. 2 3. T h e o r i e d e r g o l f b e w e g i n g . 3 4. Druk v a n staande g o l f v o l g e n s S a i n f l o u . , 6 5. D r u k v a n s t a a n d e g o l f v o l g e n s I r i b a r r e n e.a. 10

6. Druk van staande g o l f v o l g e n s Rundgren. 10

7. D r u k v a n b r e k e n d e g o l f . 12

8. Nabe s c h o u w i n g . ₁₄

9. L i t e r a t u u r . ₁₅

I n l e i d i n g .

De c o n s t r u c t i e s t e r b e s c h e r m i n g van h a v e n t o e g a n g e n w o r d e n n a a r hun d w a r s p r o f i e l i n twee g r o e p e n v e r d e e l d s

a ) h e t damtype, waarbij de g o l v e n op de t a l u d s b r e k e n ;

b) h e t m u u r t y p e met v e r t i k a i e b e g r e n z i n g , w a a r t e g e n bij v o l d o e n d e w a t e r d i e p t e de g o l v e n t e r u g k a a t s e n en met de nog aankomende g o l v e n een s t a a n d e g o l f vormen.

Daar v e e l a l n i e t b i j a l l e w a t e r s t a n d e n de d a a r v o o r b e n o d i g d e m i n i m a l e d i e p t e v a n 1,28 maal de t o t a l e g o l f h o o g t e a a n w e z i g i s en b o v e n d i e n g o l v e n d o o r de w i n d kunnen b r e k e n moet s t e e d s ook op s t o o t d r u k k e n

( s h o c k - p r e s s u r e s ) van brekende g o l v e n worden g e r e k e n d .

Voor een s t a a n d e g o l f i s de d r u k t e g e n de muur op b e v r e d i g e n d e wijze t h e o r e t i s c h t e b e n a d e r e n . D a a r t e g e n o v e r l i g t de b e p a l i n g v a n de

s t o t e n v a n b r e k e n d e g o l v e n meer op h e t e x p e r i m e n t e l e g e b i e d ( m e t i n -gen op m o d e l l e n en op h a v e n m u r e n ) .

Het m u u r t y p e h e e f t t e g e n o v e r de dam de v o o r d e l e n v a n k l e i n e r d w a r s p r o f i e l en w e i n i g onderhoud. E c h t e r maakten e n k e l e g r o t e rampen met muren een n a u w k e u r i g e r s t a b i l i t e i t s b e r e k e n i n g n o o d z a k e l i j k . Z e l f s bij m a x i m a l e o p w a a r t s e d r u k , dus v o l l e d i g ondergedompeld p r o f i e l , mag bij geen e n k e l b e l a s t i n g g e v a l de r e s u l t a n t e d e r k r a c h t e n noch k a n t e -l i n g , noch v e r s c h u i v i n g noch o v e r s c h r i j d i n g van de t o e -l a a t b a r e d r u k op de f u n d e r i n g s l a a g v e r o o r z a k e n . De j u i s t e aanname d e r g o l f k r a c h t e n i s h i e r b i j v a n h e t g r o o t s t e b e l a n g .

E n k e l e methoden t e r b e p a l i n g van de d r u k k e n van a l o f n i e t b r e k e n -de g o l v e n t e g e n een v e r t i k a i e muur wor-den b e s c h r e v e n . D i l i w i j l s z a l

rr^r^v. ^c c+Q"hn 1 "i + D"i + t j n n hO + xTphpip 'hnnwwfirk de s t a a n d e Rolf maatgevqnd

z i j n . Brekende g o l v e n kunnen e c h t e r p l a a t s e l i j k en k o r t s t o n d i g z e e r hoge s t o o t b e l a s t i n g e n geven, w e l k e b e p a l e n d zijn v o o r de s t e r k t e v a n de c o n s t r u c t i e t e r p l a a t s e . Symbolen. i r a = _{, 2 TtD} cosh 2 TtD L

b = p l a a t s h o o g t e van w a a r n e m i n g s p u n t boven de muurvoej; ^ c = v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de g o l f ( g o l f v o r m )

=\yf

'Tr

'^ë^

f = f u n c t i e

^ 0 z z O Tl ,, 2 TC D = - ~ T ¬ p = o v e r d r u k t . o . v . a t m o s f e e r p = d e e l v a n o v e r d r u k t . g . v . t e r u g k a a t s i n g / = 2 ( r t g h - r ' ) r = h o r i z o n t a l e a m p l i t u d e w a t e r d e e l t j e t . o . v , h e w e g i n g s c e n t r u m r ' = v e r t i k a i e t = t i j d V = o r h i t a l e s n e l h e i d v a n w a t e r d e e l t j e X, x^, Xg = h o r i z o n t a l e coördinaat v a n w a t e r d e e l t j e - i' " " "bewegingscentrum , y^ = v e r t i l c a l e ( x - a s = w a t e r s p i e g e l i n r u s t ) I " b e w e g i n g s c e n t r u m ( x - a s i d e m ) = v e r t i k a i e coördinaat ( x - a s h a l v e r h o o g t e t o p en d a l ) = " " b e w e g i n g s c e n t r u m ( x - a s idem) D = w a t e r d i e p t e b i j n i v e a u i n r u s t H = g o l f h o o g t e v a n t o p t o t d a l L = g o l f l e n g t e v a n t o p t o t t o p E = r e s u l t a n t e v a n h o r i z o n t a l e w a t e r d r u k k e n op muur T = g o l f p e r i o d e a - 2_ILD a _ -j. p = d i c h t h e i d v a n w a t e r cp = 2 T I ( | - ^ ) A = v e r h o u d i n g h o o g t e t e r u g g e k a a t s t e g o l f t o t o o r s p r o n k e l i j k e g o l f -h o o g t e . . T h e o r i e d e r g o l f b e w e g i n g ^ ( 1 ) ( 2 ) A l s b e n a d e r i n g v a n de b e w e g i n g v a n e ^ . i P ^ e a d e - ^G L L i n o n d i e p w a t e r w o r d t aangenomen een p e r i o d i e k e beweging d e r w a t e r d e e l t j e s v o l

-gens g e s l o t e n e l l i p t i s c h e banen i n v e r t i k a i e v l a k k e n e v e n w i j d i g a a n de r i c h t i n g van de g o l f b e w e g i n g , waarbij de coördinaten v e r a n d e r e n even-r e d i g met de s i n u s o f de c o s i n u s v a n een hoek d i e i n T seconden r e g e l m a t i g v a n O t o t 2 % t o e n e e m t . Tevens w o r d t v e r o n d e r s t e l d d a t de b e w e g i n g v a n de d e e l t j e s d i e z i c h i n deze v l a k k e n op de h o r i z o n t a l e a f s t a n d L b e v i n d e n alsmede v a n a l l e d e e l t j e s i n één v e r t i k a a l i n phase z i j n . Ter b e p a l i n g v a n de p l a a t s v a n h e t w a t e r d e e l t j e I k i e z e n we v o o r -l o p i g de x-as h o r i z o n t a a -l op de h e -l f t v a n h e t h o o g t e v e r s c h i -l t u s s e n g o l f t o p en - d a l en de z-as p o s i t i e f omlaag ( z i e f i g . l ) .

4.

We noemen x en z de coördinaten van h e t c e n t r u m , en r en r ' de

0 u

h o r i z o n t a l e en de v e r t i k a i e a m p l i t u d e van de beweging v a n h e t w a t e r -d e e l t j e I . Deze a m p l i t u -d e n zijn -de s t r a l e n van -de g r o t e en k l e i n e c i r k e l d i e de e l l i p s b e p a l e n . Hun g r o o t t e h a n g t a f van: g o l f h o o g t e , g o l f l e n g t e , w a t e r d i e p t e en de d i e p t e v a n h e t b e w e g i n g s c e n t r u m bene-den de w a t e r s p i e g e l .

I n d i e n h e t w a t e r d e e l t j e I z i c h i n p u n t A v a n zijn e l l i p t i s c h e baan b e v i n d t , dan zijn M B en MB'' de b i j d a t p u n t behorende s t r a l e n van de g r o t e en k l e i n e c i r k e l .

A l s h e t w a t e r d e e l t j e I I ( i n de z-as) j u i s t i n zijn h o o g s t e s t a n d i s ( t = 0 ) , z a l h e t d e e l t j e I zijn h o o g s t e s t a n d nog n i e t b e r e i k t hebben, maar z a l de l i j n M B nog een hoek

Ten t i j d e t 2 % = t h e e f t de l i j n M B een hoek | -O L 2 TX: moeten d o o r l o p e n . : d o o r l o p e n . x-as X 2 TC t T S t e l l e n we de r e s u l t e r e n d e hoek: dan v i n d e n we v o o r de coördinaten x en z v a n h e t w a t e r d e e l t j e I op 2 TCx 4-h e t t i j d s t i p t X = x^ + r s m cp z = ZQ - r ' cos cp

Deze b e p a l e n een g o l f l i j n , aangevende de p l a a t s t e n t i j d e t v a n a l l e w a t e r d e e l t j e s met b e w e g i n g s c e n t r u m op de d i e p t e z^. Het o p p e r v l a k i n g e s l o t e n t u s s e n deze g o l f l i j n en de l i j n z =' z b e d r a a g t y ( r ' cos co ) dx X = x ^ + r s i n 9 = L ( Het o p p e r v l a k i s T 2 TC •) + r s i n cp , dus dx L 2 TC -d 9 + r cos 9 d 9' y ( r ' c o s 9 ) (- d 9 + r c o s 9 d 9 ) = r ' L . r r ' . r r ' • j - j ^ - s m 9 + s m 9 cos 9 + - g - y •

Tussen g r e n z e n cp = -| en cp = O opp. = - _ '^'^ 4

9^^ i x e n 9 = f opp. ^ JÏI.^

i x r r '

v e r s c h i l d e r o p p e r v l a k k e n =

Ton o p z i c h t e van de e v e n w i c h t s s t a n d ( d e e l t j e s i n r u s t ) moet h e t v e r -s c h i l g e l i j k n u l zijn (continuïteit-svoorv/aarde) .

De rusts'cand l i g t dus l a g e r dan de l i j n waarop de beschouwde be-w e g i ng see n t r a 11gg e n,

D i t g e l d t ook v o o r de w a t e r s p i e g e l , waar h e t e v e n w i c h t s n i v e a u (zee i n r u s t ) l a g e r l i g t dan h e t v l a k h a l v e r h o o g t e g o l f t o p en - d a l .

V/e gaan nu o v e r op een a s s e n s t e l s e l met de xas i n d i t e v e n w i c h t s -n i v e a u , waarbij de coördi-nate-n worde-n ( f i g . 2 ) j

X - + r s i n 27C (| „ ^ ) en j = ^ - - f ^ - r ' c o s 2 r. (| _ ^ 2 )

w a a r i n x^ en de coördinaten v a n h e t beschouwde w a t e r d e e l t j e i n r u s t s t a n d z i j n .

De waarden van r en r ' i n d i t a s s e n s t e l s e l zijns D ~ '^0 . , O ^ D - ^o ^ H co::^li 2«""--':Ü ^ s m h 2 T C - . - - J - — j . . — e n r ' = , s i n h 2TC-^. ^ sii-ih 2%^ w a a r i n K = t o t a l e g o l f h o o g t e en D = w a t e r d i e p t e b i j n i v e a u i n r u s t . Aan h e t o p p e r v l a k ( y ^ = O) i s r = | c o t h 2 7 t 2 en r ' = |

I±^.-§^ÏÊëI}:§:.è..-gpA'L ( c l a p o t i s ) o n t s t a a t door s u p e r p o s i t i e v a n twee even g r o t e , t e g e n g e s t e l d - g e r i c h t e l o p e n d e g o l v e n , waarvan de t o p p e n

g e l i j l c t i j d i g een b e p a a l d p u n t p a s s e r e n .

17 O "'-1 -ïfirn -i- ",-ir1 r> 1 4- -i ^ r. -i- A- A ^ ^ ^ 1 .3 ^ - V .3 J J_

l e c i j g t , z a l t , g . v . de a n d e r e g o l f ( i n d i e n deze a l l e e n zou b e s t a a n ) de coördinaten x^ en y,, v e r k r i j g e n .

= x ^ -}- r s i n 2 ix ( | ... -^5.) en X 2 = x^ + r s i n 2 7X (| + - j ^ )

Het r e s u l t a a t , d a t de p l a a t s v a n h e t w a t e r d e e l t j e b e p a a l t , vrordt ge-vonden u i t de sommatie v a n x^ en tl^, r e s p . y.j en y^ j

X ^T.^ ^ X 2 - x^ ^

X = x^ + r

(

s i n 2 7X

(|

- Ï 2 ) + 2 ix

(| + ^) j

X + 2 r s m — cos —

6.

evenzo 9 IT ^ 2 Tt r r ' O t • 2TCt . ^ ^«

y = + yg - y^ = yo - L — " ^ ^' s x n s m ~ — .

Een nauv'/keuriger b e n a d e r i n g w o r d t v e r k r e g e n door i n v o e r i n g v a n de

f a c t o r 2 ( s i n —m—) i n de tweede t e r m v o o r j% , . 2TXt 2 T t x ^ X = + 2 r s m cos —j^— 4 T i r r ' / . 2%t\2 ^ 1 • 2TT;t . ^ ^ ^ 0 y = y^ - - ^ i - ^ i s i n -Y-' ~ 2 r ' s m s m — , waardoor aan de c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e y = y^ v o o r t = O w o r d t v o l d a a n -Druk v a n staande g o l f v o l g e n s S a i n f l o u . ( 3 ) Om de o v e r d r u k p t e n o p z i c h t e v a n de a t m o s f e r i s c h e d r u k v a n een s t a a n d e g o l f t e g e n een v e r t i k a i e muur t e b e r e k e n e n , w o r d t u i t g e g a a n van de v e r g e l i j k i n g K = m„a. I n h o r i z o n t a l e en v e r t i k a i e r i c h t i n g t o e g e p a s t op de e e n h e i d v a n massa v e r k r i j g t men: 1 ö p ö^x 1 öp b^y - P • ö X = ö — - P • ö y ^ S = .

Omdat X en y b e i d e f u n c t i e s zijn v a n x^ en y^, en, omgekeerd, x ^ en y^ b e i d e f u n c t i e s van x en y, kan men s c h r i j v e n ;

6p_ _ Ö_£ öx Ö£ öy öy^ " öx • 3 3 r + ^•y • ^

1 ^ ö^x èx / Ö^y öy

B e r e k e n t men e e r s t de t e r m e n v a n deze v e r g e l i j k i n g a f z o n d e r l i j k , dan v e r k r i j g t men, g e b r u i k makend v a n : d r 2 TC r ' d r ' 2 Tt r r e s p e c t i e v e l i j k ; Ö X "^0 - ' 4 Tir' L ^ _ 1 8 T t 2 8 Tc^r r|i2 32 Tï^: 2 T L . 2Ttt 2 T X x ^ s m cos ~ — / 2 ,2N / . 2TCts2 A^T . 2Tct . 2 ^ ^ 0 ( r + r ' ) ( s m -nr^) + -j~ s m - f f r - s m — ^ . 2 7it s m -m— co 2 TC X , p O TC I 4TC4- 8 Ti'^ r ' . • 2riXo - cos + ^ - ^ - ^ s m -jff— s m - j - - - - ^

G e b r u i k makend v a n T"^ = ~ — c o t h en v e r w a a r l o o s t men de t e r m e n r ^ r ' / ^

met tweede machten v a n •j^ en ~ ( d a a r r en r ' /< L ) , dan k r i j g t men v o o r de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ^ r, - 1 - -^E = 1 - V ( r ' t g h

i^- r)

—

s m —TTT— s m ° 27tD ° p g • öy^ ~ L ' L T L I n t e g r e e r t men t u s s e n de g r e n z e n y^ en O, dan i s : = y , + 2 ( r t g h - r - ) s i n ^ s i n + ^ ^^c' Aan h e t o p p e r v l a k g e l d t v o o r i e d e r e waarde v a n en t 2TC] p O ; y^ = O; dan ook r t g h j j -Dus moet f ( x ^ , t ) = O ' p O / + ^ 27xD , \ . 2 T i t . 2 ^ p g = yo ^ "L r ) s m ~ ~ s m — j — . Voorwaarde v o o r t e r u g k a a t s e n i s d a t de b e w e g i n g s r i c h t i n g d e r water-d e e l t j e s b i j water-de muur v e r t i k a a l i s . V o l g e n s f i g . 1 g e l water-d t s S T I X ^ ^ T „ 2 r i x — — = "2 o f 6 ^ "^^s s m — — = + 1 P O /' X 1 27CD , \ . 2Ttt p g = yo + 2 ( r t g h ~ r ' ) s m ~ U i t e r s t e waarden v o o r s i n = + 1 ^ - = y^ + 2 ( r t g h - r ' ) D - y ^ " y^ cosh 2 T C — s i n h 2 %—f—-^ ^ . y + H ( — ^ — ^ - ^ i — ) = yo i P ^ ° cosh 2% ^ s i n h 2 %^ ° Bij bodem ( y ^ = D ) __P _ -n , H ^ , „ ^ ^ cosh 2 r i T e r b e p a l i n g v a n de g r o o t s t e a f w i j k i n g e n v a n de w a t e r s p i e g e l b i j de muur t e n o p z i c h t e v a n h e t n i v e a u i n r u s t w o r d t u i t g e g a a n v a n de 2 2 -, j X. -1 4 Tïrr' / . 2 T t t \ o i • 2 n t r e e d s genoemde f o r m u l e y = y^ _ J—j^—- ( s m ~ 2 r ' s m —Tp- s m — Voorwaarden v o o r u i t e r s t e waarden zijns

2 T X X ^ y^ = O; s i n — j — = + 1 ; s i n = + 1

D i t g e e f t : y = O - . (| c o t h ""^ ) • | + 2 . |

De h o o g t e v a n de t o p v a n de s t a a n d e g o l f i s H + ^-j^ c o t h = H + h , en de d i e p t e v a n h e t d a l H - h .

Voor de waarde v a n D k a n men de z e e d i e p t e aanhouden, t e n z i j de muur w o r d t gebouwd op een z e e r b r e d e s t e e n s t o r t i n g met f l a u w t a l u d

I n d a t g e v a l i s h e t v e i l i g om v o o r D t e r e k e n e n h e s t o r t i n g o

/open/Je C/olf'

^""^'plaats 'van'waterdeettje in rud

^baan Man waterdeeltje^ tL.

U-as

D

"l 4, = |5f V / ^ = 2.67

Gesilppe/c/ 6<3nen der c/ee/t/es f.2.3.^.$.

10.

D r u k v a n s t a a n d e g o l f v o l g e n s I r i b a r r e n e.a. ( 4 ) ( 5 )

Bij de t h e o r i e v a n S a i n f l o u w o r d t g e r e k e n d met een g o l f w e l k e v o l komen ¥/ordt t e r u g g e k a a t s t , zodat een s t a a n d e g o l f o n t s t a a t . I n de r e g e l zijn s t a a n d e g o l v e n e c h t e r v e r g e z e l d v a n l o p e n d e g o l v e n ( o n v o l -komen t e r u g k a a t s i n g ) .

D i t vras v o o r I r i b a r r e n e.a. a a n l e i d i n g om een v a n S a i n f l o u ' s h y d r o -dynamische f o r m u l e r i n g afwijkende z.g. s t a t i s c h - d y n a m i s che g o l f t h e o r i e t e o n t w i k k e l e n .

B e i d e theorieën b e h a n d e l e n de o m z e t t i n g v a n b e w e g i n g s e n e r g i e i n d r u k bij h e t o n t m o e t e n v a n een muur. T e r v r l j l S a i n f l o u een t o t a l e d r u k a f l e i d d e u i t de s t a a n d e g o l f , namen de a n d e r e n de som van de d r u k t e n g e v o l g e v a n een o n g e s t o o r d e l o p e n d e g o l f en de d r u k t e n g e v o l g e v a n h e t t e r u g k a a t s e n t e g e n de muur. Deze t e r u g k a a t s i n g s d r u k p ^ werd a f g e l e i d u i t de b e w e g i n g s v e r g e -l i j k i n g : p d t = v e r a n d e r i n g v a n h o e v e e l h e i d b e w e g i n g , o f , a l s e i n d s n e l h e i d = 0.° p d t = massa maal s n e l h e i d . Voor de a f m e t i n g e n v a n h e t w a t e r v o l u m e d a t i n de t i j d d t zijn s n e l h e i d v e r l i e s t werd aangenomen de l e n g t e ( i n de b e w e g i n g s r i c h t i n g ) c d t (c = v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d v a n de g o l f v o r m ) en l i e t oppervlal<: ( l o o d -r e c h t op bev\/eging) gelijlc aan de e e n h e i d . De massa v a n d a t w a t e -r v o l u m e i s dus p . c . d t . p ^ d t = p . c . d t . V. h i e r i n i s v = o r b i t a a l s n e l h e i d d e r ?>/aterdeeltjes t e r p l a a t s e , p ^ = p . c . V. De d r u k v a n de l o p e n d e g o l f werd b e p a a l d u i t de p l a a t s d i e een w a t e r d e e l t j e t i j d e n s zijn o r b i t a a l b e w / e g i n g i n n e e m t ( z i e I n l e i d i n g ) . D i t u i t g a n g s p u n t i s t l i e o r e t i s c h o n j u i s t d a a r de g o l f b e w e g i n g d o o r de a a n w e z i g h e i d v a n de muur g e s t o o r d w o r d t . U i t p r o e v e n i s g e b l e k e n d a t I r i b a r r e n ' s t h e o r i e de w e r l t e l i j k h e i d n i e t b e t e r b e n a d e r t dan d i e v a n S a i n f l o u . D r u k v a n s t a a n d e g o l f v o l g e n s Rundgren ( 6 )

Door de i n v o e r i n g v a n een t e r u g k a a t s i n g s f a c t o r X , aangevende de v e r h o u d i n g t u ^ i s e n de h o o g t e v a n de t e r u g g e k a a t s t e g o l f en de o o r -s p r o n k e l i j k e g o l f h o o g t e , komt Rundgren tegemoet a a n de o n v o l l e d i g h e i d v a n S a i n f l o u ' s t h e o r i e .

Bij g r o t e d i e p t e en w e i n i g s t e i l e g o l v e n k a n men X = 1 s t e l l e n en de f o r m u l e s v a n S a i n f l o u zonder bezwaar t o e p a s s e n . Bij k l e i n e d i e p t e o f b i j s t e i l e g o l v e n kan X e c h t e r b e l a n g r i j k k l e i -n e r z i j -n . I -n d i t g e v a l i s i -n v o e r i -n g v a -n de f a c t o r X i -n de f o r m u l e s n o o d z a k e l i j k . U i t g a a n d e v a n de b e i d e l o p e n d e g o l v e n : = + r s i n 2 -n; - en Xg = x^ + /\ r s i n 2 ix + w o r d t na i n t e g r e r e n gevonden: ^ = y , . ( r t g h 2 ^ - r ' ) ^ 1 +A ) s i n ^ s i n + ( 1 - ^ cos ^ 2 X -cos — r — r 2 TC X J

Bij de muur ( s i n —-^—2 = + l ) worden de u i t e r s t e waarden B - y B - y TT cosh 2 - ) X _ — ° s i n h 2 T C — = — 2 p-Eg = y„ i i (1 . X ) ( - - - - T - ^ ^ ' cosh 2 TC~. s m h 2 TC_. JJ JJ Bij de bodem ( y ^ = B ) = D + (1 + ^ ) H P ^ " 2 cosh 2'rt? JJ

Bovenstaande e e r s t e b e n a d e r i n g van de g o l f d r u k v o l d o e t aan de g r e n s -waarde ( p = O a a n h e t o p p e r v l a k ) en aan de h y d r o d y n a m i s c h e t h e o r i e v o o r z o v e r h e t e e r s t e g r a a d s t e r m e n v a n H b e t r e f t .

De tweede b e n a d e r i n g g e e f t i n zijn algemene vorm een z e e r bewer-k e l i j bewer-k e v e r g e l i j bewer-k i n g v a n de tweede g r a a d i n H. Langs de muur

2 X

( s i n — j p - ^ = ± 1) worden de u i t e r s t e waarden ( s i n = + 1 ) b i j de bodem ( y ^ = D) a l s •^•^ = a g e s t e l d v/ordt: ? cosh ^ - i i - - -n j_ ^ l i _ _ L J l i , _ "tL^^ p g ~ ^ i ^ cosh a' ± lüïTsihh « 2 1 8 s i n h O- , /cosh Q- 2 \ cosh a + ^ ^^.^^^2 ^ - cosh a ^ j 4- r i X )^} 1 ^ . s i n h 2 g /cosh ^ 2 J De g r o o t s t e a f w i j k i n g e n v a n de w a t e r s p i e g e l b i j de muur t e n o p z i c l i t e van h e t n i v e a u i n r u s t z i j n :

12. 1 3 + t g h 4- s i n h 2 + 4 s i n h ~ cx ^ De g r o o t t e v a n de terugkaatsingscoëfficient k a n worden o n t -l e e n d a a n o n d e r s t a a n d e g r a f i e k , waarop X aangegeven i s a -l s f u n c t i e H D v a n de g o l f s t e i l h e i d ^ en de r e l a t i e v e w a t e r d i e p t e b i j de muur, ge-b a s e e r d op de r e s u l t a t e n v a n p r o e f n e m i n g e n ( f i g . 4 ) X 1 0,9 O 0,0 2 0,04 0,06 0,08 0,10 H L F i ^ 4

Enkölt! bönctdüi-dti W c i c i r d i d n vttn h j / p e r b o l i s c h e f u n c l i e s g e e f t de

o n d e r s t a a n d e t a b e l : T 0.10 0.11 0.12 0.13 0.13 0.14 Oj.15 0.16 0.18 0^20 0.25 0,92 1 ,01 1 ,10 1 ,19 1 ,39 1 ,62 2,30 1 ,35 1 ,41 1 ,48 1 ,55 1 ,71 1 ,90 2,56 0,68 0,71 0,74 0,77 0,81 0,85 0,90 D r u k v a n b r e k e n d e g o l f . ( 7 )

Z o a l s v e r m e l d kunnen g o l v e n b i j h e t b r e k e n t e g e n een muur g e d u r e n de k o r t e t i j d p l a a t s e l i j k z e e r hoge drulcken v e r o o r z a k e n .

Een g o l f b r e e k t a l s z i j n v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d c d u s d a n i g i s v e r m i n d e r d d a t deze de waarde b e r e i k t v a n de o r b i t a l e s n e l h e i d v v a n de

v / a t e r d e e l t j ea i n de t o p .

D i t i s b i j g e l e i d e l i j l c oplopende bodem en "normale" g o l v e n ( d a t w i l zeg-gen i n d i e p w a t e r v o l d o e n d e aan de v o o r w a a r d e 0,006 "\ ^ ^ 0,06) h e t g e v a l v o o r D = 1,28.

Voor de beweging van een w a t e r d e e l t j e van een brekende g o l f i s een v^/iskundige f o r m u l e n i e t beleend.

Rundgren b e p a a l d e g o l f d r u k k e n i n l a b o r a t o r i u m - m o d e l l e n , w a a r b i j g o l v e n gedwongen werden t e b r e k e n door m i d d e l van een f l a u w h e l l e n d e bodem ( h e l l i n g 1 ; 9) . De r i j z i n g van de w a t e r s p i e g e l b r a c h t h e t p u n t van b r e k e n s t e e d s d i c h t e r b i j een i n h e t model o p g e s t e l d e v e r t i k a i e muur.

De t h e o r i e van B a g n o l d , d i e a a n g e e f t d a t s t o o t d r u k k e n o p t r e d e n a l s een l u c h t k u s s e n w o r d t gevormd t u s s e n g o l f f r o n t en muur, werd d o o r p r o e v e n v o l l e d i g b e v e s t i g d . D i t l u c h t k u s s e n werd e e r s t samengedrukt en s p r o n g daarna met een d o f g e l u i d u i t e e n . D i t o n t p l o f f e n g i n g ge-p a a r d met h e t o m h o o g s ge-p u i t e n van w a t e r l a n g s de muur t o t een h o o g t e d i e v e r s c h e i d e n e malen de g o l f h o o g t e o v e r t r o f .

Het g e l u i d van h e t o n t s n a p p e n van de l u c l i t werd s t e r k e r b i j t o e -nemend p e i l v e r s c h i l t u s s e n g o l f t o p en bodem; h e t o n d e r s t e d e e l van h e t g o l f f r o n t werd m i n d e r s t e i l en h e t l u c h t k u s s e n o n t s t o n d a l l e e n d i c h t bij de t o p van de g o l f . Onder d i e o m s t a n d i g h e d e n was de k n a l k o r t en s c h e r p en de p i e k b e l a s t i n g h e t g r o o t s t . Dat s t a d i u m werd b e r e i k t

j u i s t v o o r d a t de w a t e r d i e p t e zo g r o o t '«erd d a t de g o l f n i e t meer b r a k , maar t e r u g k a a t s t e .

Bij de p r o e v e n b l e e k d a t de t e r u g g e k a a t s t e g o l f een v e r v o r m i n g van de aankomende g o l f v e r o o r z a a k t e waardoor de n e i g i n g t o t b r e k e n v e r m i n d e r d e . D i t werd d u i d e l i j k waargenomen i n h e t model waarbij h e t t e r u g k a a t s i n g s e f f e c t d u i d e l i j k e r werd b i j toenemende w a t e r h o o g t e . Bij de t h e o r e t i s c h e b r e k e r d i e p t e van 1,28 H t r a d i n de p r o e v e n r e e d s een t o t a l e t e r u g k a a t s i n g op.

H i e r b i j v o l g e n e n k e l e c o n c l u s i e s u i t de p r o e v e n :

a ) b i j een b e p a a l d e w a t e r d i e p t e t r e d e n i n een v e r t i k a a l de maximale s t o o t d r u k k e n n i e t g e l i j k t i j d i g op, n . 1 . beneden e e r d e r dan b o v e n , b) b i j r i j z e n d e w a t e r s p i e g e l g r o e i t de s t o o t d r u k t o t een maximum en

v e r m i n d e r t d a a r n a ,

c ) de g o l f d r u k neemt a f met toenemende p l a a t s h o o g t e b van h e t waar-nemingspunt boven de m u u r v o e t ,

Het a a n t a l m o d e l p r o e v e n was e c h t e r n i e t v o l d o e n d e om een betrouv/baar v e r b a n d op t e s t e l l e n o

3en g r o o t a a n t a l d r u k p r o e v e n aan de h a v e n h o o f d e n van D i e p p e g e e f t a l s de t i e n h o o g s t e vraarden de v o l g e n d e c-'ifers v o o r — 2 - ^ bii

TT P v e r s c h i l l e n d e v e r h o u d i n g e n irt H L H p g H b^ = 0 , 3 5 I J J 5 2 , 3 5 0 . 0 3 8 1 , 5 0 1 2 ₇ 0 , 0 3 8 1 , 5 0 1 3 1 3 — 0 . 0 3 8 1 , 5 0 3 5 1 7 — 0 . 0 3 8 1 , 5 0 1 5 2 1 ₁₅ 0 . 0 3 8 1 , 5 0 1 2 _{18 8} 0.045 1 ,80 3 8 ₄ — 0.045 1 ,80 3 4 2 — 0 . 0 5 6 2 , 5 0 6 ₃ — 0 . 0 5 6 2 , 5 0 1 6 _{4 1} 0 . 0 6 3 2 , 5 0 1 5 2 — w a a r i n H en L r e s p . de h o o g t e en de l e n g t e zijn v a n de g o l v e n i n d i e p w a t e r . Ha b e s c h O u w l n g . (7 )

Door i n v o e r i n g van een t e r u g k a a t s i n g s f a c t o r X i s een d r u k f i g u u r o v e r e e n k o m s t i g f i g u u r 2 nauv^/keuriger t e b e p a l e n .

De r e s u l t a n t e van w a t e r o v e r d r u k en h e t g e w i c h t v a n de muur-p r o f i e l ( g e h e e l ondergedompeld g e r e k e n d ) moet de muurvoet s n i j d e n , t e r

w i j l a l s g r o o t s t e d r u k op een f u n d e r i n g s s t o r t l a a g w o r d t opgegeven t e n l i o o g s t e 8 k O pG p cm »

Met h e t oog op v e r s c h u i v i n g mag de wrijvingscoëfficient v o o r b e t o n o n d e r l i n g de waarde 0 , 5 en v o o r b e t o n ep s t o r t l a a g 0 , 6 n i e t o v e r -s c l i r i j d e n .

W a n d d i k t e en wapening v o l g e n u i t de s t o o t b e l a s t i n g b i j h e t b r e k e n d e r golA'^en.

A a n g e z i e n door de h o r i z o n t a l e w a t e r b e w e g i n g onder de k n o o p p u n t e n v a n de s t a a n d e g o l f ( z i e f i g .3 ) een g r o t e a a n t a s t i n g van de bodem t e v r e -zen i s d i e n t t e r v e r z e k e r i n g van de s t a b i l i t e i t van de muur een bodem b e s c h e r m i n g t e worden a a n g e b r a c h t o v e r een b r e e d t e g r o t e r dan v a n a f

4 de muur.

9. L i t e r a t u u r .

( 1 ) Le l a l i o u l e e t du c l a p o t i s . Le S a i n t - V e n a n t & L l a m a n t A n n a l e s des Ponis e t Chaussées (mémoires e t documents)

1888, 1e s e m e s t r e . b l z . 705,

( 2 ) C o l l e g e Og K o r t e g o l v e n ; P r o f . T h i j s s e .

( 3 ) E s s a i s u r l e s d i g u e s m a r i t i m e s v e r t i c a l e s ; S a i n f l o u , A n n a l e s des P o n t s e t Chaussées (mémoires e t documionts)

1928 I I b l z . 5, ( 4 ) I n t e r n a t i o n a a l s c h e e p v a a r t c o n g r e s . B u l l e t i n n r . 2 8 , j u l i 1939, I r i b a r r e n C a v a n i l l e s : Berechnung d e r s e n k r e c h t e n Schutzdammen, ( 5 ) I n t e r n a t i o n a a l s c h e e p v a a r t c o n g r e s n r , l 8 , Rome 1953, S I I Q I I r i b a r r e n C a v a n i l l e s : D i g u e s a parement v e r t i c a l e t d i g u e s a t a l u s .

( 6 ) Water wave f o r c e s . L. Rundgren, S t o c k h o l m 1958, ( 7 ) Wind, vföves and m a r i t i m e s t r u c t u r e s