Streszczenie
W artykule zwrócono uwag na problem prognozowania popytu sporadycznego. Scharakteryzowano oraz zobrazowano przykładami obliczeniowymi metody progno-zowania popytu sporadycznego – metod Crostona oraz metod SBA. Dokonano ponadto przegldu najnowszych pozycji literatury zwizanych z t tematyk.
Słowa kluczowe: analiza szeregów czasowych, prognozowanie popytu sporadycznego, metoda Crostona, metoda SBA
Wprowadzenie
Do jednego z najistotniejszych zada przedsibiorstwa chccego generowa zysk i utrzyma si na rynku naley planowanie potrzeb rzeczowych. Potrzeby te oderwane od miejsc ich powsta-wania mona krócej okreli mianem popytu. W przypadku popytu na samochodowe czci zamienne mamy do czynienia ze zjawiskiem popytu sporadycznego. Aby móc skutecznie zaplano-wa działania przedsibiorstwa oferujcego tego typu produkty wykorzystuje si odpowiednie metody prognostyczne.
1. Stan zagadnienia
Problematyka prognozowania popytu sporadycznego została po raz pierwszy poruszona w pracy J. D. Crostona, który zaproponował autorsk metod predykcji szeregów czasowych złoo-nych w wikszoci z zer [3]. Metoda ta została skorygowana w niedługim okresie czasu przez A.V. Rao [6]. Od tamtego czasu ukazało si wiele publikacji zwizanych z t tematyk. Obszern pozycj powicon prognozowaniu popytu sporadycznego jest opracowanie przygotowane przez N. Altaya oraz L. A. Litterala [1]. Autorzy w swojej pracy podkrelaj, e Croston zauwaył, i w przypadku popytu sporadycznego metoda wygładzania wykładniczego nie jest odpowiednia i zaproponował alternatywn metod, opart na podziale szeregu czasowego na dwie kategorie – niezalenie anali-zowane s okresy midzy wystpieniami kolejnych dodatnich wartoci popytu oraz wartoci tego popytu z pominiciem zer. Autorzy zwracaj równie uwag, e metoda Crostona nadal zyskuje na popularnoci i czsto jest implementowana w rónego rodzaju specjalistycznych pakietach staty-stycznych wykorzystywanych na potrzeby prognozowania [1]. Wyszo metody Crostona nad metod wygładzenia wykładniczego udowodniono jednak ju wczeniej w pracy T. R. Willemaina, Ch. N. Smarta, J. H. Shockora oraz P. A. de Sautelsa [14]. Autorzy tej publikacji przeprowadzili symulacje bazujce zarówno na sztucznym jak i na autentycznym zestawie danych pochodzcych z przemysłu. Inn prac bazujc na rzeczywistych danych pochodzcych ze sprzeday samocho-dowych czci zamiennych jest artykuł autorstwa D. Snydera, J. K. Orda i A. Beaumonta [9]. Autorzy publikacji porównuj efektywno kilku modeli. Konkluzja wynikajca z ich bada jest taka, e w przypadku planowania zaopatrzenia lepsze wyniki pozwalaj uzyska dynamiczne mo-dele prognostyczne [9].
N. Kourentzes proponuje wykorzystanie metod sztucznej inteligencji do prognozowania popytu sporadycznego [4]. Autor zauwaa, e właciwe prognozowanie popytu sporadycznego jest trud-nym, ale jednak bardzo istotnym zagadnieniem. Nietrafne prognozy mog przyczynia si do ponoszenia niepotrzebnych kosztów w postaci straconego popytu oraz nadmiernych stanów maga-zynowych. Ponadto autor zwraca uwag na pewne ograniczenia metody Crostona i dowodzi, e w wielu aspektach lepsze rezultaty mona uzyska stosujc sztuczne sieci neuronowe [4]. Na słabe strony metody Crostona zwracaj równie uwag w swojej pracy A. A. Syntetos, M. Z. Babai oraz E. S. Gardner Jr. [10]. Autorzy podkrelaj, e metoda Crostona dzielc dane na dwa niezalene szeregi zakłada w pewien sposób statyczno danych, podczas gdy w praktyce popyt sporadyczny cechuje si pewn dynamik. Oprócz tego autorzy zaznaczaj, e w wielu sytuacjach niepotrzebne s skomplikowane metody prognostyczne i wystarczy podejmowa decyzje na podstawie posiada-nych daposiada-nych i rozumowania zdroworozsdkowego [10]. L. Shenstone i R. J. Hyndman w swojej pracy zwracaj z kolei uwag na fakt, e metoda Crostona jest powszechnie stosowana pomimo tego, e w zasadzie nie posiada szczegółowo sformułowanego modelu stochastycznego. Autorzy proponuj trzy modele, które mogłyby sta u podstaw metody Crostona i dowodz, e kady z nich w okrelonych warunkach moe by uyteczny [8].
W rzeczywistoci czsto zdarza si, e zamiast uywa oryginalnej metody Crostona wykorzy-stuje si któr z jej modyfikacji. Zdarza si jednak, e po przeprowadzeniu właciwych symulacji okazuje si, e modyfikacje daj gorsze rezultaty ni pierwotny algorytm. A. A. Syntetos i J. E. Boylan [12] dowodz na przykład, e modyfikacja MC zaproponowana przez E. Levena i A. Seger-stedta [5] pozwala uzyska prognozy obarczone wikszym błdem ni klasyczna metoda Crostona. Autorzy zwracaj uwag na fakt, e prognozy uzyskane z metody MC s tym dokładniejsze im czciej wystpuje popyt [12]. A. A. Syntetos i J. E. Boylan zaproponowali równie własn mody-fikacj metody Crostona pozwalajc uzyska prognozy obarczone niskimi wartociami błdów [13]. Zaproponowana metoda SBA została porównana z klasyczn metod Crostona, metod red-niej ruchomej oraz metod wygładzania wykładniczego Browna [13]. Wyniki bardzo podobnych bada autorzy przedstawili w kolejnej swojej pracy [11].
Problematyk prognozowania popytu sporadycznego podejmowano w wielu innych pracach oprócz tych, które zostały wymienione powyej. Znaczna cz autorów zajmujcych si t tema-tyk odnosi si do metody Crostona i okrela j, jako efektywn i dajc pole do wprowadzania modyfikacji i ulepsze. Sporód dostpnych modyfikacji najczciej wykorzystywana jest metoda SBA.
2. Metoda Crostona i metoda SBA
Metoda Crostona nie zawsze daje wymierne rezultaty i naley mie tego wiadomo – w przy-padku korzystania z niej w niewłaciwych przypadkach, przedsibiorstwo otrzyma złe wyniki, które mog prowadzi do podejmowania niewłaciwych decyzji. W praktyce metod Crostona i jej mo-dyfikacje stosuje si dosy rzadko, poniewa kada organizacja stara si eliminowa zjawisko sporadycznego popytu na swoje wyroby. Aby wskaza przypadki, w których nie powinno si stoso-wa metody Crostona warto posłuy si zestawieniem zaprezentowanym w tabeli 1.
Tabela 1. Zaleno skutecznoci metody Crostona od wielkoci popytu i długoci okresów
Wysoki popyt Niski popyt
Długie okresy czasu
Metoda Crostona nie za-pewnia właciwych rezultatów.
Metoda Crostona teoretycznie daje uyteczne wyniki, ale jej zastosowanie powinno by przemylane pod ktem efektu byczego bicza.
Krótkie okresy czasu
Metoda Crostona nie za-pewnia właciwych rezultatów.
Metoda Crostona zapewnia uyteczne wyniki, ale tutaj rów-nie mona spotka si z efektem byczego bicza.
ródło: opracowanie własne na podstawie [15].
Z powyszych informacji wynika, e aby metoda Crostona była przydatna popyt musi przyj-mowa niskie wartoci.
Zasada działania metody Crostona polega na dekompozycji szeregu nieregularnego na dwa inne szeregi. Pierwszy z nich zawiera wielkoci popytu z pominiciem okresów, w których popyt wynosił zero. Drugi szereg zawiera czasy midzy okresami, w których wystpił popyt. Dziki takiej dekom-pozycji w zadaniu udaje si pomin liczne zera, które uniemoliwiałyby przeprowadzenie prognozowania przy pomocy innych algorytmów.
Metod Crostona opisuje nastpujcy algorytm. Niech zmienna Zt oznacza wielko
zapotrze-bowania w danym okresie t, natomiast Pt oznacza czas wystpienia zapotrzebowania. Ponadto
zakłada si, e zmienna Xt to aktualna wielko zapotrzebowania w okresie t oraz, e Gt to aktualny
przedział czasowy midzy kolejnymi transakcjami. Oprócz tego do modelu koniecznie naley wpro-wadzi stał wygładzenia . Stała ta przyjmuje wartoci od 0 do 1 i zakłada si, e przyjmuje tak sam warto dla Zt oraz Pt [7].
Przy załoeniu, e w badanym okresie nie pojawiło si zapotrzebowanie, czyli Zt = 0, wartoci
wskaników nie naley aktualizowa, ale przypisa im wielkoci z poprzednich okresów [16]. Sy-tuacj tak opisuj równania 1–3.
1 −
=
t tZ
Z
(1) 1 −=
t tP
P
(2)1
1+
=
− t tG
G
(3)W przypadku, gdy zapotrzebowanie w okresie t jest wiksze od zera wskaniki prognozy aktu-alizowane s według równa 4–5 [7].
1
)
1
(
−
⋅
−+
⋅
=
t t tX
Z
Z
α
α
(4) 1)
1
(
−
⋅
−+
⋅
=
t t tG
P
P
α
α
(5)Warto prognozy na kolejny okres obliczana jest według równania 6.
t t t
P
Z
F
+1=
(6)Na podstawie powyszych wzorów mona przypuszcza, e w przypadku duej liczby okresów z zerowym zapotrzebowaniem prognoza bdzie utrzymywa si na stałym poziomie. Spowoduje to
niezmienne generowanie niepotrzebnych kosztów z okresu na okres, co mona uzna za bardzo powan wad metody Crostona. Mona wysnu wniosek, e w niektórych przypadkach trafno prognozy bdzie zaleała nie tylko od charakterystyk samej metody, ale równie od właciwoci danego szeregu czasowego.
Jedn z najbardziej znanych modyfikacji metody Crostona zaproponowali A. A. Syntetos oraz J. E. Boylan, od których nazwisk metod t okrela si jako model SBA. Autorzy zaproponowali drobn zmian w ostatnim wzorze obliczajcym wartoci prognoz dla poszczególnych okresów. Po jej wprowadzeniu prognoz wyznacza si wg równania 7 [7].
t t t
P
Z
F
¸
⋅
¹
·
¨
©
§
−
=
+2
1
1α
(7) 3. Studium przypadkuOmówione w poprzednim podrozdziale metody zostały wykorzystane do wyznaczenia prognoz dla danych jak na rysunku 1.
Rysunek 1. Przebieg zmian popytu na wybrany produkt w czasie ródło: opracowanie własne.
W przypadku zastosowaniu stałej wygładzania = 0,5 uzyskano wyniki jak w tabeli 2. Tabela 2. Obliczenie prognozy metod Crostona dla = 0,5
Tydzie Wielko popytu Gt Zt Pt Ft+1
1 10 1 7,50 1,50 2,50 2 0 1 7,50 1,50 5,00 3 0 2 7,50 1,50 5,00 4 30 3 18,75 2,25 5,00 5 0 1 18,75 2,25 8,33 6 20 2 19,38 2,13 8,33 7 40 1 29,69 1,56 9,12 8 0 1 29,69 1,56 19,00 9 0 2 29,69 1,56 19,00
Tydzie Wielko popytu Gt Zt Pt Ft+1 10 0 3 29,69 1,56 19,00 11 0 4 29,69 1,56 19,00 12 30 5 29,84 3,28 19,00 13 0 1 29,84 3,28 9,10 14 40 2 34,92 2,64 9,10 15 0 1 34,92 2,64 13,22 16 0 2 34,92 2,64 13,22 17 30 3 32,46 2,82 13,22 18 50 1 41,23 1,91 11,51 19 0 1 41,23 1,91 21,58 20 0 2 41,23 1,91 21,58 21 50 3 45,62 2,46 21,58 22 50 1 47,81 1,73 18,58 23 0 1 47,81 1,73 27,67 24 0 2 47,81 1,73 27,67 25 40 3 43,90 2,36 27,67 26 0 1 43,90 2,36 18,57 ródło: opracowanie własne.
Na rysunku 2 zaprezentowano przebieg prognozy oraz danych rzeczywistych.
Rysunek 2. Prognoza uzyskana przy pomocy metody Crostona, dla =0,5 ródło: opracowanie własne.
Analizujc uzyskane wyniki mona zauway, e algorytm Crostona reaguje na nagłe wahania popytu w sposób dosy łagodny. Dla przykładu w szóstym tygodniu popyt wyniósł 20 sztuk, w siód-mym wzrósł dodatkowo a do 40 sztuk, a mimo tego prognoza na okres ósmy to jedynie 19 sztuk. Z kolei, gdy w dwunastym okresie sprzeda wzrasta do 30 sztuk po czterech okresach bez popytu, prognoza na kolejny tydzie spada do 9 sztuk. W tej sytuacji mona stwierdzi, e jest to sprzeczne z rozumowaniem zdroworozsdkowym, jednak naley pamita, e uwzgldnia nie tylko ostatni tydzie wyizolowany z szeregu czasowego – na otrzymywane wyniki wpływ maj take poprzednie okresy, które kształtowały prognoz duo wczeniej.
Parametrem, który ma najistotniejszy wpływ na kształtowanie si prognozy w czasie jest stała wygładzenia . Jest to warto spotykana take w wielu innych statystycznych metodach prognozo-wania, np. w modelu Browna, modelu Holta, czy modelach Wintersa [2]. W przypadku, gdy warto parametru jest bliska jednoci, to w rachunku prognozy uwzgldnia si przede wszystkim ostatnie obserwacje, jeeli za warto parametru wygładzenia jest bliska zeru, to wagi przypisywane kolej-nym wyrazom szeregu czasowego zmniejszaj si powoli, co oznacza, e przy sporzdzeniu prognozy uwzgldnia si w znacznym stopniu wszystkie poprzednie obserwacje. Dokonano obli-cze przyjmujc wartoci parametru na poziomie 0,1 oraz 0,9. Zalenoci wyników prognozy od obranej wielkoci parametru wygładzenia zaprezentowano na rysunkach 3 i 4.
Rysunek 3. Prognoza uzyskana przy pomocy metody Crostona, dla =0,9 ródło: opracowanie własne.
Rysunek 4. Prognoza uzyskana przy pomocy metody Crostona, dla =0,1 ródło: opracowanie własne.
Powysze przykłady obrazuj jak znaczny wpływ na jako prognozy ma stała wygładzenia. Naley si zastanawia, według jakiego kryterium powinno si dobiera ten parametr. W praktycz-nych zastosowaniach warto dobierana jest zwykle metod prób i błdów. Generaln przesłank jest przy tym przyjmowanie wartoci bliskich zero, jeli analizy historycznego popytu wykazuj pewn, choby minimaln regularno w czasie. W przeciwnym razie (gwałtowne zmiany) właci-wymi wartociami parametru s liczby bliskie 1. Czsto spotykany jest ponadto dobór stałej wygładzania w taki sposób, aby zminimalizowa wartoci błdów jakimi s obarczone uzyskane rozwizania [2]. W przypadku wyznaczenia prognozy metod SBA kolejne obliczenia prezentuj si jak w tabeli 3.
Tabela 3. Obliczenie prognozy metod Crostona i metod SBA dla = 0,9 Tydzie Wielko popytu Gt Zt Pt Ft+1
(Croston) Ft+1 (SBA) 1 10 1 9.9 1.26 2.5 1.38 2 0 1 9.9 1.26 7.86 4.32 3 0 2 9.9 1.26 7.86 4.32 4 30 3 27.99 2.83 7.86 4.32 5 0 1 27.99 2.83 9.9 5.45 6 20 2 20.8 2.08 9.9 5.45 7 40 1 38.08 1.11 9.99 5.49 8 0 1 38.08 1.11 34.36 18.90 9 0 2 38.08 1.11 34.36 18.90 10 0 3 38.08 1.11 34.36 18.90 11 0 4 38.08 1.11 34.36 18.90 12 30 5 30.81 4.61 34.36 18.90 13 0 1 30.81 4.61 6.68 3.67 14 40 2 39.08 2.26 6.68 3.67 15 0 1 39.08 2.26 17.28 9.50 16 0 2 39.08 2.26 17.28 9.50 17 30 3 30.91 2.93 17.28 9.50 18 50 1 48.09 1.19 10.56 5.81 19 0 1 48.09 1.19 40.32 22.18 20 0 2 48.09 1.19 40.32 22.18 21 50 3 49.81 2.82 40.32 22.18 22 50 1 49.98 1.18 17.67 9.72 23 0 1 49.98 1.18 42.29 23.26 24 0 2 49.98 1.18 42.29 23.26 25 40 3 41 2.82 42.29 23.26 26 0 1 41 2.82 14.55 8.00
ródło: opracowanie własne.
W przypadku tradycyjnej metody Crostona reakcje prognozy na błdy z poprzednich okresów s dosy gwałtowne, jeeli ma przypisan wysok warto, a take bardzo niewielkie, gdy stała wygładzenia przyjmuje wartoci bliskie zero. Dziki zastosowaniu metody SBA mona zniwelowa wystpowanie tego zjawiska – po przemnoeniu wartoci prognozy przez dodatkowy współczynnik warto prognozy zmienia si z okresu na okres w bardziej harmonijny sposób. Efekty modyfikacji SBA zobrazowano rysunkiem 5.
Rysunek 4. Prognoza uzyskana przy pomocy metody Crostona, dla =0,1 ródło: opracowanie własne.
4. Podsumowanie
Popyt sporadyczny charakteryzuje si wystpowaniem duej liczby okresów bez zapotrzebowania w szeregu czasowym. W takiej sytuacji aden model prognozowania nie bdzie w stanie dostarczy wyników bliskich optymalnym. Wówczas jedynym wyjciem staje si rozbicie szeregu czasowego na dwie odrbne serie danych opisujce wielkoci popytu i odstpy midzy kolejnymi okresami sprze-day. W tej sytuacji mona skorzysta z modelu Crostona lub jego modyfikacji, chocia one równie pozwalaj uzyska wyniki czsto dalekie od rzeczywistych. Na podstawie przeprowadzonych oblicze oraz porównania wyników prognozowania z rzeczywistym popytem na przestrzeni kolejnych okresów mona pokusi si o wycignicie pewnych wniosków praktycznych. Aby móc korzysta z metody Crostona do prognozowania popytu naley zawsze w pierwszej kolejnoci dokładnie przeanalizowa dane historyczne, aby upewni si, e mamy do czynienia z popytem sporadycznym i nie da si wska-za jakichkolwiek waha cyklicznych, bd tendencji rozwojowej. Jeeli dane wskazuj na które z tych zjawisk to zdecydowanie lepszym rozwizaniem bdzie skorzystanie z innych modeli progno-zowania, np. modelu liniowego Holta lub modeli Wintersa.
Bibliografia
[1] Altay N., Litteral L.A.: Service Parts Management. Demand Forecasting and Inventory Control. Springer-Verlag London Limited 2011.
[2] Cielak M. [red.]: Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN, Warszawa 1999.
[3] Croston J.D.: Forecasting and Stock Control for Intermittent Demands. Operational Research Quarterly, Vol. 23, No. 3, s. 289–303.
[4] Kourentzes N.: Intermittent demand forecasts with neural networks. International Journal of Production Economics, Vol. 143, 2013, s. 198–206.
[5] Leven E., Segerstedt A.: Inventory control with a modified Croston procedure and Erlang distribution. International Journal of Production Economics, Vol. 90, 2004, s. 361–367. [6] Rao A.V.: A Comment on: Forecasting and Stock Control for Intermittent Demands.
Operational Research Quarterly, Vol. 24, No. 4, 1973, s. 639–640.
[7] Rosienkiewicz M.: Analiza efektywnoci wykorzystania kryteriów informacyjnych w prognozowaniu zapotrzebowania na czci zamienne. Gospodarka Materiałowa i Logistyka, nr 5, 2013, s. 11–21.
[8] Shenstone L., Hyndman R.J.: Stochastic Models Underlying Croston’s Method for Intermittent Demand Forecasting, Journal of Forecasting, Vol. 24, 2005, s. 389–402. [9] Snyder R.D., Ord J.K., Beaumont A.: Forecasting the intermittent demand for slow-moving
inventories: A modelling approach. International Journal of Forcasting, Vol. 28, 2012, s. 485–496.
[10] Syntetos A.A., Babai M.Z., Gardner Jr. E.S.: Forecasting intermittent inventory demands: simple parametric methods vs. bootstrapping, Journal of Business Research, Vol. 68, Issue 8, 2015, s. 1746–1752.
[11] Syntetos A.A., Boylan J.E.: On the stock control performance of intermittent demand estimators. International Journal of Production Economics, Vol. 103, 2006, s. 36–47. [12] Syntetos A.A., Boylan J.E.: The accuracy of a Modified Croston procedure. International
Journal of Production Economics, Vol. 107, 2007, s. 511–517.
[13] Syntetos A.A., Boylan J.E.: The accuracy of intermittent demand estimates. International Journal of Forcasting, Vol. 21, 2005, s. 303–314.
[14] Willemain T.R. i in.: Forecasting intermittent demand in manufacturing: a comparative evaluation of Croston's method. International Journal of Forecasting, Vol. 10, Issue 4, 1994, s. 529–538.
[15] http://www.scmfocus.com/demandplanning/2010/07/crostons-vs-smoothie-methods/ [dostp: 29 lipca 2017 r.].
INTERMITTENT DEMAND FORECASTING WITH THE USAGE OF CROSTON’S FORECASTING METHOD AND ITS MODIFICATIONS
Summary
The article discusses the problem of intermittent demand forecasting. The Croston Forecasting Method as well as its modification – The SBA Method have been charac-terized and numerical examples have been prepared. The literature review has been prepared and discussed.
Keywords: time series analysis, intermittent demand forecasting, Croston method, SBA method
Praca realizowana w ramach grantu dziekaskiego nr 15.11.200.329. Krzysztof Jurczyk
Wojciech Woniak
Katedra Inynierii Zarzdzania Wydział Zarzdzania
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków
e-mail: kjurczyk@zarz.agh.edu.pl
wojciech.wozniak.293@zarz.agh.edu.pl Bartłomiej Rachwał
Wydział Zarzdzania
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, 30-067 Kraków
