Wykad 4

MECHANIKA 2

Wykład Nr 4

KINEMATYKA

Ruch złożony i ruch względny

Ruch złożony punktu M

względem układu OXYZ jest to ruch, w skład którego wchodzą ruch układu ruchomego O’xyz względem nieruchomego

układu OXYZ;

ruch punktu M względem układu O’xyz.

Ruch punktu M względem nieruchomego układu

OXYZ nazywamy ruchem

bezwzględnym.

Ruch punktu M względem ruchomego układu O’xyz nazywamy ruchem

względnym.

Ruch układu ruchomego O’xyz względem układu OXYZ nazywamy ruchem

Równania ruchu złożonego

•Wektor położenia punktu M w ruchu bezwzględnym:

•Wektor położenia punktu M w ruchu względnym:

•Wektor położenia układu O’xyz w ruchu unoszenia: Mamy

gdzie:

(1)

Prędkość w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu równania (1):

gdzie:

Prędkość w ruchu złożonym

Oznaczenia:

Prędkość względna:

Prędkość unoszenia w ruchu postępowym układu O’xyz:

Pochodne wersorów:

ω

ρ

W konsekwencji:

Ostatecznie:

Wprowadźmy oznaczenie:

– całkowita prędkość unoszenia układu O’xyz

Prędkość w ruchu złożonym

Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu

złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu równania :

gdzie:

oraz

– przyspieszenie unoszenia w ruchu

postępowym układu ruchomego O’xyz

– składowa styczna

przyspieszenia unoszenia w

ruchu obrotowym układu O’xyz (2)

Przyspieszenie w ruchu złożonym

gdzie:

– składowa normalna

przyspieszenia unoszenia w ruchu obrotowym układu O’xyz:

w

a

ρ

v

ρ

ρ

_×

ω

Przyspieszenie w ruchu złożonym

a

ρ

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie bezwzględne punktu M w ruchu złożonym jest równe sumie wektorowej

przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego oraz przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie Coriolisa nie występuje gdy:

1) ruch unoszenia jest ruchem postępowym

(ω=0);

2) wektor prędkości obrotowej jest

równoległy do wektora prędkości

względnej (ω || v

);

3) szybkość względna jest równa zeru

(v

=0).

Przykład 1

Kajak 1 płynie w kierunku południowym z prędkością v₁ = 30√2 km/h. Kajak 2 pły-nie w kierunku południowo-wschodnim z prędkością v₂ = 30 km/h.

W jakim kierunku i z jaką prędkością płynie kajak 2 względem obserwatora znaj-dującego się w kajaku 1?

ROZWIĄZANIE

Przykład 2

Punkt M porusza się względem punktu A ze stałą prędkością v, wzdłuż pręta o długości l. Pręt obraca się wokół punktu O ze stałą prędkością kątową ω. Wyznaczyć prędkość bezwzględną, przyśpieszenie bezwzględne, szybkość bezwzględną i przyspieszenie Coriolisa punktu M.

• Układ OXY – układ nieruchomy. • Układ Axy – układ ruchomy

X Y

i

ρ

j

ρ

e

ρ

e

ρ

r

ρ

r

ρ

ROZWIĄZANIE

=

=

=

r

r

r

ρ

ρ

ρ

=

v

ρ

ROZWIĄZANIE

=

v

=

ω

ρ

=

a

ρ

=

v

ρ

ROZWIĄZANIE

=

a

ρ

Przykład 3

Wagon miał 3 m szerokości. W czasie t = 2 s od jednej krawędzi do drugiej, prostopadle do osi toru,

przebiegła myszka, poruszając się ruchem

jednostajnym. W tym czasie wagon przesunął się

ruchem jednostajnym prostoliniowym na odległość 4 m. Znaleźć wektor przemieszczenia i prędkości myszki względem torów.

=

v

=

=

, r

r

ρ

ρ

r

ρ

r

ρ

ROZWIĄZANIE

=

v

=

=

=

v

v

ρ

ρ

r

=

s

Przykład 4

Wózek porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z szybkością v₀ względem nieruchomego punktu O. Punkt M porusza się po okręgu o promieniu R ze stałą prędkością kątową ω tak, jak na rysunku (zaczynając z punktu P). Znaleźć równanie ruchu punktu M względem punktu O oraz prędkość bezwzględną i przyspieszenie bezwzględne punktu M.

ROZWIĄZANIE

r

ρ

r

ρ

r

ρ

φ

= ωt

Przykład 5

Płyta kołowa o promieniu R=1 m obraca się wokół osi OA z prędkością

kątową ω=2t s -1. Po

obwodzie płyty porusza się punkt M (poczynając od punktu A) ze stałą

prędkością v m/s. Oblicz prędkość i przyspieszenie Coriolisa punktu M

względem punktu O, gdy znajdzie się on w punkcie B (po chwili t=4 s).

ROZWIĄZANIE

• Układ OXYZ – układ

nieruchomy.

• Układ O’xyz – układ

ruchomy

Przykład 6

Punkt materialny A porusza się wzdłuż przeciwprostokątnej trójkąta przedstawionego na rysunku. Trójkąt ten znajduje się w ruchu obrotowym wokół dłuższej przyprostokątnej. Prędkość punktu A względem trójkąta wynosi v_Aw = 2ω₁l = const., a prędkość kątowa

ruchu obrotowego wynosi ω₁ = const. Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu A w chwili, gdy jego odległość od osi obrotu wynosi l.

ROZWIĄZANIE

ruch unoszenia – ruch obrotowy trójkąta;

ruch względny – ruch punktu A względem płyty;

ruch bezwzględny – ruch punktu A względem punktu B.

– prędkość unoszenia

Ponieważ

⊥

BA

1

ω

ρ

BA

=

l

v

=

ω

l

Kierunek v_Au jest równoległy do osi y, więc:

Ponieważ v_Aw = const., to:

Ponieważ ω₁ = const., to:

Zatem: , gdzie

Trzeba jeszcze obliczyć przyspieszenie Coriolisa:

Przykład 7

Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej przez jej środek, zgodnie z równaniem ruchu: φ(t) = 10t – t2_.

Wewnątrz rurki porusza się punkt M zgodnie równaniem: s(t) = 15sin(πt/3). Obliczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t₁ = 1 s.

ROZWIĄZANIE

ruch unoszenia – ruch obrotowy rurki;

ruch względny – ruch punktu M względem rurki;

ruch bezwzględny – ruch punktu M względem punktu O. Prędkość bezwzględna punktu M:

Prędkość względna punktu M:

Przyspieszenie bezwzględne punktu M:

Przyspieszenie unoszenia:

Przyspieszenie Coriolisa:

Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi

Wiele zjawisk

zachodzących na powierzchni Ziemi jest związanych z jej obrotem wokół własnej osi, a co za tym idzie, z występowaniem przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa na powierzchni Ziemi

Przykłady:

• Na półkuli północnej kierunek ruchu prądów

morskich i wiatrów jest odchylony w prawo (przeciwnie niż na półkuli południowej).

• Przy prawym brzegu Wisły i Odry poziom wody jest

wyższy.

• Gdy pociąg porusza się z południa na północ po

południku, to bardziej zużywają się prawe szyny niż lewe.