Zestawy zadań z działu „Szczególna Teoria Względności” dla IFT+IF Zestaw Ia
1. Zakładając ruch układu „primowanego” z prędkością u względem układu „nieprimowanego”
wykazać niezmienniczość praw Newtona (transformacja Galileusza).
2. Mając dane transformacje Lorentza:
ݔ′ = ൬ඥଵି௨௫ି௨௧మ/మ൰, ݕᇱ= ݕ, ݖᇱ = ݖ, ݐ′ = ൬ඥଵି௨௧ି௨௫/మ/మమ൰,
wyznaczyć wzór na prędkość i przyspieszenie ciała w układzie S’ poruszającym się („primowanym”). (Zakładamy ruch układu S’ z prędkością u w kierunku osi x).
3. Udowodnić niezmienniczość interwału
ݏ′ଶ = ܿଶݐ′ଶ− ݔ′ଶ− ݕ′ଶ− ݖ′ଶ = ݏଶ względem transformacji Lorentza
4. Zakładając zależność energii całkowitej od masy ciała ܧ = ݉ܿଶ udowodnić związek:
ܧଶ = ଶܿଶ+ ݉ଶܿସ
oraz dowieść, że wtedy musimy mieć ݉ =ඥଵି௩బమ/మ. (skorzystać z zależności ௗாௗ௧ = ࡲ ∙ ࢜).
5. Wyprowadzić związek na różnicę czasu otrzymaną w rozważaniach przelotu wiązki światła pomiędzy zwierciadłami w doświadczeniu Michelsona-Morleya i na tej podstawie wyprowadzić zależność na relatywistyczne skrócenie długości oraz dylatację czasu.
Zestaw Ib
1. Jakiej zmianie masy odpowiada zmiana energii ܳ = 4.186J?
2. Wykazać, że wzór ܧ =ଵଶ݉ݒଶ nie daje energii kinetycznej cząstki relatywistycznej nawet wtedy, gdy we wzorze tym m jest masą relatywistyczną. Dowód przeprowadzić przez rozłożenie na szereg wyrażeń: ܧ = ݉ܿଶ൬ඥଵି௩ଵమ/మ− 1൰ oraz ଶଵ݉ݒଶ=ଵଶඥଵି௩బమ/మݒଶ.
3. Jaką prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna równała się energii masy spoczynkowej?
4. Obliczyć długość fali fotonu, którego energia równa się energii spoczynkowej elektronu.
5. Załoga statku kosmicznego mierzy jego długość i otrzymuje wynik ݀ = 400m. Jaką długość statku zmierzy obserwator na Ziemi, jeśli wiadomo, że prędkość statku ݑ = 0.99ܿ?
6. Miony (µ) to cząstki rozpadające się w atmosferze ziemskiej docierające do powierzchni Ziemi wraz z promieniowaniem kosmicznym.
a) Wiedząc, że średni czas życia mionu to około ݐ = 2.2µs oblicz, jaką drogę mogą przebyć te cząstki zakładając mechanikę klasyczną.
b) Używając wyników Szczególnej Teorii Względności oblicz, jaką minimalną prędkość muszą mieć miony jeśli wiadomo, że docierają one do powierzchni Ziemi z górnych warstw atmosfery (݀ = 10km)?
Zestaw Ic
1. Po 10s od chwili wybuchu wulkanu na Ziemi zaobserwowano protuberancję na Słońcu. Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? Czy istnieje taki układ odniesienia, w którym wybuch wulkanu nastąpiłby w tej samej chwili co protuberancja?
2. Względem układu O porusza się ze stałą prędkością v wzdłuż osi x układ O’. W układzie O’
znajduje się pręt o długości l0 tworzący kąt φ’ z osią x’. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy obserwator O?
3. Względem układu odniesienia O porusza się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v układ O’.
Wiadomo, że w obydwu układach odniesienia interwał czasoprzestrzenny ma tę samą wartość.
Wykazać, że transformacja:
−
−
=
′
′
x t c
x c t
ψ ψ
ψ ψ
cosh sinh
cosh sinh
pozostawia niezmieniony interwał czasoprzestrzenny. Podać związek kąta ψ z prędkością układu O’. Przeprowadzić analogię ze zwykłymi obrotami w przestrzeni euklidesowej.
4. Dwa pręty poruszają się ku sobie wzdłuż osi x, każdy ze stałą prędkością v względem układu odniesienia związanego z osią x. Długość spoczynkowa każdego pręta wynosi l0. Obliczyć, jaką długość mijanego pręta zmierzy obserwator poruszający się wraz z jednym z prętów.
5.Mierząc charakterystyczne długości fal (wzbudzone pierwiastki) w widmie promieniowania galaktyki w gwiazdozbiorze Andromedy zaobserwowano, że są one większe w porównaniu z długością fal emitowanych przez te same źródła w warunkach ziemskich o ok. 0.5%.
a) Znaleźć kierunek ruchu galaktyki. Przybliża się ona czy oddala od Ziemi?
b) Obliczyć prędkość radialną galaktyki względem Ziemi.
6. Rakieta odbywa przelot między Ziemią a odległą o cl lat świetlnych gwiazdą. Rakieta leci ze stałym przyspieszeniem a mierzonym przez załogę rakiety. Obliczyć całkowity czas pokładowy potrzebny na przelot rakiety z Ziemi do gwiazdy.
