Termodynamika - Cykle termodynamiczne

(1)

Termodynamika 2

(2)

Silnik cieplny

W silnikach (maszynach) cieplnych ciepło zamieniane jest na pracę. Elementami silnika są: źródło ciepła (grzejnik) o temperaturze T₁, chłodnica o temperaturze T₂i substancja robocza.

Pracę silnika charakteryzuje sprawność (wydajność). Sprawność silnika określa, jaka część energii pobranej na sposób ciepła może być przekazana innemu układowi na sposób pracy. 1 2 1 1

Q

W

_







sprawność

praca wykonana ciepło oddane

ciepło pobrane Q1 ciepło pobrane Q2 ciepło oddane substancja robocza 1 2

Q

W





wykonana praca 1

T

temperatura źródła ciepła

2

T

temperatura chłodnicy

II zasada termodynamiki:ciepło pobrane z grzejnika nie może być w całości

(3)

Cykl przemian termodynamicznych

Jeśli po kilku przemianach gaz ma takie parametry, jak w stanie początkowym, mówimy, że powstał cykl przemian termodynamicznych.

V p

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną. Praca gazu jest ujemna. (W2< 0)

Praca wykonana przez gaz (W₁> 0)

W W z W W W W W  1 2  1 2

Całkowita praca wykonana przez gaz równa jest polu powierzchni zawartej wewnątrz wykresu w układzie pV

Przykłady cykli termodynamicznych

(4)

1 2 1 1 2 1 1

T

Q

W

_



_







praca wykonana temperatura chłodnicy ciepło pobrane temperatura grzejnika Sprawność η silnika Carnota (idealnego)

Cykl Carnota

V p

Cykl Carnota składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat.

A B D C T₁= const T₂= const Q = 0 Q = 0

•AB – rozprężanie izotermiczne. Gaz wykonuje pracę kosztem ciepła Q₁ pobranego z grzejnika o temperaturze T1.

•BC – rozprężanie adiabatyczne. Gaz wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej, temperatura obniża się do wartości T₂.

•CD – sprężanie izotermiczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, ciepło Q₂ jest oddawane do chłodnicy o temperaturze T₂.

• DA – sprężanie adiabatyczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, energia wewnętrzna zwiększa się, temperatura wzrasta do wartości T₁.

WAB> 0, W_BC> 0, WCD< 0, W_DA< 0, Q1 Q2

Całkowita praca wykonana przez gaz

równa jest polu wewnątrz wykresu. AB BC CD DA

W





ciepło oddane 1 2 1

T

 



(5)

Przykłady

Zadanie 1

Wyprowadź wzór na sprawność silnika Carnota

1 2 1

T

 



V p A B D C T₁= const T₂= const Q = 0 Q = 0 WAB> 0, W_BC> 0, WCD< 0, W_DA< 0, Q1 Q2 Rozwiązanie:

Z definicji sprawności silnika:

1 2 1 Q Q Q   

Q1to ciepło pobrane w przemianie izotermicznej AB, Q2to ciepło

oddane w przemianie izotermicznej CD. Z I zasady termodynamiki dla przemiany izotermicznej mamy:

           A B AB n R T ln V_V W Q₁ ₁            D C CD _V V ln T R n W Q₂ ₂ A B D C A B V V ln T V V ln T V V ln T Q Q Q 1 2 1 1 2 1     

Korzystamy z równań dla przemian adiabatycznych BC i DA: VT1const

1 2 1 1 V T T V_B _C 1 2 1 1 V T T

V_A _D równania dzielimy stronami

D C A B V V V V _ 1 2 1 1 2 1 1 2 1 T T T V V ln T V V ln T V V ln T Q Q Q A B A B A B       

(6)

Przykłady

Zadanie 2

Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 25%, temperatura chłodnicy 270_{C. Oblicz temperaturę źródła}

ciepła.

Zadanie 3

Silnik wykonał pracę W = 20 kJ, a do chłodnicy oddane zostało ciepło Q = 80 kJ. Oblicz sprawność silnika.

Mamy dlatego, K T T T T T ₄₀₀ 4 3 4 1 1 ₁ 1 2 1 2 _ _ _    5 1    Q W W  _ _₂₀_% Q Q W  1

(7)

Zadanie 4

Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu. p p1 p₂ p3 V₁ V₂ V A B D C W czasie przemiany AB oraz CD praca nie jest

wykonywana. Praca jest wykonywana w czasie przemian BC oraz DA.

W czasie przemiany BC gaz wykonuje pracę, a podczas przemiany DA praca jest wykonywana nad gazem przez siłę zewnętrzną.

DA BC

W







₂ ₁



3

V

p

W

_BC





DA

W

(pole pod wykresem) składa się z pola prostokąta oraz z pola półkola. Promień półkola: ale także , pole półkola











4

1 2 1 2 1 2 1

V

p

V

p

W

_DA











Praca wykonana przez gaz w tym cyklu to:













4

1 2 1 2 1 2 1 3

p

V

p

V

p

W









1 2

p

r





2

1 2

V

r











4

2

2 1 2 1 2

_p

_V

r

P











Przykłady

(8)

Zadanie 5

Jaka jest sprawność silnika o cyklu przedstawionym na wykresie? W przemianach uczestniczy 1 mol gazu.

p p₁ p2 V₁ V₂ V A B D C Sprawność silnika wyraża się wzorem:

p V

Q

W

Q

W







Pracę obliczamy jako pole pod wykresem:



p

2

p

1



V

2

V

1



W





Ciepło w przemianie izochorycznej AB jest równe zmianie energii wewnętrznej:



_B _A



V

nc

T

Q





Ciepło w przemianie izobarycznej BC jest równe zmianie energii wewnętrznej oraz pracy wykonanej przez układ:



T



p

2



V

2

V

1



nc

Q

_p



_V _C



_B





Temperaturę obliczamy z równania stanu gazu:

nR

V

p

T

_A

_

1 1

nR

V

p

T

_B

_

2 1

nR

V

p

T

_C

_

2 2

₁



n

Wstawiamy do wzoru na Q:































































_















_



V V V V

p

_R

V

p

_R

V

c

p

_R

V

p

_R

V

p

V

c

_R

V

p

V

_c

R

c

Q

2 1 1 1 2 2 2 1 ₂ ₂ ₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁

1 













_

































V V

V

p

V

_c

R

c

V

p

R

1

1 2 2 1 2 1 1 2 1 2



Rozwiązanie:

Ciepło przekazywane jest do układu w czasie przemian AB oraz BC, a w kolejnych przemianach ciepło jest odbierane przez chłodnicę.

(9)

Zadanie 6

Mol powierza został izochorycznie oziębiony, na skutek czego jego energia wewnętrzna zmniejszyła się o ΔU. Następnie rozprężając się izobarycznie wykonał pracę W. Znane są parametry początkowe stanu gazu: p₁i T₁.

Oblicz p₂, T₂, V₁i V₃. _p p₂ p1 V₁ V₃ V B (T2) A (T₁) C

Praca w przemianie izobarycznej:

















_













v

c

U

T

p

WT

V

p

W

1 1 1 1 3 1 3 2

Zmiana energii wewnętrznej:





v v

T

_c

U

c

U













₁ ₂ ₂ ₁

Z równania stanu gazu:

1 1 1

_p

RT

V



1 1 1 1 2 2

_T

c

U

T

p

V

RT

p

v













_





Przykłady

(10)

Zadanie 7

Gaz doskonały został poddany przemianom AB i BC przedstawionym na rysunku. Objętość gazu zmieniła się o V = 0,2 m2_.

Dane jest ciśnienie gazu w stanie A: p_A= 30 kPa. Obliczyć: a) zmianę energii wewnętrznej U w przemianie ABC, b) pracę W wykonaną przez gaz w przemianie ABC,

c) Wykazać, że zmiana energii wewnętrznej Ujest równa sumie pracy wykonanej nad gazem i ciepła dostarczonego.

C A B T p PA TC Rozwiązanie:

W przemianie BCciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury, więc jest to przemiana izochoryczna (W_BC= 0). Z wykresu wynika, że

a)

b) Praca wykonana przez gaz:

c) Praca wykonana przez siłę zewnętrzną: Ciepło pobrane przez gaz:

Dla przemiany AB:

Z równania stanu gazu w stanie A:

A C T T 







0  U_ABC nc_V T_C T_A V p Wz  A  J V p W WABC  AB  A  600



B A



V



C A





p V





B A





B A



p BC AB ABC Q Q nc T T nc T T nc c T T nRT T Q            B A B B A A T V V T V T V _ _  A A A nRT_p V  nR V p nRT T A A B    QABC nRnRTA_nRpAV nRTA pAV QABC Wz 0

Przykłady

(11)

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

2. Ile powietrza z atmosfery należy wpompować do zbiornika o pojemności 2 m3_{aby, bez zmiany temperatury,}

osiągnąć ciśnienie dziesięciokrotnie większe od atmosferycznego?.

Odp. Trzeba wpompować powietrze o objętości 20 m3

3. Ogrzano gaz w balonie, przy stałym ciśnieniu, od temperatury t1= 70C do temperatury t2= 1070C.

Oblicz objętość końcową gazu, jeśli objętość początkowa wynosiła 28 m3_.

Odp. Objętość końcowa gazu wynosiła 37 m3

4. Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 20%, temperatura źródła ciepła 1270_{C. Oblicz temperaturę}

chłodnicy.

Odp. Temperatura chłodnicy wynosi 320 K, czyli 470_C

1. Opona zawiera powietrze o ciśnieniu p w temperaturze t. O ile wzrośnie ciśnienie powietrza w oponie, przy stałej objętości, jeśli jego temperatura wzrośnie o t ?

Odp. Ciśnienie wzrośnie o

5. Silnik pobrał ciepło Q1=2000 J, a do chłodnicy odprowadzono ciepło Q2= 1800 J Jaka praca została

wykonana?

Odp. Praca wynosi 200 J

273     t t p p

(12)

6. Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu. Odp.:

7. Silnik cieplny pobiera 3 razy więcej ciepła niż oddaje do chłodnicy. Oblicz sprawność tego silnika. Odp.:

8. Gaz doskonały uległ przemianie przedstawionej na wykresie. O ile zmieniła się jego temperatura? Odp.: ΔT = 0

9. Ile ciepła jest dostarczane oraz odbierane z idealnego silnika, który wykonuje pracę W, jeśli temperatura grzejnika wynosi T1a temperatura chłodnicy T2?

Odp.: p p₁ V₃ p2 V1 V2 V A B D C













    _ _ _   ₂ ₁ ₃ ₁ ₂ ₁ 2 1_V _V V V p p W 3 2   p[kPa] 1 0 4 4 1 V[m3] A B 2 1 1 1 _T _T W T Q   W T T W T Q    2 1 1 2

10.Jakie jest ciepło pobrane oraz jaką pracę wykonuje silnik Carnota o sprawności η, jeśli w każdym cyklu oddaje do chłodnicy ciepło Q₂. Odp.: