Fizyka kwantowa – II: przykłady rozwiązania równaia Schrodingera

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-26

18. Fizyka kwantowa - II

18.2. Przykłady rozwiązania równania Schrödingera:

•

cząstka swobodna

•

cząstka w studni potencjału,

•

cząstka przechodząca przez bariera potencjału,

Równanie Schrödingera dla

cząstki swobodnej – powtórzmy..

𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 = − 2𝑚 ℏ2 𝐸 − 𝑈 𝑥 Ψ 𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 = − 2𝑚 ℏ2 𝐸Ψ = −𝑘2Ψ 𝑘 = 2𝑚 ℏ2 𝐸 Ψ 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥

przedstawia falę rozchodzącą się w kierunku x o wektorze falowym k i długości 

jego rozwiązaniem jest

przyjmując B=0 (cząstka porusza się w kierunku dodatnich x), więc równanie zależne od

czasu (zastosowaliśmy metodę rozdzielenia zmiennych)

Ψ 𝑥, 𝑡 = Ψ 𝑥 𝑒−𝑖𝜔𝑡 = 𝐴𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡

Czyli funkcją falową cząstki swobodnej jest fala płaska o długości  określonej zależnością de Broglie’a. Co będzie gdy cząstka nie będzie swobodna.

𝜆 = ℎ 𝑝 𝒌 = 𝒑

ℏ

Na poprzednim wykładzie pokazaliśmy, że w przypadku cząstki swobodnej, gdy nie działają na nią żadne siły, tzn. potencjał 𝑈 𝑥 = 0 to równanie Schrödingera przyjmuje postać:

Cząstka w studni potencjału

Wykorzystamy równanie Schrödingera do opisu cząstki zamkniętej w jednowymiarowym pudełku (tzw. studni potencjału). Ten szczególny przypadek rozważa zachowanie się cząstek w stanach związanych, wprowadza pojęcie kwantyzacji energii cząstki i pozwala na zrozumienie budowy atomów i ciała stałego. Załóżmy, że cząstka o masie m (np. elektron), może się poruszać wyłącznie wzdłuż osi x, zaś jej przemieszczanie

się jest ograniczone do obszaru między ścianami (x = 0

i x = L). Pomiędzy ścianami (𝑥 ∈ 0, 𝐿 ) cząstka porusza

się swobodnie. Taki układ nazwiemy nieskończenie głęboką studnią kwantową (jamą potencjału).

Ponieważ cząstka nie może wydostać się na zewnątrz studni potencjału jej funkcja falowa (x), a tym samym prawdopodobieństwo pojawienia się poza studnią wynosi 0.

Wartości potencjału w studni można zapisać w postaci:

𝑈 𝑥 = 0 dla 𝑥 ∈ 0, 𝐿

𝑈 𝑥 = ∞ dla wszystkich innych x.

(x) = 0 dla 𝑥 ∈ −∞, 0

𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 = − 2𝑚 ℏ2 𝐸 − 𝑈 𝑥 Ψ 𝑘 = 2𝑚 ℏ2 𝐸 𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 = −𝑘2Ψ Ψ 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑥 _{+ 𝐵𝑒}−𝑖𝑘𝑥 Ψ 0 = Ψ 𝐿 = 0 0 _U=0 L U=

Równanie Schrödingera przy uwzględnieniu 𝑈 𝑥 = 0 wewnątrz studni

U=

W jednowymiarowej nieskończenie wysokiej studni potencjału cząstka może znajdować się tylko w obszarze 0 < x < L, stąd

warunki brzegowe dla funkcji falowej

Równanie Schrödingera dla

nieskończonej studni potencjału

oznaczając

i jego rozwiązanie jest postaci:

funkcja (x) może reprezentować falę (cząstkę) biegnącą w prawo lub w lewo i znikającą w punkcie x = 0 oraz x = L

𝑘 = 2𝑚 ℏ2 𝐸 Ψ 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 Ψ 0 = 0 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 𝐴 𝑒 𝑖𝑘𝐿 _{− 𝑒}−𝑖𝑘𝐿 _{= 0} sin 𝑘𝐿 = 0 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 _{𝐸𝑛 = 𝑛}2 𝜋 2_ℏ2 2𝑚𝐿2 Ψ_𝑛 𝑥 = 𝐶 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 0 U=0 L U=

spełniając warunki brzegowe:

E₁ E₂ E₃ U= 𝐶 = 2𝐴𝑖 Ψ 𝐿 = 0 gdzie 𝑛 = 1, 2, 3 … .

Równanie Schrödingera dla

nieskończonej studni potencjału

Ψ 𝑥 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑥 = 2𝐴𝑖 sin(𝑘𝑥)

indeks n oznacza, że funkcja falowa przypisana jest do n-tego poziomu energetycznego

▪ wartości energii E_n nazywamy wartościami własnymi

▪ odpowiadające im funkcje falowe _n – funkcjami własnymi

▪ kwadrat modułu funkcji falowej określa prawdopodobieństwo położenia elektronu wewnątrz studni potencjału

▪ dla stanu 1 największe prawdopodobieństwo położenia elektronu jest w środku studni

▪ dla dużych wartości n rozkład prawdopodobieństwa staje się równomierny i zgodny z przewidywaniami fizyki klasycznej

𝐸_𝑛 = 𝑛2 𝜋

2_ℏ2

2𝑚𝐿2

Równanie Schrödingera dla

nieskończonej studni potencjału

Ψ 𝑥, 𝑡 = Ψ 𝑥 𝑒−𝑖𝜔𝑡

Ψ_𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝐶 sin 𝑘_𝑛𝑥 ⋅ 𝑒−𝑖𝜔𝑛𝑡

Pełna postać funkcji falowej:

𝑘_𝑛 = 𝑛𝜋 𝐿 gdzie 𝜔_𝑛 = 𝐸𝑛 ℏ 7

Wnioski

▪ energia jest skwantowana, cząstki mogą zajmować pewne poziomy energetyczne (n – liczba kwantowa)

▪ kwantyzacji podlega również pęd elektronu

▪ cząstka nie może posiadać energii zerowej – wynika z zasady nieoznaczoności

▪ stałą C wyznaczamy z warunku unormowania

▪ dla obiektów klasycznych poszczególne poziomy są tak bliskie, że prawie nierozróżnialne Δ𝑥 = 𝐿 Δ𝑝 ≥ Τℏ 𝐿 𝐸 = 𝑝 2 2𝑚 > 0 Δ𝑥Δ𝑝 ≥ ℏ න 0 𝐿 Ψ ⋅ Ψ∗𝑑𝑥 = 𝐶 2 න 0 𝐿 sin2 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥 = 1 න 0 𝐿 sin2 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿 2 𝐶2 𝐿 2 = 1 𝐶 = 2 𝐿Τ Ψ𝑛 𝑥 = 2 𝐿sin 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑝_𝑛 = ℏ𝑘_𝑛 = 𝑛 𝜋ℏ 𝐿 8

Elektron w skończonej

studni potencjału

studnia potencjału o głębokości U_o

𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 = − 2𝑚 ℏ2 𝐸 − 𝑈 𝑥 Ψ równanie Schrodingera rozwiązujemy dla trzech obszarów

wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz: • fale materii wnikają w ściany studni

• energie dla każdego stanu są mniejsze niż w 

• elektron o energii większej od U₀ nie jest zlokalizowany,

Bariera

potencjału

Przykład klasyczny: W celu zobrazowania zjawiska tunelowania rozważmy

przypadek kulki toczącej się po powierzchni z energią kinetyczną 100 J. W pewnym momencie kulka napotyka wzniesienie. Energia potencjalna kulki na szczycie wzniesienia wynosi 10 J. A zatem kulka o energii kinetycznej równej 100 J z łatwością wtoczy się na szczyt wzniesienia i będzie kontynuowała swój ruch. W mechanice klasycznej prawdopodobieństwo pokonania wzniesienia przez kulkę wynosi dokładnie 1, co oznacza, że kulka mija wzniesienie i na pewno nie zawróci.

Jeżeli jednak napotkałaby przeszkodę o większej wysokości, taką, że do jej pokonania niezbędna byłaby energia 200 J, wówczas kulka podtoczyłaby się jedynie do pewnej wysokości, a następnie zatrzymała i stoczyła z powrotem. Energia bariery znacznie przewyższa jej energię całkowitą.

Prawdopodobieństwo pokonania przeszkody wynosiłoby w tym przypadku 0.

A jak to wygląda z punktu widzenia mechaniki kwantowej?

v

E

_k

h

Bariera potencjału

(

cząstka nad barierą

)

𝑈 𝑥 = ቊ0 dla x<0 𝑈_𝑜 dla x>0 𝑑2Ψ₁ 𝑑𝑥2 + 2𝑚 ℏ2 𝐸Ψ1 = 0 Ψ₁ 𝑥 = 𝐴₁𝑒𝑖𝑘1𝑥 _{+ 𝐵} 1𝑒−𝑖𝑘1𝑥 𝑘₁ = 2𝑚 ℏ2 𝐸 𝑑2Ψ₂ 𝑑𝑥2 + 2𝑚 ℏ2 𝐸 − 𝑈𝑜 Ψ2 = 0 Ψ₂ 𝑥 = 𝐴₂𝑒𝑖𝑘2𝑥 _{+ 𝐵} 2𝑒−𝑖𝑘2𝑥 𝑘₂ = 2𝑚 ℏ2 𝐸 − 𝑈𝑜 𝐴₁ + 𝐵₁ = 𝐴₂ 𝑑Ψ₁ 𝑑𝑥 ȁ𝑥=0 = 𝑑Ψ2 𝑑𝑥 ȁ𝑥=0 Ψ₁ 0 = Ψ₂ 0 𝑘₁ 𝐴₁ − 𝐵₁ = 𝑘₂𝐴₂

ruch cząstek w obszarze w którym bariera potencjału zmienia się skokowo

1 2 z warunków brzegowych dla x = 0 𝐵₁ = 𝐴₁ 𝑘1 − 𝑘2 𝑘₁ + 𝑘₂ 𝐴₂ = 𝐴₁ 2𝑘1 𝑘₁ + 𝑘₂ B₂ = 0, bo nie ma fali odbitej

E>U

_o 1 ₂ U(x) U=0 U=U₀ U₀ x 0 11

Współczynnik transmisji T i odbicia R

Ψ₁ = 𝐴₁𝑒𝑖𝑘1𝑥 _{+ 𝐴} 1 𝑘₁ − 𝑘₂ 𝑘₁ + 𝑘₂𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 Ψ₂ = 𝐴₁ 2𝑘1 𝑘₁ + 𝑘₂ 𝑒 𝑖𝑘2𝑥 𝑇 = −𝑣2 𝐴2 2 𝑣₁ 𝐴₁ 2 𝑣1 = 𝑝₁ 𝑚 = ℏ𝑘₁ 𝑚 𝑣2 = 𝑝₂ 𝑚 = ℏ𝑘₂ 𝑚 𝑇 = 𝑘2 𝑘₁ 2𝑘₁ 𝑘₁ + 𝑘₂ 2 = 4𝑘1𝑘2 𝑘₁ + 𝑘₂ 2 = 4 𝐸 − 𝑈_𝑜 Τ𝐸 1 + 𝐸 − 𝑈_𝑜 Τ𝐸 2

współczynnik transmisji T to stosunek gęstość strumienia cząstek

przechodzących do padających, współczynnik odbicia R to stosunek odbitych do padających

𝑅 + 𝑇 = 1

podejście kwantowe – fala świetlna odbija się od granicy dwóch ośrodków

klasycznie – niemożliwe, cząstka nie odbije się lecąc nad siatką 12

𝑇 = 4 𝐶

𝑑2Ψ₂ 𝑑𝑥2 − 2𝑚 ℏ2 𝑈𝑜 − 𝐸 Ψ2 = 0 Ψ₂ 𝑥 = 𝐴₂𝑒𝜒𝑥 + 𝐵₂𝑒−𝜒𝑥 𝜒 = 2𝑚 ℏ2 𝑈𝑜 − 𝐸

Z warunku ograniczoności ₂ wynika A₂ = 0

𝐵₁ = −𝑘1 − 𝑖𝜒 𝑘₁ + 𝑖𝜒𝐴1 𝐵₂ = 2𝑘1 𝑘₁ + 𝑖𝜒𝐴1 𝑅 = 𝐵1𝐵1 ∗ 𝐴₁𝐴₁∗ = 1

fala wchodząca do obszaru drugiego jest wykładniczo tłumiona i gęstość

prawdopodobieństwa jest proporcjonalna do

exp(–2



x)

W obszarze 1 rozwiązanie się nie zmienia,

natomiast w obszarze 2

E < U

_o

i rozwiązanie

opisane jest funkcją wykładniczą.

całkowite odbicie

E<U

_o 1 ₂ U(x) U=0 U=U₀ U₀ x 0

Bariera potencjału

(

cząstka poniżej bariery

)

Ψ₂ 𝑥 = 𝐵₂𝑒−𝜒𝑥 z warunków brzegowych dla x = 0 𝐴₁ + 𝐵₁ = 𝐵₂ 𝑖𝑘₁ 𝐴₁ − 𝐵₁ = 𝜒𝐵₂ 13

Cząstka odbija się od bariery niezależnie jaką posiada energię

W przypadku gdy

E < U

₀

cząstka częściowo wnika w obszar bariery ale

następnie powraca (następuje całkowite odbicie cząstki

R = 1

)

Bariera potencjału

E > U

₀

E < U

₀

Bariera potencjału o

skończonej szerokości

1 U(x) 2 U=0 U=U₀ U₀ x 0 3 U=0 L 𝑈 𝑥 = ቐ 0 dla x<0 𝑈_𝑜 dla 0 ≤ x ≤ L 0 dla x>L 𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 + 2𝑚 ℏ2 𝐸Ψ = 0 𝑑2Ψ 𝑑𝑥2 − 2𝑚 ℏ2 𝑈𝑜 − 𝐸 Ψ = 0 Ψ₁ = 𝐴₁𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵₁𝑒−𝑖𝑘𝑥 Ψ₂ = 𝐴₂𝑒𝜒𝑥 + 𝐵₂𝑒−𝜒𝑥 Ψ₃ = 𝐴₃𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑘 = 2𝑚 ℏ2 𝐸 𝜒 = 2𝑚 ℏ2 𝑈𝑜 − 𝐸 𝑇 = 𝑣3 𝑣₁ 𝐴₃𝐴₃∗ 𝐴₁𝐴₁∗ = 𝐴₃𝐴₃∗ 𝐴₁𝐴₁∗ 𝑇 ≈ 𝑒−2𝜒𝐿 Dla obszarów 1 i 3

Współczynnik transmisji bariery jest równy w przybliżeniu

Ze względu na wykładniczą postać wartość T jest bardzo czuła na trzy zmienne:

masę cząstki m, szerokość bariery L i różnicę energii U_o-E

Dla obszaru 2

𝑇 ≈ 𝑒−2𝐿ℏ 2𝑚 𝑈𝑜−𝐸

czyli

Efekt tunelowy -

przenikanie cząstki

przez barierę potencjału

E A1 B1 A3 U >Eo 0 l (x) x

▪

prawdopodobieństwo przejścia

przez barierę potencjału zależy

od

L

i

U

_o

▪

szybko maleje ze wzrostem jej

szerokości i wysokości

▪

wg. mechaniki klasycznej

przenikanie przez barierę jest

niemożliwe

▪

energia cząstki, w odróżnieniu

od studni potencjału nie jest

skwantowana

𝑇 ≈ 𝑒

−2𝐿ℏ 2𝑚 𝑈𝑜−𝐸

Bariera potencjału

o skończonej szerokości

Przykłady efektu tunelowego

▪

Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu p-n)

Nagroda Nobla 1973r

▪

Esaki -

tunelowanie w półprzewodnikach

np. diody tunelowe

▪

Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach

▪

Josephson – złącze Josephsona, szybki przełącznik

kwantowy

▪

Skaningowy Mikroskop Tunelowy

▪

Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r

Diody

tunelowe

Tunelowanie elektronów przy powierzchni metali jest podstawą fizyczną działania

skaningowego mikroskopu tunelowego (ang. scanning tunneling microscope, STM), wynalezionego w 1981 roku przez Binniga i Rohrera.

STM składa się z:

▪ sondy skanującej (np. igła wykonana z wolframu, platyny z irydem lub złota), ▪ stolika piezoelektrycznego, odpowiedzialnego za pozycjonowanie sondy ▪ komputera, na którym można oglądać otrzymany obraz.

Skaningowy Mikroskop Tunelowy (STM)

Do badanej próbki przyłożone jest stałe napięcie, a podczas ruchu sondy nad powierzchnią próbki rejestrowany jest prąd tunelowy dla kolejnych położeń igły względem próbki. Natężenie prądu zależy od prawdopodobieństwa tunelowania elektronów z powierzchni próbki do igły, co z kolei jest uwarunkowane wysokością sondy nad próbką.

Skaningowy Mikroskop Tunelowy (STM)

Obraz nanorurki węglowej otrzymany za pomocą STM. Obrazy otrzymane za pomocą STM są w skali odcieni szarości, kolor dodaje się podczas obróbki.

Natężenie prądu w konkretnym punkcie (x, y) dostarcza informacji na temat chwilowej wysokości sondy nad próbką. W ten sposób może powstać niezwykle dokładna mapa powierzchni próbki. Obrazy otrzymane za pomocą STM są przetwarzane i wyświetlane na ekranie komputera. Obraz STM pozwala wyznaczyć topografię powierzchni próbek rożnych materiałów i wskazać, na ile jest płaska, a na ile pagórkowata.

Badania prowadzone przy użyciu mikroskopu tunelowego mają bardzo dużą rozdzielczość: 0,001nm, co stanowi 1% średniego promienia atomu. W ten sposób możemy obserwować pojedyncze atomy na powierzchni próbki.21

Podsumowanie

22 1. Cząstka w nieskończonej studni potencjału. Wnioski:

1. skwantowanie energii, 2. skwantowanie pędu, 3. nie ma zerowej energii

2. Cząstka w skończonej studni potencjału. Wnioski: 1. fale materii wnikają w ściany,

2. energie mniejsze iż dla nieskończonej studni,

3. elektron powyżej studni nie jest zlokalizowany ma nieskwantowaną energie

3. Omówiliśmy barierę potencjału o skończonej szerokości jej kwantowo-mechaniczny charakter