Model Stocka i Watsona oraz jego modyfikacje — Analiza inflacji w Polsce

MODEL STOCKA I WATSONA ORAZ JEGO MODYFIKACJE

— ANALIZA INFLACJI W POLSCE

JACEK KWIATKOWSKI

Katedra E konom etrii i Statystyki W NEIZ U n iw ersytet Mikołaja K opernika w Toruniu

PL 87-100 Toruń, u l. Gagarina 13a :

e-mail: jkivint@uni.tornn.pl

Praca p r z e d s ta w io n a n a p o s ie d z e n iu K om isji N a u k E k o n o m ic z n y c h i S ta ty sty k i O d d z ia łu P A N w K ra k o w ie w d n iu 3 0 k w ie tn ia 2009 r.

ABSTRACT

Jacek K w ia tk o w s k i. Stock a n d Watson's M odel a n d Its M odifications — A n a ly sis o f Inflation in

Poland, F olia O e c o n o m ic a C r a c o v ie n s ia 2 0 0 8 -2 0 0 9 , 4 9 -5 0 : 1 4 5 -1 6 8 . . T h e p a p er p r e s e n ts g e n e ra l lo ca l le v e l m o d e l w it h s to c h a s tic v o la tility , r e c e n tly p r o p o s e d for U .S . in fla tio n b y S to ck a n d W atson . T h e m a in p u r p o s e is to p r e s e n t a n d c o m p a r e o th er local le v e l m o d e l sp ec ific a tio n s, e s p e c ia lly w it h N o r m a l G A R C H a n d S tu d e n t-t G A R C H d i­ stu rb a n ces. T h e p a p e r is a fu ll B a y e sia n a n a ly sis a n d c o n c er n s in fla tio n in P o la n d d u r in g 1992­ 2007. T h e m o d e l s e le c tio n a n d p o ster io r e stim a te s p r o v id e str o n g e v id e n c e in fa v o r o f a m o d e l w ith h e a v y -ta ile d d istu rb a n c es in th e core c o m p o n e n t, a n d th e tra n sito ry c o m p o n e n t. A ls o , after th e s y s te m tr a n sfo rm a tio n s in th e e a rly 9 0's, th e v o la tility o f th e d is tu r b a n c e s d r iv in g b o th c o m p o n e n ts h a v e b e e n s u b s ta n tia lly d e c r e a s in g o v e r tim e.

KEY W O R D S — SŁ O W A K L U C Z O W E

local le v e l m o d e l, B a y e sia n M o d e l C o m p a riso n , In flation , c o n d itio n a l h e te r o s c e d a s tic ity M o d e l lo k a ln e g o p o z io m u , b a y e s o w s k ie te s to w a n ie m o d e li, inflacja,

w aru n k ow a heteroskedastyczn ość

' 1. WSTĘP •

Każdy poziom inflacji ma w pływ na procesy gospodarcze i społeczne. Wiele instytucji — rządowych, bankowych, finansowych, a także pryw atni inwesto­ rzy potrzebują wiarygodnego modelu inflacji aby móc przew idzieć praw dzi­

w ą wartość bogactwa, dochodu oraz stopy zwrotu. Dlatego też tak ważne są badania mające na celu popraw ne opisanie i prognozow anie tego zjawiska.

Problem modelowania inflaq'i jest znany od dawna zarówno w literaturze polskiej, jak i zagranicznej. Najnowszy przegląd w języku polskim tego typu literatury, głównie pod katem analizy kointegracyjnej, przedstawia M. Majste- rek (2008).

W artykule przedstawiono nowe narzędzia służące do modelowania i pro­ gnozowania inflacji, mianowicie modele ze zmieniającymi się losowo w czasie param etram i. M odele te m ogą stanowić ciekawą alternatywę w stosunku do znanych i szeroko stosowanych modeli strukturalnych (np. Welfe, 2000). W nie­ daw nym raporcie dotyczącym inflacji w krajach G-7 Cecchetti, Hooper, Ka- sman, Schoenholtz i Watson (2007) wykazali, że w ciągu ostatnich 50 lat war­ tość współczynnika autoregresji w modelu AR(1) dla szeregu inflacji zmieniała się znacząco w zakresie od [-0,5 do 0]. Badania o podobnej tematyce podjęli wcześniej Koop i Potter (2001), którzy rozważali model autoregresyjny z pa­ ram etram i generowanym i przez proces błądzenia przypadkow ego dla kwar­ talnych danych amerykańskiego wskaźnika CPI (ang. Consumer Price Index). Przewaga tego m odelu nad klasami konkurencyjnymi, w tym przypadku linio­ w ym i progow ym m odelem autoregresyjnym , była tak duża, że m odel teri uzyskał praw dopodobieństw o a posteriori bliskie jeden1. Co więcej, w obszer­ nej analizach przeprow adzonych przez Stocka i Watsona (2007, 2008), które również dotyczyły inflacji w Stanach Zjednoczonych, żaden z modeli jedno- równaniowych, nie uzyskał dokładniejszej prognozy niż ich model2. Rozważa­ ne przez nich konkurencyjne modele to zarówno typow e m odele szeregów czasow ych ARIMA, jak rów nież m odele oparte na krzywej Philipsa w raz z najnowszym i modyfikacjami oraz modele wykorzystujące koncepcję stopy bezrobocia nie powodującej przyspieszania inflacji — NAIRU. Przedstawiane w artykule modele inflacji są konstrukcjami formalnymi, które nie stawiają sobie za główny cel praw idłowe zdefiniowanie jej przyczyn. Główny nacisk położo­ no na opis jej dynam iki i głębsze wniknięcie w jej w ewnętrzną strukturę.

Rozpatrywane modele nawiązują do najnowszej literatury światowej, do­ tyczącej w ykorzystania m odeli z losowymi param etram i w analizie inflacji. O now atorstw ie prezentow anych w tym artykule tematyki może świadczyć, oprócz wspomnianej wcześniej literatury, również niepublikowany jeszcze ar­ tykuł Grassiego i Proiettiego (2008), w którym autorzy podejmują konkuren­ cyjny, w stosunku do prezentowanego artykułu, kierunek badań.

Układ artykułu jest następujący. W części 2 przedstawiono model lokalne­ go poziomu, a następnie jego rozszerzenie w wersji Stocka i Watsona (2007). W dalszej części artykułu zaproponowano modyfikaqe wspomnianego

mode-1 M o w a tu o m o d ela ch TAR (ang. Threshold Autoregressive Models). 2 W g kryterium p ierw iastka b łę d u śred n iok w ad ratow ego (RMSE).

lu, które mają na celu, po pierwsze, w większym stopniu uwzględnić typowe własności szeregu inflaq'i, po drugie — mogą poprawić jego możliwości apli­ kacyjne. Dotyczy to zwłaszcza w ykorzystania m odelu GARCH z w arunko­ wym rozkładem norm alnym i f-Studenta w rów naniu obserwacji i nieobser- wowalnej zmiennej — trendu. D odatkow o om ów iono inne konkurencyjne specyfikacje przydatne i stosowane wcześniej do modelowania inflacji, to jest modele autoregresyjne z stałymi oraz losowymi parametrami. W tym drugim przypadku przyjmuje się założenie, że param etry opisane są jako proces błą­ dzenia przypadkowego. W części 3 zbadano własności wymienionych modeli na podstawie 192-miesięcznych obserwaq'i polskiego wskaźnika cen konsumenta CPI, obejmujących okres od stycznia 1992 do grudnia 2007 roku. W tym celu na wstępie zbadano rząd integracji wskaźnika CPI, a w dalszej kolejności do­ konano bayesowskiej estymaq'i modeli, a także porównano ich moc objaśnia­ jącą. Zbadano również zmienność indeksu cen oraz długookresowego trendu poziomu cen, a także obliczono jak kształtował się w badanym okresie w spół­ czynnik korelacji między przyrostami CPI a ich pierwszymi opóźnieniami. Część

4 zawiera wnioski. ,

2. MODEL STOCKA I WATSONA ORAZ JEGO MODYFIKACJE M odelowanie inflacji jest jednym z podstaw ow ych zagadnień współczesnej

m akroekonom etrii. Problem em m odelow ania inflacji w Polsce jest szeroko

omawiany, m.in. w książkach z zakresu ekonometrii: Welfe (1993), Osińska

(2000), Kotłowski (2006) oraz Majsterek (2008). W bieżącej części proponuje się inne niż w przytoczonej literaturze narzędzie służące do opisu inflacji — model Stocka i Watsona, będący szczególną specyfikacją dobrze znanego w literatu­

rze modelu lokalnego poziom u3. .

Do modelowania inflacji Stock i Watson (2007) użyli zm odyfikowany model

lokalnego poziomu — LL-SV (ang. Local Level Model): .

y t = St + £t, £ ; - N (0, crf2), (2-1)

+ nt, >h ~ m a ? ), (2-2)

gdzie przez y t dla t = 1, ..., T oznaczono obserwacje zmiennej zależnej, nato­ miast J t jest bieżącym, nieobserwowalnym bezpośrednio poziom em procesu w czasie f, z kolei £t jest białym szumem w równaniu obserwaq'i. Przyjmuje się, że zm iana w czasie poziom u obserwowanego procesu odbyw a się w edług prostego procesu błądzenia przypadkowego z błędem rjr Warunkowe w arian­ cje są opisane poprzez procesy stochastycznej zmienności:

3 W pracy m o d el lok aln ego p o z io m u z w a ru n k o w y m i wariancjam i o p isy w a n y m i p rzez m o d e l zm ienn ości stochastycznej o zn aczon o jako LL-SV, n atom iast w artykułach Stocka i W atsona (2007, 2008) w y stęp u je on jako UC-SV (ang. Unobserved Component). - j .

' ^s:um ,t ~ ^szum .t-l śs z i u n , t (2-3)

h = h + £ (2.4)

sygnał,t sygnał, t-1 ^sygnał, t ' • v >

gdzie:

• °i2 = exp № S2um,f) i ^ f2e x p ą ygJMl() oraz ęszum(sygnat) ~ N(0, y2).

Model ten zakłada, że pierwsze przyrosty Ayt mają zmienną w czasie i u j e m ­

ną, w arunkow ą autokorelację rzędu pierwszego i brak autokorelacji wyższych

rzędów. Różnicując (2.1) mamy: .

" AVt= Jh = £t ~ £t-r (2-5)

Przy danym param etrze y 2, wariancja pierwszych przyrostów jest warun­ kow a w zględem zm iennych ukrytych h$zumt i hsysnait oraz całej przeszłości

lFt x i jest równa: - |

Var(Ayt \ Wt_v hszlinJtt, hsygnal t, y 2) = co2 + 2 a 2. (2.6) N atom iast w arunkow a kowariancja m iędzy Ay t i Ay tA wynosi:

cov{Ayt A I lFt_v hszumit, hsl/gnalł, y 2) = - a 2 (2.7)

Ponieważ wariancja jest zawsze dodatnia, w arunkowy współczynnik au­ tokorelacji przyjmuje zawsze wartość ujemną i jest zmienny w czasie:

; _• c o r r ( A y A y ,- ^ ^ ,- u K u m, , A ¥Sm U 'y 2) = T T l_{- • 'I"}^ - (2-8) Kiedy w arianqe a 2 i co2 są stałe, model (2.1)-(2.4), redukuje się do trady­ cyjnego modelu lokalnego poziomu, który dla pierwszych przyrostów ma taką sam ą strukturę jak model IMA(1,1).

Zaproponow any przez Stocka i Watsona model nie uwzględnia jednak kilku istotnych własności analizowanych szeregów czasowych. Po pierwsze, w rów­ naniach (2.3) i (2.4) współczynnik autoregresji jest równy jeden, co oznacza, że w arunkow a wariancja podlega błądzeniu przypadkowem u. Implikuje to także niestacjonarność w sensie kowariancji pierwszych różnic, tj. logarytmicznych przyrostów wskaźnika cen konsumenta:

Vflr(Ay( I iPj j, hszumt, hmnałt, y 2) = a )2 + 2 a 2 -> ~ dla t -> co,

co z kolei oznacza, że jest to proces 1(2), a nie 1(1). Po drugie, występuje jedna, w spólna wariancja resztowa y 2 w równaniach w arunkow ych wariancji (2.3) i (2.4).

Istnieje zatem potrzeba stw orzenia bardziej ogólnej specyfikacji modelu Stocka i Watsona, która uwzględniałaby w szerszym stopniu własności szere­ gu inflacji. Ciekawe byłyby również badania polegające na zastąpieniu w opi­

sie warunkowej wariancji modelu stochastycznej zmienności, modelem GARCH. Modele GARCH to, jak dotąd, modele najczęściej stosowane w opisie zmien­ ności szeregów (Doman i Doman, 2004), dlatego też w arto sprawdzić ich ^przy­ datność w m odelow aniu zmienności wskaźnika inflacji. Z tego też w zględu rozpatrzono kilka konkurencyjnych i wzajemnie wykluczających się modyfika­ cji modelu Stocka i Watsona.

Pierwszy analizowany model to model lokalnego poziom u z błędam i typu SV, którego postać jest mocno zbliżona do m odelu w wersji zaproponowanej przez Stocka i Watsona. Następne dw a modele to modele lokalnego poziomu, w których wariancja w arunkowa w rów naniu obserwacji i trendu jest opisana jako GARCH(1,1). Dla modeli GARCH rozpatrzono dw a w arianty, pierwszy i zarazem prostszy, to model, w którym reszty (w równaniu obserwaqi i tren­ du) przyjmują warunkowe rozkłady normalne, oraz drugi — w którym zało­ żono grubsze ogony poprzez przyjęcie w arunkow ych rozkładów f-Studenta. Własności modelu lokalnego poziomu, w którym w arunkowe wariancje w rów ­ naniu obserwacji i nieobserwowalnego trendu.są procesem ,GARCH(1,1), opisu­ ją Pellegrini, Ruiz i Espasa (2007, 2008). Kolejny, czwarty— to model autoregre- syjny z parametrami generowanymi przez procesy błądzenia przypadkow ego z warunkową wariacją w równaniu obserwacji typu SV. Model ten oznaczono jako RCA-SV (RW). Podobny model tylko, że z homoskedastyczną wariancją użyli Koop i Potter (2001) dla szeregu inflacji w Stanach Zjednoczonych. Ostat­ ni, piąty model jest najprostszy, ponieważ jest to standardowy model autoregre- syjny (rzędu drugiego) również z błędami SV. Jest on zapisany jako AR(2)-SV.

Jeżeli założymy warunkową normalność procesów resztowych to warian- qe w równaniu obserwacji i trendu mogą przyjąć następującą postać:

i) ~ N(Q, a t2) i 7jt ~ N(0, co,2), (2.9)

gdzie:

• = K z n m .t ■ < = K y g n a ł,r ( 2 -1 0 )

K z u m ,t = ^ l s z w J l szu m ,t-l + a 0, szum + a l , s z w J ^ £ t - l ^ ' ( 2 - H )

^sygnał,t ~ ^ Isyg n n ł^syg n a ł,t-1 ^ 0, sygnał ®1, s y g n a ł ^ 1? !t-] ) ' ( 2 - 1 2 )

wraz z standardowymi założeniami zapewniającymi dodatniość i skończoność w arunkowych wariancji:

^0, szum(sygnał) ~ ^ ^ l,sz u m (s y g m l) ~ a \,s z im (s y g m ł) ' ^1, szum(sygnal) ~

~ ^l,szum(sygnał) ^1, szum(sygnał) ^

' 1, szum(sygnał) — U/ 1, szum(sygnał) 1, szum(sygnał)

Z postaci warunkowych wariancji wynika, że mamy: var(et) = 1 i v ar(^;) = 1

Równania (2.10)-(2.12) opisują modele GARCH(1,1) z warunkowym , roz­ kładem norm alnym . M odel lokalnego poziom u z .tego typu błędam i będzie w dalszej części artykułu zapisywany w skrócie jako LL-GARCH. Jako alter­ natywę można również użyć zamiast warunkowego rozkładu normalnego roz­ kład t-Studenta. Odpowiednie reszty z rozkładem f-Studenta oznaczono w na­

stępujący sposób: .

' V

f) szum 71

( U szum “ 2 ) C j 2

(2.13)

gdzie t(a, P, y)oznacza jednowymiarowy rozkład Studenta o niecentralności a, precyzji P i sto p n iach sw ob o d y v. M odel ten oznaczono w skrócie jako

LL-GARCH-Student. :

Kolejnym m ożliw ym w ariantem postaci wariancji procesów resztowych jest m odel zmienności stochastycznej. Jest on oznaczony jako LL-SV. W tym przypadku w arianqe zmieniają się w czasie zgodnie z:

. ^szum,t = P szum^ szum,1-1 + CSzum,t> , (2-14)

^sygnał, t ~ Psygnał1 sygnał,l-l ^sygnał,t’ (2-15)

gdzie: £t ~ N(0, a?) i Tjt ~ N (0, co?), a ? = exp(hszumt) i co?) = exp(hsygnahł) oraz

Pszum(sygnał) e ( ~ ^ ) ' a także £szutn(sygm[) ~ N(0, y szum(sygnal)^’ • :

Proces ten w odróżnieniu od procesu Stocka i Watsona (2007), poprzez nałożenie w arunków ograniczających na współczynniki.autoregresji, ma sta­ cjonarne w arunkow e wariancję, a co zatem idzie jest 1(1), a nie 1(2). Dodatko­ wo, dzięki dw óm wariancjom resztowym w równaniach dla ht można rozpa­ tryw ać ró żn ą zm ienność w arunkow ych w ariancji w ró w naniu obserwacji i trendu.

Model autoregresyjny rzędu drugiego, w którym zarówno stała, jak i współ­ czynniki autoregresji generowane są przez proces błądzenia przypadkowego m a następującą postać:

Vt ~ S ot + + S itVt-2 + Ev £t ~ N (°' a t2)> (2'16)

S it = S i,t- i + V r]lt ~ N(0, co?) dla i = 0, 1, 2, (2'17) gdzie: et ~ N(0, c ? ) , c ? = exp(fcS2Um<f) oraz hszum t = p szumhszumM + Cszum/t, Pszum e (-1, 1), a także ~ N (0, y 2szwn).

N akładając w arunki ograniczające na wariancje co? = 0 dla i = 0, 1, 2, w m odelu (2.16)-(2.17), uzyskuje się standardow y model AR(2)-SV:

y f = S const + 8 U o n s ty t- l + S 2,ęonstVt-2 + £ t ' £ t ~ ^ (2 '1 8 )

Wszystkie przedstawione powyżej modele zostały wykorzystane w następ­ nej części artykułu do analizy wskaźnika infladi w Polsce.

3. ANALIZA INDEKSU CEN KONSUMENTA W POLSCE

W LATACH 1992-2007 ,

W tym punkcie przeprowadzono analizę szeregu inflacji w Polsce przy użyciu, omówionych przed chwilą modeli z rodziny LL. Celem analizy było zestawie­ nie podobieństw i różnic w modelowaniu wskaźnika cen konsumenta, z uży­ ciem konkurujących i wzajemnie wykluczających się modeli, a także porów na­ nie ich mocy objaśniającej. Na początku wszystkie modele poddano estymacji, a następnie obliczono ich moc objaśniającą. Porównanie stopnia dopasowania poszczególnych modeli, dokonano standardowo, za pomocą brzegowej gęsto­ ści wektora obserwacji, która była obliczona za pomocą m etody Newtona-Ra- ftery'ego. Inflacja użyta w niniejszym artykule m ierzona.jest jako logarytm wskaźnika cen dóbr i usług konsumpcyjnych, w którym za podstaw ą wzięto okres wcześniejszy. Dane..wykorzystywane do estymacji m odeli;i testowania ich mocy objaśniającej dotyczą okresu od stycznia 1992 do grudnia 2007 roku. W ten sposób otrzym ano 192 obserwacje miesięczne. W ybór początkow ego roku, od którego rozpoczęto badania, był uzależniony, z jednej, strony chęcią uzyskania możliwie jak najdłuższego szeregu czasowego, z drugiej strony zaś podlegał ograniczeniom, ponieważ pom inięto okres hiperinflacji, która była następstwem głębokich przemian gospodarczych w latach 1989/90. Przed przy­ stąpieniem do analizy badany szereg oczyszczono z sezonowości. W tym celu posłużono się średnią ruchomą scentrowaną4.

Badany okres, jak na warunki polskie jest stosunkowo długi. Jest to okres, który obejmuje zarówno głębokie zmiany w polityce makroekonomicznej, trans­ formację gospodarki, jak również przystąpienie Polski do Unii Europejskiej. Na długookresowy poziom inflaqi ma z pewnością w pływ prow adzona przez bank centralny polityka pieniężna. W badanym okresie zmiany w,polityce pie­ niężnej miały charakter zarówno instytuq'onalny, np. ukonstytuowanie się Rady Polityki Pieniężnej, jak i dotyczyły ewolucji w zakresie prowadzonej polityki pieniężnej w tym jej celów i strategii. W przeprowadzonej analizie pominięto nietypowy, początkowy okres głębokiej transformacji systemowej, kiedy mia­ ły miejsce zjawiska hiperinflacyjne a inflaqa sięgała nawet tysiąc procent w skali roku. Mimo to pierwszy rok badanego szeregu (1992) przypada jeszcze na koniec głębokiej transformacji systemowej, co daje możliwość uzyskania ciekawych wniosków. Z kolei następne lata (1993-1997) to głównie trw ałe i stopniow e przeprowadzanie procesa dezinflaqi, będącej skutkiem w prow adzania planu

4 D o elim inacji se z o n o w o ś c i w sz e re g u inflacji w y k o rz y sta n o m e to d ę średniej ruchom ej w p r o g r a m ie E v ie w s 6 z n a s tę p u ją c y m i w s p ó łc z y n n ik a m i: 0,0 0 7 5 8 9 , -0 ,0 0 0 3 3 3 , -0 ,0 0 0 5 1 8 ; 0,002364, -0 .0 0 0 2 8 4 , -0 ,0 0 2 7 8 1 , -0 ,0 0 8 9 1 0 , -0 ,0 0 5 7 9 6 , 0,005922, 0,001802, 0,000217, 0,000728. Inne m eto d y o czyszczan ia szeregu z se z o n o w o ści takie jak C en su s X12 i X II d a ły b ard zo zb liż o n e w yn ik i i n ie w p ły w a ły znacząco na charakter o c zy szc zo n eg o szeregu .

stabilizacyjnego. Kolejne lata (1998-2004) to większa niezależność banku cen­ tralnego oraz okres przygotow ania Polski do integracji ze strukturam i Unii Europejskiej i, co za tym idzie, istotne zmiany w polityce pieniężnej i antyin­ flacyjnej: m.in. przyjęcie nowej strategii monetarnej polegającej na wyznaczę1 niu średniookresowej strategii polityki pieniężnej oraz na ustalaniu bezpośred­ niego celu inflacyjnego. Na osiągniecie inflacji na poziomie 4-5% potrzebowano około dw unastu lat, co zdaniem niektórych ekonomistów (np. Grabia, 2003) św iadczy jednak o zbyt pow olnym tempie wygaszania tego niekorzystnego zjawiska. Po roku 2004 głównym celem polityki pieniężnej stało się stabilizo­ wanie inflaq'i na niskim poziomie oraz dążenie do spełnienia kryteriów zapi­

sanych w Traktacie z M aastricht5. .

Indeks cen konsumenta (CPI) oraz jego pierwsze przyrosty, po wcześniej­ szym logarytmowaniu i oczyszczeniu^ sezonowości, przedstawia rycina 1. Pa­ trząc na przebieg inflacji, można dojść do kilku ciekawych wniosków. Po pierw­ sze, w yraźnie w id a ć /ż e badany okres m ożna podzielić na dw a zasadnicze podokresy: lata od 1992 do 2003, kiedy nastąpił wyraźny spadek poziomu in­ flacji oraz okres po roku 2003, w którym inflacja oscylowała wokół względnie

stałego poziom u. w

.. In CPI pierw sze przyrosty In CPI

Źródło: obliczenia w ła s n e n a p o d sta w ie d an y ch p u b lik o w an y ch p rz e z GUS, h ttp ://w w w .sta t.g o v .p l

Ryc. 1. L ogarytm w sk aźn ik a CPI (po w y e lim in o w a n iu sezo n o w o ści) oraz jego p ierw sze różnice w okresie o d styczn ia 1992 d o grudn ia 2007 roku

Po drugie, biorąc pod uwagę pierwsze przyrosty wskaźnika CPI, można zauważyć, że lata wcześniejsze, szczególnie między 1992 a 1997 charakteryzują się znacznie większą zmiennością niż lata późniejsze.

Model Stocka i Watsona daje możliwość opisu tych wymienionych własno­ ści, tj. zm iany poziom u procesu i efektu skupiania zmienności (ang. volatility

clustering). Efekt skupiania zmienności jest typową własnością szeregów finan­ sowych (patrz Doman i Doman, 2004) i polega na tym, że zarów no małe, jak i duże zmiany cen aktywów następują seriami. Najnowsze badania empiryczne (np. Cecchetti i in., 2007) potwierdzają występowanie efektu skupiania zmien­ n ości, a co za ty m id z ie — zm ienn ej w czasie w aru n k o w e j w a ria n c ji w szeregu inflacji. Model LL posiada dodatkowo jeszcze jedną ciekawą w ła­ sność, której nie można w prosty sposób zauważyć na rycinie 1, mianowicie poprzez w arunkową wariancję w równaniu stanu zakłada, że mogą w ystępo­

wać znaczne w ahania długookresowego poziom u cen. .

N a w stępie analizy przystąpiono do zbadania stopnia integracji danych dotyczących wskaźnika cen konsum enta CPI. W tym celu zastosowano bay- esowski test pierwiastka jednostkowego, który zaproponowali Koop i van Dijk (2000). Analizą stopnia integracji, w porównywalnym okresie, dla tego same­ go szeregu, z użyciem testu Dickeya-Fullera i KPSS6, zajmowali się m.in. Welfe i Majsterek (2002).

Rozważmy model, który obrazuje związki między popularnym i w litera­ turze, klasycznej (niebayesowskiej) testami pierw iastka jednostkowego, czyli Dickeya-Fullera i KPSS:

p-i '

lnCPI, =Tt + p ]n C P If + ^ c A ] n CPIł_i + vi/ vt ~ N(0, crv2), (3.1)

i=1 - .

r f = a + r (_j + u t, ut ~ N(0, a 2). (3.2)

Wykorzystując prostą transformację X = cru2/(cru2 + o 2), jednostajny roz­ kład a priori p(X) = 1 w przedziale [0, 1) oraz rząd autoregresji p = 2, możemy rozważyć następujące cztery rozłączne hipotezy7:

H y X = 0 i \ p \ < 1. Szereg jest stacjonarny wokół deterministycznego trendu. H2: 0 < X < 1 i I p\ = 1. Szereg jest ARIMA z dryfem.

H3: X = 0 i \ p\ < 1. Szereg jest 1(1) w raz z deterministycznym trendem. H4: 0 < X < 1 i \p\ - 1. Szereg jest zintegrowany rzędu drugiego, 1(2). Wyniki testowania rzędu integraqi dla logarytm u indeksu inflacji są za­ w arte-w tabeli l 8. Jak widać wszystkie hipotezy miały jednakowe praw dopo­ dobieństwo a priori. Trzeci wiersz w tabeli 1 pokazuje wartości brzegowej gę­ stości obserwacji obliczone w modelach, które były powiązane z jedną z czterech hipotez. Modele te uzyskano poprzez nałożenie w arunków ograniczających zgodnie z w ym ienionym i wyżej hipotezam i. Jak w idać, znaczną przew agę uzyskała hipoteza, która głosi, że pierwsze przyrosty badanego szeregu są

sta-6 D ick ey i Fuller, 1979, K w iatk ow sk i i in., 1992.

7 K oop i v a n Dijk, 2000, w y ra żen ie (A.3). . ,

8 Ze w z g lę d u na ogran iczon y zakres jakie m o g ą p rzyjm ow ać w artości rzeczy w iste w języ k u program ow ania M atlab, w każdej iteracji o d logarytm u funkcji w a g o w ej w m e to d z ie M on te Carló z fu n k q ą w a ż n o ści odejm ow an o 700. .

P ra w d o p o d o b ień stw a a posteriori h ip o tez dotyczących stop nia integracji, o b liczo n e' - • dla logarytm u in d ek su inflacji :

-, Tabela 1

P ( t t 1 Dane) P(H2 1 D a n e ), P(H3 1 Dane) P(Hi 1 Dane)

P raw d op od ob ień stw o a priori . 0,25 0,25 : . 0,25 0,25 . B rzegow a gęstość obserwacji 1,78E + 100 1,51E + 118 1,78E + 80 2,93E + 77 '

Ź ródło: obliczenia w łasne.

q'onarne. Wartość brzegowej gęstości obserwaq'i dla H 2 jest o osiemnaście rzę­

dów większa niż dla i około półtora razy większa niż dla pozostałych dwóch

hipotez: Z tego też w zględu,1 w tabeli 1 świadomie zrezygnowano z podania praw dopodobieństw a posteriori, ponieważ z praw dopodobieństw em bliskim wartości jeden można przyjąć hipotezę o staq'onamości pierwszych przyrostów.

Wyniki zaw arte w tabeli 1 są zgodne z wynikami, jakie uzyskali Welfe i Majsterek (2002) w analizie stopnia integracji cen dla miesięcznych obserwacji wskaźnika CPI i są kolejnym argumentem w prowadzonej dyskusji (por. Maj­ sterek, 2008) za traktowaniem inflacji w Polsce jako 1(1), a co za tym idzie — za przyjęciem zintegrowania rzędu drugiego w procesie generującym ceny.

Jak wiadomo, modele lokalnego poziomu implikują ujemną autokorelację pierw szych przyrostów . Warto więc spraw dzić, czy własność ta występuje w szeregu inflaq'i. W tym celu obliczono wartości funkcji autokorelacji (ACF) i autokorelacji cząstkowej (PACF). Wyniki obliczeń wraz z przeryw aną linią, która oznacza typow y 95% przedział ufności, przedstawia rycina 2.

ACF , : PACF

Źródło: obliczenia w łasne.

Ryc. 2. Funkcja autokorelacji (ACF) i autokorelacji cząstkow ej (PACF) w ra z z przed ziałam i ufn ości obliczona dla p rzyrostów lo garytm ów CPI

Jak widać, cztery z dziesięciu wartości ACF są istotne statystycznie przy 5-procentowym poziomie istotności, z czego pierwsza, druga i szósta przyjmu­ ją wartości ujemne. Wyniki te potwierdzają hipotezę o istnieniu ujemnej

auto-korelacji dla pierwszych przyrostów inflacji. O ile ujemna autokorelacja nie budzi wątpliwości, to sugerowany, na podstawie oszacowanych wartości PACF, rząd autokorelacji jest niejednoznaczny. Najbardziej istotne okazało się drugie opóźnienie, potem w kolejności malejącej: trzecie, ósme i pierwsze. Sugeruje to istotną autokorelację rzędu drugiego lub trzeciego. Postać funkcji autokorela- qi, przedstawiona na rycinie 2, jest zasadniczo zgodna z postacią funkqi au­ tokorelacji obliczoną dla szeregów inflaqi krajów grupy G-7, gdzie jak podają Cecchetti i in. (2007), również uzyskano istotną ujemną autokorelację rzędu pierwszego9. Pewne wątpliwości budzi jednak istotność autokorelacji nie tylko rzędu pierwszego, ale rów nież wyższych rzędów , a także w artości funkcji autokorelaq'i cząstkowej, co wskazuje na bardziej złożoną strukturę niż w m o­ delu IMA(1,1). Może to wpływać w tym przypadku na moc objaśniającą m o­ deli lokalnego poziomu, ponieważ zakładam y w nich explicite występowanie ujemnej, istotnej autokorelacji rzędu pierwszego i brak autokorelacji wyższych rzędów oraz ujemne wartości autokorelacji cząstkowej, dążące do zera w tem ­

pie wykładniczym. ,

Wnioskowanie bayesowskie wymaga przyjęcia rozkładów a priori estymo- wanych param etrów. W tym przypadku w ym iar w ektora param etrów oraz jego współrzędne różnią się znacznie, w zależności od rozpatrywanej hipotezy modelowej. Szczegółowe informaq'e na temat rozkładów a priori szacowanych parametrów, w badanych modelach, przedstawia tabela 2. Jak widać, są to roz­ kłady właściwe, w większości bardzo rozproszone, odzwierciedlające niepre­ cyzyjną w iedzę badacza na tem at ich praw dziw ych wartości. D odatkow o, zmienna odpowiadająca za trend — S t oraz za w arunkową wariancję w m ode­ lach SV - ht, a także zmienne będące współczynnikami autoregresji w m ode­ lach RCA-SV (RW) — Sit traktowane są jak zmienne ukryte (ang. latent variable), czyli zmienne nie dające się bezpośrednio obserwować. W podejściu bayesow- skim estymacji zmiennych ukrytych dokonuje się w taki sam sposób, jak esty­ macji pozostałych param etrów modelu, a ich rozkład a priori wynika bezpo­ średnio z hierarchicznej stru k tu ry ro zp atry w any ch m odeli (Koop, 2003). Szczegóły bayesowskiej estymacji m odelu lokalnego poziom u o rozkładach dopuszczających warunkowy rozkład f-Studenta i zmienną wariancję omówio­ no w pracy Kwiatkowskiego (2009). W literaturze polskiej o bayesowskiej es­ tymacji zm iennych ukrytych, głów nie w kontekście m odeli stochastycznej zmienności, pisze Pajor (2003). Inny ciekawy przykład zastosow ania zm ien­ nych ukrytych, tym razem dla funkcji produkq'i Cobba i Douglasa, przedsta­

wia Osiewalski (2001). ' ’ ' :

Dla początkowego stanu SQr w modelach lokalnego poziomu, przyjęto w ar­ tość równą 6, natomiast w modelu RGA-SV (RW) dla początkowych wartości

9 P r e ze n to w a n e w y n ik i n a jb a rd ziej z b liż o n e są d o w y n i k ó w o tr z y m a n y c h dla s z e r e g u inflacji w K anadzie w latach 1984-2006, por. Cecchetti i in., 2007, tablica 3.1, s. 14. ; ^

R ozkłady a priori param etrów

Tabela 2

Parametr Przyjęty rozkład a priori Hiperparametry U żyty w m odelu

^\,s:.um(sygn<d) Jednostajny w obszarze _{stacjonarności i dodatniości}

warunkowej wariancji LL-GARCH, LL-GARCH-Student Jednostajny w obszarze stacjonarności i dodatniości warunkowej wariancji LL-GARCH, LL-GARCH-Student

Vszumi sygnid) Ucięty Cauchy'ego, v ;iiiii(svt/i(i/) > 2 LL-GARCH-Student

P szitin(sygn<ii)

Ucięty normalny ;

> cr;), e (-1,1)

ftp= 0,95,

a;= 0,5 LL-SV, RCA(2)-SV (RW), AR(2)-SV

Yxzinn(sxgnat) LL-SV, RCA(2)-SV (RW), AR(2)-SV

cr O dwrócony gamma IG(c,d),y;:um(vsmll,a-,co-> 0 c = 0,01, rf=0,01 RCA(2)-SV (RW), AR(2)-SV W' / dla / = 0,1,2. RCA(2)-SV (RW) <L„, Normalny .. ffj2 = l ' AR(2)-SV ' <5, dla (=1,2.

Ucięty normalny w obszarze stacjonarności

AR(2)-SV

w spółczynników autoregresji oraz stałej: 8 W, S20 i S00, założono rozkład nor­ malny, o średniej i wariancji równej odpowiednio 0 i 0,1. Wartość początkowa

warunkowej wariancji jest traktowana jako ustalona i równa h 0 = 1 w modelu

GARCH, i h 0 = 0 w modelu SV. .

Dla wszystkich wariancji, zarów no w standardow ych modelach AR, jak i w modelach autoregresyjnych z losowymi param etrami oraz zmienności sto­ chastycznej,, przyjęto odwrócony rozkład gamma. Dla param etrów w modelu GARCH, stojących przy opóźnionych kwadratach reszt i opóźnionej wariancji, przyjęto rozkłady jednostajne na sympleksach otrzymanych poprzez restrykcje gwarantujące dodatniość i skończoność procesu (por. Osiewalski i Pipień, 1999). Dla współczynników autoregresji, w standardow ym modelu AR(2), założono ucięty wielowymiarowy rozkład normalny o zerowym wektorze średnich i dia­ gonalnej macierzy kowariancji, z elementami na głównej przekątnej równymi wartości jeden. Również dla stałej Scoust, w modelu AR(2), przyjęto rozkład nor­ malny o średniej równej zero i wariancji jeden. Z kolei dla współczynnika

au-toregresji, w modelu SV, wykorzystano w stępną wiedzę na jego temat i przy­ jęto stosunkowo informacyjny rozkład normalny ze średnią i wariancją równą odpow iednio 0,95 i 0,510. Dla liczby stopni sw obody przyjęto rozkład Cau- chy'ego, ucięty lewostronnie w v = 2. Jest to zatem rozkład a priori w którym z jednej strony założono istnienie warunkowej wariancji procesów (w rów na­ niu obserwacji i trendu), z drugiej strony przyjęto taką masę praw dopodobień­ stwa, aby grube ogony rozkładu warunkowego miały najwyższą gęstość praw ­ dopodobieństwa. Dodatkowo, z własności rozkładu Cauchy'ego wiadomo, że rozkład ten nie posiada skończonych momentów. Oznacza to, że zarówno w a­ riancja jak i kurtoza nie istnieją. Własność ta, w raz z konstrukcją przedziału, który jest prawostronnie nieograniczony, dopuszcza realną możliwość w ystę­ powania cieńszych ogonów, poprzez istnienie warunkowej normalności proce­

sów. " ' : ' ' '

W tabelach 3 i 4 zamieszczono rezultaty bayesowskiej estymacji param e­ trów w modelach opisujących logarytmy CPI lub ich przyrosty. Przed

przystą-Tabela 3 Inform aqe a posteriori param etrów , w m od elach LL-GARCH i LL-G ARC H-Student,

ob liczon e dla m iesięczn ych obserw acji w sk aźn ik a CPI w latach 1992-2007

Parametr LLrGARCH LL-GARCH-Student

Cl, . - 0,2597 (0,1345) 0,2775 (0,1331) ■ 0,2238 [0,0701 0,5501] 0,2578 [0,0557 0,5388] b. _l.sygnJ, 0,7286 (0,1477) 0,7007 (0,1503) , 0,7700 [0,4170 0,9406] 0,7256 . [0,4064 0,9424] 2,4891 (0,4135) sygnał 2,3890 [2,0827 3,0946] 0,2456 (0,1458) 0,2713 ; (0,1637) 0,2083 [0,0695 0,5243] . . 0,2373 . : [0,0369 0,6007] h 0,7431 (0,1594) 0,6090 (0,2563) • U \ .KIWI 0,7857 [0,4400 0,9304] 0,6802 [0,0935 0,9454] . 2,4796 (0,4106) szum _{2,3831 . [2,1173 3,0580] .} 0,9919 (0,0099) 0,9783 • 0,0241 ' . \, sygnał 1, sygnał _0,9952 [0,9725 1,0000] 0,9852 - [0,9310 0,9998] 0,9931 (0,0087) 0,8668 (0,1475) Ul.szum ^ l, _{0,9959 [0,9768 1,0000] 0,9266 [0,5536 0,9988]}

Źródło: obliczenia w łasne.

10 N a przykład, dla kw artalnych d an ych w sk a źn ik a k on su m en ta, w artykule G rassiego i Pro- iettiego (2008) w artość oczek iw an a rozk ład u a posteriori w s p ó łcz y n n ik ó w autoregresji, w m o d ela ch SV, w y n io sła o d p o w ied n io 0,9883 w rów n an iu obserw acji i 0,9856 w rów n an iu trendu.

Informacje a posteriori param etrów, w m od elach LL-SV i RCA(2)-SV (RW), ob liczon e ; ' ■ d la m iesięczn y ch obserwacji w sk aźn ik a CPI w latach 1992-2007 >

Tabela 4

Parametr LL-SV Parametr RCA(2)-SV (RW) '

Psygnał 0,9930 0 ,9 9 5 0 . (6,1735e-3), [0,9837 0,9990] Pszum 0,9780 , 0,9899 (0,0332) : ; , [0,9129 0,9990] y 2 ' / sygnał : 0,1816 0,1255 . . (0,1815) ' [0,0098 0,5224] yL , 0,46351e-l 0,30729e-l ■ (0,58438e-l) [4,1758e-3 l,3 3 3 9 e -l] ' a 2 0,7817_0,6572 (0,5558) [0,1444 1,8100] ; ' P szum ' 0,9906 0,9932 (8,7786e-3) ‘ [0,9775 0,9990] m l 2,8213e-3 2,5071e-3 (l,3714e-3) ; [9,7113e-4 5,5280e-3] ■ 72 / szum ' 0,6404 : 0,3546 ' (1,0457) [0,0260 1,9919] cof . ' 5'l339e-3 4,3482e-3 (3,1228e-3) [l,0952e-3 l,1065e-2] 2 (Ol 6,4763e-3 5,4202e-3 (4,1621e-3) [l,5477e-3 l,4430e-2]

Ź ró d ło : obliczenia w łasn e.

pieniem do obliczeń, pierwotne dane pomnożono razy 100. Na podstawie sze­ regu y t = lOOlnCPZj, dokonano estymacji param etrów w modelach: LL-GARCH (Mj), LL-GARCH-Student (M2) i LL-SV (M3), natomiast dla pierwszych różnic A y t użytc> modele: RCA(2)-SV (RW) (M4) i AR(2)-SV (M5). W pierwszej linii w tabelach 3 i 4 znajdują się wartości oczekiwane, natom iast w drugiej linii umieszczono m ediany rozkładów a posteriori. W nawiasach półokrągłych poda­ no wartości odchyleń standardowych, natomiast w nawiasach kwadratowych znajdują się 95% przedziały o najwyższej gęstości a posteriori (HPDI).

Otrzym ane wyniki estymacji pozwalają stwierdzić, że rozważany szereg, zdecydowanie przem aw ia za występowaniem warunkowej heteroskedastycz- ności i to zarówno w rów naniu obserwacji, jak i trendu. W modelach GARCH

rozkłady a posteriori param etrów ax i są istotne statystycznie, ponieważ mają

względnie małe rozproszenie, a ich przedziały HPD nie zawierają zera. Dodat­ kow o, sum a pu nk to w y ch ocen a posteriori p aram etrów ax i bv w m odelu LL-GARGH, jest bliska wartości jeden, co świadczy o silnej persystencji w a­ runkowej wariancji. Z tego też pow odu, w tabeli 3 zamieszczono również ich sumę w raz z poszczególnymi charakterystykami a posteriori. Jak łatwo zauwa­ żyć uzyskane punktow e oceny są bliskie jedynki, a górna granica przedziału HPD jest równa wartości jeden. Oznacza to, że jako dodatkowy model, w rów­ naniu obserwacji i trendu można by było rozpatrzyć tzw. zintegrowany model GARCH, czyli IGARCH. W procesie IGARCH(1, 1) zachodzi at + bx = 1, co oznacza, że jest to proces zintegrow any co do wariancji (Engle i Bollerslev,

1986). Bayesowską estymację i testowanie modeli IGARCH, dla polskich sze­

regów finansowych, przedstawiają Osiewalski i Pipień (1999). •

W modelu LL-GARCH-Student można zauważyć, że rozkłady a posteriori param etru bv w porównaniu z param etrami w modelu LL-GARCH, są zloka­ lizowane bardziej na lewo, co świadczy o mniejszej reakqi na opóźnione w ar­ tości warunkowej warianqi. Dotyczy to zwłaszcza param etru w rów naniu ob­ serwacji, gdzie wartość oczekiwana i mediana, w modelu LL-GARCH-Student, wynoszą odpowiednio 0,6090 i 0,6802, natomiast w modelu LL-GARCH są one równe 0,7431 i 0,7857. Oznacza to, że przyjęcie rozkładu o grubszych ogonach prow adzi do zmniejszenia persystencji zmienności. Dodatkowo, uw zględnie­ nie w m odelu GARCH w arunkow ych rozkładów f-Studenta, prow ad zi do mniejszej precyzji. Pomimo pewnych różnic, w lokalizacji param etrów i roz­ proszeniu, oba modele GARCH dają podobny opis zmienności badanego sze­ regu. Także w modelach zmienności stochastycznej, średnia i m ediana a poste­ riori p aram etru p przyjm ują w artości zbliżone do jedynki, co w skazuje na występowanie bardzo silnej persystencji warunkowej wariancji, a lokalizacja rozkładu a posteriori jest podobna do tej przyjętej a priori. Trwałość zakłóceń losowych (szoków), w zmienności obserwowanego procesu m ierzona za p o ­ mocą współczynnika HL = ln0,5/ln/? (por. Pajor, 2003), jest bardzo d u ż a /ro z ­ proszona i cechuje się prawostronną asymetrią. Dolny kraniec przedziału obej­ mującego 80% całej masy a posteriori wynosi 5,73 miesięcy, natom iast górny aż 138,59 miesięcy, z kolei m ediana a posteriori jest rów na 53,91 miesięcy. W przypadku szoków w zmienności trendu, rozpiętość przedziału jest jeszcze większa, ponieważ dolny i górny kraniec przedziału wynosi odpowiednio 10,98 i 227,08, natomiast mediana jest równa 95,39 miesięcy. '

Mimo, że oceny punktow e współczynnika p są bliskie wartości jeden to masa rozkładu a posteriori, współczynnika autoregresji, w rów naniu w arunko­ wej wariancji, jest zlokalizowana w obszarze stacjonarności. Dzieje się tak, po­ nieważ charakteryzują się one małym rozproszeniem i niewielką rozpiętością przedziału HPD. Punktow e oceny param etru p w m odelach SV są zgodne z wynikami, zamieszczonymi w artykule Grassiego i Proiettiego (2008), dla kwartalnych danych wskaźnika cen konsumenta CPI w Stanach Zjednoczonych.

W artość oczekiw ana a posteriori liczby sto p n i sw ob od y, w m o d e lu LL-GARCH-Student, w równaniu obserwacji kształtuje się na poziomie 2,4796, natomiast w równaniu trendu jest równa 2,4891. Dodatkowo, rozkłady te, są bardzo ciasno zlokalizowane na praw o od wartości v = 2, o czym świadczą zamieszczone w tabeli 3 przedziały HPD. Fakt, że niemal cała masa praw do­ podobieństwa a posteriori jest skupiona poniżej wartości cztery oznacza, że dane silnie odrzucają hipotezę o istnieniu kurtozy rozkładów. Taka sytuacja w ska­ zuje na rozkład warunkowy, w yraźnie różny od rozkładu norm alnego oraz potw ierdza w ystępow anie bardzo ciężkich ogonów, co w iąże się z częstym w ystępow aniem obserwacji nietypow ych, w procesie obserwacji i tren d u .

Badany szereg m a zagw arantow aną skończoną wariancję, poniew aż,. przyjęto rozkład a priori, którego gęstość przyjmuje niezerowe wartości na praw o od

W tabeli 4 zamieszczono wyniki estymaq'i parametrów, w modelu autore-; gresyjnym, w którym współczynniki autoregresji podlegają procesowi błądze­ nia przypadkowego, natomiast wariancja opisana jest przez model stochastycznej zmienności. Zmienne w czasie współczynniki,wykazują się mała zmiennością, ponieważ ich pierwsze przyrosty mają stosunkowo małą wariancję. Widać.to poprzez fakt, że większość masy praw dopodobieństw a a posteriori wariancji dla a>l, dla i = 0, 1, 2,przypada na rejony położone w pobliżu zera, z jedno­

cześnie względnie dużym rozproszeniem. r

W tabeli 5 . umieszczono brzegowe gęstości wektora obserwacji, obliczone przy użyciu metody: Newtona-Raftery'ego oraz otrzym any na tej podstaw ie ranking modeli. Uzyskane rezultaty informują, że w przypadku szeregu infla- q i proponow any w artykule model lokalnego poziomu, w którym błędy w rów­ naniu obserw aqi i trendu opisane są za pomocą modelu GARCH (1,1) z wa­ runkow ym rozkładem f-Studenta, m a największą moc objaśniającą. Znacznie niższa, w porów naniu z innymi konkurencyjnymi modelami, wartość logaryt- m u brzegowej gęstości wektora obserwaqi (-91.88) informuje, że dane wyraź­ nie wskazują na ten model, czyniąc pozostałe specyfikacje wysoce nieprawdo­ podobne. D rugim w kolejności, po m odelu LL-GARCH-Student, jest model zap ro p o n o w an y p rzez Stocka i W atsona, czyli m odel lokalnego poziom u z błędam i typu SV. Model ze stałymi param etrami z wartością -141,72 ma do­ piero czwarte miejsce w rankingu, po m odelu LL-GARCH. Ostatnie miejsce w rankingu m a model autoregresyjny ze współczynnikami generowanymi przez proces błądzenia przypadkow ego. M odel ten zajmuje dopiero piąte miejsce, jedną pozycję niżej niż standardow y model AR.

: ’ . ' : . Tabela 5

L ogarytm b rzegow ej gęstości w ektora obserwacji oraz ranking konkurujących m od eli LL-GARCH

LL-GARCH-Student ' LL-SV RCA(2)-SV (RW) AR(2)-SV Logarytm brzegow ej

gęstości obserwacji -134,14 -91,88 -126,13 -153,18 -141,72

R anking m o d eli 3 ' 1 2' 5 4

Ź ró d ło : obliczenia w łasn e.

Zbliżoną postać, do m odelu RCA(2)-SV, miał m odel użyty przez. Koopa i Pottera (2001). W ich badaniu uzyskał on znaczną przewagę nad konkuren­ cyjnymi specyfikaqami. Okazuje się jednak, że w przypadku danych polskich, m a on najniższą pozycję w rankingu.

Stosunkowo m ałą zm ienność w spółczynników autoregresji w ydaje się potw ierdzać rycina 3, na której zamieszczono w y brane' charakterystyki roz­ kładów a posteriori pierwszego <5" lf (górny rysunek) i drugiego współczynnika autoregresji S 2t, dla t = 1, ...,192. Pogrubioną linią połączono m ediany rz po­

steriori, natomiast cieńszą linią zaznaczono dolną i górną granicę przedziału

o najwyższej gęstości a posteriori. Poza początkowym okresem, ich rozpiętość jest stosunkowo stała. Mała rozpiętość przedziału HPD w pierw szym roku, jest najprawdopodobniej następstw em przyjęcia mało rozproszonych’rozkła­ dów a priori stanów początkowych; Punktowe oceny na poziomie wartości ocze­ kiwanej współczynników autoregresji, w modelu ze stałymi p aram etram i/w y­ niosły odpowiednio -0,3404 i -0,34931, z błędami równymi 6,9283e-2 i 6,3179e-2. Są one zatem znacznie oddalone od zera i tym samym istotne statystycznie, co potwierdza występowanie zautokorelowanej struktury pierwszych przyrostów. Porównując je z ciągiem median, przedstawionym na rycinie 3, można zauw a­ żyć, że mediany te są zbliżone do punktowych ocen współczynników w stan­ dardow ym m odelu AR.

A

B

Ź ródło: obliczenia w łasn e. , , 1

Ryc. 3. Pogrubioną linią o zn aczon o m ed ia n y w s p ó łcz y n n ik ó w autoregresji w m o d elu RCA-SV (RW): 5 ]t— p an el A i S2t— p an el B oraz d o ln e i górn e krańce

Jak w spom niano w, poprzedniej części artykułu, zmienność warunkowych w arianq'i.m a.w ażne następstwa dla interpretacji współczynnika korelacji, któ­ ry określa zależność m iedzy przyrostam i infłaq'i a ich pierwszymi opóźnienia­ mi. Jego wykres, obliczony za pomocą najbardziej prawdopodobnego modelu, czyli LL-GARCH-Student, przedstawia panel A na rycinie 4. Otrzym any ciąg współczynników jest zgodny z wynikami zaprezentowanymi w raporcie Cec- chetti i in., 200711, ponieważ okresy wysokiej inflacji i niestabilności gospodar­ czej cechują się również znacznym wzrostem współczynnika korełaqi.

Dla danych polskich, najbardziej interesujące wydają się lata 1992-1994, gdzie w idać w yraźny spadek wartości współczynnika korelacji z -0,1 do -0,5, w raz z ; gw ałtow nym wzrostem rozpiętości przedziałów HPD w latach 1994­ -1995. Może to być spow odow ane tym, że początek lat dziewięćdziesiątych

B

R yc. 4. M ed ia n y w sp ó łczy n n ik a autok orelaqi (pogrub ion a linia na p an elu A) w ra z z dolną i górn ą granicą 95% p r z ed zia łó w o najw yższej gęstości a posteriori oraz logarytm w sk aźn ik a CPI

i trend lo k a ln y (pan el B). W szystk ie charakterystyki ob liczon o p rzy u ży ciu m o d elu LL-GARCH-Student

był okresem dużych zm ian w gospodarce, tj. radykalnej stabilizacji i liberali­ zacji makroekonomicznej, którym towarzyszyło zjawisko galopującej inflacji. W kolejnych latach, po roku 1994, współczynnik korelacji przyjmował wartości na znacznie niższym poziomie, równym około -0,45. Wskazuje to tym samym, poza początkow ym i latam i związanym i z okresem radykalnej transformacji,

na stałą, niezmienną w czasie autoregresyjną strukturę , inflacji. ,

Punktowe oceny trendu prezentuje panel B na rycinie 4, natomiast w arun­ kowe w arianqe w rów naniu obserwacji i trendu w raz z 95% przedziałam i HPD są przedstawione odpowiednio na panelu A i B ryciny 6. Wszystkie te charak­ terystyki, podobnie jak w spom niany wcześniej w spółczynnik korelacji, esty- m ow ano za pom ocą m odelu LL-GARCH-Student. Jak w idać, w b ad an y m okresie, zarówno trend, jak i jego zmienność uległy znaczącej zmianie. Wartość trendu inflacji, obliczona na poziomie mediany a posteriori, zmalała z poziom u około 3% w roku 1992 do 0,3% w roku 2007, podczas gdy jego w arunkow a wariancja z poziom u 4,96 w 1992 zmalała w tempie wykładniczym do blisko zera w roku 1994 i latach następnych.

Wydaje się interesujące porów nanie ocen a posteriori nieobserwowalnego trendu, z inflacją bazową, której wartości podaje N arodow y Bank Polski. Jak wiadomo inflaqi bazowa służy do oceny średnio- i długookresowego trendu ogólnego poziom u cen, ponieważ jej wartości ilustrują tendencje zm ian oczysz­ czone z w ah ań okresow ych oraz ze skutków szoków pó dażow ych, które najczęściej mają charakter przejściowy. Wiedza na tem at inflaqi bazowej um oż­ liwia oszacowanie kierunku i skali w pływ u prowadzonej przez bank centralny

polityki pieniężnej12. .

Ponieważ bank centralny podaje wartości inflaqi bazowej dopiero od stycz­ nia 1998 roku, na rycinie 5 podano odpow iedni fragm ent'ocen tren d u oraz wartości logarytmów inflaqi bazowej. Użyta inflaq'a bazowa to indeks cen po wyłączeniu cen żywności i energii, gdzie za podstaw ą wzięto poprzedni mie­ siąc. Punktowe wartości trendu zaznaczono pogrubioną linią łącząc m ediany

a posteriori zmiennej 6 t, natomiast cieńszą linią zaznaczono wartości inflacji ba­

zowej. Dodatkowo na rycinie umieszczono również dolną i górną granicę 95% przedziałów o najwyższej gęstości a posteriori param etru S t.

Jak widać na powyższym rysunku uzyskany trend, wyznaczony za pom o­ cą m odelu LL-GARCH-Student, w skazuje na po d obny kierunek zm ian có wartości inflaqi bazowej, m a on jednak w porów naniu z nią bardziej gładki przebieg, a jego przedziały ufności w zdecydowanej większości obejmują jej realizacje. Potw ierdza tó zatem w iarygodność uzyskanych wyników' badań, a zarazem daje możliwość ciekawej iriterpretaqi m odelu lokalnego poziom u,

12 N a ro d o w y Bank P olski — Internetow y Serw is Informacyjny, h ttp ://w w w .n b p .p l/s ta ty s ty k a / b a z o w a /m e to d o lo g ia .p d f (9.02.2009).

Ź ródło: obliczenia w łasne.

Ryc. 5. P u n k to w e ocen y trendu w ra z z d oln ą i górną granicą 95% p rzed ziału H PD oraz w artości inflacji bazow ej, g d z ie za p o d sta w ę w z ię to p o z io m cen z p o p rzed n ieg o m iesiąca

poniew aż zm ienny param etr m ożna interpretow ać jako długookresow ą ten­ dencję inflacji.

N a panelu B ryciny 6 można zauważyć, że w latach 1992-1994 występował systematyczny spadek zmienności długookresowego trendu inflacji. Związane to było z rozpoczętym w 1990 roku i kontynuow anym w kolejnych latach program em stabilizacyjnym. Patrząc na panel A ryciny 6, można również do­ strzec, że okres m iędzy rokiem 1992 a 1997 charakteryzuje się znacznie więk­ szą zmiennością niż lata późniejsze. W latach 1992-1993, polityka prowadzona przez bank centralny, kontrolowała względnie sprawne zasoby pieniężne i coraz sprawniej ograniczała inflację (Polański, 2005). Teza ta znajduje potwierdzenie na rycinie 6, ponieważ jak pokazuje wykres zmienności na panelu A, okres ten charakteryzował się względnie małą, w porów naniu z okresem późniejszym, zm iennością cen oraz w ykładniczo malejącą zm iennością tren d u (panel B). Największą zmienność obserwujemy pod koniec 1993 i na początku 1994 roku. Nagła zm iana poziom u cen mogła być skutkiem kilku niezależnie występują­ cych, w tym okresie lub krótko przed nim, przyczyn. Po pierwsze, wystąpiło kilka jednorazowych egzogenicznych impulsów, takich jak „skokowa" dew a­ luacja złotego o 8% procent, w prow adzona w sierpniu 1993 (Polański, 1999) oraz „zamrożenie", a następnie podniesienie stóp podatkowych w 1994 roku. Zdaniem ekonom istów (Bauc, 1995; Lutkowski, 1995; Grabia, 2003) skokowe dewaluacje złotego miały duże znaczenie dla kreaqi pieniądza i doprowadziły do „wykolejenia" program u antyinflacyjnego. Po drugie, w drugiej połowie 1993 roku nastąpiła liberalizacja przepływów kapitałowych, która miała znacz­ ny w pływ na utratę kontroli kształtowania podaży pieniądza przez bank cen­ tralny (Polański, 2005). Na problemy polityki stabilizacyjnej w tym okresie mógł się również wpłynąć fakt, że od 1994 polska gospodarka zaczęła być również

A

1992 1994 1996 1998 ' 2000 2002 2004 2 006 2 008

Ź ródło: obliczenia w łasne.

Ryc. 6. M ed ian y ro zk ła d ó w a posteriori w arun kow ej wariancji w ró w n a n iu obserw acji (pogrubiona linia na p an elu A ) oraz w rów n an iu trendu (pogrub ion a linia na p a n elu B), a także d o ln e i górne krańce 95% p rzed zia łó w o najw yższej gęstości a posteriori (zw y k ła linia).

W szystk ie charakterystyki zo sta ły ob liczon e p rzy u ż y c iu m o d e lu LL-G A R C H -Student

w dużym stopniu zasilana ze źródeł zewnętrznych, pochodzących z nadw yżki w handlu przygranicznym (Polszakiewicz, 2005). Liberalizacja przepływ ów kapitałowych spowodowała, że polska gospodarka stanęła wobec tzw. dyle­ m atu niespójnego czworokąta. Polega on na tym, że w ładze m onetarne nie mogą jednocześnie prowadzić autonomicznej polityki pieniężnej, stabilizować kursu walutowego, zapewnić pełnej mobilności przepływów kapitałowych oraz umożliwić pełną wymianę handlow ą (Polański, 2005; Polszakiewicz, 2005).

4. PODSUMOWANIE

Głównym celem tego artykułu było zastosowanie modeli, z param etram i ge­ nerowanymi przez procesy stochastyczne, do opisu dynamiki inflacji w Polsce. Badania dotyczyły miesięcznych obserwacji w skaźnika cen konsum enta CPI w okresie od stycznia 1992 do grudnia 2007 roku.

Punktem wyjścia było w ykorzystanie i porów nanie mocy objaśniającej najnowszego m odelu Stocka i Watsona z innymi modelami. Część z tych modeli była już używ ana wcześniej w badaniach em pirycznych, inne zaś to nowe konstrukcje m odelow e. Dotyczy to zwłaszcza m odelu LL-GARCH-Student, który uzyskał najw iększe praw dopodobieństw o a posteriori. M odelow anie procesów ukrytych o »bardzo grubych ogonach jest zagadnieniem zupełnie now ym i okazało się ważne w wyjaśnianiu zmienności inflaq'i.

Współczynnik korelacji m iedzy przyrostam i inflacji (CPI) a ich pierwszymi opóźnieniami dał możliwość wyodrębnienia dwóch zasadniczych podokresów. Pierwszy to. lata 1992-1994, gdzie widać jego wyraźny spadek z -0,1 do -0,5 oraz okres późniejszy po roku 1994, kiedy nastąpiła stabilizacja struktury in­ flacji.

N a koniec należy rów nież dodać, że poza dobrze udokum entow anym i przesłankam i empirycznymi w najnowszej literaturze światowej, jak dotąd nie m a prostego wytłumaczenia losowości param etrów w modelach inflacji. Jako przyczyny losowości Stock i Watson (2007) podają szeroko rozumiane zmiany w strukturze gospodarki, założeń polityki monetarnej, rozwój rynków finan­ sowych czy też zmianę natury potencjalnych szoków wpływających na gospo­ darkę.

BIBLIOGRAFIA

Bauc J. 1995. Inflacja polska w latach 1990-94 iv świetle współczesnej teorii ekonomii, E konom ista 3, 4 4 1 -4 6 1 .

Carlin B.P., L ouis T.A. 2000. Bayes and Empirical Bayes Methods for Data Analysis, C hapm an & H a ll/ CRC, N e w York.

C ecchetti S.G., H o o p er P., K asm an B.C., S choenh oltz K.L., W atson M.W. 2007. Understanding the

evolving inflation process, Report U.S. M onetary P olicy Forum.

D ick ey D .A ., Fuller W .A. 1979. Distribution o f the estimators fo r autoregressive time series ivith a unit

root, Journal o f th e A m erican Statistical A ssociation 74, 427-431.

D o m a n M ., D o m a n R. 2004. Ekonometryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego, W yd. A E w P ozn an iu , P o zn a ń 2004.

E ngle R.F., B ollerslev T. 1986. Modelling the persistence o f conditional variances, Econom etric R eview s 5, 1 -5 0 . • ■ ; ■ ■

G rabia T. 2003. Polityka kursowa w Polsce w okresie transformacji jako instrument ivalki z inflacją, G ospod ark a w praktyce i teorii, W yd . U Ł w Ł odzi, Ł ódź, 1, 12, 48-58.

Grassi S., Proietti T. 2008. Has the Volatility o f U.S. Inflation Changed and How?, wersja niep u b lik o­ w a n a .

K oop G. 2003. Bayesian Econometrics, John W iley & Sons.

K oop G ., Potter S. 2001. A re apparent findings o f nonlinearity due to structural instability in economic

time series?, The Econom etrics Journal 4, 1, 37-55.

K oop G., v a n Dijk H .K . 2000. Testing fo r integration using evolving trend and seasottals models: A Baye­

sian approach, Journal o f E conom etrics 97, 2, 261-291.

K o tło w sk i J. 2006. Pieniqdz i ceny w gospodarce rynkowej. Analiza kointegracji sezonoxvej, W yd. SGH, W arszaw a.

K w iatkow ski J. 2009. Bayesowśka estymacja modelu lokalnego poziomu o rozkładach dopuszczających

warunkoivy rozkład t-Studenta i zmienną wariancję, wersja n iep u b lik ow an a.

K w iatkow ski D ., Phillips P.C.B., Schm idt P., Shin Y. 1992. Testing the null hypothesis o f stationarity

against the alternative o f a unit root, Journal o f E conom etrics 54, 159-178.

L utk ow sk i K. 1995. Uwarunkowania polskiej inflacji i proces jej wygasania, E kon om ista 3, 463-476. M ajsterek M . 2008. Wielowymiaroim analiza kointegracyjna w ekonomii, W yd . U Ł w Ł od zi, Ł ódź. O siew alski J. 2001. Ekonometria bayesoivska w zastosowaniach, W y d . AE w K rak ow ie, K r a k ó w .. ’ . O siew alski J., P ip ień M . 1999. Bayesowskie testowanie modeli G A R C H i IGARCH, P rzegląd Statystycz­

n y 46, 1, 5 -23.

O sińska M. 2000. Ekonometryczne modelowanie oczekiwań gospodarczych, W yd . U M K w Toruniu, To­

ruń. ,

Pajor A . 2003. Procesy zmienności stochastycznej S V w bayesowskiej analizie finansowych szeregów cza­

sowych, W yd . AE w K rakow ie, Kraków.

P ellegrini S., R u iz E., Espasa A . 2007. The relationship between A R IM A -G A R C H and unobserved com­

ponent models with G AR C H disturbances, wersja n iep u b lik ow an a.

P ellegrini S., R u iz E., Espasa A . 2008. A R IM A -G A R C H and unobserved component models zvith G A RCH

disturbances: Are their prediction intervals different?, wersja n iep u b lik o w a n a ,

P ipień M . 2006. Wnioskowanie bayesowskie w ekonometrii finansoivej, W y d . A E w K rak ow ie, K raków. Polański Z. 1999. Polityka kursu walutowego w Polsce w latach 90. Stabilizacja, konkurencyjność i prze­

p ły w y kapitałowe, E k on om ista 1 -2 , 135-154.

Polański Z. 2005. Przemiana i ciągłość: refleksje o polskiej polityce pieniężnej 10 okresie piętnastolecia trans­ formacji ustrojowej, Gospodarka polska na przełomie wieków od A do Z , red. C zarny E., NBP,

W arszaw a, 9 3 -1 2 8 .

P olszak iew icz B. 2005. Niespójny czworokqt rozważań systemowych w polskiej polityce stabilizacyjnej,

Ład instytucjonalny w gospodarce, red. P o lsza k iew icz, B., B oehlke, ]., W y d . U M K w Toruniu,

Toruń, 3, 2 9 5-304.

Przybylska-K apuścińska W. 2006. Ocena realizacji polityki pieniężnej Narodowego Banku Polskiego, Ład

instytucjonalny w gospodarce, red. P olszak iew icz, B., B oehlke, J., W yd. U M K w Toruniu, Toruń,

2, 2 2 9 -2 5 2 . .

Stock J. H ., W atson M.W. 2007. Why has U.S. inflation become harder to forecast? Journal o f M oney, Credit, a n d B anking 39, 3 -3 3 . ■ .

Stock J. H ., W atson M.W. 2008. Phillips curve inflation forecasts, wersja n iep u b lik o w a n a .

Tsay R.S. 1987. Conditional heteroscedastic time series m o d e/s,J o u rn a lo f the •A m erican Statistical A s ­ sociation 82, 398. ...

W elfe A . 1993. Inflacja i rynek, PWE, W arszaw a. , , . W elfe A . 2000. Modelling inflation in Poland, E conom ic M tid ellin g 17 ‘'375-385.JW

W elfe A ., M ajsterek M . 2002. Wage and prices inflation in Poland in the period o f transition: The coin­

tegration analysis, E conom ics o f P lan n in g 35, 205-219.

DODATEK A

Analiza stabilności estym atora Newtona-Raftery'ego

W części 3, do obliczenie mocy objaśniającej konkurujących modeli oraz nada­ nia im odpowiedniej rangi, posłużono się m etodą N ewtona-Raftery'ego. Jak wiadomo, główną w adą tego estymatora jest jego niestabilność, ponieważ nie spełnia on centralnego twierdzenia granicznego (Carlin i Louis, 2000). Z prak­ tycznego punktu widzenia dzieje się tak, ponieważ bardzo małe wartości funkqi

wiarygodności w znaczny sposób wpływają na wielkość średniej harmonicz­ nej, dlatego też w ażne jest spraw dzenie jak kształtowały się, w raz ze w zro­ stem cykli, jego realizacje dla poszczególnych modeli. Rycina A .l przedstawia przebieg brzegowej gęstości wektora obserwacji w zależności od liczby cykli. Jak w idać zachow anie się estym atorów N ew tona-Raftery'ego dla każdego m odelu było stabilne.

168

Ź ró d ło : obliczenia w łasne.

Ryc. A .l . W artości logarytm u estym atora N ew ton a-R aftery'ego w ra z z e w zro stem liczby cykli

BIBLIOTEKA KA.

Im. A ndrzeja Frycza M o d r z o w sk ^ ,

Dar/Wymiana UHD.łtóCA ,.kA