[slajdy 1,8MB, PDF]

(1)

Wst¦p ⊕ Klasykacja I Klasykacja II Inne II ogólniej Aktualno±ci

Postacie normalne macierzy

zastosowania i uogólnienia

dr Andrzej Mróz (UMK)

UNIWERSYTET SZCZECISKI - Lider przyszªo±ci

Projekt koordynowany przez Dziaª Projektów Europejskich Uniwersytetu Szczeci«skiego Poddziaªanie 4.1.1. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

(2)

Wst¦p

Zaªó»my »e mamy dany pewien zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M.

Przykªad. M = Mn(k), dla k = R lub k = C oraz relacja ∼J podobie«stwa w sensie Jordana.

Przypomnienie: Dla A, B ∈ Mn(k), A ∼J B ⇔ ∃_{X ∈M}_n(k)∗ A = X−1BX .

Problem. Zdeniowa¢posta¢ normaln¡∆(A) macierzy A wzgl¦dem relacji ∼.

Posta¢ normalna powinna by¢ jak najprostsza, a jednocze±nie zachowywa¢ wªasno±ci macierzy A.

Powinien istnie¢ przepis na wyznaczanie postaci normalnej. Dla ka»dej A ∈ M, A ∼ ∆(A).

Dla ka»dych A, B ∈ M, A ∼ B ⇔ ∆(A) = ∆(B).

(3)

Wst¦p

(4)

Wst¦p

(5)

Wst¦p

Problem. Zdeniowa¢posta¢ normaln¡ ∆(A) macierzy A wzgl¦dem relacji ∼.

(6)

Wst¦p

(7)

Wst¦p

Powinien istnie¢ przepis na wyznaczanie postaci normalnej.

Dla ka»dej A ∈ M, A ∼ ∆(A).

(8)

Wst¦p

(9)

Wst¦p

(10)

Wst¦p

(11)

Cele

Posta¢ normalna i zwi¡zane z ni¡ poj¦cia maj¡ na ogóª wiele zastosowa« praktycznych (por. posta¢ Jordana, warto±ci wªasne,...).

Posta¢ normalna mo»e posªu»y¢ do lepszego zbadania wªasno±ci relacji ∼ na M:

jakie wªasno±ci macierzy zachowuje relacja ∼ ?

rozstrzyganie (najlepiej algorytmiczne), czy A ∼ B, dla dowolnych A, B ∈ M;

(12)

Cele

(13)

Cele

(14)

Cele

(15)

Cele

(16)

Sklejanie macierzy

Uwaga. Rozwa»amy równie» macierzetrywialne, tj. maj¡ce 0 wierszy lub 0 kolumn:

ε_0,m_{∈ M}_0×m(k), ε_n,0_{∈ M}_n×0(k), ε_0,0 _{∈ M}_0×0(k).

Ustalmy dwie macierze A ∈ Mn×m(k) oraz B ∈ Mn0_×_m0(k), dla

pewnych n, m, n0_,_m0

∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Denicja

Sum¡ prost¡(lubsklejeniem) macierzy A i B nazywamy macierz A ⊕ B := A 0 0 B ∈ M(n+n0_)×(_m+m0₎(k).

(17)

Sklejanie macierzy

ε_0,m_{∈ M}_0×m(k), ε_n,0_{∈ M}_n×0(k), ε_0,0 _{∈ M}_0×0(k).

∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Denicja

(18)

Sklejanie macierzy

ε_0,m_{∈ M}_0×m(k), ε_n,0_{∈ M}_n×0(k), ε_0,0 _{∈ M}_0×0(k).

∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Denicja

(19)

Sklejanie macierzy

Przykªady. [5] ⊕ 1 2 3 4 = " 5 0 0 0 1 2 0 3 4 # , J2(3) ⊕ J3(7) =      3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7      , 1 2 3 4 ⊕ ε_1,0= " 1 2 3 4 0 0 # , 1 2 3 4 ⊕ ε_0,1= 1 2 0 3 4 0 , ε_1,0⊕ ε_0,1= ε_0,1⊕ ε_1,0= [0].

Uwaga. Sklejanie jest na ogóª nieprzemienne!

Element neutralny: ε_0,0.

(20)

Sklejanie macierzy

(21)

Sklejanie macierzy

(22)

Sklejanie macierzy

(23)

Sklejanie macierzy

(24)

Sklejanie macierzy

Przykªady. [5] ⊕ 1 2 3 4 = " 5 0 0 0 1 2 0 3 4 # , J2(3) ⊕ J3(7) =      3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 7      , 1 2 3 4 ⊕ ε_1,0= " 1 2 3 4 0 0 # , 1 2 3 4 ⊕ ε_0,1= 1 2 0 3 4 0 , ε_1,0⊕ ε_0,1= ε_0,1⊕ ε_1,0= [0]. Element neutralny: ε_0,0.

(25)

Sklejanie macierzy

(26)

Rozkªad macierzy

Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M.

Denicja

Macierz A ∈ M jest rozkªadalna (wzgl¦dem ∼) o ile istniej¡ B, C ∈ M ró»ne od ε0,0 takie, »e

A ∼ B ⊕ C. Denicja

Macierz ε0,0 6= A ∈ M jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼) o ile nie jest rozkªadalna

, czyli dla ka»dego rozkªadu A ∼ B ⊕ C,

(27)

Rozkªad macierzy

Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M. Denicja

A ∼ B ⊕ C.

Denicja

(28)

Rozkªad macierzy

(29)

Rozkªad macierzy

Macierz ε0,0 6= A ∈ M jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼) o ile nie jest rozkªadalna, czyli dla ka»dego rozkªadu

A ∼ B ⊕ C, B ∼ ε0,0 lub C ∼ ε0,0.

(30)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M.

Problem. Poda¢ zwi¦zªy opis wszystkich macierzy nierozkªadalnych w M wzgl¦dem ∼.

Przykªad I. Rozpatrujemy relacj¦ podobie«stwa Jordana ∼J, ale na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych, tj.

M = M(k) := [

n∈N

Mn(k).

Uwagi.

Macierz [0] jest nierozkªadalna w M(k) !

(31)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Ustalmy zbiór macierzy M oraz relacj¦ równowa»no±ci ∼ na M. Problem. Poda¢ zwi¦zªy opis wszystkich macierzy

nierozkªadalnych w M wzgl¦dem ∼.

M = M(k) := [

n∈N

Mn(k).

Uwagi.

(32)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

M = M(k) := [

n∈N

Mn(k).

Uwagi.

(33)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

M = M(k) := [

n∈N

Mn(k).

Uwagi.

(34)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

M = M(k) := [

n∈N

Mn(k).

Uwagi.

(35)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Twierdzenie (C. Jordan)

Dla dowolnej macierzy A ∈ M(C): A ∼J J (A) =     Jn1(λ1) Jn2(λ₂) Jn3(λ₃) ... Jnr(λr)     ,

dla pewnych n1, . . . ,n_r ∈ N oraz λ1, . . . , λ_r ∈ C.

J (A) = J_n₁(λ₁) ⊕ . . . ⊕J_n_r(λ_r), A ∼J J_n₁(λ₁) ⊕ . . . ⊕J_n_r(λ_r), Czy klatki Jordana s¡ nierozkªadalne?

(36)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

dla pewnych n1, . . . ,n_r ∈ N oraz λ1, . . . , λ_r ∈ C. J (A) = J_n₁(λ₁) ⊕ . . . ⊕J_n_r(λ_r),

A ∼J J_n (λ₁) ⊕ . . . ⊕J_n(λ_r),

(37)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

dla pewnych n1, . . . ,n_r ∈ N oraz λ1, . . . , λ_r ∈ C. J (A) = J_n₁(λ₁) ⊕ . . . ⊕J_n_r(λ_r),

(38)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Oczywi±cie klatki rozmiaru 1 s¡ nierozkªadalne.

Sprawdzimy nierozkªadalno±¢ J2(3).

1 Zaªó»my, »e J₂(3) jest rozkªadalna, czyli istniej¡ A, B ∈ M_(C) ró»ne od ε0,0 takie, »e J2(3) ∼J A ⊕ B.

2 Ze wzgl¦dów wymiarowych widzimy, »e A = [a] i B = [b], dla pewnych a, b ∈ C, zatem J2(3) ∼J A ⊕ B = a 0 0 b . 3 Istnieje wi¦c X = x y z t ∈ M2(C)∗taka, »e J2(3) = X−1 a 0 0 b X lub równowa»nie X J2(3) = a 0 0 b X .

(39)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Oczywi±cie klatki rozmiaru 1 s¡ nierozkªadalne. Sprawdzimy nierozkªadalno±¢ J2(3).

(40)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

(41)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

(42)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

2 Ze wzgl¦dów wymiarowych widzimy, »e A = [a] i B = [b], dla pewnych a, b ∈ C, zatem J2(3) ∼J A ⊕ B = a 0 0 b . 3 Istnieje wi¦c X = x y z t ∈ M2(C)∗ taka, »e J2(3) = X−1 a 0 0 b X lub równowa»nie X J2(3) = a 0 0 b X .

(43)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

x y z t 3 1 0 3 = a 0 0 b x y z t 3x x + 3y 3z z + 3t = ax ay bz bt      3x = ax 3z = bz x + 3y = ay z + 3t = bt

Rozwi¡zuj¡c ten ukªad zauwa»amy, »e niezale»nie od warto±ci a i b, x = z = 0, czyli X = 0 y 0 t , sprzeczno±¢ (z odwracalno±ci¡ X ). ⇒ J₂(3) nierozkªadalna!

(44)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

(45)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

(46)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Rozwi¡zuj¡c ten ukªad zauwa»amy, »e niezale»nie od warto±ci a i b, x = z = 0, czyli X = 0 y 0 t , ⇒ J₂(3) nierozkªadalna!

(47)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Rozwi¡zuj¡c ten ukªad zauwa»amy, »e niezale»nie od warto±ci a i b, x = z = 0, czyli X = 0 y 0 t ,

(48)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Twierdzenie

Klatki Jordana s¡ nierozkªadalne w M(C).

Wniosek

Macierz A ∈ M(C) jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼J) ⇔ A jest podobna do klatki Jordana.

Uzyskali±my zatem eleganck¡ klasykacj¦ nierozkªadalnych obiektów w M(C).

(49)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Twierdzenie

Wniosek

(50)

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Twierdzenie

Wniosek

(51)

Inna relacja

Niech teraz M = M(k) b¦dzie zbiorem wszystkich macierzy (nie tylko kwadratowych), dla k = Q, k = R lub k = C.

Denicja

Macierze A, B ∈ Mm×n(k) s¡ podobne w sensie Smitha, gdy istniej¡ macierze X ∈ Mm(k)∗ oraz Y ∈ M_n(k)∗ takie, »e

A = XBY .

Oznaczenie: A ∼S B.

Uwaga. Czasem mówi si¦ »e macierze j.w. s¡równowa»nelub

(52)

Inna relacja

Denicja

A = XBY . Oznaczenie: A ∼S B.

(53)

Inna relacja

Denicja

A = XBY . Oznaczenie: A ∼S B.

(54)

Posta¢ normalna, klasykacja

Podobnie jak przypadku podobie«stwa Jordana chcemy:

Zdeniowa¢ posta¢ normaln¡ wzgl¦dem relacji ∼J.

Opisa¢ szkic algorytmu wyznaczania postaci normalnej. Wykorzysta¢ to do podania klasykacji macierzy nierozkªadalnych wzgl¦dem ∼S.

(55)

Posta¢ normalna, klasykacja

(56)

Posta¢ normalna, klasykacja

Opisa¢ szkic algorytmu wyznaczania postaci normalnej.

Wykorzysta¢ to do podania klasykacji macierzy nierozkªadalnych wzgl¦dem ∼S.

(57)

Posta¢ normalna, klasykacja

(58)

Posta¢ normalna, klasykacja

(59)

Posta¢ normalna Smitha

Denicja

Ka»d¡ macierz S ∈ Mm×n(k) postaci

S = S(m, n, r) :=      1 . . . 0 . . . 0 .. . ... ... ... 0 . . . 1 . . . 0 .. . ... ... 0 . . . 0 . . . 0     

nazywamy macierz¡ w postaci normalnej Smitha

(r jedynek, r ≤ m, n). S(2, 2, 1) =h 1 0_{0 0} i, S(2, 3, 0) = h 0 0 0_{0 0 0} i, S(1, 1, 1) = [1], S(2, 3, 2) =h 1 0 0_{0 1 0} i, S(3, 2, 1) = 1 0 0 0 0 0 , S(1, 0, 0) = ε1,0.

(60)

Posta¢ normalna Smitha

Denicja

S = S(m, n, r) :=      1 . . . 0 . . . 0 .. . ... ... ... 0 . . . 1 . . . 0 .. . ... ... 0 . . . 0 . . . 0     

(r jedynek, r ≤ m, n). S(2, 2, 1) =h 1 0_{0 0} i, S(2, 3, 0) = h 0 0 0_{0 0 0} i, S(1, 1, 1) = [1], S(2, 3, 2) =h 1 0 0_{0 1 0} i, S(3, 2, 1) = 1 0 0 0 0 0 , S(1, 0, 0) = ε1,0.

(61)

Posta¢ normalna Smitha

Denicja

S = S(m, n, r) :=      1 . . . 0 . . . 0 .. . ... ... ... 0 . . . 1 . . . 0 .. . ... ... 0 . . . 0 . . . 0     

(r jedynek, r ≤ m, n). S(2, 2, 1) =h 1 0_{0 0} i, S(2, 3, 0) = h 0 0 0_{0 0 0} i, S(1, 1, 1) = [1], S(2, 3, 2) =h 1 0 0 i, S(3, 2, 1) = 1 0 0 0 , S(1, 0, 0) = ε .

(62)

Operacje elementarne

Elementarne operacje wierszowe(EOW) na macierzy A ∈ Mm×n(k):

1 pomno»enie i-tego wiersza A przez skalar α ∈ k \ {0}, 2 zamiana miejscami wierszy i oraz j w A,

3 dodanie j-tego wiersza pomno»onego przez skalar α ∈ k do wiersza i-tego (i 6= j).

Rozwa»amy te» analogiczne operacje kolumnowe (EOK). Deniujemy nast¦puj¡cemacierze elementarne:

1 E_in_{(α) ∈ M}_n(k) macierz powstaªa z I_n poprzez EOW nr 1, 2 P_i,jn ∈ Mn(k) macierz powstaªa z In poprzez EOW nr 2,

3 E_i,jn_{(α) ∈ M}_n(k) macierz powstaªa z I_n poprzez EOW nr 3.

(63)

Operacje elementarne

1 pomno»enie i-tego wiersza A przez skalar α ∈ k \ {0},

2 zamiana miejscami wierszy i oraz j w A,

(64)

Operacje elementarne

(65)

Operacje elementarne

(66)

Operacje elementarne

Rozwa»amy te» analogiczne operacje kolumnowe (EOK).

Deniujemy nast¦puj¡cemacierze elementarne:

(67)

Operacje elementarne

1 E_in_{(α) ∈ M}_n(k) macierz powstaªa z I_n poprzez EOW nr 1,

2 P_i,jn ∈ Mn(k) macierz powstaªa z In poprzez EOW nr 2,

(68)

Operacje elementarne

(69)

Operacje elementarne

(70)

Operacje elementarne

(71)

Operacje elementarne

pomno»enie macierzy A ∈ Mm×n(k) z lewej strony przez macierz elementarn¡ (rozmiaru m) nr 1, 2 lub 3 powoduje wykonanie na A EOW nr 1, 2 lub 3, odpowiednio;

pomno»enie macierzy A ∈ Mm×n(k) z prawej strony przez

macierz elementarn¡ nr 1, 2 lub 3 (rozmiaru n) powoduje wykonanie na A EOK nr 1, 2 lub 3, odpowiednio. Lemat

Ustalmy A, B ∈ Mm×n(k). Wówczas:

A = XB dla pewnej X ∈ Mm(k)∗ ⇔ A powstaje z B

(równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦ EOW; A = BY dla pewnej Y ∈ Mn(k)∗ ⇔ A powstaje z B

(równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦ EOK.

Zatem A ∼S B ⇔ A powstaje z B (równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦ EOW i EOK.

(72)

Operacje elementarne

macierz elementarn¡ nr 1, 2 lub 3 (rozmiaru n) powoduje wykonanie na A EOK nr 1, 2 lub 3, odpowiednio.

Lemat

(73)

Operacje elementarne

(74)

Operacje elementarne

(równowa»nie B powstaje z A) przez sko«czon¡ liczb¦ EOW;

A = BY dla pewnej Y ∈ Mn(k)∗ ⇔ A powstaje z B

(75)

Operacje elementarne

(76)

Operacje elementarne

(77)

Algorytm

Algorytm sprowadzania (redukcji) dowolnej macierzy A ∈ Mm×n(k) do macierzy w postaci Smitha.

A EOW -el. Gaussa górnoschodkowa EOW nr 1 -1 1 1 EOK nr 3 -1 1 1 EOK nr 2 -Smitha 1 1 1

Zatem dla dowolnej A ∈ Mm×n(k) mamy A ∼S S(m, n, r), gdzie r = rk(A) (jednoznaczno±¢!).

(78)

Algorytm

(79)

Algorytm

(80)

Algorytm

(81)

Algorytm

(82)

Algorytm

(83)

Algorytm

(84)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

k = Q, k = R lub k = C. ∀_A∈M_m×n₍_k) ∃_r∈N A ∼S S(m, n, r). S(2, 2, 1) =h 1 0_{0 0} i= [1] ⊕ [0] = [1] ⊕ ε_1,0⊕ ε_0,1, S(2, 3, 0) =h 0 0 0_{0 0 0} i= [0] ⊕ [0] ⊕ ε_0,1 = ε_1,0⊕ ε_0,1⊕ ε_1,0⊕ ε_0,1⊕ ε_0,1 = ε2_1,0⊕ ε3_0,1, S(2, 3, 2) =h 1 0 0_{0 1 0} i= [1] ⊕ [1] ⊕ ε_0,1, S(3, 2, 1) = 1 0 0 0 0 0 = [1] ⊕ ε_0,1⊕ ε2_1,0, S(1, 0, 0) = ε1,0.

(85)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

(86)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

(87)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

(88)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

(89)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

(90)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

k = Q, k = R lub k = C. ∀_A∈M_m×n₍_k) ∃_r∈N A ∼S S(m, n, r). S(2, 2, 1) =h 1 0_{0 0} i= [1] ⊕ [0] = [1] ⊕ ε_1,0⊕ ε_0,1, S(2, 3, 0) =h 0 0 0_{0 0 0} i= [0] ⊕ [0] ⊕ ε_0,1 = ε_1,0⊕ ε_0,1⊕ ε_1,0⊕ ε_0,1⊕ ε_0,1 = ε2_1,0⊕ ε3_0,1, S(2, 3, 2) =h 1 0 0_{0 1 0} i= [1] ⊕ [1] ⊕ ε_0,1, S(3, 2, 1) = 1 0 0 0 0 0 = [1] ⊕ ε_0,1⊕ ε2_1,0,

(91)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

⇒ jedynymi kandydatami na macierze nierozkªadalne (z dokªadno±ci¡ do ∼S) s¡ [1], ε_1,0 oraz ε_0,1.

Macierze te s¡ oczywi±cie nierozkªadalne. Udowodnili±my zatem:

Twierdzenie

Macierz A ∈ M(k) jest nierozkªadalna (wzgl¦dem ∼S) ⇔ A jest podobna do jednej z macierzy [1], ε_1,0 oraz ε_0,1.

Uwaga. W odró»nieniu do relacji Jordana (gdzie byªo

niesko«czenie wiele nierozkªadalnych!), w relacji Smitha mamy jedynie 3 macierze nierozkªadalne.

(92)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

Macierze te s¡ oczywi±cie nierozkªadalne.

Udowodnili±my zatem:

Twierdzenie

(93)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

Twierdzenie

(94)

Nierozkªadalne w sensie Smitha

Twierdzenie

(95)

Macierze X i Y

Przypomnienie. Metoda wyznaczania postaci Jordana macierzy A pozwalaªa te» na wyznaczenie macierzy X , takiej, »e

J (A) = X−1AX .

Natomiast w przypadku algorytmu wyznaczania postaci Smitha nie mówili±my nic o macierzach X i Y takich, »e S(A) = XAY . Redukcja od A do S(A) polega na wykonaniu sko«czonej liczby operacji wierszowych i kolumnowych na A.

Mo»na zapisywa¢ wszystkie EOW i EOK u»yte w trakcie algorytmu i wówczas

X := iloczyn macierzy elementarnych odpowiadaj¡cych wszystkim EOW,

Y := iloczyn macierzy elementarnych odpowiadaj¡cych wszystkim EOK.

(96)

Macierze X i Y

J (A) = X−1AX .

Natomiast w przypadku algorytmu wyznaczania postaci Smitha nie mówili±my nic o macierzach X i Y takich, »e S(A) = XAY .

Redukcja od A do S(A) polega na wykonaniu sko«czonej liczby operacji wierszowych i kolumnowych na A.

(97)

Macierze X i Y

J (A) = X−1AX .

(98)

Macierze X i Y

J (A) = X−1AX .

(99)

Macierze X i Y

Sposób szybszy:

Algorytm redukowania do S(A) dla A ∈ Mm×n(k) stosujemy dla

macierzy blokowej _{A I} m In 0 .

Redukujemy tylko blok A, ale EOW i EOK aplikujemy równie» do bloków Im i In: A Im In 0 −→ S(A) X Y 0 , S(A) = XAY .

(100)

Macierze X i Y

Sposób szybszy:

(101)

Macierze X i Y

Sposób szybszy:

(102)

Porównanie

Zbiór M Relacja Posta¢ normalna Nierozkªadalne

M(C) A = X−1BX J (A) ∀λ∈C, n∈N Jn(λ)

M(k ) A = XBY S(A) [1], ε1,0, ε_0,1

k = Q, R, C

Zdeniujemy teraz relacj¦ ∼K na parach macierzy, tj. dla A, B, A0_,_B0 _{∈ M} m×n(C): (A, B) ∼K(A0,B0) ⇔ A = XA0_{Y ,} B = XB0_{Y ,} dla pewnych X ∈ Mm(C)∗ i Y ∈ Mn(C)∗. Denicja

Je»eli (A, B) ∼K (A0,B0) jak wy»ej, wówczas mówimy, »e pary te s¡podobne w sensie Kroneckera.

(103)

Porównanie

M(k ) A = XBY S(A) [1], ε1,0, ε_0,1

k = Q, R, C

(104)

Porównanie

M(k ) A = XBY S(A) [1], ε1,0, ε_0,1

k = Q, R, C

(105)

Porównanie

M(k ) A = XBY S(A) [1], ε1,0, ε_0,1

k = Q, R, C

(106)

Motywacje, historia, zastosowania

Podobie«stwo i posta¢ Jordana macierzy kwadratowej A byªa wykorzystywana do rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych postaci

Ax = x0

lub ogólniej

Ax + x0 ₌_f.

Relacja ∼K na zbiorze par (A, B) byªa oryginalnie rozwa»ana

w kontek±cie jeszcze ogólniejszych równa« postaci Ax + Bx0₌_g.

Problem postawiª Weierstrass w XIX wieku, podaª cz¦±ciowe rozwi¡zanie (posta¢ normalna par (A, B), klasykacja nierozkªadalnych; problem wyra»any w terminach tzw. p¦ków macierzy).

(107)

Motywacje, historia, zastosowania

Ax = x0

lub ogólniej

Ax + x0 ₌_f.

(108)

Motywacje, historia, zastosowania

Ax = x0

lub ogólniej

Ax + x0 ₌_f.

(109)

Motywacje, historia, zastosowania

Ax = x0

lub ogólniej

Ax + x0 ₌_f.

(110)

Motywacje, historia, zastosowania

Wiele problemów zwi¡zanych z relacj¡ ∼K stanowi niebanalne

wyzwanie do dzi±.

Wspóªcze±nie problemy te s¡ intensywnie badane przez rozmaite grupy naukowców.

Wiele problemów m.in. z teorii sterowania mo»e by¢ wyra»one w j¦zyku par macierzy i wªasno±ci relacji ∼K.

Podaje si¦ alternatywne (prostsze ni» Kroneckera) metody rozkªadu par macierzy na nierozkªadalne (m.in. Dowbor-Mróz, 2007).

Problemy te byªy i s¡ inspiracj¡ do ciekawych uogólnie«. Klasykacje nierozkªadalnych w sytuacjach ogólniejszych rozwi¡zuje si¦ wspóªcze±nie zupeªnie innymi metodami ni» elementarna algebra macierzy czy algebra komputerowa

(stosuje si¦ m.in. narz¦dzia teorii moduªów, teorii reprezentacji koªczanów z relacjami).

(111)

Motywacje, historia, zastosowania

wyzwanie do dzi±.

(112)

Motywacje, historia, zastosowania

wyzwanie do dzi±.

[slajdy 1,8MB, PDF]

Postacie normalne macierzy 

zastosowania i uogólnienia

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Wst¦p

Cele

Cele

Cele

Cele

Cele

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Sklejanie macierzy

Rozkªad macierzy

Rozkªad macierzy

Rozkªad macierzy

Rozkªad macierzy

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Nierozkªadalne w sensie Jordana

Inna relacja

Inna relacja

Inna relacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna Smitha

Posta¢ normalna Smitha

Posta¢ normalna Smitha

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Operacje elementarne

Algorytm

Algorytm

Postacie normalne macierzy

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja

Posta¢ normalna, klasykacja