Wyzna­cza­nie modu­łu sprę­ży­sto­ści przy pomo­cy waha­dła tor­syj­ne­go

WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI

PRZY POMOCY WAHADŁA TORSYJNEGO

1. Opis teoretyczny do ćwiczenia zamieszczony jest na stronie

www.wtc.wat.edu.pl w dziale

DYDAKTYKA – FIZYKA – ĆWICZENIA LABORATORYJNE.

2. Opis układu pomiarowego Obiektem badań jest pręt

o długości l i średnicy 2r, którego górny koniec jest sztywno

zamocowany. Drugi dolny jest

poddawany działaniu sił skręcających. W dolnej części pręta zamocowane jest ramię o długości d2 , na którego końcach znajdują się gniazda do zamocowania walców wykonanych z różnych materiałów i posiadających różne masy.

Taki układ jest przykładem wahadła fizycznego i nosi nazwę wahadła torsyjnego. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu skręcenia D pręta, oraz obliczenie modułu jego sprężystości G , które zależą o momentu bezwładności J układu.

3. Przeprowadzenie pomiarów

1. Zapoznać się z budową wahadła torsyjnego.

2. Ustalamy zakres amplitudy, dla którego spełniony jest warunek stosowania prawa Hooke’a. W tym celu należy wzbudzić przy pomocy pary sił drgania torsyjne zadając początkową amplitudę (np. 5 stopni). Mierzymy wtedy czas np. 10 pełnych wahnięć T . Następnie zwiększamy amplitudę (np. o 5 stopni) ip

wyznaczamy kolejny czas 10 pełnych wahnięć T . Początkową amplitudę drgań zwiększamy aż don

momentu gdy T p Tn. Nie wychylamy jednak układu dalej niż o 30 stopni. Do dalszych prób stosujemy

największa z amplitud dla której T p Tn.

3. Ustalamy liczbę pełnych drgań, po wykonaniu których amplituda zmniejszy się dwa razy. W tym celu należy wzbudzić przy pomocy pary sił drgania torsyjne zadając ustaloną w punkcie 2 początkową amplitudę drgań. Wyciągnąć wnioski na temat tłumienia drgań wahadła torsyjnego.

4. Wprawić wahadło w drgania torsyjne z amplitudą ustaloną w punkcie 2 bez obciążania wahadła i zmierzyć czas trwania 10 lub 15 okresów drgań T . Pomiar powtórzyć co najmniej 10 razy.o

5. Powtórzyć pomiary według punktu 4 dla wahadła obciążonego dwoma identycznymi walcami umieszczonymi symetrycznie kolejno w odległościach d = 5; 7,5; 10; 12,5; 15 cm.

4. Opracowanie wyników pomiarów

Wyznaczanie średniego okresu drgań torsyjnych i ich niepewności

Obliczenia wykonać dla wszystkich przypadków drgań.

1. Wyznaczyć wartość średnią okresów drgań torsyjnych



   n i i T n m T 1 1

gdzie n – ilość wykonanych pomiarów, m - ilość drgań w pojedynczym pomiarze.

2. Wyznaczyć niepewność standardową złożoną okresu drgań torsyjnych

_{ }









 

3 1 2 1 2 t n n T T T u n i i     





uwzględniającą wykonanie n pomiarów oraz niepewność maksymalną pomiaru czasu w pojedynczym pomiarze t . 3. Wyznaczyć wartości 02 2 T T R _d 

gdzie T oznacza okres drgań torsyjnych bez obciążenia a _o T oznacza okres drgań torsyjnych z _d

obciążeniem rozłożonym symetrycznie względem osi obrotu w odległościach d = 5; 7,5; 10; 12,5; 15 cm. 4. Wyznaczyć niepewność standardową u

_{ }

R 4



T_d u

 

T_d



2 



T₀u

 

T₀



2 .

Wyznaczanie modułu skręcenia i jego niepewności

Obliczenia wykonać dla wszystkich przypadków drgań (bez obciążenia i z obciążeniami).

5. Wyznaczyć moduł skręcenia

R d m D_d 2 2 8    .

6. Wyznaczyć niepewność standardową względną

2 2 2 , ) ( ) ( 2 ) ( ) (                      R R u d d u m m u D u_{cr d} .

7. Wyznaczyć niepewność standardową bezwzględną uc(Dd)Dd uc,r(Dd).

8. Wyznaczyć niepewność rozszerzoną U(G_d)2u_c(G_d).

Wykonanie wykresu (1)

zależności modułu skręcenia od kwadratu odległości obciążenia od osi obrotu

9. Wykonać Wykres-1 D  f(d2) i nanieść punkty pomiarowe wraz z niepewnościami, gdzie d2 _{= 0; 25; 56,25; 100; 156,25; 225 cm}2

.

10. Przeprowadzić aproksymację metodą najmniejszych przez punkty pomiarowe prowadząc prostą yaxb

, gdzie 2

d

x  , y D. Parametry prostej oraz ich niepewności wyznaczamy z











                n i i n i i n i i i n i i n i i x n x y x n y x a 1 2 2 1 1 1 1 ) (

 

2 1 1 2 1 1 1 2 2                  











     n i i n i i n i n i i i i n i i a x x n y b y x a y n n a u 













                 n i i n i i n i i n i i n i i i n i i x n x x y y x x b 1 2 2 1 1 2 1 1 1

 

n x b u n i i a b



   1 2  

Parametry prostej zapisać na wykresie.

Wyznaczanie modułu sprężystości i jego niepewności

11. Wyznaczyć moduł sprężystości R r lmd G_{d 4} 2 16  ,

a uwzględniając że policzono już

R d m D_d 2 2 8    mamy d Dd r l G 2₄   .

12. Wyznaczyć niepewność standardową względną

2 2 2 2 2 , ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) (                                    l l u r r u R R u d d u m m u G u_{cr d}

13. Wyznaczyć niepewność standardową bezwzględną uc(Gd)Gduc,r(Gd). 14. Wyznaczyć niepewność rozszerzoną U(G_d)2u_c(G_d).

Wykonanie wykresu (2)

zależności modułu sprężystości od kwadratu odległości obciążenia od osi obrotu

15. Wykonać Wykres-2 G  f(d2) i nanieść punkty pomiarowe wraz z niepewnościami, gdzie d2 _{= 0; 25; 56,25; 100; 156,25; 225 cm}2

.

16. Przeprowadzić aproksymację metodą najmniejszych przez punkty pomiarowe prowadząc prostą yaxb

, gdzie 2

d

x  , y G. Parametry prostej oraz ich niepewności wyznaczamy z











                n i i n i i n i i i n i i n i i x n x y x n y x a 1 2 2 1 1 1 1 ) (

 

2 1 1 2 1 1 1 2 2                  











     n i i n i i n i n i i i i n i i a x x n y b y x a y n n a u 













                 n i i n i i n i i n i i n i i i n i i x n x x y y x x b 1 2 2 1 1 2 1 1 1

 

n x b u n i i a b



   1 2  

Parametry prostej zapisać na wykresie.

5. Podsumowanie

1. Zgodnie z regułami prezentacji wyników zestawić wyznaczone wielkości dla wybranej wartości d

 

 

 



G, u_c G , u_c,r G , U G



_{oraz wartości odniesienia} G_teoria,

 

 

 



D, u_c D, u_c,r D, U D



_{oraz wartości odniesienia}

l r G D_{teoria teoria} 2 4   ,

2. Przeanalizować uzyskane rezultaty:

a) która z niepewności wnosi największy wkład do niepewności złożonej u_c

 

G , b) czy spełniona jest relacja uc,r

 

G 0,12,

c) czy spełniona jest relacja G_teoriaG U

 

G ,

d) która z niepewności wnosi największy wkład do niepewności złożonej u_c

 

D , b) czy spełniona jest relacja uc,r

 

D 0,12,

c) czy spełniona jest relacja D_teoriaD U

 

D ,

pod kątem występowania i przyczyn błędów grubych, systematycznych i przypadkowych.

3. Wnioski z analizy rezultatów (w tym i z wykresów).

a) Wyciągnąć wnioski na temat występowania i przyczyn błędów: grubych, systematycznych i przypadkowych. b) Zaproponować działania zmierzające do podniesienia dokładności wykonywanych pomiarów.

c) Wyjaśnić czy cele ćwiczenia został osiągnięty. 6. Przykładowe pytania

Zamieszczone są na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale

DYDAKTYKA – FIZYKA – ĆWICZENIA LABORATORYJNE.

*************************

Zadania dodatkowe do wyznaczenia i analizy:

 Wyznaczyć współczynnik korelacji liniowej















2 1 2 1 2 1 2







              n i i n i i n i i i y y x x y y x x

R dla wszystkich funkcji,

zapisać go na wykresie. Wynik poddać analizie i wyciągnąć wnioski.  Wyciągnąć wnioski z analizy wszystkich wartości G .d

 Wyciągnąć wnioski z analizy wszystkich wartości D .d

 Po wykonaniu połowy pomiarów zamienić odważniki miejscami. Wyciągnąć wnioski z analizy uzyskanych wartości.

Zespół w składzie…... cele ćwiczenia:

 wyznaczenie modułów skręceń D,

 wyznaczenie modułu sprężystości G,

3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych:

………

………

………

3.2 Potwierdzić na stanowisku wartości parametrów i ich niepewności i ich!

Moduł sprężystości stali …..., Moduł sprężystości aluminium …... Wymiary pręta: długość l = 480 mm, u(l) = 1 mm; promień r = 1,0 mm, u(r) = 0,1mm, …... Masa dwóch ciężarków m = 127,646 g, u(m) = 0,001 g... ………

3.3. Pomiary i uwagi do ich wykonania.

Niepewność maksymalna pomiaru kąta …...

Niepewność maksymalna pomiaru czasu t ...

Niepewność maksymalna pomiaru położenia ciężarków d = 1 mm …...

Pomiar okresu drgań przeprowadzany dla 5 / 10 / 15 ……… okresów drgań

………

Kąt [stopnie] 5 10 15 20 25 30 T [s]

Do dalszych pomiarów przyjąć największy z kątów dla okres drgań jest zbliżony do okresów drgań dla mniejszych kątów.

Liczba pełnych okresów drgań dla przyjętego kąta …..., po których amplituda spada o połowę to …………

Pomiar n... okresów drgań [s] Bez obciążania (d = 0 cm)

Z obciążeniem rozłożonym symetrycznie względem osi obrotu

d = 5 cm d = 7,5 cm d = 10 cm d = 12,5 cm d = 15 cm T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15