Coefficients de dissymétrie et d'aplatissement, spectres et corrélations en turbulence de conduite

Journal de irfécanique, Vol. II, 1\0 _{2, Juin 1963.}

Coefficients de dissymétrie

et d'aplatissement,

spectres et corrélations en turbulence

de conduite

par

Geneviève COMTE-BELLOT*,

Laboratoire de Mécanique des Fluides, Université de Grenoble.

SOMMAIRE. - On dégage quelques centres d'intérêt actuels des écou-lements turbulents en conduite en tenant compte des deux caractères fondamentaux des écoulements à frottement turbulent : anisotropie et inhomogénéité. Les mesures sont effectuées dans un tunnel de section rectangulaire constante (largeur 2 D o, 1 80 m), aux trois nombres de Reynolds U,'.'. D = 57 ooo, 120 ooo et 230 ooo et à différentes distances x, de l'entrée du tunnel ( 40

<

IT

<

120). Pour chacune des composantes u; des fluctuations de vitesse, on a étudié les intensités de turbulence, les coefficients de dissymétrie et d'aplatissement

et et T;

les spectres d'énergie et les corrélations spatiales doubles R11 (r, o, o), R11 (o, r, o), Rt1 (o, o, r), R,2 (o, r, o), R22 (o, o, r), R:):l (o, r, o), R:1:1 (o, o, r). La turbulence associée à des vitesses moyennes a fait l'objet, au Labo-ratoire de Mécanique des Fluides de Grenoble, de plusieurs études

théo-* Attachée de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique.

106 G. COMTE-BELLOT.

riques (Craya [2], [3]) et expérimentales [ écoulement dans un divergent, dans une conduite de section trapézoïdale, jets confinés, jets à la paroi (1)]. Dans le cadre de ces recherches nous avons considéré la structure de la turbulence dans le cas fondamental de l'écoulement bidimensionnel en conduite de section rectangulaire constante. Laufer ([10], [11]) a étudié quelques-uns des aspects qui différencient la turbulence de conduite de la turbulence de grille; il a, en particulier, examiné la valeur des diffé-rents termes de l'équation d'énergie et la possibilité d'existence de l'iso-tropie locale. L'étude que nous avons entreprise prolonge cette ligne de recherche.

Dans l'écoulement en conduite, comme dans tout écoulement à frot-tement turbulent, ni l'isotropie ni l'homogénéité de la turbulence ne sont réalisées. L'anisotropie est à considérer suivant les différentes tailles de tourbillons : d'une part, les tourbillons porteurs d'énergie dont l'aniso-tropie provient du fait que seule la composante U1 reçoit de l'énergie

à partir de l'écoulement moyen, les composantes U2 et U:1 n'en obtenant

que grâce à la redistribution de l'énergie entre Ui, U2 et U:i par les

fluc-tuations de pression; d'autre part, les petits tourbillons qui subissent une déformation anisotrope de la part de l'écoulement moyen (augmen-tation de la vorticité suivant un axe principal de dila(augmen-tation et dimi-nution suivant un axe principal de contraction). En régime établi, lïnhomogénéité de la turbulence, suivant la normale ÛX2 à la paroi, conduit à distinguer plusieurs régions dans la conduite selon les para-mètres qui déterminent l'écoulement moyen [2]; tout d'abord on admet habituellement que la viscosité a une influence négligeable dans la plus grande partie de la conduite (

x\u

1

>

3o) car les gradients de vitesse moyenne dt: 1

sont petits; ensuite, près de la paroi ( ;

<

o,

1

o) ,

l' écou-lement aurait un caractère local car dans cette région prennent place une grande production et aussi une grande dissipation d'énergie turbu-lente; on est alors amené à distinguer les quatre régions suivantes : la région centrale (

~~

>

o, 1 o) , la région de la loi logarithmique (x., x., u f' 3 ) l ' · de transition

(6

<

.L· 2 , 1 u.r

<

3o_), la IJ-

<

o, 1 o,

-=-;:--

>

o , a reg10n ' · d fil ·

('x-,ut

6) reg10n u 1 m vISqueux --"--:(-

<

•

1. Quelques problèmes posés par les écoulements turbulents en conduite.

Les problèmes que nous avons abordés sont relatifs, soit à des gammes de tourbillons, soit à des régions de la conduite.

(') Voir Publ. Scient. et Techn. Min. Air, Paris, n°5 _{335, 369, 359 et 374.}

TURBULENCE DE CONDUITE.

1 . I. STRCCTCRE DES TRÈS GROS TOCRBILLONS.

On a eu l'attention attirée, depuis les travaux de Townsend [19], par l'existence possible, dans un écoulement à frottement turbulent, de très gros tourbillons qui ser-draient d'intermédiaire entre le mouve-ment moyen et le mouvemouve-ment turbulent. Ces gros tourbillons seraient caractérisés par les valeurs des spectres aux très petits nombres d'ondes et par les valeurs des corrélations R;i (r) aux très grandes distances

i

r :. De ces données il n'est cependant pas facile de déduire le modèle tour-billonnaire convenable; on doit imaginer un modèle, en accord avec les mes~res, selon lequel l'énergie serait extraite du mouvement moyen. Cne évolution des idées s'est ainsi manifestée, dans le cas de la couche limite, entre le modèle proposé initialement par Townsend (tourbillons allongés dans le sens de l'écoulement) et le modèle ultérieur de Grant [6] et Townsend [20] ( dans la région éloignée de la paroi, des tourbillons prendraient naissance à l'intérieur de la couche limite et émergeraient dans le fluide extérieur; près de la paroi des jets bidimensionnels selon Ox,

seraient issus du bord du film visqueux).

Dans le cas de la conduite, les analyses précédentes aident évidem-ment à la compréhension de l'écoulement au voisinage de la paroi; mais le problème reste entier pour la région centrale et même la première étape, celle des mesures, a été peu abordée. Laufer [10] a étudié les corré-lations R11 (r, o, o), R11 (o, r, o) et Rt1 (o, o, r). Nous avons repris ces

mesures et nous avons déterminé en outre les corrélations R22 (o, r, o), R,, (o, o, r), R::1 (o, r, o) et R:::, (o, o, r).

1. 2. DISTRIBCTION DE PROBABILITÉ DES FLCCTCATIO:\'.S DE VITESSE. Pour caractériser les tourbillons porteurs d'énergie nous avons consi-déré d'abord les intensités de turbulence, qui nous permettent de comparer nos résultats à ceux des études antérieures, puis, surtout, les coefficients de dissymétrie et d'aplatissement des distributions de probabilité des trois composantes u;. En turbulence de grille ces distributions sont

approximativement gaussiennes. En turbulence associée à des vitesses moyennes peu de mesures ont été effectuées systématiquement; le terme le plus souvent étudié est u~ ,_:_ qui intervient dans l'équation d'énergie.

\ un"

L'interprétation des valeurs obtenues pour les coefficients et, ~;)₂

\Il[) l

fait appel à diverses notions : probabilité des diverses amplitudes, diffu-sion de la turbulence, intermittence [17].

1 . 3. ÉQVILIBRE UNIVERSEL DES PETITS TOCRBILLONS.

La structure des petits tourbillons résulte de deux mécanismes d'effet opposé, d'une part le processus de cascade qui tend à libérer les petits

108 G. COMTE-BELLOT.

tourbillons des caractéristiques anisotropes des plus gros, d'autre part l'action de l'écoulement moyen qui crée une déformation anisotrope des tourbillons. La question essentielle est de savoir comment peut être réalisé l'équilibre universel, et en particulier l'isotropie, des petits tour-billons.

Pour que l'équilibre universel des petits tourbillons puisse exister il faut avant tout que le processus de cascade soit prépondérant. Près d'une paroi ce processus ne peut l'être que si le gradient de vitesse a

=

dli' dx2

est petit par rapport au quotient ~ des échelles de Kolmogorov [3].

1

Une augmentation du nombre de Reynolds n'améliorerait pas la réali-sation de cette condition car, comme le montre Uberoi [21 ], le rapport a-r, ,

V

à x2~tf fixé, serait indépendant du nombre de Reynolds.

Lorsque la déformation par l'écoulement moyen a un effet négli-geable (région centrale d'une conduite, région extérieure d'une couche limite) on s'attendrait volontiers à constater l'équilibre universel des petits tourbillons. Or, la loi en puissance -

~

n'existe pas en général pour les spectres des fluctuations transversales alors qu'elle existe pour les spectres des fluctuations longitudinales. Ce fait fut attribué à une insuffisance du nombre de maillons dans le processus de cascade et des essais à très grands nombres de Reynolds ont été récemment effectués. Le problème subsiste cependant car les essais sur un jet libre de grand diamètre ou sur les courants marins et atmosphériques fourniraient la loi en puissance -

i

pour les spectres de

Ui

et de

u~,

tandis qu'on ne l'obtien-drait pas en turbulence de grille (2). Du point de vue théorique l'exposé classique de l'équilibre universel vient d'être reconsidéré [15] et l'aug-mentation du nombre de Reynolds n'entraînerait plus obligatoirement une structure universelle pour les petits tourbillons.

Dans nos essais nous avons d'abord considéré les spectres 4111 (k,), Yl22 (k,)

et

y;:i:i

(k1) que nous avons représentés sous plusieurs formes

adimen-sionnelles, l'une d'elles étant basée sur les échelles de Kolmogorov. Ensuite nous avons déterminé les coefficients de dissymétrie et d'apla-tissement des dérivées des fluctuations de vitesse

et

qui, selon la théorie classique de l'équilibre universel, devraient être des constantes.

(') Voir, dans [5] et [7] les références de ces divers essais.

TURBULENCE DE CONDULTE. 109

1.4. INFLUENCE DE LA VISCOSITÉ DANS LA RÉGION CENTRALE D'UNE

CONDUITE.

Dans la distinction des différentes régions d'une conduite que nous avons rappelée précédemment, il subsiste cependant quelque incertitude quant au rôle de la viscosité dans la région centrale. Pour l'écoulement moyen, Malkus [12] propose une loi de vitesse déficitaire dans laquelle la viscosité interviendrait. Pour les intensités de turbulence, divers auteurs ([10], [11], [13], [16]) signalent un effet du nombre de Reynolds; on note, par exemple, dans les résultats de Laufer, relatifs à deux nombres de Reynolds très différents

c::D

=

25 ooo et 250 ooo, Uo ,vitesse maxi-male sur l'axe) un écart sensible entre les distributions de \. u"f relatives à

llf

la région

IT

<

0,40. Il nous a donc semblé nécessaire, pour la détermination des caractéristiques indiquées dans les paragraphes précédents, de réaliser les essais à des nombres de Reynolds différents : Re

=

li"' D

=

57 ooo,

'I

120 ooo et 230 ooo (Um, vitesse de débit).

1. 5. STRUCTURE DU FILM VISQUEUX.

La région du film visqueux a une importance pratique considérable, en particulier dans tous les problèmes de transfert thermique. Elle n'a pu être étudiée expérimentalement que depuis la mise au point des anémomètres à fil chaud et un résultat bien établi est l'existence de fluc-tuation u, même très près de la paroi. Le problème de la structure de l'écoulement dans le film visqueux et de sa relation avec la zone de transition adjacente a été abordé de deux façons. Ou bien, on cherche

à imaginer des schémas d'écoulement : Einstein et Li proposent une succession aléatoire de croissances lentes et de désintégrations rapides du film visqueux; Milliat étend à la frontière du film visqueux la notion d'intermittence classique en turbulence libre; Kline et Runstadler mettent en évidence, par visualisation de l'écoulement, l'existence d'îlots de fluide ralenti allongés selon Ox1 qui se désagrégeraient en tourbillons s'écartant de la paroi. Ou bien, on étudie l'amortissement qu'entraîne une paroi sur un champ de turbulence donné (Sternberg [18]). Le problème subsiste cependant car les évaluations théoriques des intensités de turbu-lence ne sont pas satisfaisantes dans l'ensemble.

Les mesures que nous avons entreprises près de la paroi ont été prin-cipalement suggérées par les essais de J\Iilliat [13] qui avait étudié, en donnant ses résultats avec quelques réserves, la distribution des coefficients de dissymétrie et d'aplatissement S1 et T1 près de la paroi. Nous avons repris ces mesures, mais auparavant nous avons cherché à

voir si une dissymétrie n'existait pas aussi pour les distributions de probabilité des fluctuations U1 elles-mêmes.

J 10 _{G. COMTE-BELLOT.}

1. 6. ÉTABLISSEMENT DE L'ÉCOULEMENT.

La distance de l'entrée de la conduite à laquelle l'homogénéité selon Ox, est réalisée est une caractéristique pratique de l'écoulement, intéres-sante à connaître. Le problème ne se pose que pour la région centrale puisque, près de la paroi, l'évolution de l'écoulement est liée à celle du frottement "" à la paroi et que ce dernier atteint sa valeur définitive sur une distance très courte. L'étude est en général effectuée sur les profils de vitesse moyenne et de nombreux paramètres interviennent : nombre de Reynolds, préturbulence de l'écoulement, configuration de l'entrée de la conduite [9]. A cause de l'aspect global qu'elles traduisent, les vitesses moyennes ne sont pas très sensibles à l'évolution de l'écou-lement selon ÛX1; les caractéristiques turbulentes, en particulier les coefficients de dissymétrie et d'aplatissement des fluctuations de vitesse pour lesquels on peut prévoir de grandes valeurs sur le bord des couches limites à cause du phénomène d'intermittence, nous semblent des gran-deurs susceptibles de mieux refléter les modifications de structure de l'écoulement et nous les avons déterminées à diverses distances de l'entrée de la conduite.

2. Description du tunnel.

L'installation est représentée sur la figure 1. Les filtres à poussières, en papier d'alfa et d'amiante, présentent une surface de traversée de rnoo m"; leur efficacité serait égale à 97

%

pour des particules de o,3 p.. Le premier nid d'abeilles a 15 cm de profondeur, 1,44 m de largeur et 2,40 m de hauteur; les mailles, carrées, ont 3 cm de côté. Le convergent a un rapport de contraction latérale égal à 8. Le tunnel a 1 2 m de longueur, o, 180 m de largeur ( 2 D) et 2,400 m de hauteur; les parois sont constituées par des plaques de duralumin dont l'équi-distance est assurée à + o, 1 mm. Le second nid d'abeilles, placé à l'entrée du tunnel, a 23,5 cm de profondeur et des mailles carrées de 2,5 cm de côté. Le ventilateur, hélicoïde et contra-rotatif, est alimenté par un groupe Ward-Léonard équipé d'une régulation à

±

0,2

%

près. La vitesse de l'air est réglable de 5 à 42 m/s.

Les emplacements de mesure sont répartis le long de l'axe longitudinal du tunnel et suivant quelques sections transversales. Certains empla-cements peuvent être équipés de dispositifs mécaniques permettant le déplacement continu de deux sondes lors des mesures de corrélations; ces mêmes emplacements peuvent être équipés de couvercles en plexiglas lorsqu'on désire modifier la nature de la paroi du tunnel.

La symétrie et la bidimensionnalité de l'écoulement sont réalisées

à + o,5

%

près. Signalons que lors d'essais préliminaires, effectués sans le second nid d'abeilles et sans les filtres à poussières, les vitesses en

..

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0-li Q 1

112 G. COMTE-BELLOT.

deux points symétriques par rapport au plan vertical médian du tunnel différaient de 6

%-

Les couches limites sur les parois supérieure et infé-rieure du tunnel correspondent à une épaisseur de déplacement de 2 cm

t . .r, 8

dans la sec 10n D

=

1 1 •

3. Exécution des mesures.

Nous avons utilisé un anémomètre à intensité constante dont la chaîne amplificatrice est réalisée selon les schémas de Kovasznay, excepté

u"

pour les mesures de --' -" pour lesquelles nous avons dû employer un

( ur

l"

anémomètre à température constante muni d'un circuit de linéarisation; le circuit d'asservissement, à courant continu, est réalisé selon les schémas de Hubbard; la linéarisation est effectuée par le montage mis au point par Hussenot, Ricou et Baudoin [8]. Les fils sont en platine et ont environ

o,4

mm de longueur; leur diamètre est égal à 3,5 p. dans la plupart des essais et à 1 F· dans les mesures de S,, de T, et des spectres de

u;.

3. I, ISOLEMENT DES COMPOSANTES TRANSVERSALES DES FLUCTUATIONS DE VITESSE.

L'étude de l'anisotropie de la turbulence nécessite la détermination des mêmes caractéristiques pour les trois composantes des fluctuations de vitesse. Nous avons isolé les composantes u2 (t) et u,i (t) à partir de

deux fils croisés, sans supposer que les fils aient même longueur ni qu'ils fassent même angle avec Ox1. Cela permet de placer l'un des fils perpen-diculairement à Ox1 lorsqu'on veut disposer simultanément des compo-santes U1 (t) et U2 (t) ou U1 (t) et U:: (t). On égale d'abord les constantes de temps des fils ( choix convenable de leurs diamètres, réglage des intensités de chauffage) puis on forme la combinaison e - Ke' entre les

• ll1 lf., 1 ' u, ' 1/., f . 1 fil

signaux e

=

0: 1 l'i

+

0:2

L-1 et e

=

0: 1

l'i

+

0: 2 l-, ourms par es I s en donnant à K la valeur convenable K

=

:+- •

Des précisions sur ces réglages

:.i,

sont indiquées dans [1. e].

3. 2. DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS DE DISSYMÉTRIE ET D' APLA-TISSEMENT,

Les circuits utilisés pour former les puissances 3e et 4e instantanées d'un signal sont représentés sur la figure 2; ils sont mis au point et étalonnés à l'aide de signaux sinusoïdaux.

,.

TURBULENCE DE CONDUITE. II3

Nous avons effectué les premières mesures de ( Il [ )

([1 b], [1 c], [1 dl) au moyen d'un anémomètre à intensité constante et nous avons examiné l'influence de plusieurs causes d'erreur : bruit de fond, non-uniformité de la vitesse le long du fil et refroidissement parasite du fil par la paroi (fig. 3 et

4).

Pour l'examen de cette dernière cause

B

d'erreur, nous avons fait varier la surchauffe H" du fil (de 1,3 à 2) et

10 V + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ëntraa.

---+----! "

~ Sort/a. 10 V

+

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Aoo•---+ . Sort/a.

_{s ____________}

_{..__.._..._ ___}

_{-+-_...__.____,,___.}

Fig. 2. - Réalisation des puissances 3• et 4e instantanées d'un signal.

nous avons modifié la nature de la paroi du tunnel (plexiglas au lieu de duralumin) sans observer d'écart appréciable entre ces différentes mesures. La question importante de la non-linéarité de la courbe de réponse E

=

E (U,) du fil restait cependant à examiner. On peut consi-dérer par le calcul le cas simple où il n'existe que des fluctuations u1.

11" On trouve alors que le terme principal de l'erreur entachant -'-:, est

(uff ,J2E ( _JU2

proportionnel à U 1 r.,JE1 ou dl.1

dl:;

U1

J I

pour un anémomètre à

G. COMTE-BELLOT.

ture constante), à l'intensité de turbulence

vluf

et au facteur u ;_ ., - I ;

,1 ( 11;

)-la valeur de cette erreur peut alors être importante [14]. Pour )-la préciser par l'expérience, nous avons utilisé un anémomètre à température constante et le circuit de linéarisation indiqué précédemment. Ce circuit, qui comprend onze chaînes de diodes formant les puissances n

=

2,2,

1, 00

Anamomàtra Paroi 5urchaulfa

lntans,ta'

f

El, Durai 1,8 Constanta □ Plm'g/a:, 1, B 0,60 0,1;0 0,20 0 -0,20 -0,40

T=W•-

I

0 _{Oural 2}

1

Constanta <, _{Oural f, 3} at Lina'an5ation 11:,. _{Plaxiqla!> f,8} I!

~~

r;

~ r . n =

~

.~ 3,3 3,0

_.

_~ 17', 2,8 1A

\

0 ~(Î,2,lot,<Ï \J 2,2 7

-;-~

t-:1 ~ "" cl

_{1 ~}

L--- 7~ ~ ~ -0 60 _{, 0} 20 40 60 f00

Fig, 3. - Comparaison de différentes mesures de ~

(Ili):[

2,4, 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 2,9, 3,o, 3,r, 3,2 et 3,3 d'un signal, permet de linéariser la réponse du fil dès que la Yitesse U, est supérieure à 3 m/s. En utilisant différentes valeurs de n on peut inverser à Yolonté la concaYité de la courbe I = I (U,); ainsi avec un fil de 3,5 /J- de diamètre, la réponse linéaire est obtenue pour n

=

2,4; pour 2,ô

<

n

<

3,3 la concavité de la courbe I

=

I (U,) est dirigée vers les I positifs; pour n

=

:,,2 et n = o (signal pris aux bornes du pont) la concavité est dirigée wrs les I négatifs. Dans la région centrale du tunnel nous n'avons pas pu apprécier d'écart entre les Yaleurs de obtenues pour n variant de o à 3,3. En revanche,

TURBULENCE DE CONDUITE. 115

près de la paroi, à x; u.r

=

28 par exemple, nous avons constaté une 'I

u3 croissance monotone, en fonction de

n,

des valeurs obtenues pour - -1 -"

(ur )''i

(fig. 3). Les mesures ne sont pas effectuées dans la région x;,~tf

< 4

où,

pour l'essai Re

=

1 20 ooo, les vitesses instantanées peuvent être infé-rieures à 3 m/s. Nous avons considéré aussi le cas du coefficient

d'apla-1, 00

Anri.momàtra Paroi Long11a11r hl

o, 90 /ntam,itri

{:

Durai 0,11mm Constanta Durai 0,8 mm Tampa'ratura

1 :

Pl<zxiglas ~l;mm Constanta at Durai Linriari5ation 0,4mm 0,60 0 50 _, 1 ' ' l 1 + ~ J 1 l 1 + -0 3-0 _{, 0} 20 l;O 50 tOO

Fig. 4. - Comparaison de di!Iérentes mesures de S1

tissement uj et celui du coefficient de dissymétrie S,; pour ceux-ci, (u1)"

grâce à des compensations d'erreurs [14], la non-linéarité de la réponse du fil a peu d'influence (fig.

4

et G b).

3. 3. J\IESCHE DES SPECTRES DE

Uf.

Les spectres unidimensionnels

'-Ji;;

(k1) sont déterminés au moyen d'un

analyseur type 736 A de la General Radio Company; :comme inter-médiaire de calcul on utilise les spectres normalisés et l'on tient compte des valeurs des intensités \' uf déterminées auparavant ([1 a], [1 el).

116 G. COMTE-BELLOT.

Pour passer de la fréquence N à la composante k1 du nombre d'onde

nous avons utilisé l'hypothèse de Taylor sans faire la distinction, proposée par Sternberg [18], entre la vitesse de propagation des perturbations et la vitesse locale. Par ailleurs, la déformation des grosses structures par le gradient

~~~-:

commencerait à intervenir, selon la condition établie par Lin et transformée par :Milliat [13], lorsque

.r:,,,ur

deviendrait inférieur à 3o. L'erreur due à la non-uniformité de la vitesse le long du fil a été évaluée, d'après l'expression établie par Uberoi et Kovasznay, dans le cas défa-vorable des spectres au voisinage de la paroi; pour

.r:,,,ur =

15, elle serait de 5

%

à k1

=

rn, de 7

%

à k1

=

20, de 11

%

à k1

=

4o et de 14

%

à k1

=

60; cependant le calcul de cette correction suppose l'isotropie de la turbulence, hypothèse qui est précisément très loin d'être vérifiée près de la paroi; en outre, la seule dispersion fournie par des fils de mêmes caractéristiques atteint déjà + 8

%-3.

4.

MESURE DES COEFFICIENTS DE CORRÉLATIONS, Les coefficients Rii

= ::_;

ei

=

qui, si

.je/

=

v

1

_e

1

peuvent être mis

\ ef \ eJ

sous la forme

sont déterminés par la méthode directe proposée par Gaviglio [4]. Pour les corrélations Rt l on utilise deux fils simples, pour R22 et Ro:i deux paires

de fils croisés appariés relativement aux coefficients de sensibilité à u1 •

Dans les mesures de R11 (r, o, o) nous avons minimisé l'effet sur le fil aval du sillage du fil amont et de sa gaine en utilisant un fil long (o,8 mm), fin (âme 2 F·, gaine 20 F·) et perpendiculaire au fil aval; nous n'avons pas obtenu de résultats satisfaisants aux moyens de deux fils parallèles décalés transversalement.

4. Résultats.

4. l, COEFFICIENTS DE DISSYMÉTRIE ET D'APLATISSEMENT DES FLUC-TVATIONS DE VITESSE,

Les mesures sont effectuées à R,,

=

1 20 ooo, dans les sections

rJ

=

4o, 63, 72, 81, 102, 118 et 122. L'influence du nombre de Reynolds est examinée dans la section

rf

=

1 18.

Pour la région centrale de la conduite, on peut dégager deux conclu-sions importantes des résultats expérimentaux reportés sur les figures 5 a,

-o, 20 -0,60 -0,80 - 1,00 -1, 20 - 1,40 -1,60 TURBULENCE DE CONDUITE.

Ra.=

120000

::c,/D

a 40 m 63 V 72 /J:,. 81 0 $5 0 108 () 118 QI 122 117 - 1 8 0 - 1 - - - ' - - - 1 - - - ' - - - ' - - - ' - - - ~ - - ~ - ~

' o

0,20 0,40 0,60

x

₂

/o

1 1,00

@

0,60 d c1 rl

Ji

0,40

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0,20 0

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-

V

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--.fè..~111 0 V V

-

-_'b \JI "' v ( J Ill C, 0 Il:]()

-o,

zo

O 20 l,O 60 f00

Fig. 5. - Distributions de

uy

₃ : a. dans la région centrale; b. près de la paroi.

II8 G. COMTE-BELLOT.

6 a, 7 et 8 C). D'abord les coefficients u-\ ,:. et . u~')" se révèlent être des ,.·)" (u;

\ li[

quantités très sensibles à l'établissement de l'écoulement et en particulier

X1

à son évolution après la jonction des couches limites vers

D

=

70. Ensuite, en régime établi, ils conserveraient des valeurs différentes de celles d'une distribution de probabilité gaussienne

Pour les quantités ce fait traduit la diffusion de l'énergie turbulente de la paroi vers l'axe de la conduite. La dissymétrie qui subsiste pour la distribution de probabilité des fluctuations longitudinales pourrait être expliquée à partir de celle qui existe à la frontière d'une couche limite; dans cette région les différences d'échelle et d'amplitude entre les fluc-tuations qui correspondent aux bouffées turbulentes et celles qui corres-pondent aux périodes calmes sont bien connues (phénomène d'inter-mittence) et elles conduisent à des valeurs négatives de

ui ,: .

A la jonction

( uf)"

des couches limites l'écoulement dans la région centrale du tunnel présente encore le même caractère intermittent. A l'aval de la jonction les grosses structures existantes évoluent vers des structures plus fines, mais simultanément de nouvelles grosses structures doivent apparaître à partir de l'écoulement moyen; à l'équilibre, qui caractérise le régime établi, il pourrait subsister une distribution irrégulière des tourbillons : de grosses structures, fournissant plutôt des contributions 11, positives

et petites, sépareraient des zones où seraient concentrées des structures fines, fournis8ant des contributions dont les grandes amplitudes seraient plutôt négatives.

Pour le voisinage de la paroi les figures 5 b et 6 b mettent en évidence le caractère local de l'écoulement dans cette région. L'obtention de

u"

valeurs positives pour--'-, et l'augmentation du coefficient

d'apla-( uf )'

ll;;

(") Des mesures de

-¾

ont également été effectuées. Dans la section

1f

= , 1 8

\un2

les valeurs obtenues sont comprises entre - o,o3 et

+

0,03. Sur le bord des couches limites (section

1}

= 4o ), elles sont de l'ordre de o, 1 o; cela est peut-être dû au fait

que l'écoulement n'est pas rigoureusement bidimensionnel dans cette région.

TURBULENCE DE CONDUITE. Il9

u'

tissement __!__ seraient compatibles avec une diffusion par grosses

( uU"

f3 1f 10 9 8 1 6 1 5 4-2 0 5 3 2 0 Ra= fZOOOO

@

□ 40 (/) 95 l!I ₆₃ 0 108 X1/0 V ':12 () ₁₁₈ A 81 ₀ 122 I· 1 _j 1 T 1

J

I

I

I

✓

V

_/iY

/

1

_ /

v

~ 1 ~

~ ~

:'"

-~

r.,

_"

_{(;) '}

_....

-

\li 1.UV"'

-=

-

"

v

~

0,20 0,40 Tamp<ire1tura Con.!>teJnta at linaarlsation 20 40 60 p·g G. - D1·stributions d

ut ·

J • e (uU'.

a. dans la région centrale;

b. près de la paroi. li I

'

VI

t I\

1\

\,

\~·

1/

IV\

V

~

i..----u.

1 100

120 f,20 7 U.z

{uite

o,ao

0,60 0,1.0 0,20 0 10

u:

( u:)

8 1 6 5 2 G. COMTE-BELLOT. Re= 120000 El 40 0 9S :r1/D 11 _{.,, ;e,} 63 0 ₍₎ fOB ff8 1A 8f 0 122 0

Fig. 7. - Distributions de u2 :: dans la région centrale.

:1:_1/D 0

Rrz

= l:J 40 BI 63 VI 72 /!,. 81 120000 0 9S 0

,os

et 118 0 f22 0,20 0,40 (' -:,)" , ll ':j_ 0,60 Xz /D

Fig. 8. - Distributions de 1} ) ' dans la région centrale.

(112

TL'RBULENCE DE CONDUITE. I 21

structures à partir de la région du film visqueux, tandis que des struc-tures plus fines, provenant de la zone de transition, se rapprocheraient de la paroi.

Le nombre de Reynolds n'aurait pas d'influence appréciable sur les coefficients étudiés, excepté sur les coefficients

~l "

et surtout

~

( llï) ( u" )"

1

relatifs à la région centrale du tunnel; sur l'axe~ varierait de - o,3o

1 uf)"

à - o,5o lorsque Re croît de 57 ooo à 230 ooo.

4. •,. COEFFICIENTS DE DISSY:VIÉTRIE ET D'APLATISSEl\IENT RELATIFS AL'X DÉRIVÉES DES FLGCTGATIONS DE VITESSE.

Les mesures sont effectuées à Re

=

1 20 ooo dans les sections ~1

=

4o et

1}

=

118, à Re

=

57 ooo et R,.

=

230 ooo dans la section ~1

=

118. Dans la région centrale du tunnel, de grandes valeurs sont d'abord obtenues sur le bord des couches limites pour les coefficients S2 (environ 1,4) et pour les coefficients T,, T2 et T, (de 15 à 20); par contre, pour le coeffi-cient S1, la valeur obtenue (environ o, 15) est nettement inférieure à celle

qui correspond soit à l'écoulement à l'extérieur de la couche limite, soit à l'écoulement dans la couche limite, sans que nous ayons pu expliquer

t t . 1· d du, E · d 1 t· x1 ₈

ce comportemen par 1cu 1er e -J, • nsmte ans a sec 10n -D

=

11 ,

f .l l

T1 , T2 et T, ont des valeurs voisines de 5; S, est approximativement

constant et égal à o,35; S2 , qui est nul sur l'axe par raison de symétrie, demeure approximativement égal à o, 10 dans le reste de la section; cela tendrait à confirmer le fait que les structures fines peuvent être anisotropes même dans une région où les gradients de vitesse sont petits. Au voisinage de la paroi le coefficient T1 et surtout le coefficient S,,

dont les distributions sont indépendantes de;/, croissent rapidement dès que :c, u.r devient inférieur à 80 (fig.

4).

Milliat [13] a déjà signalé ce fait;

y

cependant, les valeurs de.,\ auxquelles nous trouvons qu'il se produit, permettraient de le rattacher non pas au mécanisme de l'écoulement à la frontière du film visqueux, mais plutôt à la production d'énergie turbu-lente qui est précisément intense d'après [11] entre .r:2 l l f

=

8 et x2 l l f

=

6o.

'I 'I

Les coefficients S, et T, ont tendance à décroître lorsque le nombre de Reynolds augmente. Ce sens de variation est toutefois difficile à assurer à cause des erreurs systématiques qui peuvent affecter, dans le domaine des hautes fréquences, les mesures portant sur les dérivées

a,u, .

(l,J..:1

122 G. COMTE-BELLOT.

4. 3. SPECTRES DES FLUCTUATIONS DE VITESSE.

Les spectres YJi t (k,),

y;,,

(kt) et

y;,::

(k1) ont été déterminés dans la

.c

section 0

1

=

1 18, et aux trois nombres de Reynolds indiqués précé-demment. - - - 1 0

°

x2/D 0 1.00 v7 0.34 . D 0,11 ~2Uf/~ 0 91 +---+-+---+-+-!;l-1n'Jt--i-l 10-3 <J 41 'il 4.8 k1 L 11 1-k1't'111 u' .,, 1 1..:.-::.r.r:;P"' 1'7,,,... 1 1 t _ _ _ j _ . . J _ _ _c__i__-1...l.._---l.--1.--'--',___, 10·' 10 1 ₁₀ 2 ₁₀ 3 _10-2 10-1 10

°

1 ~

..

""

~-

-~

"l

~ '\ );li ----~l k1 li 1 10 1 ₁₀ 2 k, x₂ L--..L...-'---'----'---'---'--'---'--' 10. 3 t _ _ _j__j_ _ _ L _ L _ _J.._j__ _ __.__.__....:....L...J 10-1 _{10° 10·}3 _10-2 _10-1 _{10° 10}1 ₁₀2

Fig. g. - Comparaison de quatre représentations adimensionnelles des spectres de u î.

Afin de dégager les lois partielles universelles éventuellement valables nous avons représenté les spectres sous quatre formes adimensionnelles. Trois représentations sont basées sur les échelles de longueur et de vitesse caractéristiques de certaines gammes de structures tourbillonnaires : longueurs de corrélation L; et intensités de turbulence \ ·

ui,

échelles de Taylor i.; et intensités de turbulence ([3], [13]), échelles de

Kolmo-TURBULENCE DE CONDUITE. 123

:~ 1 1 l

gorov "

=

v T f-" et u

=

v' z-., (1). La quatrième, propre à la turbulence de paroi ([19], p. 206 et [2]) est basée sur la distance à la paroi X2 et sur la vitesse de frottement Uf. Dans chaque représentation les courbes

spectrales dépendent de deux paramètres qui sont directement ou indi-rectement Re et-~• Les figures g et I o correspondent à quelques-uns des

- - - 1 0

°

~k1't'22l Re• f20000 x,/o k1L21 L---'--'----.L...1--...L..-'----L...l 10-10·2 0 1,00 B 0,20 é o.67 e 0.001 "l 0,42 ® 0,040 10-1 10 o 10 1 ₁₀ 2 _1L L..-...L...I..---LJ..._...L...l..----1..l....J 10-3 k, L _ _ _j_.J___.J_....L-_...1..---L.-:....J...J 10-4

üf

&

_?'',/ '--k1't'22 uz f

t.

!0-4 10-3 10-2 _10-1 _{10 O 10-2} 1,:,.

, l9l

V J1;I?' ~-_,

~

,:( 10-2 _10-1 1

-& ~';'fa_,( P,7'; /!,?1

1/ ['.:>1 /

_{_,ri}

v

p./ .

.

J:) / ~

r,/

10-1 _{10 0} "iê~ ~

,

·•

~ k1 A2 10 1 ~-~ ~ I,\~ ,.,.

\\

~:

-~ ~ ,, \ \ \ '<i'\..

i.

~

,,

..

\ .\,\ ;Q k, x2 10 1 ₁₀ 2

Fig. 1 o. - Comparaison de quatre représentations a dimensionnelles

des spectres de u~.

spectres ·} 11 (k,) et

'f,2

(k1) obtenus à Re 120 ooo et~-: variable.

10 2

10 3

L'emploi de la longueur de corrélation fournirait pour les spectres des fluctuations longitudinales une loi universelle dans la gamme des

(') L, et \ sont déduits des spectres par les relations et

G. COMTE-BELLOT.

gros tourbillons; pour les fluctuations transversales l'évolution avec ·;;" du défaut d'énergie aux basses fréquences [11] ne permettrait pas le regroupement des courbes. Dans la représentation utilisant l'échelle de Taylor, les courbes tendraient à se rapprocher dans leur ensemble, insuffisamment cependant pour qu'on puisse négliger l'influence des deux paramètres dont dépendent les spectres. L'emploi des échelles de Kolmogorov entraînerait un regroupement des spectres obtenus dans la région x\uf

>

100 où la déformation due à l'écoulement moyen est faible, l'intervalle en k1 Yi admissible étant approximativement k1 ·r,

>

0,010

,,o 0,2 0 ® f,O :r2/D 0 ~44 e, 0,(f o 0,2 q4 q6 0,8 f,O t,t. ~4 f,6 1 / D

Fig. 11. - Corrélations spatiales doubles du type R;; (r, o, o).

2,2

pour les spectres des fluctuations longitudinales et k1 Yi

>

o, rn pour les spectres des fluctuations transversales, la décroissance en

k;"

n'exis-terait que pour les spectres des fluctuations longitudinales sur un inter-valle qui est maximal pour ·~2 = o,55 (0,011

< k1

·r,

<

0,090, soit

1

<

k1

<

8 pour R,.

=

1 20 ooo) ('). La dernière représentation met

en évidence l'enveloppe des courbes spectrales; pour les spectres obtenus

, . x., u r 3 x., l d b .

dans la reg10n ~

>

o, D-

<

o,3o, e tronçon es cour es qm

carres-\ u;)., . (") La valeur maximale du nombre de Reynolds de la turbulence - - ,

1

- est attemte

vers

₁₅

= 0,40 et elle est approximativement égale à 250, 380 et 550 respectivement pour R, = 57 ooo, 1 20 ooo et 230 ooo; mais les nombres de Reynolds, ou

. . . ' V ll i i,,

sont environ trois fms plus petits que - . , - •

TURBULENCE DE CONDUITE. 1,0 I' Ra= f20000 :x:,/o,. (18 @ 1,0 Xz/D 0 O,M+ 0,6 <l! 0,11 0,4 o,z 0

---

L /D ___ o=e__._

126 R22 (qqr) 0,6

w,

0,2 0 1 1 Il

R

₃₃ (o,o,r) 1I 0,6 0,4 0 0 0,2 G. COMTE-BELLOT. 0,4 0,6

Rrz ..

f20000 :r₁/o .. ff8 ® 1,0 :X2 /D 0 0,4+-0 0,11 0,8 r/D

Fig. 13. - Corrélations spatiales doubles du type R;, (o, o, r).

TURBULENCE DE CONDUITE. 127

pond aux tourbillons contribuant notablement à l'énergie turbulente se confondrait approximativement avec l'enveloppe; mais le glissement de ces tronçons le long de l'enveloppe ne permettrait pas de conclure à

l'existence d'une région commune susceptible de fournir une loi partielle universelle.

4.

4.

CORRÉLATIONS SPATIALES DOUBLES.

Les mesures sont effectuées dans la section ;

=

II 8. Les figures 11, 1 2 et 13 représentent les courbes de corrélation obtenues à Re

=

1 20 ooo et

7:

=

1 - o,44 et o,II. Pour les courbes Ru (o, r, o), qui sont dissy-métriques, on a distingué les déplacements de la sonde mobile vers la paroi (notées r_) et les déplacements vers le centre du tunnel (notées r~). Nos résultats différeraient sur certains points des résultats indiqués dans [10] : nous obtenons des valeurs négatives de R11 (o, o, r) pour r

suffisamment grand et nous vérifions, à la précision des mesures, en parti-culier pour i

=

1, que pour une valeur donnée der les valeurs de R;; ( o, r, o) sont égales lorsqu'on intervertit la sonde fixe et la sonde mobile [R ( ;; o, r -, o a ) ' :r., D- fi ' 1xe est ega e a ' 1 ' R ( ;; o, r ~ , o a ) ' :r'., 1_;

=

a:., I:Î - IT · ,.] P ' res de la paroi nos résultats seraient comparables à ceux qui sont obtenus dans une couche limite [6].

5. Conclusion.

L'établissement de l'écoulement, observé sur l'évolution de diverses caractéristiques turbulentes et surtout sur celle des coefficients de dissy-métrie et d'aplatissement des fluctuations de vitesse, semble complè-tement réalisé à la distance

{.i

=

118 de l'entrée du tunnel. Cette section étant la dernière qui puisse être explorée, nous avons récemment porté la longueur du tunnel de 12 à 1 8 m. Des mesures pourront ainsi être effectuées jusqu'à la distance ·;)

=

180 : en particulier, les

coeffi-"

cients ~ seront déterminés aux trois nombres de Reynolds considérés;

(uî

)2

ll :•,

pour mieux comprendre le fait que les valeurs de - - ' -:, ne sont pas nulles (u;)2

dans la région centrale de l'écoulement, il serait souhaitable de déter-miner ce coefficient pour chacune des fréquences du signal U1 (t) [17].

li::

Par ailleurs, il serait intéressant de connaître les valeurs de - - ' -:, dans (uf

)2

G. COMTE-BELLOT.

Dans l'exécution des mesures, nous avons examiné tout particuliè-rement l'influence de la non-linéarité de la réponse d'un anémomètre

u',' ,

à intensité constante pour la détermination de --,, pres d'une paroi.

(uI)"

Pour les coefficients uJ , les amplitudes des composantes U2 (t) étant (

")"

Ut

nettement inférieures à celles des composantes u1 (i) l'erreur de

non-linéarité devrait être négligeable; ce point serait cependant à contrôler expérimentalement. Il faudrait aussi préciser l'effet de la non-linéarité dans la détermination des spectres lJ;11 (k1) près de la paroi; l'anémomètre

à température constante associé à un circuit de linéarisation constitué par plusieurs chaînes de diodes serait encore avantageusement utilisé pour ces mesures.

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