Potentialtheoretische strömungs- und sogberechnungen für schiffsähnliche körper

ARCHIEF

Potentialtheoretische

Stromungs-und Sogberechnungen

fiir schiffsahnliche Korper

Von

Dipl.-Ing. Horst Nowacki, Berlin

Berlin 1963 D 83

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lab.

_{v. Scheepsbouwkunde}

Technische

_Hogeschool

Delft

Von der Fakultat fiir Maschinenwesen der Technischen Universitat Berlin zur Verleihung der akademischen

Wfirde Doktor-Ingenieur genehmigte Dissertation

Berichter: Prof. Dr.-Ing. Hans Amtsberg Berichter: Prof. Dr.-Ing. Erwin Metzmeier

Inhaltsiibersicht

Seite

Einleitung 2

Mathematische Darstellung der Schiffsform 4

2.1 1.1bersicht Ober verschiedene Mbglichkeiten der mathematischen

Schiffsdarstellung 4

2.2 Wahl einer problemgemaBen Darstellungsmethode

2.3 Beispiel 10

Berechnung der Potentialstromung um einen gegebenen

schiffsahnlichen Kiirper 12

3.1 Analytische Formulierung der Aufgabe 12

3.2 Losungsverfahren 14

3.3 Beispiel fiir die Losung der Integralgleichung der reinen Korperumstromung 16

3.4 Berechnung des Stromungsfeldes 22

Beriicksichtigtmg der PropellerstrOmung 23

4.1 Gedankenmodell fiir den Propeller 23

4.2 Beriicksichtigung in der Integralgleichung 24

4.3 Beispiel fiir die Losung der Integralgleichung der Korperumstromung im

Propellerstorfeld 25

4.4 Berechnung der WechselwirkungsgroBen 25

Ergebnisse 27

5.1 Reiner nomineller Verdriingungsmitstrom 27

5.2 Reiner effektiver Verdrangungsmitstrom 27

5.3 Gedanken iiber die iibrigen MitstromgraBen 31

5.4 Reiner Verdrangungssog 31

5.5 Gedanken iiber die iibrigen SoggroBen 32

Zusammenfassung und Ausblick 33

Schrifttum 34

Bezeichnungen 35

Anhang 36

9.1 Darstellung und Eigenschaften von Lewis-Spanten 36

9.2 Vergleich mit dem Verfahren von Hess und Smith 38

Veroffentlicht im Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft,

Potentialtheoretische

Stromungs-und Sogberechnungen

1. Einleitung

Wenn em n physikalisches Erscheinungsbild aus mehreren Ursachen hervorgeht,_{so geniigt es} fiir seine Erklarung nicht, die von den einzelnen Ursachen unmittelbar ausgehenden Wirkungen zu untersuchen, sondern es milssen auch die zwischen den einzelnen Ursachen bestehenden, mit-unter sehr bedeutenden Wechselwirkungen beriicksichtigt werden.

Dafiir gibt es auch in der Schiffstheorie eine Reihe von Beispielen. So wird in der Schiffshydro-dynamik das gesamte bei der Umstromung eines Schiffskorpers herrschende Stromungsfeld nach den verschiedenen beteiligten Krafteklassen und somit Ahnlichkeitsparametern gedanklich in folgende Einzelfelder aufgeteilt:

die VerdrangungsstrOmung (Potentialstromung: Allgemeines Newtonsches Ahnlichkeits-gesetz),

die Zahigkeitsstromung (Reynoldssches Ahnlichkeitsgesetz) und die Wellenstromung (Froudesches Ahnlichkeitsgesetz).

Bekanntlich unterliegen aber vor allem Verdrangungs- und ZahigkeitsstrOmamg einer sehr starken Wechselwirkung derart, daB einerseits die potentialtheoretische Druckverteilung be-sonders im hinteren Schiffsbereich durch Zalaigkeitseinfliisse veran.dert wird, wahrend anderer-seits die Verhaltnisse in der Grenzschicht von der aufgepragten Druckverteilung und darnit von der Schiffsform abhangig sind. Bei der Erforschung des Schiffswiderstandes, die in Theorie und Modellversuchspraxis von der erwiihnten Aufteilung fruchtbaren Gebrauch gemacht hat, steht man aus diesen Griin.den heute im Stadium verfeinerter Untersuchungen vor der Aufgabe, die Wechselbeziehungen zwischen Verdrangungs- und Zahigkeitsstromung eingehender zu analy-sieren. Entsprechende Bemiihungen sind auf die Feststellung der Wechselwirkungen- zwischen Zahigkeits- und Wellenstromung gerichtet.

Ahnliche Wege wie-die Widerstandsforschung beschreitet die artverwandte, flax. die Wirtschaft-lichkeit und Betriebssicherheit des Schiffsantriebs bedeutende Theorie der Wechselwirkung zwischen Schiff und Propeller. Hier ist die noch etwas umfassendere Aufgabe gestellt, zusatzlich zu den drei genannten Stromungsfeldern das vom Antriebsorgan hervorgerufene zu beriicksichti-gen und dessen Wechselbeziehunberiicksichti-gen mit den anderen zu untersuchen. Ms keimzeichnende Graen fiir diese Wechselwirkung werden gewohnlich definiert:

der S og ; das ist die Resultierende der durch die Wirkung des Propellers am Schiffskorper angreifenden hydrodynamischen Krafte, und

der Mitstrom ; das ist das durch den KOrper in seiner Umgebung hervorgerufene Geschwin-digkeitsfeld. (Man unterscheidet diesbeziiglich zwischen dem no mine lien Mitstromfeld, das ist die in der Umgebung des Korpers ohn.e Propeller vorliegende Geschwindigkeitsverteilung, und dena bei arbeitendem Propeller herrschenden ef f ektiv en Mitstromfeld.)

Nach einer zuerst von Fr e s en i us [1] gebrauchten, spater fruchtbar erweiterten Arbeitshypo-these (siehe u. a. [2] bis [7]) wird den GroBen Sog und Mitstrom eine den StrOmungsfeldern ent-sprechende Aufteilung gegeben :

Verdrangungsmitstrom, Verdrangungssog; Reibungsmitstrom, Zahigkeitssog;

Wellenmitstrom, Wellensog.

Urn ferner der erwahnten Wechselbeziehung zwischen Verdrangungs- wad Zahigkeitsstromung Rechnung zu tragen, die in etwas modifi7ierter Form selbstverstandlich auch in Gegenwart des

1 Von der Fakultiit fiir Maschinenwesen der Technischen Universitht Berlin genehmigte Dissertation.

Potentialtheoretische Stromungs- und Sqgberechnungen fiir schiffsahnliche Korper .3

Propellers auftritt, kann man begrffflich zwischen dem r eine d. h. in reiner Potentialstromung herrschenden Und dem virtuellen VerdrangUngsmitstrom bzw. -sog unterscheiden, der bei

gleichzeitig auftretender Zahigkeitsstroraung Vorliegt. .

Die Abb. 1 gibt einen iTherblick iiber die darnit definierten Begriffe und die fur die verschie-denen GroBen eingefiihrten Symbole. Wegen weiterer Einzelheiten der Begriffsbild.ung wird au_f die znsammenfassende Darstellung von Amtsberg [7] verwiesen.

Reine Verdrangungs-stromung ohne Propeller: reiner nomineller Verdrangungsmitstrom, Newtonsches Ahnlich.keitsgesetz Iohne Propeller I Iohne Propeller I Iohne Propeller I Virtuelle Verdran-gungsstromung ohne Propeller: virtueller nornineller Verdriingungsmitstrom, V vzo Newtonsches wad indirekt Reynoldssches *Ahnlichkeitsgesetz

Wellenstromung ohne Propeller: nomineller Wellenmitstrom, vIVeo

Froudesches Ahnlichkeitsgesetz IVerdrangungsstromUng I IZahigkeitsstromung Imit Propeller I Reine Verdrangungs-stromung mit Propeller: leiner effektiver Verdriingungsmitstrom, V voe rein& Verdran-gungssog LIW v Newtonsches ihnlichkeitsgesetz

Zahigkeitsstroraung ohne Propeller: nornineller Reibungsniitstrom, vRo

Reynoldssches Ahnlichkeitsgesetz Wellenstromung Virtuelle Verdran-pmgsstromung mit Propeller: virtueller effektiver Verdrangungsmitstrom, V vz, virtueller Verdra,n-gungssog LIW v Newtonsches wad indirekt Reynoldssches AhnliclikeitsgeSetz I rat Propeller I

Zahigkeitsstromung mit Propeller: effektiver Reibungsraitstrom, Zahigkeitssog zi Wz

Reynoldssches Ahnlichkeitsgesetz

niit Propeller I

Wellenstromung mit Propeller: effektiver Wellenmitstrom

14'e,

Weilensog 4 Wwe

Froudesches Ahnlichkeitsgesetz

Abb. 1. Begriffsschemata filr Verdritagungsstramung, Ziadgkeitsstromdrig Mid Wellenstromiing. ohne ,gleiChzeitige Zahigkeitsstromung rait gleichzeiOger Zahigkeitsstromung ohne gleichzeitige Zahigkeitsstroraung rait gleichzeitiger Zahigkeitsstronaung

4 Potentialtheoretische Striimungs- und Sogberechnungen fiir schiffsahnliche Korper

Die erlauterte Aufteilung in GrundstrOmungsfelder ermoglicht die systematische Erforschung

des Komplexes der Wechselwirkungszusammenhange auf der Grundlage folgender Methodik:

Das im Versuch erraittelte Gesamterscheinungsbild wird mit den durch potentialtheoretische Rechnung bestimmten GroBen in geeignete Beziehung gesetzt. Zur Beurteilung der auf diesem Wege nicht zu erschlieBenden Anteile wie z. B. des virtuellen., effektiven. Verdrangungsrnit-stroms wird auBerdem die logische Argumentation herangezogen. Ferner bedient man sich mit Vorteil des T-Tilfsraittels, the Einfliisse der Wellenstromung durch Vergleich vom Stromungs-zustand an der Wasseroberflache mit dem entsprechenden fiir den tiefgetauchten Korper auszu-sondern bzw. auszuschalten.

Durch vielfatige Untersuchungen auf der Basis dieser Methodik hat der Schiffshydrodynami-ker inzwischen ebae recht eingehende Kenntnis des Charakters der Wechselwirk-ungserscheinungen und einen gewissen rberblick iiber die Abhangigkeit der einzelnen Wechselwirkungsg,r6Ben von ihren Parametern gewonnen. Jedoch trennen ihn auch heute noch einige nicht ganz geklarte Zusammenhange von dem erstrebenswerten Ziel der nnmittelbaren Voraussage von Sog und Mitstrom unter schiffsahnlichen Verhiiltnissen. Insbesondere ist die Theorie noch nicht zu kon-kreten, dem Konstrakteur dienlichen Aussagen iiber den zahlenmaBigen. EinfluB bestimmter FormgebangsmaBnahmen etwa im Hinterschiffsbereich auf Sog und Mitstrorafeld in der Lage. Dies erklart sich vor allem daraus, daB man sich bei den rechnerischen Untersuchungen zunachst folgerichtig auf einfache, für zahlreiche grundlegende Fragen aussagekraftige Ersatzkorper be-schrdnkt hat, denen es jedoch an manchen beim Schiff wichtigen Eigenschaften gebricht. So kann beispielsweise der EinfluB eines peripherial ungleichfOrmigen Mitstromfeldes auf den Sog, der nach Meinung von Di ckm ann [6] sehr bedeutend ist, bei Untersuchungen an Rotations-korpern (siehe z. B. [7], [8], [9]) nicht in Erscheinung treten. Auch die Untersuchungen von Pohl [10] an einem zylindrischen Ersatzkorper elliptischen Querschnitts, bei denen in der Propellerebene stark ,ungleichformige, schiffsiihnliche Mitstromfelder auftreten, konnten in dieser Hinsicht noch keine abschlieBende Klarung herbeifiihren.

Als nicht vollig geklart muB ferner the Frage nach Art und Gral3e des Zahigkeitssogs am Schiff gelten. Zwar kan.n nach vorherrschender Meimmg ([11], [6], [7], [9], [10]) der Zahigkeitssog im Vergleich zum Verdrangungssog normalervveise nur geringe Betrage erreichen; jedoch bleibt these Auffassung nicht unwidersprochen ([13], [14]), und vor allem von seiten der Versuchspraxis wird mitmater auf MaBstabseinfliisse auf den Sog in einer von der Theorie nicht ganz zu erklaren-den Tenerklaren-denz hingewiesen.

Aus dieser Situation ergibt sich the Grundidee der vorliegenden Arbeit: Urn im bewahrten Wechselspiel zwischen potentialtheoretischer Berechnung und Experiment Ergebnisse zu erzielen, the sich unmittelbar auf the Schiffsumstromung anwenden lassen, soil der Schritt vom Ersatz-korper zum schiffsahnlichen KOrper beliebig vorzugebender Form getan werden.

Der zunachst -and vom Verfasser unmittelbar zu leistende Beitrag soil in der potentialtheore-tischen Untersuchung der reinen Verdrangungsstramung ohne wad rait PropellereinfluB bestehen.

Die darait gestellte Aufgabe läBt sich zweckmaBig in drei Teilaufgaben zerlegen:

Mathematische Darstellung der Schiffsoberflache in einer mOglichst iibersichtlichen mid the Verarbeitung in elektronischen Rechengeraten geeigneten Weise, mit deren Hilfe the syste-matische Variierung der Schiffsform moglich sein soil.

Errechnung der raumlichen PotentialstrOmung urn einen tiefgetauchten KOrper gegebener Form.

Zusatzliche Beriicksichtigung der Propellerstromnng und Berechnung der Wechselvvirkungs-grOBen.

2. Mathematische Darstellung der Schiffsform

2.1 tibersicht iiber verschiedene Mtiglichkeiten der mathematischen Schiffsdarstellnng Die Aufgabe, analytische Ausdriicke fiir the Oberflache eines Schiffskorpers anzugeben, ist in der Vergangenheit aus sehr unterschiedlichen Motiven heraus und daher auch mit sehr verschie-denartigen Methoden aufgegrfffen worden. Die ersten Bemiihungen von Taylor [15] mad auch die spateren fruchtbaren Arbeiten von Weinblum (z. B. [16] bis [18]) waren hauptstichlich darauf gerichtet, die Schiffsform in all ihrer Vielgestaltigkeit durch geeignete Parameter zu be-schreiben und systematisch zu variieren, urn dadurch die experimentellen mad ana/3rtischen Untersuchungen auf dem Gebiete der Schiffstheorie unter em n ordnendes Prinzip zu stellen. Da viele wesentliche Eigentiimlichkeiten der Schiffsform mit Ffilfe zweidimensionaler Kurven wie der

Potentialtheoretische Stromungs- uncl Sogberecluaungen fur schiffsiihnliche Korper 5 Wasserlinien oder Spanten sowie der Spantflachenkurve zu erfassen sind, war es das Hauptziel dieser Arbeiten, solche Kurven in Abhangigkeit von den wesentlichen Formparametern analytisch darzustellen. Die Erfolge dieser Bemiihungen sind bekannt land sollen bier nicht naher erartert werden (s. zu diesem Thema die zusaramenfassenden Darstellungen. von Weinblum [18] wad

Saunders [19]).

Im letzten Jahrzehnt hat die zunehmende Verbreitung des Digitalrechners auch dem Problem der mathematischen SchfffskOrperdarstellung neue Impulse gegeben. Zum einen profitiert heute die Konstruktionspraxis in stark zunehmendem MaBe bei elektronischen Kurvenblatt- wad Stabilitatsberechnungen oder schiffbaulichen Hilfsrechnungen ahnlicher Art von der zuminclest stickweisen analytischen ErfaBbarkeit der Schiffsoberflaclae. Zum andern ist die Herstellung matheraatischer Linienrisse auf Grund gegebener

Vorprojekt-AufraaBe realisierbar geworden [20].

SchlieBlich ist au ch die allgemeine Grundaufgabe, z=

eine beliebige gegebene Schiffsoberflache dauch auf verschiedenen Wegen in Angrfff genomraen analytische Zusammenhange zu approximieren, worden. Da zwischen dieser Aufgabe und dem

vorliegenden Problem eine gewisse Verwandt-

1N5

schaft besteht, soli hierauf etwas naher

einge

-gangen werden.

Gegeben sei also die Unterwasserform eines Schiffes, mid zwar entweder d.urch LinienriB oder durch eine andere geniigend eindeutige

Dar-stellung des Verlaufs der SchiffsaufmaBe. Gesucht wird eine die Oberflache darstellende Funktion y --= f (x, z) (explizite Form) oder F (x, y, z) = 0 (implizite Form).

Das kartesische Koorclinatensystem X, Y,Zist dabei gema,B Abb. 2 (die den durch Spiegelung einer Unterwasserform an der Schwimmebene erzeugten Doppel-Schiffskorper darstellt) im Hal-bierungspunkt der Schwim.mebenenlange aufgepflanzt wad wird mit den Schiffshauptabmessun-gen normiert, so daB man die folSchiffshauptabmessun-genden dimensionslosen Koordinateni erhalt:

X

x

LI2 BI2

Fur die in spaterem Zusammenhang haufig gebrauchten Ableitungen gilt entsprechend: ay

LaY ay

,

ax Yz ' az

"

Von den fur die Losung dieser Aufgabe in Betracht komrnenden Naherungsverfahren kOnnte die unmittelbare Entwicklung der Schfffsoberflache in eine Potenzreihe

y =-- ail xi zi

(2.2)

vielleicht als das naheliegendste angesehen werden. Dabei sind die Koeffizienten ai; aus den Randbedingungen, also etwa aus einer bestimmten. Anzahl von gegebenen KorperaufmaBen zu ermitteln. Man wird daher auf em n Gleichungssystem fiir the aii gefiihrt, das eine sehr hohe Anzahl von Unbekarmten (i j) enthalten muB, urn die Schiffsform auch im Bereich starkerer Kriim-mungen (Kimm) durch eine ausreichende Zahl von StiitzaufmaBen geniigend -wirklichkeitsnah erfassen zu konnen. Derartige Gleichungssysteme sind wegen der mit der Anzahl der Unbekannten rapide steigenden Genauigkeitsverluste praktisch nur water besonderen Umstanden losbar.

Wegen dieser Schwierigkeiten, zu einer direkten raumlichen Entwicklung der Schiffsoberflache zu gelangen, hat man sich auf den an zweidimensionalen Schiffslinien gewonnenen Erfahrungs-schatz besonnen und versucht, das rauraliche Problem auf zweiclimensionale Entwicklungen zu-riickzufiihren. Der einfachste Ansatz dieser Art

= f (x). (z) (2.3)

fart z-u einem Korper mit rechteckiger 1Vlittschiffsebene, der durch affine Spanten und affine Wasserlithen gekennzeichnet ist, bei dem ferner die Spantarealkurve den Wasserlinien affin ist (99 =-- cc; x --= 1) and der daher nur einen sehr beschrankten Formenvorrat bietet (Elementarschiff).

8/2

Abb. 2. Koordthiatenfestlegmag am Beispiel eines Doppel-SchiffskOrpers.

I Verfasser erhofft eine groBere Vbersichtlichkeit der Formelbeziehungen im ,Druckbild, wenn statt der im

Schiffbau iiblichen dimensionslosen Koordinaten ?7, her z, y, z gebraucht werden.

(2.1)

6 Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen für schiffsahnliche KOrper

Zur Beseitigung dieser Einschrankungen sind schon von Wein blum [18] einige Verallge-meinerungen angegeben worden. Um beispielsweise die Affinitat und die sich daraus ergebenden Eigenschaf ten zu beseitigen, schlagt Weinblum die Form vor:

= (x)

wobei yo (0, z) = Gleichung des Hauptspants.

Fiir den Zweck, einen LangsumriB des Schfffes von beliebig gegebenem Verlauf K (z), d. h. rait im allgemeinen nicht vertikalen Steven zu erzeugen, findet man bei We in blu in den Ansatz :

= (x)

In neuerer Zeit ist von Kerwin [21] em recht leistungsfahiges Verfahren fiir die Darstellung

von Karpern mit rechteckiger Mittschiffsebene beschrieben worden, das von dem rait GI. (2.2) und (2.3) verwandten Ansatz

y = E ail

(2.6)

ausgeht, worm n fiir die Ti (x) und die 41); (z) jeweils Familien orthogonaler Polyrwme (Kugel-funktionen) oder zumindest nahezu orthogonaler Polynome gewahlt werden. Zurl3estimmung der Koeffizienten wird zunachst eine Anzahl von Stiitzspanten nach den Polynomen 1 (z) entwickelt ;

dann faBt man die dabei erraittelten Koeffizienten als in x-Richtung variable GroBen auf und

entwickelt sie in den verschiedenen Wasserlinien ihrerseits nach den Polynomen (x), woraus

sich die aii ergeben. Die so gefundene Lesung laBt sich ohne weiteres in eine gewohnliche, leicht zu

verarbeitende Polynomschreibweise liberfiihren [22]. Diese 1VIethode vereint zwei wichtige

Vorteile : Erstens wird analog Gl. (2.3) von der Zerlegung der raumlichen Entwicklungs-aufgabe bzw. des entsprechenden Gleichungssystems in mehrere kleinere, zweidimensionale Ent-wicklungen bzw. Gleichungssysteme Gebrauch gemacht. Zweitens lassen sich alle diese Gleichungs-systeme im Gegensatz zu dem Syitem nach Gl. (2.2) bequem auflosen, da infolge der Orthogonali-tatseigenschaften der Entwicklungsfunktionen in der Koeffizientenmatrix die Hauptdiagonale stark iiberwiegt.

Mit ebenfalls sehr gutem Erfolg wird von Pi en [23] em n fiir gegebenen Verlauf K (z) des Langs-umrisses giiltiger Ansatz benutzt, der E/emente aus den Gln. (2.2), (2.4) and (2.5) enthalt :

y = [F (x, z) aii zi] [1 ( (z) (2.7)

x _)2]1/3/

worth F (x, z) = f Pi (x) yi (xi, z) _(2.8)

In Gl. (2.7) 1st {1

(K) )2]M der

vertikale StevenkOntur erzeugt. Urn den EinfluB der Verzerrung auf die Hecknahe zu beschrin-ken, erscheint er hier in der Potenz 11M, wobei für M eine relativ groB gewahlte ganze Zahl

ge-eignet 1st.

Die Funktion F (x, z) ist durch Verallgemeinerung von GI. (2.4) entstanden. Wahrend dort nur em n Stiitzspant yo (x = const, z) vorgegeben werden kann, bietet Gl. (2.8) die Moglichkeit, eine beliebige Zahl von Stiitzspanten yi (xi = const, z) zu beriicksichtigen. Die Funktion Pi (x) erhalt damit den Charakter ether Interpolations- oder EinfluBfunktion.

Weil auch bei ether grOBeren Zahl von Stiitzspanten eine gegebene Schiffsform f (x, z) durch den Ausdruck

g (x, z) = F (x, z) [1

(x )2

nur his auf einen gewissen Fehkr e (x, z) zu approximieren sein wird, also

e (x, z) = f (x, z) g (x, x), (2.10)

ist schlieBlich eine Reihenentwicklung

e (x, z) fail xi zi

(2.11)

erforderlich, urn die Schiffsform mit beliebig vorgegebener Genauigkeit zu erfassen. Da die Fehlerflache e (x, z) nach den Erfahrungen von Pi e n nur n.och geringe Kriimmungen aufweist, laBt sich das aus GI. (2.11) hervorgehende Gleichungssystem ira Gegensatz zu dem gennaB Ansatz

(2.2) ohne weiteres lasen.

Potentialtheoretisehe Stromungs- und Sogberechnungen fiir sehiffsahnliche KOrper 7

2.2 Wahl einer problemgerechten Darstellungsmethode

Nach d.iesen Vorbemerkungen iiber einige in letzter Zeit erfolgreich entwickelte mathematische Schiffsd.arstellungen konnen wir uns nun den Besonderheiten der hier vorliegenden Problem-stellung zuwenden. Sie ist durch zwei in Konflikt treteride Forderungen gekenrizeichnet. Einer-seits soll em n moglichst flexibler Ansatz fiir die Gleichung der Schiffsoberflache gewahlt werden, der es gestattet, die als wesentlich angesehenen Parameter der Schiffsform wie Scharfegrad gp, Volligkeitsgrad der Schwimmwasserlinie (KVVL) x und des Hauptspants #, die Verhaltnisse der Hauptabmessungen LIB und BIT, den Sparitcharakter sowie einige ken nzeichnende GroBen fiir den Verlauf von Spantarealkurve und Schwimmwasserlinie im schiffbaulich sirmvollen Be-reich maglichst unabhangig Voneinander systematisch zu variieren. Es ist zu erkennen, daB von den bisher erwahnten Ansatzen nur die nach Gl. (2.7) und mit der Einschrartkung senkrechter Steven nach GI. (2.6) alle diese Forderungen zu erfiillen gestatten. Andererseits kommen aber gerade diese umfangreichen und in bezug auf die Formparameter wenig fibersichtlichen Formel-ansdriicke fiir den vorliegenden Zweck nicht in Betracht, denn bei der vieltausendfachenBestim-mung von AufmaBen und AufmaBableitungen im Rahmen der durchztfiihrenden StriivieltausendfachenBestim-mungsbe- Striimungsbe-rechnungen. wOrden sie die Kapazitat der hier zur Verffigung stehenden Rechenanlage Siemens 2002 des Hahn-Meitner-Instituts fur Kernforschung Berlin zu stark in Anspruch nehmen.

Da es sich im Zusammenhang mit den Stromungsberechnungeh z-unachst urn grundsatzliche Untersuchungen an schiffsahnlichen Korpern handelt und die mOglichst gute rbereinstimmurig dieser Korper mit vorgegebenen Schiffsformen von der Problemstellung her nicht gefordert wird, kann man ohne weiteres auf einige Eigenschaften der Darstellung nach Gl. (2.7) verzichten und den folgenden vereinfachten Ansatz wahlen:

y (x, z) = F (x, z) P i(x) yi (xi, z) (2.12)

In Wegfall sind dabei die korrigierend und glattend wirkende Reihe e (x, z) Bowie die den Stevenverlauf herstellende Verzerrungsfunktion gekommen. Aus dem Ansatz nach (2.12) gehen also schiffsahnliche Korper rait vertikalen Steven hervor, eine Vereinfachung, die im Rahmen grundsatzlicher Wechselwirkungsuntersuchungen als nicht einschneidend erscheint.

Aus Gl. (2.12) lassen sich unmittelbar ableiten: 1. Der Verlauf der Spantarealkurve A (x):

A (x)

= f

mit A.

= f

=--

f

3. Der Verlauf der Konstruktionswasserlinie (z = 0):

y (x, 0) -= E Pi (x) yi (xi, 0)

mit yi (xi, 0) = KWL-AufmaBe an den Stiitzspanten

Durch den Ansatz gemaB Gl. (2.12) ist also, wie man erkennt, das raumliche Entwicklimgs-problem auf die zweidimensionale Entwickhuigsaufgabe fiir die vorzugebenden n Stiitzspanten yi (xt, z) und auf die Ermittlung der EinfluBfunktionen" Pt (x) zuriickgefiihrt worden.

Ihrer Aufgabe gemaB, zwischen den Stiitzspanten zu interpolieren, rnu.13 eine jede Funktion

Pi (x) am i-ten Stiitzspant zu Eins werden und an allen iibrigen n 1 Stiitzspanten

verschwin-den. Es ergeben sich also far jedes i

eine Bedingung von der Form: Pi (xi) 1 (245)

und (n 1) Beding,ungen: P1 (xi) = Omit j 1, ..., a, (2.17)

i

(2.14)

8 Potentialtheoretische StrOmungs- und Sogberechnungen fur schiffsahnliche KOrper

Ferner wird meist verlang-t, daB die Wasserlinien (Linien z = const) am Hauptspant (x --= 0)

parallel zur Langsrichtung einlaufen und am Heck (x = 1) bzw. am Bug ( x 1)

ver-schwinden. Dies ist nur allgemein maglich, wenn fiir jedes dPi (0) 0 (2.18) dx und Pi (1) = 0 bzw. (2.19)

Pi ( 1) = 0

Mit diesen zwei zusatzlichen Bedingungen erhalt man fiir jede der n Funktionen Pi (x)

insge-samt (n ± 2) Bestimmungsgleichungen, die von den iibrigen (n 1) Funktionen P (x) nicht

abhangig sind, so daB für jede dieser Funktionen em n Ansatz mit (n ± 2) freien Parametern zu wahlen ist. Wahlt man speziell einen Polynomansatz

Pi (x) = Ea xk, _(2.20)

so mull man .k = n + 2 Glieder vorsehen.

Wie sich aus dem Vorhergehenden ferner ergibt, liefern die P (x) nun nicht nur das fiir den Verlauf der Wasserlinien maBgebliche Gesetz, sondern sie bestimmen gem. Gl. (2.13) in v011ig entsprechender Weise auch den durch die Stiitzspantflachen Ai festgelegten Verlauf der Spant-arealkurve. Innerhalb des durch den Faktor P (x) gegebenen Formenvorrats la,ssen sich die Ai noch frei bestimmenl Man kann also z. B. einen dem Polynom (2.20) im Grade k entsprechenden Ansatz

A (x) = E ckZIC _(2.21)

machen, wobei sich auch dem gewiinschten Scharfegrad q Rechnung tragen.

Dann ergeben sich die ck (oder umgekehrt bei gegebenen ck die A) durch Koeffizientenvergleich.

Aus

A (x) = E ckxk 7E Pi (x) Ai= Ai E aik Xk (2.22)

ti=1 k

folgen k Gleichungen von der Form

ck E Aiaik. (2.23)

i =1

Den Formenvorrat der Darstellwag nach Gl. (2.12) kann man durch Erhohung der Stiitzspant-anzall n erweitern. In anderen Fallen ist es aber vielleicht zweckmaBiger, bei fester Zahl n die Gliederzahl im Ansatz fiir Pi (x) un.d damit fur A (x) iiber k n + 2 hinaus zu erhohen und eine entsprechende Anzahl weiterer Randbedingungen einzufiihren.

Die Konstruktionswasserlinie ist anders als beim Elementarschiff gem. Gl. (2.3) der

Spantflachenkurve nicht affin, sondern durch die angenommenen WasserlinienaufmaBe an den Stiitzspanten gegeben. Die Erfahrung zeigt allerdings, daB man bei der Wahl von Polynomen relativ niedriger Ordnung fiir die Pi (x) mit der Form der KWL auf Kurvenverlaufe beschrankt bleibt, die sich von der affinen Form nicht allzusehr materscheiden, da groBere Abweichungen mit Beulenbildung einhergehen. Dieser Mangel laBt sich jedoch ebenfalls durch eine hohere Gliederzahl im Ansatz beseitigen. Damit hat man im Prinzip auch bei der Formgebung der KWL und der Wahl ihrer V011igkeit die gew-iinschte Freiheit.

Im Rahmen der beim Schiffsentw'urf gebotenen Moglichkeiten mid miter Beriicksichtigung der im Ansatz der EinfluBfunktionen Pi (x) enthaltenen Einschrankungen in bezug auf den Formenvorrat lassen sich bei der Schiffsdarstellung nach Gl. (2.12) die folgenden Eigenschaften und Parameter der Schiffsform unabhangig voneinander wahlen mid systematisch variieren:

Die Spantflachen_kurve A (x) und der Scharfegrad q);

der Konturverlauf der Stiitzspanten yi (xi, z) und der Hauptspantv011igkeitsgrad 13; der Verlauf der Konstruktionswasserlinie y (x, 0) mid der Wasserlinienvolligkeitsgrad a in einem durch die Festlegungen zu 1. mid 2. eingeschrankten MaBe ;

die Verhaltnisse der Schiffshauptabmessungen LIB mid BIT.

Es darf Ubrigens nicht wundemehmen, daB sich neben den StiitzspantaufmaBen yi (xi, z) ider auch die

Stiitzspantflachen Ai frei wahlen lassen, wie Bich formal aus den Zusammenhangen (2.12) und (2.13) und den Eigenschaften der Pi (x) nach den Gln. (2.16) bis (2.19) ergibt. Dieser Freiheit sind durch die Bedingung (2.13a), daB das Integral der AufmaBfunktion iiber den Tiefgang gleich der Spantfltiche sein mull, dieselben natiirlichen Grenzen gezogen wie bei der entsprechenden Aufgabe des Schiffsentw-urfs, einen Spant von gegebener niche zu zeichnen.

Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen fur schiffsahnliche Korper 9

Damit gelangt man zur Beurteilung der Anwendungsmoglichkeiten fiir die hier beschriebene mathematische Schiffsdarstellung nach GI. (2.12). Sie scheint besonders geeignet fiir systematische Untersuchungen der vorliegenden Art, bdi denen es darauf dnicomint, einen verhaltnismaBig einfachen Ausdruck far die Schiffsform zu benutzen und den Vberblick fiber den Zusammen-hang zwischen Formparameter und mathematischer Formel zu bewahren. Trotz der angedeu-teten Verfeinerungsmoglichkeiten ist sie weniger geeignet fiir den Zweck, eine gegebene kompli-zierte Schiffsform moglichst exakt zu erfassen. her wird der Aufwand von einer gewissen Grenze an lohnender verwertet, wenn man sich der in Abschn. 2.1 erwahnten, in Amerika erfolgreich erprobten Ansatze bedient.

AbschlieBend seien auch der Darstellung der Spanten einige Gedanken gewidmet. her entsteht ein. besonderes Problem durch the auf die StrOmungsberechnungen zugeschnittene Forderung, die Spanten sollen am Kiel mit waagerechter und in der Schwimmwasserlinie mit senkrechter Tangente enden. Diese Bedingungen entsprechen der Absicht, beim Vbergang von Backbord nach Steuerbord und vom Unterwasserschiff zu seinem durch Spiegelung an der Schwimmebene erzeugten Widerpart einen knickfreien tThergang zu erzielen, der eine fiir die potentialtheore-tischen Berechnungen zwar nicht unbedingt notwendige, aber doch fiir die erste Erprobung der Verfahren erwanschte Eigenschaft darstellt.

Nun ist bekannt, daB fait Mlle von Elernentarfunktionen oder deren Kombinationen emn senkrechter Einlauf des Spants gleichzeitig in der

Mitt-schfffs- und in der Schwimmebene nicht zu erzielen ist.

Daher kommen hier die bekannten Verfahren zur Spantdar- 8/2

ho

stellung (wie etwa die besonders ausgefeilte, auf die Berack-sichtigung zahlreicher SpantformkenngroBen zugeschnittene Methode von T hi e m e [24]) nicht in Frage, sondern es wird ein anderer, dem Schiffbauer an sich ebenfalls gelaufiger Weg beschritten.

Lewis-Spant

Wiihrend sich der Hauptspant am zweckmaBigsten

den drei Abschnitten Senkrechte Seitenwand",

Kreis-Hauptspani

runde Kimm" und Flacher Boden" zusammenstackeln

laBt, wird fiir die iibrigen Spanten auf die konforme Abbil- _{Abb. 3. Lewis-spant.}

dung mit Hilfe der Abbildungsfunktion von Lewis [25] zurackgegriffen..

Die aus der Theorie der hydrodynamischen Massen bekannten Lewis-Spanten, die mit Hilfe der Abbildungsfunktion

a b

z _(2.24)

z z

aus dem Kreis erzeugt werden, weisen die gewiinschten Einlaufe am Kiel und in der KWL auf. Da die Funktion nach GI. (2.24) zwei freie Parameter enthalt, lassen sich zwei Spanteigenschaften frei wahlen; hier wird wie iiblich das Seitenverhaltnis bo : to und die Flache F bzw. der V011igkeits-grad /3sp, des betreffenden Halbspants vorgegeben (s. Abb. 3).

Wie in Anhang 9 1 ausfiihrlicher hergeleitet, erhalt man fiir den Lewis-Spant die vom Para-meter 0 abhangige Funktionsdarstellung:

Y

to

r(i_ a)sinebein 3 0

0,5

B]

z = r(i+ a) cos b cos 3 e]

T + a ± b

Die Konstanten a und b bestimmen sich aus der Spantflache und dem Seitenverhaltnis gemaB

(1 H) (1 + b)

a

1 + H

b (2 C H 1) + (H + 1)V 4 C 3

2 (C H2 H2 H 1)

bhalbe Breite des gegebenen Spants

wobei H = = .

to Tiefe des gegebenen SpairtS

n a2

_3b=

und F = t gegebene Flache des Halbspants,

4 ° (1 a ± b)2 woraus sich die Konstante C ermitteln laBt.

(2.:25)

10 Potentialtheoretische Stromungs- tuad Sogberechnungen fur schiffsahnliche Korper

Es sei beilaufig darauf hingewiesen, daB durch Verwendung von Abbildungsfunktionen mit mehr als zwei Parametern em n grOBerer Formenreichtum fiir die Spanten erzielt werden kann, so daB sich auf diesem Wege Schiffsspanten gegebener Form nait beliebiger nur durch den

Auf-wand praktisch eingeschrankter Genauigkeit approximieren lassen.

2.3 Beispiel

Das Verfahren der Schiffsdarstellung nach Gl. (2.12) kann vorteilhaft an Hand des Beispiels erlautert werden, das auch den im vorliegenden Zusammenhang durchgefiihrten potentialtheore-tischen Stromungs- wad Sogberechnungen zugrunde liegt; urn den Ergebnissen dieser ersten Beispielrechnung bereits einen moglichst groBen Aussagewert zu verleihen, wird eine verhilltnis-maBig vollige Schiffsforra gewalt, da hierbei besonders ausgepragte Effekte der Verdriingungs-stromung in Hecknithe wad sehr deutliche Zahigkeitseinfliisse bei den spater beabsichtigten Vergleichsversuchen zu erwarten sind. Ferner wird zur Vereinfachung eine zur Hauptspantebene (x = 0) symmetrische Schiffsform angenoramen.

Die Spantflachenkurve wird aus diesen rberlegungen heraus mit A (x) =- 1 x4 angesetzt,

was einem Scharfegrad 0,8 entspricht.

Es werden n = 3 Stiitzspanten, mad zwar an den Stellen xi = 0 (Hauptspant), x2 = 0,5 und x2 = 0,9 angerionaraen. Dann ergeben sich die Interpolationspolynome Pi (x) aus dem Ansatz (2.20) rait der Gliederzahl k = n + 2 = 5 und den Randbedingungen (2.16) bis (2.19) zu (vgl. auch [23]):

P, (x) = ± an x ± an x2 + an x3 ± an x4 1 11,568 x2 ± 19,7037 x3 9,1358 x4 (2.27)

P2 (X) = a22 + 6121 X + a22 X2 + a22 ap.4 x4 -= + 18 x2 38 x3 + 20 X4 (2.28)

Ps (x) =- a30 + a31 x a32 x2 + a33 X3 ± as4 X4 = 15,432 x2 ± 46,296 x3 30,864 x4 (2.29)

Die mit der Hauptspantflache normierten Flachen der Stiitzspanten erhalt man ausA (x) =

x4:

A, = 1; A2 = 0,9375; As = 0,3439.

Fiihrt man diese GrOBen in die Gleichung der Spantarealkurve (2.13) em:

A (x) = A,. P, (x) + A2 P2 (X) + As Ps (x), (2.30)

so karm man durch Koeffizientenvergleich gem. Gl. (2.22) die Einhaltung des gegebenen Kur-venverlaufs A (x) bestatigen:

4

A (x) = X ck xk 1. x4,

k=0

weil c, = A, an ± A2 a20 ± As ago = 1

=---- A, an ± A2 an ± Asa31= 0

Ai an + A2 a22 ± A3 a32 = 0 (2.32)

c3 = A1 a + A2 a23 --I- A, an = 0

-=- A1 a14 A2 an ± A3 a 1

Der Konturverlauf der Stiitzspanten wird folgendermaBenfestgelegt :

Der Hauptspant (x, = 0) besteht aus einem geraden Teil und einer kreisrunden Kiram, die in den flachen Boden Obergeht. Ails der Annahme der Volligkeit = 0,99 ergibt sich

filrz 0,807:y= 1 (2.33)

und für z > 0,807: Yi = 0,807 + 0,8 V 0,482 (1 z1) (1 z1)2

Die iibrigen Spanten sind Lewis-Spanten, deren Verlauf sich nach den in Anhang 9.1 naher

erauterten Zusammenhangen ermitteln läBt. Fiir den Spant x, = 0,5 erhalt man aus A2 = 0,9375,

t0IT -= 1, b0/0,5 B = 0,984 mid BIT =2,5: H = 1,23 spi = 0,943216

a =

Abb. 4 SpantriB.

,x = 1

495 as 0,8

Y 47

a6 0,5 0,3 0

Abb. 5. SpantriB und HinterschiflalinienriB des.Doppolkorpers.

et- 0 CDef- CD z Propeller und CO 0 - CY co CD CD Piopellersniegetbdd . tzr co

12 Potentialtheoretische Stromiings- und Sogberechnungen fur schiffsahnliche Korper

Entsprechend gilt fiir den Spant x, = 0,9 wegen A, = 0,3439, tolT = 1, b0/0,5 B = 0,448 und BIT = 2,5: H =0,56 spt = 0,759958 a = 0,286254 b = 0,0149 (2.35) y, = 0,614839 [0,713746 sin 0 0,0149 sin 3 0] z3 = 0,768549 [1,286254 cos e + 0,0149 cos 3 o]

Bei der Forragebung der Spanten wurde durch die Wahl des Seitenverhaltnisses H gleichzeitig der Verlauf der Konstruktionswasserlinie in der gewiinschten Weise festgelegt. Als Gleichung der KWL ergibt sich:

(x, 0) = (x = 0) P1 (x)y2 (z = 0) P2 (X) + Y3 (X = 0) P3(x)

=-= 1 P, (x) 0,984 P2 (x) ± 0,448 P, (x) (2.36)

Die Verhaltnisse der Schfffshauptabmessungen werden innerhalb des far normale Schiffsformen in Frage kommenden Bereichs mit LIB = 8 und BIT = 2,5 gewahlt. Damit gelangt man schlieB-lich zu dem in den Abb. 4 und 5 dargestellten schiffsahnschlieB-lichen Korper. Die in Hauptspantnahe zu erkennenden kleinen Beulen sind bei der fiir die P, (x) gewahlten geringen Zahl von Polynom-gliedern nicht ganz zu vermeiden, bleiben jedoch fiir die Wechselwirkungsuntersuchungen v011ig ohne Bedeutung.

3. Bereehmmg der Potentialstromung um einen gegebenen sehiffsahnlichen Korper 3.1 Analytische Formulierung der Aufgabe

Aus den hydrodynamischen Grundgleichungen liiBt sich bekanntlich herleiten, daB sich das einer stationaren raumlichen Stromung zugeordnete Geschwindigkeitsfeld u (X, Y, Z) in einer idealen, wirbelfreien Fliissigkeit durch den DifferentiationsprozeB

u (X, Y, Z) = { VX (X, Y, Z); V y (X, Y, Z); VZ (X, Y, Z)} =

ta

grad 0 (I, Y, Z) _{a x a IT a z} (3.1)

aus einer Potentialfunktion 0 (X, Y ,Z) berechnen laBt, wobei diese die Potentialgleichung im Raume (Laplacesche Dffferentialgleichung) befriedigen muB:

o2 o o2 a2

z1

a x2 a Y2 a z2

Losungen dieser Differentialgleichung, die im Unendlichen verschwinden und deren Ableitun-gen gewisse StetigkeitsbedingunAbleitun-gen erf011en [28], nennt man harmonische Funktionen.

Offenbar geniigt nun allen diesen Anforderungen die Funktion (s. a. Abb. 6):

1 1 1

(3.2)

r Ir I V (X X')2 (Y Y')2 (Z Z')2

obei r der von einem Quellpunkt Q (X', Y', Z') zu einem

Auf-P(X,Y,Z) _{punkt P (X, Y, Z) gerichtete Vektor ist. Insbesondere ist :}

AO= 0xx -F0YY °ZZ = 1 (X_ X')2 da Oil- = -T + 3 9.5

10 (

=

Aus dem Typ der Differentialgleichung (3.2) laBt sich eine der wesentlichsten Eigenschaften ihrer Losungen herleiten, das Superpositionsprinzip, nach dem die Summe zweier harmonischer Funktionen wiederum eine harmonische Funktion darstellt. Daher sind selbstverstandlich auch

alle Vielfachen von 0 1/r harmonische Funktionen.

Hieraus leitet sich die Berechtigung ab, sogenannte Singularitaten zu definieren, deren Poten-tiale vom Typ 1/r sind, und aus solchen Singularitaten StrOmungsfelder aufzubauen.

Z 1

Q 61' r,7

Abb. 6. Lageskizze mit Quellpunkt und Aufpuukt.

Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen für schiffsiihnliche Korper 13 Beispielsweise ist das fiir den Aufpunkt P berechnete Potential einer im Quellpunkt Q ange-brachten Einzelquelle

(P) = 49t r (3.5)

mit E Quellergiebigkeit in m3/s

eine harmonische Funktion. Die zugeorclnete, radial, d. h. vom Quellpunkt zum Aufpunkt ge-richtete Geschwindigkeit folgt entsprechend

a 45 E

r 4 n r2 (3.6)

einem quadratischen Abstandsgesetz.

Zu Verallgemeinerungen des Begrfffs der Einzelquelle gelangt man, wenn man die Gesamt-ergiebigkeit langs einer Linie, iiber eine Flache oder innerhalb eines Volumens kontinuierlich verteilt. Im folgenden Zusammenhang sind besonders flachenhafte Quellbelegungen von Bedeu-tung, fiir die man die auf die Flacheneinheit bezogene Ergiebigkeit e (Dimension m/s) definiert. Da das einem Flachenelement d 0 der Belegungsschicht an der Stelle Q zugeordnete Potential im Aufpunkt P:

e(

d 0 (P) Q)d0

47c

ebenfalls ohne weiteres harmonisch ist, mull auch die der Gesamtflache 0 entsprechende, inte-oTierte Funktion

, f f (Q)d0

ki =

n r

diesen Charakter haben. Das einer flachenhaften Singularitiitenverteilung entsprechende Poten-tial vom Typ (3.8) liefert_also durchweg fiir die Beschreibung von PotentiaLstroraungen zulassige Funktionen.

Nun lautet die Aufgabe hier, die UmstrOmung eines gegebenen Karpers zu berechnen, d. h. diejeriige Quellbelegung der Korperoberflache zu suchen, die bewirkt, daB in einem gegebenen Stargeschwindigkeitsfeld mo (X, 17, Z) die resultierenden (auf den Betrag w, der Storgeschwin-cligkeit in groBer Entfernung bezogenen) GeschwinStorgeschwin-cligkeiten normal zur KOrperoberflache in alien ihren Punkten verschwinden:

I

wo

Zur resultieren.den Normalgeschwindigkeit tragt neben der Transportstromung (Normalkompo-nente woN) die von der KOrperquellbelegung herruhrende Normalkorripo(Normalkompo-nente im Aufpunkt bei, die aus zwei Summanden besteht :

1 0 ( 1 e (P)

wN _{= - ,777r-f f (0-0-77 + 2}

₌

0

1 1 e (P)

=

ff

wobei no (P) den auBeren Normaleinheitsvektor im Aufpunkt bezeichnet.

Der Integralausdruck entspricht der durch. Wirkung aller Quellelemente im Aufpunkt P auf der KOrperoberflache, also in der Belegungsschicht herrschenden Normalgeschwincligkeit. Wie sich zeigen Mt [26 bis 28], tritt bei Flitichenbelegungen beim Durchgang &arch die Belegungs-schicht em n Sprung der Normalableitungen des Potentials auf dergestalt, daB im AuBenfeld bei infinitesimaler Annaherung an die Belegungsschicht eine um E/2 hOhere Geschwindigkeit herrscht

als in der Schicht selbst. Daher mull aul3erdera der zweite Term in (3.10) beriicksichtigt werden. Fur die numerischen Berechnungen erweist es sich als vorteilhaft, das Doppelintegral iiber die Korperoberflache in (3.10) unter Benutzung der in (2.1) definierten climensionslosen Koordinaten durch die Transformation

dO I1 I B 2 "'21" -L '1'3 \ 2 ^'22 (0\ . 2 dFQ (3.11)

L "x k 2 T

'

mit dFQ dx' dz'

(3.7)

14 Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen für schiffsahnliche Korper

in em Integral in kartesischen Koordinaten umzuformen, wobei um alle Punkte der

Korper-oberflache zu erfassen die Mittschiffsebene als Integrationsbereich zweimal, namlich jeweils fiir die rechts und links von ihr liegenden Punkte der Oberflache zu durchlaufen ist. Symbolisiert man diesen Integrationsbereich FQ kurz durch die Grenzen bis +1 in Richtung beider Inte-grationsvariablen, so geht aus GI. (3.9) insgesamt folgende Bestimmungsgleichung fiir die

Quell-beleg-ung E hervor: +1 +1 z W N 0 woR (p) 1 + ° wo . 4 a

if

+

These Gleichung laBt sich in die iibersichtliche Form:

s (P)

f (Q)

EQ

bringen, wenn man die folgenden Abkarzungen :

2T r (P,Q) K 2 L LI2 (B y )2- 7/z2 (Q)= Kernfunktion (3.14) LI2 no (P) 4 n (7. (P'Q))3 V 1 + Yr' (Q) + 2w0 _{(P) 2 IN (P)} g (P) no (P) = Storfunktion (3.15) wo wo Yx (13); - 1; z(P)} 110 (1?) = = auBerer Normaleinheitsvektor, (3.16) 1/1+ (1)2- Yr° (P) + n7-B -Minuszeichen für y > 0, Pluszeichen für y < 0 r (P, Q) _Ix

_{x'; B (y}

=

In. axialer Anstromung too/wo = {1; 0; 0) erhalt man fiir die StOrfunktion insbesondere :

2 yx (P)

g (P) = (fiir y > 0) (3.15a)

y

I\2

B.2 (P)

+ 2 T

Das Problem, die GI. (3.13), eine sogen.annte Integralgleichung 2. Art fiir E, zu Risen, bei der das Verschwinden der Normalableitung dines Schichtbelegungspotentials auf der gegebenen Be-legungsflache gefordert wird, wird als 2. Randwertaufgabe (auch Neumannsche Randwertauf-gabe) der Potentialtheorie bezeichnet. Es hat eine reiche mathematische Literatur hervorge-bracht, und den Bemiihungen vieler namhafter Mathematiker ist der l3eweis zu verdanken, daB these Aufgabe für Korper, die iiberall eine eindeutig definierte Tangentialebene besitzen oder andere entsprechende Glattheitskriterienl erfiillen, stets eine eindeutig bestiramte Losung hat [26], [29].

Durch diesen Nachweis tritt die Eignung der Oberflachen- Quellbeleg-ungen fiir die Losung von Randwertaufgaben der vorliegenden Art klar zutage. Man mochte die Beziehung zwischen Flachenbelegung und Randwertaufgabe natarlich" nennen, mid es wird der grundsatzliche Unterschied gegeniiber denjenigen Verfahren deutlich, die mit Singularitatenverteilungen im

Korperinneren arbeiten mid die KorperumstrOmung d.urch den Kunstgriff erzeugen, die entstehen-den Grenzstromflachen als KOrperoberflache zu deuten. Bei diesen Methoentstehen-den kann der allgemeine Nachweis der Existenz von Losungen bei beliebig gegebener Korperform nicht gefiihrt werden.

3.2 LOsungsverfahren

Die Frage nach einem geeigneten Naherungsverfahren zur Losung der Integralgleichung (3.13) fiir den allgemeinen raumlichen Fall stellte sich praktisch erst in der jiingsten Vergangenheit, als

1 Beim Fehlen dieser Voraussetzungen stoat der Existenzbeweis auf groBe Schwierigkeiten. Von Pode [34] wurde jedoch am Beispiel der zweidimensionalen 2. Randwertaufgabe gezeigt, daB auch bei Anwendungen mit wesentlich geringeren Glattheitseigenschaften nocli eindeutig bestimmte Losungen vorliegen konnen.

Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen fur schiffsahnliche Korper 15

die erforderlichen umfangreichen Berechnungen nait Hilfe von Rechenautomaten durchfiihrbar wurden. Daher lagen dem Verfasser zu Beginn seiner Untersuchungen (1959) fur diesen Fall keinerlei in der Literatur niedergelegte Erfahrungen iiber. numerische LOsungsmethoden vor'. Allerdings hatten die Arbeiten von Riegels [30] mid Dr eg er [9] fiir den verwandten rotations-symmetrischen Fall die Eignung eines bestimmten Iterationsverfalu-ens erwiesen, mad der Ver-fasser hatte im Rahmen von Forschimgsarbeiten von A mt s b e rg [7] Gelegenheit, sich einen rberblick fiber die Eigenschaften theses Verfahrens zu verschaffen. Er brachte daher in einer 1960 veroffentlichten Studie [31] die Meimmg zum Ausdruck, das Iterationsverfahren sei auch für das raumliche Problem gut geeignet2.

Fur theses Verfahren wird die Integralgleichung (3.13) in the nachstehende, im raumlichen wie im rotationssymmetrischen Fall maBgebliche Iterationsfassung gebracht:

En+1 = g (P) f f en (Q) K (P, Q) dEQ (3.18)

FQ

Aus einer Naherung fur die Quellverteilung en (Q) wird also durch Integration iiber die Flache FQ eine verbesserte Naherung in den Aufpunkten P berechnet. Dies kann selbstverstandlich nur fur endlich viele Aufpunkte geschehen. Im nachsten Schritt werden die neu ermittelten Belegungen durch Interpolation zu einem Kontinuum erganzt und als Quellpunkte emeut in die Iterations-gleichimg eingefiihrt.

Da bekannt ist [31],,daB die Abweichungen der aufeinanderfolgenden Naherungen vom end-giiltigen LOsungswert int allgemeinen alternierencles Vorzeichen aufweisen, kann die Konvergenz dadurch wesentlich verbessert werden, daB man mit dem Mittelwert zwischen zwei solchen Naherungen weiterrechnet :

en +2(1) en+1(P) (P.)

2 ; En, en + wie oben.

Praktisch folgt dann immer eine Mittelwertbildung auf einen Integrationsschritt. Als Ausgangsnaherung eo wahlt man zweckmaBig [7] :

1

e0(P)=--g(P)

Dies ware die streng richtige LOsung, wenn in Gl. (3.13) der Integralausdruck ebenfalls gleich g (P)/2 ware, was nach bisherigen Erfahrungen eine meist recht gut zutreffende Ausgangsannahme darstellt.

Von besonderer Bedeutung fiir die Auswertung der Doppelintegrale ist die Tatsache, daB die Kernfunktion bei Zusammenriicken von Aufpunkt und Quellpunkt (Q > P; r 0) singular wird. Zwar kann man beweisen, daB the Kerne integrabel sind [33], d. h. daB der Wert des Doppel-integrals beschrankt bleibt, jedoch macht die Berechnung des Beitrags der Umgebung des singularen Punktes einige Schwierigkeiten.

Es besteht zunachst die Moglichkeit, bei der Integration em den shigularen Punkt P Q

um-gebendes, kkines Rechteck im Integrationsbereich auszunehmen mid das Integral im Innern durch Reihenentwicklung der Fun_ktion in den beiden Koordinatenrichtungen naherungsweise zu bestinamen. Die Umgebung des Aufpunkts

x x, sxsx

z zo z z zo

liefert zu dem in der Integralgleichung (3.13) auftretenden Doppelintegral, das aus den Integralen in (3.10) bzw. (3.12) durch Multiplikation mit Zwei hervorgegangen ist, den Beitrag:

w tp z+zo x+zo

2 eN ) 2

_j

wo _{ZZo XX0".}

1 Inzwischen sind durch eine Arbeit von Hess und Smith [32] aus dem Jahre 1962 die Ergebnisse einer

langjahrigen Entwicklung der Douglas Aircraft Co. bekamat geworden, die em a,ndersartiges Losungsverfahren mit ebenfa.11s sehr gutem Erfolg benutzt haben, auf des in Anhang 9.2 noch vergleichend eingegangen werden son.

2 Die Konvergertz eines solchen Iterationsverfahrens kann im Prinzip gefahrdet sein, wenn der Iterations-prozeB in die Mile von Eigenfunktionen der Lategralgleichung fiihrt. Diese Moglichkeit des Versagens der Iteration, die grundsatzlich noch genauer zu untersuchen ware, kommt aber wie die bisherigen Erfahrungen und.Uberlegungen gezeigt haben offenbar im vorliegenclen Fall der Umstromung einer einfach geschlossenen KOrperoberfliiche nicht in Betracht.

(3.19)

16 Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen fiir schiffsiihnliche KOrper

Die vom Verfasser durchgefiihrte Auswertung von GI. (3.21) bestatigt den beschrankten Cha-rakter des Integrals, ist jedoch für praktische numerische Berechnungen zu umstandlich, so daB von einer Wiedergabe des Resultats hier abgesehen wird.

Wegen dieser numerischen Schwierigkeiten wird im folgenden ein anderer Weg eingeschlagen. Bei der Bestimmung des Doppelintegrals von GI. (3.13) werden zunachst die inneren

Einfach-integrale

+1

E(z').= f e (Q) K (F, Q) dx' (3.22)

ausgewertet, wobei, urn alle Quellpunkte der KOrperbelegung zu erfassen, der Integrationsbereich

in der Mittschiffsebene (-1 x' +1) ein.mal fiir die rechts von dieser Ebene liegende Schicht

(y > 0; Steuerbord) und einmal fur die links davon liegenden Punkte (y < 0; Backbord) zu durchlaufen ist. These Integrale bleiben beschrankt, solange nicht z' = z. Bei der anschlieBenden Berechnung des auBeren Integrals iiber die E (z') muB daher em n schmaler Streifen Az', der die Singularitat enthalt, ausgespart werden (Abb. 7). Den Beitrag dieses Streifens kann man nahe-rungsweise aus den Funktionswerten am Streifenrand als Trapezflache berechnen, wobei der Gipfel der Singularitat abgeschnitten mid vernachlassigt wird. Der in der Vernachlassigung des Gipfels enthaltene Fehler laBt sich durch Auswertung der Integrale (3.21) abschatzen. Praktisch kann man bequemer und mit gewissem Recht die Trapezflache als MaB fiir den Beitrag des ver-nachlassigten Flachenteils ansehen. Dann ergibt sich die zulassige Breite des Streffens durch Probieren aus der Bedingung, daB der Anteil des Trapezes am gesamten Doppelintegral eine sehr niedrig gewahlte Grenze Offer etwa 1 %) an keinem Aufpunkt iiberschreiten soil, im vorliegenden Beispielfall zu 0,002.

z't

Abb. 7. Integrationsgrundbereich and Behandlung des eblgulliren Streifene.

3.3 Beispiel fur die Loswig der Integralgleichung der reinen Iiii*erumstromung

Der im Beispiel untersuchte Doppelkorper nach Abb. 5 besitzt eine Reihe spezieller Symmetrie-eigenschaften. Neben der Ublichen Backbord-Steuerbord-Symmetrie mid der Formgleichheit von Vor- und Hinterschiff ist durch die Spiegelung des Unterwasserschiffs an der Schwimmebene fer-ner rbereinstiramung zwischen Ober- mid Unterteil des DoppelkOrpers herbeigefiihrt worden.

Dadurch kOnnen die Berechnungen auf im positiven Oktanten (0 x

1; 0

y s 1;

0 z 1) angeordnete Aufpunkte beschrankt bleiben. Es werden also entsprechend einem

aqui-distanten Raster mit Ax = 0,125 mid Liz = 0,125 insgesamt 64 Aufpunkte untersucht, wobei die Linien x = 0 (Hauptspant) mid z = 1 (Kiel) auBer Betracht bleiben kOnnen, da dort die Losung bei AnstrOmung in Richtung der Korperlangsachse verschwindet, weil die StrOmung tangential zur Korperoberflache verlauftl.

Die am Heck infolge der spitz auslaufenden Wasserlinien auftretende scharfe Kante wird durch die -ifilfsannahme einer Abrundung von sehr kleinem, aber nicht unendlich kleinem Radius be-seffigt, um der Forderung nach Stetigkeit der Tangentialebene zu geniigen. Bei den numerischen

1 Wahrena die Belegung am Hauptspant unter den genannten Voraussetzungen exakt verschwindet, gilt

dies fur den Kiel nur dann mit zuldssiger Niiherung, wenn ferner der Schiffsboden wie im vorliegenden Bei-spiel in der Umgeburig des Kiels geniigend flach verlituft. Siehe hierzu die erganzenden Bemerkungen des Verfassers in der DiskusSibn zu seinem Vortrag (Jahrb. STG, 57.Bd., 1963).

vernachlassigier Eetirag

Potentialtheoretische Stromungs- and Sogberechnungen für schiffsahnliche Korper 17

Berechnungen muB man dann, urn zu dem richtigen Grenzwert der Quellbelegung bei Annaherung an das Heck zu gelangen, den Normalvektor des KOrpers nach den vor Eintritt in die Abrundung vorliegenden Verhiatnissen berechnen (s. Abb. 8).

Die Tab. 1 his 3 creben einen rberblick fiber den Ablauf

des Itera,tionsprozesses. Von der Ausgangsnalerung bis zur no (x -7-- Ih1)- no (x =1)

letzten. Naherung, die von der vorletzten durchweg nur noch geringfiigig abwich, waren 8 Iterationsdoppelschritte

x--6-1-1h1

no 1)

(Integration und Mittelwertbildung) erforderlich. Dabei sind diejenigen Punkte, die der Forderung nicht mehr als

einpro-zentiger Abweichung schon wiihrend des Iterationsprozesses x 1 x

geniigten, nicht weiter iteriert worden. Abrundung urspriinglicher

Auslauf

Der ganze KonvergenzprozeB ist durch em n sehr

gleich-mtiBiges Fortschreiten gekennzeichnet. Die graten Schwan- Ihl

kungen treten in der Nahe des Hecks auf, wie gemaB der dort

stark gekriimmten Korperform auch zu erwarten war. Doch Abb. 8. Behandlung des spitzen Auslaufs

konvergiert der ProzeB auch bier gegen einen stabilen End-wert. Im Bereich niedriger Absolutwerte der Belegung

treten prozentual gesehen ebenfalls graere Schwankungen auf, da eine geringe Belegungs-anderung in der Nachbarschaft auf cliese Punkte relativ stark einwirkt. Jedoch lassen sich im Prinzip auch these Anderungen herausiterieren, abgesehen davon, daB sie nach ihrem Betrag vollig unbedeutend sind..

Dem iiberwiegenden Anschein nach hat auch bei dem Vorgehen in Doppelschritten die Ab-weichung vom Iterationsendwert in zwei aufeinanderfolgenden Doppelschrittnaherungen alter-nierendes Vorzeichen. Jedoch bleibt these Regel in anderen Beispielen nicht vollig ohne Ausnah-men. Immerhin clbrfte eine weitere Mittelwertbildung die Konvergenz grundsZitzlich noch ver-bessern.

y - ((r)

am Hoek.

Fiir die Verbesserung der Konvergenz des Verfahrens kommen im Prinzip auch noch folgende MaBnahmen in Frage :

Die Iteration in Einzelschritten", bei der die fiir einen Aufpunkt gewonnene Losung un-mittelbar in das Quellpunktkontinuum eingefiihrt wird und so bereits die Berechnung fiir den folgenden Aufpunkt beeinfluBt.

In Verbindung mit MaBnahme 1. Iteration der Aufpunkte in der Reihenfolge der jeweils graten Abweichung zwischen zwei Niiherungen.

In Abwancllung von 1. mid 2. das Vorwegit,erieren wichtiger Teilbereiche (z. B. des Heck-bereichs) unter Festhaltung des iibrigen Bereichs, urn die grOBten Storungen vorweg auszugleichen. These MaBnahmen zur Konvergenzbeschleunigung sind im Rahmen anderer Beispiele bereits stichprobenweise untersucht worden mid sind bisher durchweg gunstig, jedoch noch nicht ab-schlieBend zu beurteilen.

SchlieBlich sind einige Bemerkungen fiber die numerische Auswertung der inneren Einfach-integrale für z' = const am Platze. Im Prinzip werden derartige Integrationen vom Rechenauto-maten meist nach der Simpsonschen Regel vorgenommen, wobei die Intervallanzahl automatisch so lange verdoppelt wird, bis der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Simpson-Nitherungsflachen ein gegebenes MaB nicht mehr iiberschreitet. Nun bleibt der Integrand des Einfachintegrals wegen z z' zwar durchweg beschrankt, erreicht jedoch in der Nithe des Anf-punktes sehr hohe Spitzenwerte und fait von diesen auBerordentlich steil zur Seite bin ab. Es ware daher nicht durchfiihrbar oder zumindest unzweckmaBig, die geringe Intervallbreite, die iin

Bereich des Funktionsgipfels notwendig ist, im Zuge der automatischen Intervallhalhierung auch in flachen Funktionsbereichen zur Anwendung zu bringen. Daher muBte em n besonderer Prog,ramm-teil entwickelt werden, der die SProg,ramm-teilheit der Funktion in der Nalie des Maximums untersucht und dementsprechend eine zweckma,Bige Vorunterteilung der Funktion in eine Anzahl von steileren und weniger steilen Bereichen vornimmt. Durch diese MaBnahme ist der Unterteilungsaufwand bei der Simpsonintegration an die geeigneten Steffen dirigiert mid damit bei gegebener Gesamt-genauigkeit wesentlich herabgesetzt worden.

Der Fehler der Quellbelegwag im Iterationsendergebnis läI3t sich angesichts der komplizierten Fehlerfortpflanzung natiirlich nicht direkt angeben. GewOhnlich nimmt man mit gewissem Recht

E rl terung : Es werden nach dem in der ersten Spalte erklarten Schema Funktionswerte r (x, z) = F (x, z) fiir alle Aufpunkte des Iterationsrasters angegeben, der aus M 8 Wasserlinien.und N = 8 Spanten besteht.

Die Zahlendarstellung jot halblogarithmisch, d. h. der Stellenwert ergibt sich durch Multiplikation der Mantisse

mit derlehnerpotenz, die der auf die tiefgesetzte 10 folgende Exponent angibt.

1 8 Potentialtheoretische Stromungs- mad Sogberechnungen fiir schiffsiihnliche Korper Tabelle 1

Naherungslosungen e (x, z) fiir die Quellbelegung des Korpers in axialer Translationsstromung (so bis e2)

31) ei N) 1* 8) 8) 1* 8) 8) ei 1* 8) 8) so 1* l*F (0,125;0 ) 2*1? (0,250; 0 ) 3*7 (0,375; 0 ) 4*F (0,500; 0 ) 5*1 (0,625; 0 ) 6*7 (0,750; 0 ) 7*7 (0,875; 0 ) 8*1 (1,000; 0 ) 1*-9.366557800,0_ 2*- 2.19912259510-0, 3*+2.267365296,0_0, 4*-1.52018641510-.0 5*- 7.36477071510-02 6*- 1.894107468_o 7*-3.646405424, 8*-5.67470860010-0, 1*-1.293550598/0, 2*-1.468015650/0-00 3*+1.032778356/0-0. 4*- 8.133139925/0_0, 5*- 8.01314644110_0, 5*-2.26623725410-0, 7*-4.52500745910-oi 8* -1.57362848010-. 1x-1.471957040m, 2*-J-1.01824611110-0, 3*+1.49907440810-0, 4*-3.298217598/0_,, 5*-8.04578772010-00 6*-2.394479512/0_0, 7*-4.923592647/0_,,, 8*-3.806030488N-0, 2* 2* 2* 2* l*F (0,125; 0,125) 1*-8.524344830/0-00 1* 1.166234818,, 1*- 1.32374318210-0, 2*1 (0,250; 0,125) 2*- 1.917201727/0_0, 2*±2.856227525w-0, 2*+1.52327487510_, 3*1? (0,375; 0,125) 3*+ 1.31803718910-0, 3*-i-8.974116890/o-03 3*+ 1.337841864/0_0, 4*1 (0,500; 0,125) 4* 1.731702320_,, 4* _{1.12460193910_o2} 4*- 6.895760135_o 5*7 (0,625; 0,125) 5*-7.597553985/0-0. 5*- 8.35544867510-0. 5*- 8.439984705/0_0, 6*1? (0,750; 0,125) 6*- 1.897120926, 6*-2.27181902710, 6*-2.40134775110-0, 7*1 (0,875; 0,125) 7*-3.614047374/0-0, 7*-4.47705184010_0, 7*-4.86968030310_0, 8*1 (1,000; 0,125) 8*-5.62714182010-0, 8*-1.56871328010-0, 8*- 3.71632734810_0, 3* 3* 3* 3* l*F (0,125; 0,250) 1*- 6.07074543010-00 1*-7.953707055/0-00 1*-8.90567809010-03 2*1 (0,250; 0,250) 2*-1.15839356810_0, 2*+1.45621194910_, 2*+2.8897936210, 3*7 (0,375; 0,250) 3*- 1.587307620/0_,, 3*+4.706101665/0-00 3*+ 8.44016271510_0, 4*7 (0,500; 0,250) 4*-2.366515056/0_., 4*-2.052580760/0-0, 4*-1.75814561910, 5*7 (0,625; 0,250) 5*- 8.28126433010_0, 5*-9.35290858510-02 5*-9.58415709010-02 6*1 (0,750; 0,250) 6*- 1.904337013,0_0, _{6*-2.28432627710-oi} 6*- 2.416365420,0_0, 7*F (0,875; 0,250) 7*3.51700514610, 7*-4.332496531/0_0, 7*-4.704953594/0, 8*1 (1,000; 0,250) 8*-5.48079973510_0, 8*- 1.680481928/0-0, 8*- 3.62662420710-0, 4* 4* 4* 4* l*F (0,125; 0,375) 1*- 2.246029421/0_0, 1*-2.173574203,0 1* -2.156821546,, 2*F (0,250; 0,375) 2*-2.114282700/0-00 2*+2.946011990/0-00 2*+4.632590408/0_0, 3*F (0,375; 0,375) 3*- 6.65034633510_0, 3*-2.6768467680, 3*-1.018331240/0_00 4*F (0,500; 0,375) 4*-3.42500092210-0, '4* -3.58836470610-o. 4*-3.522040948,0_0, 5*7 (0,625; 0,375) 5*- 9.36485524010_02 5* -1.091978153/0-0, 5*-1.137965374,0_. 6*1 (0,750; 0,375) 6* -1.90946764210-0, 6*-2.29242733010_0, 6*-2.427001029/ 7*F (0,875; 0,375) 7*-3.35432854010-0, 7*-4.085726021,0_0, 7*-4.426588353/0-.1 8*7 (1,000; 0,375) 8*- 5.224084775,0_0, 8*-2.33135257810, 8*-3.313952731/0-0, 5* 5* 5* 5* 1*7 (0,125; 0,500) 1*+2.458559921/0-00 1* +4.92928771010-00 1*+6.11862449001, 2*1 (0,250; 0,500) 2*+3.22766479310_., 2*+3.88485862910-00 2*+ 5.72675535510, 3*7 (0,375; 0,500) 3*- 1.432226367_,, 3*-1.368903594/0-00 3* -1.27362009810-.. 4*7 (0,500; 0,500) 4*-4.902039240/0, 4*-5.69789115510_0. 4*-5.92848120510-00 5*F (0,625; 0,500) 5*-1.072961776/0-0, 5*- 1.285286067/0-0, 5*- 1.357265474/0-0, 6*F (0,750; 0,500) 6*-1.898660747/0_0, 6*- 2.271998051/0-0, 6*-2.401854170/0, 7*7 (0,875; 0,500) 7*-3.120717577/0_., 7*- 3.72292010110_0, 7*-4.00841346310_0, 8*7 (1,000; 0,500) 8*-4.835113748/0-0, 8*-1.96949088710-0, 8*-3.21656079910_0, 6* 6* 6* 6* 1*7 (0,125; 0,625) 1*+7.058297230/0_0, 1*+1.185226303/0-00 1*+ 1.413278241/0_0, 2*1 (0,250; 0,625) 2*-7.88020305510_0, 2*-i-2.518779208m-00 2*+ 4.14550181510_0, 3*7 (0,375; 0,625) 3*-2.55277663010_0. 3*-2.942194149/0_0 3*- 3.06450215010-02 4*7 (0,500; 0,655) 4*- 6.74565530010-0, 4*-8.26037219510-0. 4*- 8.818467950/0_0, 5*7 (0,625; 0,625) 5* -1.20862609210-0, 5*-1.468393174,0_0, 5*- 1.562638021..,i 6*1 (0,750; 0,625) 6*- 1.842228913H-01 6*-2.177615049/0-0, 6* -2.288955898., 7*7 (0,875; 0,625) 7*- 2.79933890810-0, 7*-3.22035489210-0, 7*-3.42962294910, 8*7 (1,000; 0,625) 8*-4.27640713110-0, 8*-2.160399736/0_0, 8 * - 3.057688769/ 0_0,

Erla u ter u n g: Es werden nach dem in der ersten Spalte erklarten Schema Funktionswerte si (x,z) = F (x, z)

fur alle Aufpunkte des Iterationsrasters angegeben, der aus if = 8 Wasserlinien und N = 8 Spanten

be-steht. Die Zahlendarstellung ist halblogarithmisch, d. h. der Stellenwert ergibt sich durch Multiplikation der kantisse mit der Zehnerpotenz, die der auf die tiefgesetzte 10 folgende Exponent angibt.

Tabelle 2

Naherungslosungen (x, z) fur die Quellbelegung des Korpers in axialer Transiationsstromung (E3 bis 65)

Ei 8) s3 8) 8) 66 N) 8) 8) 8) 1* 1* 1* 1* l*F (0;125; 0 ) 2*F (0,250; 0 ) 3*1' (0,375; 0 ) 4*1' (0,500; 0 ) 5*F (0,625; 0 ) 6*1' (0;750; 0 ) 7*1' (0,875; 0 ) 8*1' (1,000; 0 ) 1*-1.557724609/0_0, 2*+1.76237302803 3*+1.766644647/0_0, 4*- 1.11534079010-04 5*-8.045787720/0-0, 6*-2.4201136932.0-01 7*-5.023285350,0_0, $* -2.475271559_,i 1*-1.60350971910-0, 2*+2.08369712510-0, 3*+1.89441464910-0, 4*+1.325448836/0_03 5*-8.04578772010-0, 6*-2.43900775610-0, 7*-5.09525247010_0, 8*-3.204588331/0-0, 1*-1.62606110610-0, 2*+2.26846335410-0, 3*+1.963050001/0_0, 4*+2.14256745810-03 5*-8.045787720/0_0, 6*- 2.439007756_,i 7*-5.11174997510_0, 8* -2.80216938010-0, 2* 2* 2* 2* 1*1' (0,125; 0,125) 1*--1.3990267820, 1*-1.43968126510_03 1*-1.45965796210-0, 2*1' (0,250; 0,125) 2*+2.30300631510_0, 2*+2.64293656410-0, 2*+2.83724343810-0, 3*F (0,375; 0,125) 3*+ 1.59461309910_0, 3*+ 1.717289251/0-0, 3*+1.78332209610, 4*1' (0,500; 0,125) 4*-3.95256458810-03 4*-2.63400726910-0, _{4*-1.87615583510-oa} 5*F (0,625; 0,125) 5*- 8.31536055010_02 5*-8.28120804010-0, 5*-8.28120804010-0. 6*1' (0,750; 0,125) 6*-2.42782431410-0, 6*-2.447-09150510-0/ 6*-2.447091505oa -01 7*F (0,875; 0,125) 7*-4.96630046410-0, 7*-5.037257235/0-0, 7*-5.052949560N-01 8*1' (1,000; 0,125) 8*-2.501463788,0_0, 8* 3.159395049_o 8*-2.79477502710_,,, 3* 3* 3* 3* 1*1' (0,125; 0,250) 1*-9.34628756010-0, 1* -9.597812665,, 1*-9.71973922510_0, 2*1' (0,250; 0,250) 2*+ 3.765970988,0_0, 2*+4.153935222/0_0, 2*-i-4.37173092010_03 3*1' (0,375; 0,250) 3*+1.06684599610-03 3*+1.172943089/0-0, 3*+1.23045823910-0, 4*1 (0,500; 0,250) 4*- 1.53457l244,, 4*- 1.43717457310-0. 4*- 1.379175953_e 5*1' (0,625; 0,250) 5* -9.53420832510, 5* -9.534208325,, 5*-9.53420832510-0, 6*F (0,750; 0,250) 6*-2.444580471/0-0, 6*-2.46462711510-0, 6*-2.46462711510-0, 7*1' (0,875; 0,250) 7*-4.792101340,0_o, 7* -4.859058860_,, 7*- 4.87293233930-0, 8*1' (1,000; 0,250) _{8*-2.527656016/0-0,} 8* --3.114203790,, 84-2.78738067310-0, 4* 4* 4* 4* 1*1' (0,125; 0,375) 1*- 2.156821546/0-0, 1* -2.15682154610-03 1*-2.15682154610-03 2*1' (0,250; 0,375) 2*+5.6360067950, 2*+6.08739896010-03 2*+6.337714090/0-0, 3*1' (0,375; 0,375) 3*+ 1.55046972810_0, 3*+2.32352371410-03 3*+2.786239762/0-oe 4*1' (0,500; 0,375) 4* -3.41137515010.02 4*-3.36932885510-0. 4*-3.33895995110-0, 5*1' (0,625; 0,375) 5*- 1.144308540_,, 5*-1.14430854010-0, 5*- 1.144308540,, 6*1' (0,750; 0,375) 6*-2.45658235810-0, 6*-2.477540943,0_0, 6*-2.477540943i0_0, 7*1 (0,875; 0,375) 7*-4.49565686410-0, 7*-4.55639747510-0, 7*-4.56602537210-0, 8*1' (1,000; 0,375) 8*-2.59975897610-., 8*-3.01343919010_0, 8* 2.770650599_,,

Potentialtheoretische StrOmungs- wad Sogberechnungen für schiffsahnliche Korper 19

Tabelle 1 (Fortsetzung) 7* 7* 7* 7* l*F (0,125; 0,750) 1*+9.27106898510-03 1*+1.50858440010-0, 1*+1.749217802/0_0, 2*F (0,250; 0,750) 2*-6.42510307010-0, 2*-4.83250640010-0, 2*- 4.38647281910-03 3*F (0,375; 0,750) 4*F (0,500; 0,750) 3*-4.17352958110-o.4*-8.584043355/0-o. 3*-5.08830031010-0,4*-1.062415744_ 3*- 5.4552163O0_, 4*- 1.138629998/0-0, 5*F (0,625; 0,750) 5*- 1.262804189_, 5*-1.515284003/0-0, 5*- 1.598427440/0_0, 6*F (0,750; 0,750) 6* -1.67166251410-0, _{6*-1.895323272w-ot} 6* -1.950254900/0-0, 7*F (0,875; 0,750) _{7*-2.34409598210-0,} 7*-2.48634015710-01 _{7*-2.57555679710-ot} 8*F (1,000; 0,750) 8*- 3.48201220210-0, 8*-4.53902024010-0, 8* 2.54913i567_,, 8* 8* 8* 8* l*F (0,125; 0,875) 1*+6.76311149010-0, 1*+1.136553526/0-0, 1*+ 1.267215053/0-0, 2*F (0,250; 0,875) 2* -1.47721583810-0, 2*-1.603258508/0-0, 2*- 1.74108701.610_0, 3*F (0,375; 0,875) 3*-4.86117105510_08 3*-5.794462260/0-0, 3*-6.152141455/0-0, 4*F (0,500; 0,875) 4*-7.92304085010_0, 4*-9.24453004010_0, 4*-9.596314565/0-0, 5*F (0,625; 0,875) 5* -1.02291748310-0/ 5*-1.12212962810-0, 5* -1.124237405,0_0, 6*F (0,750; 0,875) _{6*-1.24460785710-0,} 6* -1.215253289/0-0, 6*- 1.14381058510-0, 7*F (0,875; 0,875) 7*-1.63382364110-0, 7*-1.32026650510-01 7*- 1.20652802810-,, 8*F (1,000; 0,875) 8*-2.29926252110-0, 8*-1.490017746/0-0, 8*-1.82217394010-0,

20 Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen fiir schiffsalnliche Korper Tabelle 2 (Fortsetzung)

Tabelle 3

Naherungslosungen 6 (x z) fiir die Quellbelegung des Korpers in axialer Translationsstromung (so bis 4)

Erlauterung : Es werden nach dem in der ersten Spalte erklarten Schema Funktionswerte 6 (x,z)= F (x, z) far alle Aufpunkte des Iterationsrasters angegeben, der aus M = 8 Wasserlinien mid N 8 Spanten be-steht. Die Zahlendarstellung ist halblogarithmisch, d. h. der Stellenwert ergibt sich durch Multiplikation

der Maiatisse rait der Zeluierpotenz, die der auf die tiefgesetzte 10 folgende Exponent a,ngibt.

Ei 8) 68 8) 8) N) 8) 8) 8) 1* 1* 1* 1* l*F (0,125; 0 ) 2*1' (0,250; 0 ) 3*F (0,375; 0 ) 4*1' (0,500; 0 ) 5*1' (0,625; 0 ) 1*-1.63813037010-o. 2*+2.34508044510_0, 3*+ 1.99518014210-0, 4*+2.49014987410-.3 5*-8.04578772010-., 1* -1.63813037010-02 2*+2.85465330510_0, 3*+2.042634787m-,. 4*+2.944987027,0_0, 5*-8.045787720/0-0, 1*-1.63813037010-o. 2*+3.09480062810-03 3*+2.06428757410_0, 4*+3.13991128410-0, 5*-8.045787720/0-0, 6*1' (0,750; 0 _{6*-2.43900775610-01} 6* -2.439007756. 6*-2.439007756/0-.1 7F (0,875; 0 ) 8*1' (1,000; 0 ) 7*-5.11174997510-0, 8*-2.97853771410_0, 7*-5.111749975/0-0, 8*-2.90406567110_0, 7*-5.11174997510-0, 8*-2.95142863710-0, 2* 2* 2* 2* 1*F (0,125; 0,125) 1*- 1.47047344610-.. 1* -1.470473446,0_0, 1* -1.470473446/0-.. 2*1' (0,250; 0,125) 2*+2.918600736/0_0, 2*+3.42884118910-.3 2*+3.66893370710-0, 3*1' (0,375; 0,125) 3*+ 1.814180165/0-.2 3*+1.861466790/0_0, 3*+1.88301613810-0. 4*1' (0,500; 0,125) 4*-1.558206268/0_0. 4* -1.10912752410-0, 4*-9.174160520/0-0. 5*1' (0,625; 0,125) 5*-8.28120804010-0, 5*-8.28120804010_0, 5*-8.281208040/0-0, 6*1' (0,750; 0,125) 6*-2.44709150510-0i 6*-2.44709150510_0, 6*-2.44709150510-0, 7*1' (0,875; 0,125) 7*-5.052949560/0-0, 7*-5.052949560/0-oi 7*-5.052949560/0-01 8*1' (1,000; 0,125) 8* -2.965030208/0-01 8*-2.88540739510-o, 8*-2.932726416/0-01 5* 5* 5* 5* 1.*F (0,125; 0,500) 1*+6.75213100010-0, 1*+7.03105028010-., _{1*+7.176661980m-o,} 2*F (0,250; 0,500) 2*+6.808055700/0-0, 2*+7.296691720/0_o, 2*+7.566957020,0_0, 3*F (0,375; 0,500) 3*-1.188851265,0, 3*-1.15073012110-.2 3*- 1.127i71855_,. 4*F (0,500; 0,500) 4*-5.96350210510-0, 4* -5.96350210510-0, 4*-5.96350210510-.. 5*F (0,625; 0,500) 5*-1.37638914510-0, 5*-1.38809414910_0, 5*-1.388094149,0_0, 6*F (0,750; 0,500) 6*-2.42905597010-0, 6*-2.44903859510-0, 6*-2.44903859510-01 7*F (0,875; 0,500) 7*-4.047648456/0-0, 7*-4.047648456m-.2 7*-4.04764845610-0, 8*F (1,000; 0,500) 8*-2.597691906/0_0, 8*-2.91341938910-0, _{8*-2.73757986510-01} 6* 6* 6* 6* 1*F (0,125; 0,625) 1* +1.53037472910-0, 1*+1.58434820010-.. _{1*+1.61198543710-0.} 2*F (0,250; 0,625) 2*+5.120531260/0-03 2*+5.55349032010-0, 2* +5.79768406010-.. 3*F (0,375; 0,625) 3*-3.085428202/0_0, 3*-3.08542820210-02 3*-3.085428202m-o, 4*F (0,500; 0,625) 4*-9.01081619510-02 4*-9.11687857010-0, 4*9.16116791510-., 5*F (0,625; 0,625) 5*-1.591874688/0-0, 5*-1.60809831610_0, 5*-1.613847891/0_0, 6*F (0,750; 0,625) 6*-2.306543310, _{6*-2.306543310m-o.} 6*-2.306543310m-.1 7 *F (0,875; 0,625) 7*-3.42745631210-0, 7*-3.427456312/0-0, 7*-3.42745631210_0, 8*F (1,000; 0,625) 8*-2.56185112610-0, 8*-2.82729221810-0, 8* -2.674i83703_, 7* 7* 7* 7* 1 *F (0,125; 0,750) 1*+1.865970745/0-00 1*+1.91691993410-02 1*+1.94241606910-0. 2*F (0,250; 0,750) 2*-3.98068457410_0, 2*-3.82995544810-., 2*-3.71771457010_0, 3*F (0,375; 0,750) 3* -5.588845560_o 3*-5.65790661510-o, 3*-5.686824955/0-.. 4*F (0,500; 0,750) _{4*-1.16672625910-0,} 4*- 1.18i590538.., 4*- 1.188204413/0_0, 5*1' (0,625; 0,750) 5*-1.62120342810-0, 5* -1.63409849410_0, 5*-1.634098494/0-0, 6*1' (0,750; 0,750) 6*- 1.938104128/0_0, 6*-1.93810412810_0, 6*- 1.93810412810-0, 7 *F (0,875; 0,750) 7*-2.50648509710-0, 7*-2.511405008/0_0, 7*-2.51140500810-0/ 8*1' (1,000; 0,750)' 8*- 1.139932582_o 8*-2.07160614910-0, 8*- 1.462987765_o 8* 8* 8* 8* l*F (0,125; 0,875) 1*+1.31223250410_0, 1*+1.31867866110_,,, 1*+ 1.31867866110_0, 2*1' (0,250; 0,875) 2*-1.80681435810-0, 2*- 1.855392684_o 2*-1.88109304810-0. 3*F (0,375; 0,875) 3*-6.282723240,0_0, 3*-6.356891845/0-0, _{3*-6.393265725m-o.} 4*F (0,500; 0,875) 4*-9.66040864510-0, 4*-9.66040864510-02 4*-9.66040864510-0, 5*F (0,625; 0,875) 5*-1.12423740510-0, 5* 1.124237405_, _{5*-1.124237405m-o.} 6*1' (0,750; 0,875) 6*- 1.06514063510-.1 6*-1.033137788N-0, 6*-1.013349112/0_0, 7 *F (0,875; 0,875) 7*- 1.023047121/0_0, 7*-9.705746985/0_0, _{7*-9.273754730m-02} 8*1' (1,000; 0,875) 8*- 1.63476426810-., 8*- 1.74884909210-01 8*- 1.680912921_o

Erlauterung : Es werden nach dem in der ersten Spalte erklaxten Schema Funktionswerteei (x, z) = F (x, z)

für alle Aufpunkte des Derationsrasters angegeben, der aus M = 8 Wasserlinien und N = 8 Spanten besteht.

Die Zaldendarstellung ist halblogarithmisch, d.h. der Stellenwert ergibt sich durch Multiplikation der Mantisse

mit der Zehnerpotenz, die der auf die tiefgesetzte 10 folgende Exponent angibt.

Potentialtheoretische Stromungs- und Sogberechnungen für schiffsithnliche Korpei 21 Tabelle 3 Fortsetzung) 3* 3* 3 3* 1 *F (0,125; 0,250) 1*-9.78877000010, 1*-9.7887700000-03 _{1*-9.788770000,0-03} 2*F (0,250; 0,250) 2*+4.46639127010-33 2*+4.975709781,0-03 2*+5.214371750,0-03 3*F (0,375; 0,250) 3*+1.257444897,0, 3*+1.3030120700-0, 3*+1.323644367,0-0. 4*F (0,500; 0,250) 4* _{1.355493033_,z} 4*-1.314157131,0-03 4*- 1.296721633_, 5*F (0,625; 0,250) 5*-9.53420832510-03 5*-9.53420832510-0, 5* -9.534208325_. 6*1' (0,750; 0,250) 6*-2.464627115,0, 6*-2.464627115,0-0. _{6*-2.46462711510--.1} 7*1' (0,875; 0,250) 7*-4.87293233910, 7* - 4.872932339,0, _{7* -4.872932339_} 8*1' (1,000; 0,250) 8*-2.951522702, 8*-2.86674911810-0. _{8*-2.914024198,0,} 4* 4* 4* 4* l*F (0,125; 0,375) g*F (0,250; 0,375) 2*+ 6.447551640,0-031*-2.156821546,0-03 1*-2.156821546,0-032*+6.958221425,0_03 _{2*+7.195620325,0_03}1*-2.15682154610, 3*1' (0,375; 0,375) 3*+2.951476816,0-03 3*+3.38943131810-03 3*+3.585018704,0-.3 4*1' (0,500; 0,375) 5*1' (0,625; 0,375) 6*1' (0,750; 0,375) 7 *F (0,875; 0,375) 4*-3.338959951,0, 5*-1.144308540,0, 6*-2.477540943,0-0. 7*-4.56602537210-0. 4*-3.33895995110 , 5* 1.i4430854010_,1 6*-2.4775409430, 7* -4.56602537210-0. 4*-3.338959951,0, 5*- 1.144308540,0-0. 6* -2.47754094310, 7* -4.566025372_, 8*1' (1,000; 0,375) 8* -2.902108950,0, 8*-2.8287102310-0. _{8*-2.869285934,0,} 5* 5* 5* 5* 1 *F (0,125; 0,500) 1*+7.239585705,0_03 1*+7.23958570510, 1*+7.239585707,0-03 2*1' (0,250; 0,500) 2*+7.686272305,0_03 2*+8.198357135,0-03 2*+8.432952270H.3 3*1' (0,375; 0,500) 4*1' (0,500; 0,500) 3* -1.117220577_4*-5.96350210510-03 3*-1.11722057710-034*-5.963502105,0-02 3*-1.11722057710,4* -5.963502i0510_,1 5*F (0,625; 0,500) 6*1' (0,750; 0,500) 7 *F (0,875; 0,500) 5*-1.388094149/0--01 6*-2.449038595,0, 7*-4.04764845610, 5*- 1.388094149,0-0. 6*-2.44903859510, 7,3-4.047648456,0, 5*-1.388094149,0, 6*-2.449038595,0, 7*-4.047648456,0-0. 8 *F (1,000; 0,500) 8*-2.83333702510, 8*-2.7-7737916910-0. 8* _{2.809633371_} 6* 6* _{6* 6*} 1 *F (0,125; 0,625) 2*1' (0,250; 0,625) 3*1' (0,375; 0,625) 1*+1.62474830810, 2*+5.905204235,0-03 3*-3.085428202n-o, 1*+1.62474830810-0. 2* + 6.42114140810-03 3* _{3.085428202_o} 1*+1.624748308,0, 2*+6.650994955_io-08 3*-3.085428202,0_03 4*1' (0,500; 0,625) 4*-9.16116791503 4* -9.16116791510-03 4* -9.161167915,0-0, 5*1' (0,625; 0,625) 6*1' (0,750; 0,625) 5*- 1.613847891,0,6* -2.306543310_ 5*-1.61384789110-006* 2.3065433i010_0, 5*-1.6138478916 *-2.30654331010-0.3.0-., 7 *F (0,875; 0,625) 7* _{3.427456312_o 7*-3.427456312,0-0. 7*-3.427456312,0_0.} 8*1' (1,000; 0,625) 8*-2.764913333,0-00 8*-2.706908347,0-0. 8*-2.740850136,0, 7* 7* 7* 7* 1 *F (0,125; 0,750) 2*1' (0,250; 0,750) 3*1' (0,375; 0,750) 4*1' (0,500; 0,750) 5*1' (0,625; 0,750) 6*1' (0,750; 0,750) 7*1' (0,875; 0,750) 1*+1.953837477,0-03 2*-3.672277065,0_03 3* -5.686824955,0_0. 4*-1.18820441310-0. 5*-1.634098494io-n 6*-1.938104128,0-0. 7*-2.51140500810, 1*+1.95383747710-.3 2*-3.13640089810, 3*-5.68682495510-03 4*-1.188204413,0, 5*-1.63409849410, 6*- i.93810412810.. 7*-2.51140500810-0. 1*+1.95383747710, 2*-2.912104819,0, 3*-5.6868249550, 4* - 1.18820441310-01 5*- 1.634O98494_ 6*-1.938104128,0, 7*-2.511405008,0-0, 8*1' (1,000; 0,750) 8* -1.856222734,0, 8*- 1.601266783,0, 8*-1.76536029810, 8* 8* 8* 8* l*F (0,125; 0,875) 2*1' (0,250; 0,875) 2*+1.897576393,0-031*d-1.31867866110, 2*-1.89757639310-001*+1.31867866110-03 1*-+11.. 3.83917856776869631110;_o0: 3*1' (0,375; 0,875) 4*F (0,500; 0,875) 5*1' (0,625; 0,875) 6*1' (0,750; 0,875) 7 *F (0,875; 0,875) 8*1' (1,000; 0,875) 3*-6.393265725,0-03 4*-9.660408645,0-03 5* 1.124237405_ 6* 1.006907636_, 7*-9.197411055,0, 8*- 1.726508470_,i 3*-6.393265725,0-0. 4*-9.660408645,0-0. 5*-1.12423740510-01 6*- 1.006907636,0, 7*-9.19741105510-0. 8*- 1.696274376,0-0. 3*-6.393265725,0, 43N-9.66040864510-0= 5*- 1.124237405,0, 6*-1.006907636,0-0. 7*-9.1974110551.0-0. 8*- 1.714937788,i