praktyczne zastosowanie

(1)

97

Elektronika Praktyczna 2/2006

K U R S

Ponieważ algorytm FFT jest po-wszechnie stosowany w programach do analizy układów elektronicznych [2] oraz we współczesnych oscylo-skopach cyfrowych, niezbędna dla każdego elektronika staje się podsta-wowa wiedza, pozwalająca na zro-zumienie znaczenia poszczególnych parametrów modyﬁkujących działa-nie algorytmu szybkiej transforma-ty Fouriera.

W cyklu trzech artykułów przed-stawione zostaną problemy pojawia-jące się podczas stosowania DFT, jej pochodzenie i podstawy teore-tyczne. Na zakończenie omówione będą przykłady realizacji praktycz-nej dyskretnego przekształcenia Fo-uriera z zastosowaniem ogólnie do-stępnego oprogramowania.

Metody analizy widma

Klasyczne analizatory widma działają w oparciu o metodę wobu-lacyjną, polegającą na przestrajaniu lokalnego generatora wzorcowego (najczęściej jest to syntezer często-tliwości) i analizę widma w oparciu o proces przemiany częstotliwości. Schemat blokowy takiego analizato-ra, przedstawiony na rys. 1, przypo-mina odbiornik superheterodynowy.

W efekcie przemiany częstotliwo-ści, w takt zmian częstotliwości ge-neratora przestrajanego, sygnał wej-ściowy jest przesuwany względem stałej częstotliwości środkowej ﬁl-tru pasmowo przepustowego o bar-dzo wąskiej charakterystyce przeno-szenia. Upraszczając mocno sprawę, można stwierdzić, że jeśli w sygna-le wejściowym znajdują się składo-we częstotliwościoskłado-we mieszczące się w paśmie przenoszenia ﬁltra,

detek-Dyskretne przekształcenie

Fouriera,

część 1

Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete Fourier Transform) jest, obok procedur ﬁltracji cyfrowej, jednym z podstawowych, a zarazem najbardziej skutecznych narzędzi cyfrowego przetwarzania sygnałów. Poza istotnym znaczeniem teoretycznym DFT odgrywa ważną rolę w zagadnieniach

związanych z układowymi realizacjami różnorodnych algorytmów przetwarzania sygnałów. Wynika to z istnienia bardzo wydajnego algorytmu obliczania dyskretnej transformaty Fouriera, zwanego szybką transformatą Fouriera FFT (Fast Fourier Transform).

tor je wykrywa i na ekranie pojawia się odpowiedni prążek.

Klasyczne analizatory widma do-konują więc rzeczywistego pomiaru widma analizowanego sygnału sto-sując metodę pośrednią. Istnieją też rozwiązania oparte o metodę bezpo-średnią wykorzystujące odpowiednie banki ﬁltrów. Drugą grupę analiza-torów stanowią urządzenia badają-ce widmo w oparciu o operacje ma-tematyczne wykonywane na prób-kach zmierzonego sygnału wejścio-wego. Te operacje to ciąg obliczeń realizowany wg algorytmu FFT, czy-li wydajniejszej obczy-liczeniowo imple-mentacji DFT [1]. Olbrzymi przyrost mocy obliczeniowej, który dokonał się w ostatnich latach, pozwolił na zastosowanie techniki FFT jako opcji praktycznie we wszystkich współ-czesnych oscyloskopach cyfrowych. Jest to zjawisko o tyle naturalne, że w układzie takiego oscyloskopu musi nastąpić cyfryzacja sygnału wejścio-wego przed jego wizualizacją. Sko-ro więc w pamięci pojawia się sy-gnał wejściowy w postaci cyfrowej, nic nie stoi na przeszkodzie, żeby poddać go różnorodnym procedurom CPS obliczającym m.in. jego wartość średnią, skuteczną, międzyszczytową i oczywiście reprezentację widmową.

Termin cyfrowe przetwarzanie sygnałów – CPS (DSP – Digital

Si-gnal Processing) [3, 4] pojawia się coraz częściej w wielu, często za-skakujących kontekstach, warto więc w tym miejscu uściślić, co kryje się pod tą nazwą. Pod pojęciem sygna-łu rozumiemy pewną wielkość, któ-ra na ogół ulega zmianom w czasie. Sygnałem może być więc tempera-tura, prędkość, natężenie oświetle-nia itp. Klasycznie sygnał przedsta-wiany jest w postaci graficznej jako pewna funkcja czasu. Wymienio-ne sygnały opisują procesy fizyczWymienio-ne o naturze ciągłej, co powoduje, że ich charakter musi być analogicz-ny, czyli ciągły w czasie i wartości. Z tego powodu sygnały takie nazy-wane są analogowymi – są bezpo-średnią analogią opisywanej przez nie wielkości fizycznej.

Przetwarzanie takich sygnałów jest utrudnione, gdyż układy ana-logowe używane do tego celu są wrażliwe na zmiany temperatury, starzenie się elementów i wiele in-nych czynników zakłócających, ta-kich jak np. szumy czy tętnie-nia sieci zasilającej. Stosując ukła-dy analogowe, nie jesteśmy w sta-nie zapewnić absolutnej powtarzal-ności przetwarzania.

Sygnały cyfrowe, to sygnały, któ-rych amplituda jest zdeﬁniowa-na wyłącznie w określonych chwi-lach (są to więc sygnały dyskretne w czasie) i przedstawiana w postaci liczb o skończonej precyzji. Sygna-ły cyfrowe są więc dyskretne rów-nież w amplitudzie1_{. Określenie}

cy-frowe pochodzi właśnie od zapi-su kolejnych dyskretnych wartości chwilowych w postaci cyfr. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów można więc zdeﬁniować jako analizę lub

(2)

98

K U R S

kształcenie informacji przedstawionej w postaci ciągu liczbowego. Przetwa-rzanie cyfrowe, poza wieloma in-nymi zaletami wynikającym z moż-liwości bezpośredniego zastosowania komputera, zapewnia pełną powta-rzalność przeprowadzonej analizy.

Porównując współczesne analiza-tory widma, można ogólnie stwier-dzić, że rozwiązania bazujące na FFT zapewniają lepszą dokładność pomiaru amplitudy, lepszą rozdziel-czość częstotliwościową i większą szybkość pomiaru. Słabą stroną ana-lizatorów „matematycznych” jest gor-sza niż w analizatorach „przemiatają-cych” dokładność pomiaru częstotli-wości. Niebagatelną cechą analizato-rów klasycznych jest ich olbrzymia cena – kupując oscyloskop z wbu-dowanym modułem FFT, analizator widma mamy niejako za darmo.

Użytkownik nowiutkiego oscy-loskopu cyfrowego z modułem FFT zachęcony reklamami i, rzecz

ja-Rys. 3. Zniekształcenie sygnału wej-ściowego na skutek wycięcia za po-mocą okna prostokątnego

Rys. 2. Przebieg czasowy sygna-łu harmonicznego o częstotliwości 50 kHz (a) i otrzymane widmo (b)

sna, faktycznymi potrzebami włącza oscyloskop i przystępuje do pomia-ru tzw. widma [5]. Pójdźmy tym tropem i zmierzmy widmo czyste-go sygnału harmoniczneczyste-go o często-tliwości np. 50 kHz. Spodziewamy się oczywiście pojedynczego prążka na częstotliwości 50 kHz.

Po podaniu na wejście oscylosko-pu odpowiedniego sygnału otrzymu-jemy oscylogram przedstawiony na rys. 2a. Wybieramy z grupy funkcji matematycznych FFT i otrzymujemy widmo pokazane na rys. 2b.

Rezultat eksperymentu w żaden sposób nie przypomina pojedyncze-go prążka, aczkolwiek zauważamy maksimum energii na właściwej czę-stotliwości. Okazuje się, że otrzyma-ny wynik jest prawidłowy (!), tzn. nie jest rezultatem wadliwego dzia-łania sprzętu. Przed rozpoczęciem pomiarów i próbą interpretacji wyni-Rys. 4. Przypadek całkowitej liczby okresów w prostokątnym okienku wy-cinającym sygnał

Rys. 5. Przebieg czasowy sygnału harmonicznego po korekcie podsta-wy czasu (a) i otrzymane widmo (b)

Rys. 7. Charakterystyki czasowe i czę-stotliwościowe najczęściej stosowa-nych funkcji okien: a). okno prosto-kątne, b). okno Hanninga (inaczej podniesionego cosinusa, zwane czę-sto oknem Hanna), c). okno Flat Top Rys. 6. Proces „okienkowania” sygna-łu wejściowego

ków musimy uświadomić sobie, co właściwie mierzymy?

Oryginalne zależności Fouriera operują na nieskończonych sygna-łach czasowych i wówczas dla sy-gnału harmonicznego otrzymujemy – tak jak w rzeczywistości – poje-dynczy prążek. W przypadku uru-chomienia algorytmu DFT dysponu-jemy zaledwie fragmentem sygnału ograniczonym pewnym oknem

pro-a

b

a

b

a

c

(3)

99

K U R S

Rys. 8. Efekty zastosowania różnych funkcji okien: a). okno prostokątne, b). okno Hanninga, c). okno Flat Top stokątnym2_{o długości N, a}

otrzy-mane widmo jest widmem sygna-łu złożonego z periodycznie powta-rzającego się wycinka, co pokazano na rys. 3. Ponieważ wycinek sy-gnału zaczyna się i kończy bardzo gwałtownie jego widmo ulega istot-nej modyﬁkacji. Szczegółowy i bar-dzo przystępny opis tego zjawiska jest przedstawiony w [3].

Analizując sytuację przedsta-wioną na rys. 3, możemy dojść do wniosku, że gdyby „wycinany” frag-ment sygnału zawierał całkowitą liczbę okresów – efekt zniekształ-cenia nie powinien wystąpić. Przy-padek taki zilustrowany jest na rys. 4.

Jeśli więc sygnał wyświetlany na ekranie oscyloskopu – który deﬁniu-je nasze okienko czasowe – będzie zawierał całkowitą liczbę okresów, to cykliczne powtarzanie takiego wycin-ka da w efekcie sygnał taki sam jak oryginalny sygnał wejściowy. W każ-dym innym przypadku pojawią się zniekształcenia przypominające modu-lację, a właściwie manipumodu-lację, fazy. Regulując podstawę czasu oscylosko-pu, otrzymujemy oscylogram i widmo przedstawione na rys. 5.

Rys. 9. Efekty zastosowania różnych funkcji okien obserwowane w szer-szym spektrum: a). okno prostokątne, b). okno Hanninga, c). okno Flat Top

Rys. 10. Ilustracja zjawiska aliasin-gu (skala zobrazowania liniowa, za-kres: 0...100 kHz). a). fwe = 50 kHz lub fwe = 150 kHz, b). fwe = 90 kHz, c). fwe = 130 kHz, d). fwe = 170 kHz Zwróćmy uwagę, że

jednocze-śnie zmieniła się częstotliwość próbkowania, która jest skorelowa-na z podstawą czasu. Wynika to z faktu, że w prostych oscylosko-pach cyfrowych przyjęto stałą licz-bę próbek rozkładaną równomier-nie na cały ekran (standardowo 10 działek). Stosowany praktycznie al-gorytm FFT operuje na liczbie pró-bek będącej całkowitą potęgą licz-by 2. Przyjmując, podobnie jak np. w oscyloskopie Agilent 54621A, liczbę próbek równą 211_{= 2048,}

okres i częstotliwość próbkowania możemy wyrazić jako

gdzie a [s/dz.] oznacza podstawę czasu oscyloskopu.

Zatem w rozważanym przypad-ku częstotliwość próbkowania wyno-si w przybliżeniu 20 MHz. W związku z tym – co będzie wyjaśnione szcze-gółowo w kolejnych częściach cyklu – maksymalna częstotliwość możliwa do obserwacji jest określona zależnością

a rozdzielczość częstotliwościowa wynosi

Wynik otrzymany na rys. 5 jest jak najbardziej zadowalający, ale spryt, którym się wykazaliśmy nie na wiele nam się przyda. Nie mo-żemy zawsze ustawiać całkowi-tej wielokrotności okresu na ekra-nie, jeśli sygnał jest złożony, a je-go zwartość widmowa nie jest zna-na – przecież dopiero chcemy ją określić. Efekt, który obserwujemy, nosi nazwę przecieku i chociaż po-każemy pewne środki zaradcze mi-nimalizujące go, przecieku nie moż-na wyeliminować całkowicie. (1.1) (1.2) (1.3)

b

a

c

b

a

c

b

a

c

d

(4)

100

K U R S

Okienkowanie sygnału

Skoro nieciągła zmiana sygnału na krańcach przedziału próbkowania jest powodem przecieku, to lekarstwem będzie wycinanie sygnału za pomo-cą okna o łagodnych zboczach. Mno-żąc ciąg wejściowy przez funkcję tego typu, powodujemy, że wartości sygna-łu wynikowego stają się takie same na początku i końcu przedziału próbko-wania. Jednocześnie okienkowanie re-dukuje moc sygnału i w konsekwen-cji zmniejsza też amplitudy wszystkich prążków widma, przy czym, ze wzglę-du na łagodne „wygaszenie” sygnału na końcach, minimalizuje najbardziej jego składowe wysokoczęstotliwościowe powodujące przeciek. Istotę okienkowa-nia ilustruje rys. 6.

W praktyce wykorzystuje się kilka typowych funkcji, do których należą m.in.: okno prostokątne, okno Hannin-ga i tzw. okno Flat Top (maksymalnie płaskie3_{). Przebiegi czasowe i widma} wymienionych funkcji przedstawione są na rys. 7. Każde z okien ma

cha-rakterystyczne właściwości, które najle-piej poznamy, eksperymentując z wyko-rzystaniem algorytmu szybkiej transfor-maty Fouriera.

Ogólnie można stwierdzić, że wybór okna stanowi pewien kompromis mię-dzy szerokością listka głównego, pozio-mem pierwszego listka bocznego i szyb-kością malenia poziomu listków bocz-nych ze wzrostem częstotliwości. Inny-mi słowy, chodzi o komproInny-mis Inny-między dokładnością w określaniu amplitudy i częstotliwości – jak wcześniej wspo-mniano okienkowanie fałszuje ampli-tudę sygnału. W porównaniu z oknem prostokątnym, które z reguły traktowa-ne jest jako odniesienie, okno Hannin-ga zapewnia lepszą rozdzielczość czę-stotliwościową kosztem pewnego pogor-szenia dokładności pomiaru

amplitu-dy. Z kolei okno Flat Top, dzięki pła-skiemu fragmentowi podstawowej linii widmowej, poprawia dokładność okre-ślania amplitudy kosztem pogorszenia dokładności pomiaru częstotliwości.

Wróćmy do sytuacji początkowej i wypróbujmy na naszym sygnale róż-ne funkcje okienkujące. Wyniki takiego eksperymentu pokazane są na rys. 8.

Efekty zastosowania różnych okien czasowych jeszcze wyraźniej zobaczy-my, rozszerzając zakres częstotliwości, w którym obserwujemy widmo. Usta-wiając zakres na 5 MHz i częstotliwość środkową na 2,5 MHz otrzymujemy zo-brazowania pokazane na rys. 9.

Porów-nując rysunki 7 i 9, możemy się naocz-nie przekonać, że w istocie DFT bada-nego sygnału nie jest faktycznie trans-formatą tegoż sygnału, a jedynie aprok-symacją splotu jego rzeczywistej trans-formaty z transformatą funkcji okienku-jącej sygnał.

Aliasing, czyli nakładanie się

widma

Przeprowadzając analizę widma za pomocą procedur FFT, musimy pa-miętać o konsekwencjach twierdzenia o próbkowaniu. Rozważymy to szcze-gółowo w drugiej części cyklu, w tej chwili przyjmując jedynie do wiadomo-ści, że maksymalna częstotliwość zawar-ta w widmie sygnału poddawanego ana-lizie nie może być większa od połowy częstotliwości próbkowania. W przeciw-nym przypadku nastąpi efekt „zawinię-cia” widma i poważnego zafałszowania wyniku pomiaru. Jedynym sposobem na eliminację tego zjawiska jest zastosowa-nie odpowiedzastosowa-niego ﬁltru antyaliasingo-wego, ograniczającego widmo sygnału poddawanego próbkowaniu.

Przetestujmy niebezpieczeństwo zwią-zane z aliasingiem, obniżając częstotli-wość próbkowania do 200 kHz4_.

Zgod-nie ze wzorem (1.1) częstotliwość prób-kowania regulujemy, zmieniając podsta-wę czasu oscyloskopu. Ustawiamy za-kres obserwowanych częstotliwości na 100 kHz i przestrajamy generator sy-gnałowy w granicach 50...200 kHz. Przy zwiększaniu częstotliwości sygnału wej-ściowego, dopóki nie przekracza ona fs/ 2 = 100 kHz, prążek prawidłowo przesu-wa się w prawo. Następnie, po przekro-czeniu 100 kHz, zaczyna przesuwać się z powrotem w lewo i przy 150 kHz krywa się z prążkiem wynikającym z po-dania na wejście sygnału o częstotliwo-ści 50 kHz. Kilka przykładowych zrzu-tów z ekranu oscyloskopu przedstawio-no na rys. 10.

Andrzej Dobrowolski

elka.wel.wat.edu.pl/~adobrowolski/

Literatura

1. Cooley J., Tuckey J., „An algorithm for the machine computation of complex Fourier series”, Math. Comput., vol. 19 (90), 1965 2. Dobrowolski A., „Pod maską SPICEa.

Meto-dy i algorytmy analizy układów elektronicz-nych”, BTC, Warszawa, 2004

Lyons R. G., „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 1999

3. Oppenheim A. V., Schafer R. W., „Cyfro-we przetwarzanie sygnałów”, WKŁ, Warsza-wa, 1979

Szabatin J., „Podstawy teorii sygnałów”, WKŁ, Warszawa, 2000

1_{Wątek ten rozwiniemy w drugiej części cyklu.} 2_{Okno prostokątne jest wektorem złożonym}

z N jedynek. Reszta wyrazów jest zerowa.

3_{W dziedzinie częstotliwości.}

4_{W literaturze angielskojęzycznej często}

ope-ruje się jednostką Sa/s, którą należy in-terpretować dosłownie − jako liczba pró-bek (Sample) pobranych w ciągi sekundy.

W rozważanym przypadku 200 kHz ozna-cza więc 200 kSa/s.