Modelowanie dynamiki populacji w mutacyjnym algorytmie ewolucyjnym.

WAE

Jarosław Arabas

Analiza i modelowanie

dynamiki populacji

Ewolucja algorytmiczna a

biologiczna

Osobnik

Genotyp

Fenotyp

Przystosowanie

?

Gatunek

Mutacja

Crossover

?

“Osobnik”

Punkt w przestrzeni

przeszukiwań

●

Punkt w przestrzeni cech

●

Wartość funkcji celu

●

Dodatkowe parametry

●

Populacja punktów

“Mutacja”

●

“Krzyżowanie”

Ślad populacji Wariancja populacji

Dynamika populacji – mutacyjny AE

Pewna liczba punktów nie ma potomstwa

Niektóre punkty mają wiele potomków

Każdy potomek jest mutantem rodzica

Dynamika populacji – mutacyjny AE

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wartość a_t nie zależy od t dla reprodukcji opartej na rangach P-stwo że dwa punkty

z Pt+1 _{mają wspólnego}

rodzica

a

=

∑

μ

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

P-stwo że dwa punkty z Pt+1 _{mają wspólnego}

przodka k generacji temu

a(1−a)

Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

P-stwo że dwa punkty z Pt+1 _{mają wspólnego}

przodka k generacji temu

a(1−a)

Wariancja różnicy punktów

mających najbliższego przodka k generacji temu

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

V [ P

−

P

]=

lim

∑

2k a(1−a)

v

dwoma dowolnymi osobnikami jest podwojoną wariancją populacji

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Wariancja równowagowa

populacji jednowymiarowej

v

=

lim

∑

k a(1−a)

v

=

1

a

v

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Różnorodność równowagowa

Selekcja progowa

Selekcja turniejowa

Selekcja proporcjonalna

a=

1

θ⋅μ

v

=

1

a

v

a≈

s

μ(2s−1)

a≈

_{μ (1+ v}

1

/(

m

)

)

Ewolucja populacji

Populacja jako gatunek może być

charakteryzowana poprzez

●

Położenie swojego “środka” - reprezentanta

gatunku

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Powyższy wzór jest prawidłowy przy założeniu niezależności p-stwa wyboru rodzica jednego punktu od rodzica drugiego punktu

Wariancja równowagowa

populacji jednowymiarowej

v

=

1

a

v

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wykres korelacji

wartości funkcji celu dzieci i rodziców

Założenie o niezależności spełnione w przybliżeniu

Założenie o niezależności niespełnione

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wartość średnia położenia punktów populacji

W ar ia nc ja p oł oż en ia p un kt ów p op ul ac ji po dz ie lo na p rz ez w ar ia nc ję m ut ac ji

v

=10

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wartość średnia położenia punktów populacji

W ar ia nc ja p oł oż en ia p un kt ów p op ul ac ji po dz ie lo na p rz ez w ar ia nc ję m ut ac ji

v

=10

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wartość średnia położenia punktów populacji

W ar ia nc ja p oł oż en ia p un kt ów p op ul ac ji po dz ie lo na p rz ez w ar ia nc ję m ut ac ji

v

=5

Od genealogii do różnorodności –

mutacyjny AE

Wartość średnia położenia punktów populacji

W ar ia nc ja p oł oż en ia p un kt ów p op ul ac ji po dz ie lo na p rz ez w ar ia nc ję m ut ac ji

v

=5

Algorytm ewolucyjny

w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny

w stanie równowagi

●

Przez wiele pokoleń populacja fluktuuje w tym

samym obszarze przestrzeni przeszukiwań

●

Modelujemy populację jak gdyby była zbiorem

realizacji zmiennej losowej o niezmiennym

rozkładzie, zwanym rozkładem próbkowania

●

Założenie upraszczające – zajmujemy się

wartością oczekiwaną i wariancją zmiennej

losowej generującej populację

●

Dodatkowe uproszczenie – badamy wartości

Algorytm ewolucyjny

w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny

w stanie równowagi

Algorytm ewolucyjny

w stanie równowagi

Model “populacji nieskończonej”

●

Liczebność populacji dąży do nieskończoności

Dystrybuanta empiryczna populacji dąży do

Model “populacji nieskończonej” –

mutacyjny AE

●

gęstość p-stwa rozkładu próbkowania

gęstość p-stwa rozkładu po reprodukcji

gęstość p-stwa rozkładu po reprodukcji i

mutacji

●

Zapis wartości oczekiwanej i wariancji

f

f

f

=

f

∗f

m

=

m

v

=

v

+

v

Model “populacji nieskończonej” –

rozkład punktów po reprodukcji

m

=

m

v

+

m

v

v

+

v

v

=

v

v

v

+

v

Model “populacji nieskończonej” –

rozkład punktów po reprodukcji

v

=γ (

s) v

γ (

s)=

∫

4s

π y

(

1+ erf ( y))

exp(− y

)

dy

γ (

2)=1−

_π

2

Model “populacji nieskończonej” –

rozkład punktów po reprodukcji

v

=(1−

2 α(θ)

_θ

)

v

α(θ)=Q (

θ+

1

2

)

g(Q (

θ+

1

2

))

Model “populacji nieskończonej” –

dynamika zmian środka populacji

m

=

m

v

+

m

v

v

+

v

v

=

v

v

v

+

v

m

=

m

wartości oczekiwanej populacji

Równania dla

Model “populacji nieskończonej” –

dynamika zmian różnorodności

m

=

m

v

+

m

v

v

+

v

v

=

v

v

v

+

v

v

=

v

+

v

Model “populacji nieskończonej” –

dynamika zmian stanu

●

Wartość oczekiwana i wariancja modelu

populacji nieskończonej dążą do wartości

stabilnych

●

Stabilnym poziomem wartości oczekiwanej jest

położenie maksimum funkcji celu, jeśli jest ona

symetryczna względem tego punktu

●

Wariancja nigdy nie spadnie do zera, ale

utrzyma się na pewnym charakterystycznym

poziomie różnorodności równowagowej

Model “populacji nieskończonej” –

równowagowa różnorodność

●

Równanie ewolucji wariancji populacji

Równanie zbieżne dla

●

Zatem równowagowa wariancja opisana jako

v

=

v

+

v

=

A v

+

v

v

=

v

=

v

v

=

v

1− A

Model “populacji nieskończonej” –

równowagowa różnorodność

Reprodukcja turniejowa (s=2)

Reprodukcja proporcjonalna

Reprodukcja progowa

v

=(1−

_{π )v}

2

v

= π

2

v

v

=

v

v

v

+

v

v

=

1+

√

1+ 4 v

/

v

2

v

v

=(1−

2α(θ)

_θ

)

v

v

=

θ

2 α(θ)

v

α(θ)=Q (

θ+

1

2

)

g (Q(

θ+

1

2

))

Przejście między modelami

prognozy zróżnicowania

Model populacji nieskończonej

Jakość rodziców i potomków niezależna

γ=

s

(

P

)−

v

v

−

v

Przejście między modelami

prognozy zróżnicowania

Eksploracja i eksploatacja

Poszukiwanie “najbardziej

obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki”

Eksploracja i eksploatacja

Poszukiwanie “najbardziej

obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki”

Presja selekcyjna Selektywny nacisk

θ=0.03

θ=

0.1

θ=

0.5

v

=(

1−

2α(θ)

_θ

)

v

Eksploracja i eksploatacja

●

Metody sterowania presją selekcji

●

Reprodukcja progowa – wartość

●

Reprodukcja turniejowa – wielkość szranek s

●

Reprodukcja proporcjonalna – modyfikacja wartości

funkcji celu (fitness scaling)

Eksploracja i eksploatacja

Poszukiwanie “najbardziej

obiecującej górki” Poszukiwanie “szczytu górki”

Presja selekcyjna Selektywny nacisk

θ=0.03

θ=

0.1