Wykład II
Ciągi i Granice
Ciagi liczbowe
Definicja 2.1 (ciąg) n na )
(
:
n
a
n
- ciąg Zapisane krótko: (an)Definicja 2.2 (monotoniczność ciągu) 1o (a
n) jest rosnący (niemalejący)
:
n 1 n(
n 1 n)
na
a
a
a
2o (an) jest malejący (nierosnący) : n 1 n
(
n 1 n)
na
a
a
a
Definicja 2.3 (ograniczoność ciągu) 1o
(
)
n
a
jest ograniczony od góry (z góry) :a
nM
n R M
2o ()
na
jest ograniczony od dołu (z dołu) :a
nm
n R m
Jeżeli 1o i 2o są spełnione, to(
)
na
jest ograniczonyDeinicja 2.4 (Cauchy’ego. Granica ciągu
≠ ±∞)
a
ng
n n na
ng
n:
0 0 0lim
Przykład 2.1
,
n
a
n n)
1
(
1
Wewnątrz otoczenia
znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciąguzatem:
1
)
)
1
(
1
(
lim
n
n nWłasność „prawie wszystkie (wszędzie)” oznacza, że danej własności nie posiada co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu, natomiast daną własność posiada nieskończona ilość wyrazów ciągu.
Wniosek 2.1
0lim
g
a
n nprawie wszystkie
a
n
(
g
,
g
)
g
a
n
-
d
(
a
n,
g
)
- odległość
a od
ng
Wniosek 2.2
0
)
,
(
lim
lim
a
g
d
a
ng
n n nOtoczenie granicy o zadanym promieniu
g
g
g
4
5
3
2
2
3
0
4 3 2 1
a
a
a
a
g
a
g
g
a
g
a
n n n
Ta sama definicja (2.4), ale w innej postaci:
n n n n g ot n na
g
a
o 0 ) (:
lim
Najbardziej ogólna definicja granicy ciągu. Zawiera ona również granice nieskończone i
niewłaściwe
)
(g
ot
,
jest otoczeniem granicy
Otoczenia:
1
ox
u
(
a
,
r
)
x
a
r
u-otoczenie zadanego punktu i zadanym promieniu
r
0
2
ox
U
(
,
k
)
x
k
,
k
R
3
ox
U
(
,
M
)
x
M
,
M
R
0 0lim
n n n R k n na
a
n
k
n na
lim
Rn0 n n0 ma
n
M
Twierdzenie 2.1 (własności granic właściwych)
1
oTwierdzenie o jednoznaczności granicy:
Jeżeli ciąg posiada granicę, to tylko jedną:
lim
a
g
1lim
a
ng
2
g
1g
2 nn
n
2
oTwierdzenie o zachowaniu słabej nierówności:
A
g
g
a
A
a
n n n n n n R A
lim
0 0
a
A
a
ng
g
A
n n n n n R Alim
0 0 Przykład 2.2n
a
n1
0
1
lim
0
1
n
nn
n0
0
g
3olim
0
lim
0
n n n na
a
4o Działania arytmetyczne 1lim
a
ng
n
lim
n(
a
n
b
n)
g
1
g
2 2 1)
(
lim
a
nb
ng
g
n
2lim
b
ng
n
2 1)
(
lim
g
g
b
a
n n n
Przy dodatkowym założeniu:
0
20
0
b
ng
n n
5o Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym:
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny do granicy właściwej a)
a
M
a
rosn
niemalej
a
ng
n n n n n n R M
.(
.)
lim
0 0 b)a
m
a
malej
nierosn
a
ng
n n n n n n R m
.(
.)
lim
0 0 , g- granica właściwa6o Twierdzenie o trzech ciągach
g
b
g
c
a
c
b
a
n n n n n n n n n n n N n
lim
lim
lim
0 0 Graficznie: n n n
a
c
b
g g G 7o Wniosek z 6o0
)
(
lim
0
lim
0
n n n n n n n n R Mb
a
b
M
a
Zapisujemy:lim
0
n n na
b
0 Organiczony Przykład 2.3
2
2
...
3
2
1
lim
n
n
n
n =(*)Jeżeli w ciągu są „kropeczki”, to najpierw się ich pozbywamy (bo to oznacza, że ilość wyrazów sumy zalezy od n)
Niech
S
n
a
1
a
2
...
a
n - suma n początkowych wyrazów ciągu𝑎
𝑛 Wówczas jeżeli: 1o(
)
na
jest arytmetyczny, toS
na
a
n
n
2
1
n
2o
(
)
na
jest geometryczny iq
1
, toq
q
a
S
n n
1
1
1 Zatem:
n
n
n
2
1
...
3
2
1
, oraz (*)=2
1
)
2
1
(
2
lim
)
2
(
2
2
lim
2
)
2
(
2
)
1
(
lim
2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n Przykład 2.4
n
n
n
n
n
n 2 22
...
22
1
1
lim
Możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach
1
...
3
2
1
...
2
2
1
1
...
3
2
1
2 2 2 2 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
an
bn
cn)
(
2
)
1
(
2n
n
n
n
a
n
)
1
(
2
)
1
(
2
n
n
n
c
n2
1
)
1
1
(
2
)
1
1
(
lim
lim
2 2
n
n
n
n
a
n n n2
1
)
1
1
(
)
1
1
(
lim
lim
2 2 2
n
n
n
n
c
n n nZatem, na podstawie twierdzenia o trzech ciągach:
2
1
lim
n nb
Przykład 2.5
2
...
2
2
2
2
2
2 1
na
a
a
n na
a
a
2
2
1 1 ciąg rekurencyjny 1o na
jest ciągiem rosnącymPrzeprowadzamy dowód metodą indukcji
n n n
a
a
1 ? 1)Sprawdzenie dla n=12
2
2
1 2
a
a
Prawda 2)
1 2 1
1
n n n n na
a
a
a
Założenie Teza 1 1 22
2
n
n
n na
a
a
a
- ciąg monotoniczny 2o Ciąg ograniczony2
n na
Indukcja: 1) dla n=1a
1
2
2
2)
2
12
1
n n na
a
a
n1
2
a
n
2
2
2
1o i 2oa
g
n n
lim
3o Wyznaczanie granicy (wiemy już, że istnieje).
g
a
g
a
a
a
n n n n n n
1 1lim
lim
2
n n
a
a
1
2
g
2
g
)
(
)
(
2
g
g
2
0
1
2
0
)
1
)(
2
(
0
2
2
2 1 2 2
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
n nn
a
(
1
1
)
dowodzi się, że:a) n n n n n
rosn
a
a
a
3
lim
.
- ciąg ma granicęDefinicja 2.5 (liczba Eulera „e”)
e
n
n n
)
1
1
(
lim
e
2
,
718
...
Uwagi:
1
oy
e
x
n
n
2
olog
ex
ln
x
- czytaj logarytm
naturalny
Symbole nieoznaczone:
0
,
0
,
1
,
0
,
,
,
0
0
0Granice typu „e”
f
n
e
n
f
f n n n
1 ) ( 1)
(
1
lim
0
)
(
lim
Przykład 2.6
)
1
2
(
3
5
5
2
3
5
5
2
1
lim
3
5
3
5
3
5
2
3
1
lim
3
5
2
3
lim
2 5 2 5 5 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n n n n n
(*) ↓ ↓𝑒 lim
𝑛⟶∞2𝑛 − 5 (2𝑛 + 1)
5 + 3𝑛
2=
4
3
(*) 3 3 4 4e
e
Przykład 2.7 ) ( 0 . 2
cos(
!
)
0
1
lim
licznika stopnia od wyżyżs stopień ma mianownik bo ogran nn
n
n
Granice specjalne 1olim
1
0
n n aa
2olim
1
n nn
Definicja 2.6 (podciąg) Dany jest ciąg n n
a )
(
- rosnące odwzorowanie (silnie) -podciąg ciągu
(
a )
n nNp.
k
a
2 (piszemya
2n) –wskaźniki parzyste1 2k
a
(piszemya
2n1) –wskaźniki nieparzysteTwierdzenie 2.2
g
a
g
a
k k k n n k a n n
lim
lim
) (Jeżeli ciąg jest zbieżny do g, to każdy podciąg tego ciągu jest zbieżnydo tej samej
granicy, co ciąg.
Uwaga:
p
q
~
p
~
q
k n k ka
n
k
)
(
Wniosek 2.3
Jeżeli istnieją 2 podciągi
)
)(
(
i k n na
a
- podciągi ciągu (a
n)
Takie, że:
,
lim
lim
i k i n nk
a
a
to
nie
istnieje
lim
n
a
n
Twierdzenie 2.3 (Bolzano – Weierstrassa)
Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny. Inaczej – z każdego ciągu
ograniczonego da się wybrać podciąg zbieżny.
Przykład 2.8
2
sin
1
n
n
n
a
n
f.trygonometryczne (w
) zbieżne tylko wtedy, gdy są stałe np.2
2
2
2
)
2
4
sin(
0
0
)
sin(
n nn
n
1
lim
2
4
1
4
2
sin
2
4
1
4
)
2
2
sin(
2
4
1
4
1 4 1 4
n n na
n
n
n
n
n
n
n
a
0
lim
0
2
sin
3
4
2
4
1
lim
2 4 0 1 2 4 1 4
n n n n na
n
n
n
a
a
0
lim
0
)
2
sin(
1
4
4
1
lim
)
1
(
4
4
3
4
)
2
3
2
sin(
4
4
3
4
4 0 4 3 4 1 1 3 4
n n n n n na
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
a
Definicja 2.7 (granica dolna, granica górna) Dany jest ciąg
(
a )
n n. Jest to ciąg ograniczonyn n
inf
a
lim
- najmniejsza spośród granic wszystkich podciągów zbieżnych. Granica dolna (limes inferior)n n
a
sup
lim
- największa spośród granic wszystkich podciągów zbieżnych. Granica górna (limes superior)Uwaga! Zauważmy, że:
