R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E
T o m X X X V 1 I- X X X V III. r c z y t 3 - 1989-1990
J Ó Z E F T U R E K
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEM ATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECH ŚW IATA W KOSMOLOGII RO B E R TSO NA -W ALK E R A
1 . WPROWADZENIE
Z a g a d n ien ie n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata p o s ia d a swo j ą w ielo w iek ow ą h i s t o r i e i n a le ż y do t y c h z a g a d n ień , k t ó r e na p r z e s t r z e n i wieków ja w ią s i e ja k o c i ą g l e a k tu a ln e i w cią ż in t e r e s u ją c e c z ło w ie k a 1 . J e s t t o bowiem z a g a d n ie n ie n ie t y l ko samo w s o b ie bard zo cie k a w e , a l e ró w n ie ż w p rzek on a n iu w ie lu f i l o z o f ó w p o s ia d a ją c e pew ien w ydźwięk św ia to p o glą d o w y2 . C zło w iek w swych d ą żen ia c h poznawczych p r a g n ie zro zu m ieć i wy ja ś n ić o ta c z a ją c y go ś w ia t , p r a g n ie o k r e ś l i ć s w o je m ie js c e w tym ś w ie c ie i d la t e g o w c z e ś n ie j c z y p ó ź n ie j s t a j e p rze d py taniem o czasowe i p r z e s t r z e n n e ro z m ia ry W szechśw iata .
O dpow iedzi na t o p y ta n ie s t a r a ł a s i ę w p r z e s z ł o ś c i u d z ie la ć g łó w n ie f i l o z o f i a , a l e ja k wiadomo bez w ięk szy ch w tym w z g lę d z ie o s ią g n ię ć ^ . Stąd t e ż p o w stan ie k o s m o lo g ii r e l a t y w i s t y c z n e j, w y k o r z y s tu ją c e j e in s te in o w s k ą t e o r i ę g r a w i t a c j i do o p is u w ie lk o s k a lo w y c h s t r u k t u r W szech św iata, obu d z i ł o n a d z ie je , j e ś l i n ie na c a łk o w ite r o z w ią z a n ie problem u, t o p rzy n a jm n ie j na je g o nowe n a ś w ie t le n ie ^ . K osm ologia s t a ła s i ę tym samym głów ną aren ą d y s k u s ji nad problem atyką n ie sk o ń czo n o ści W szech św iata, wysuwając w tym w z g lę d z ie s w o je własne p r o p o z y c je s ię g a ją c e nawet m o ż liw o ś c i em pirycznego r o z s t r z y g a n ia omawianej k w e s t i i . P o c ią g n ę ło t o za sobą zna czny w zro st z a in te re s o w a ń wysuwanymi ro z w ią z a n ia m i i t o za równo od s tro n y p r z e d m io to w e j, ja k i m e ta p rzed m io to w ej. Za c z ę t o n ie t y l k o u ś c iś la ć i r o z w ija ć p o czy n io n e w c z e ś n ie j r o z w aża n ia , a l e ró w n ie ż c o r a z g ł ę b i e j a n a liz o w a ć ic h podstawy lo g ic z n o -m e t o d o lo g ic z n e ^ Z a c z ę to p y ta ć o z a ło ż e n ia tk w ią c e u podstaw proponowanych ro z w ią z a ń , z w ła s z c z a o t e , k t ó r e w b a r d z ie j b e z p o ś r e d n i sposób z d a ją s i ę wpływać na t a k ie a n ie in n e r o z w ią z a n ia .
Do ty c h w ła ś n ie m etaprzedm iotowyoh a n a l i z p rob lem a ty k i n ies k o ń c zo n o ś c i W szechświata p ra g n ie naw iązać n i n i e j s z y a r t y k u ł, s t a w ia ją c s o b ie za c e l n ie t y l e p r e z e n t a c ję samej k o n c e p c ji n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechświata wysuwanej w ramach tz w . k o s m o lo g ii R o b ertson a -W a lk era , co r a c z e j p r z e a n a liz o wanie z a ło ż e ń tk w ią cych u podstaw t e j k o n c e p c ji. O gra n icze n ie rozw ażań do k o s m o lo g ii R ob ertson a -W a lk era , a w ięc do tych r e la t y w is ty c z n y c h m o d eli W szech św iata, k tó ry c h c z a s o p rz e s t r z e ń j e s t opisywana m etryką R ob ertson a -W a lk era ^ , wydaje s ię być uzasadnione kilkom a r a c ja m i. P rzed e w szystkim kosm ologia t a j e s t w s t a n ie zaproponować w m iarę c a ło ś c io w e , a p rzy tym n ie zry w a ją c e ra d y k a ln ie z dotychczasowym , p o d e jś c ie do pro b lem a ty k i n ies k o ń c zo n o ś c i W szech św iata, w skazu jąc ponadto na m o ż liw o ś c i em pirycznego te s to w a n ia w tym w z g lę d z ie . Z dru giej z a ś s tro n y , mimo ta k w ie lk ic h u p ro szczeń , zanotow ała ona zna czne o s ią g n ię c ia w o p is ie r e a ln e g o W szech św iata, pozostając w za sta n a w ia ją co d o b re j zgo d n o śc i z is t n ie ją c y m i obserw acja m i. Z r a c j i zaś s w o je j p r o s t o t y sta n o w i n a jb a r d z ie j rozpow szech n ion e kompendium w ied zy o W szech św iacie, a j e j propozy c je z zakresu p rob lem a tyk i n ie s k o ń c zo n o ś c i w ydają s i ę n ie mieć w yraźn ej a lte r n a ty w y w ramach innych t e o r i i kosm ologi cznych.
P o d ję te a n a liz y d o ty c z y ć będą g łó w n ie t y c li z a ło ż e ń p rob le m a tyk i n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechświata wysuwanej w ramach k o s m o lo g ii R o bertson a-W alkera, k t ó r e sta n o w ią j e j n ie o d łą c z ną c a ło ś ć . N ie d a ją s i ę w ięc swobodnie o d d z i e l i ć od samej pro b le m a ty k i, a ic h obecność warunkuje zarówno m o ż liw o ś c i propo nowania ro zw ią za ń , ja k i prow adzen ia samych ro zw aża ń . Pomi n ię t e n atom iast zosta n ą w s z y s tk ie z a ło ż e n ia o c h a ra k te rz e b a r d z ie j ogólnym , a w ięc n ie p o z o s t a ją c e w bezpośrednim zw ią zku z poruszaną problem atyką i w j a k i ś sposób poza n ią wy k r a c z a ją c e , o k tó ry c h można by p o w ie d z ie ć , ż e sta n o w ią tzw .
q bazę zew n ętrzn ą nauk p r z y ro d n ic z y c h .
A n a liz y t e w ydają s i ę być in t e r e s u ją c e i uzasadnione z t e j r a c j i , że ja k s i ę o k a z u je , s tro n a za ło ż e n io w a n ad aje proponowanym ro zw iąza n iom g łę b s z e ic h z ro zu m ien ie, p ozw ala ją c e ró w n o cześn ie l e p i e j o c e n ić ic h w a rtość poznawczą. Z dru g i e j s tro n y te g o ro d z a ju ro zw a ża n ia prowadzą do le p s z e g o z r o zum ienia samej s tru k tu ry k o s m o lo g ii, k tó r a b a r d z ie j n i ż in ne d y s c y p lin y p r z y r o d n ic z e zmuszona j e s t do przyjm ow ania r ó ż nego r o d z a ju z a ło ż e ń .
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECHŚWIATA 25
R e a liz a o ja p o d ję te g o zadania, t o J e s t m o ż liw ie c a ło
ścio w e p r z e d s ta w ie n ie wspomnianych z a ło ż e ń , wymaga u p rzed n io c h o c ia ż b y skrótow ego za rysow a n ia wysuwanej w ramach kosmo l o g i i R ob ertson a -W a lk era p ro b le m a ty k i n ie s k o ń c zo n o ś c i Wszech ś w ia ta . T y lk o wtedy m ożliw e b ę d z ie d o s t r z e ż e n ie i s t n i e j ą c y c h z a ło ż e ń o ra z u św iadom ienie s o b ie ic h r o l i , ja k ą w c a ł o ś c i p ro b le m a ty k i o d g ry w a ją .
2. KONCEPCJA NIESKOŃCZONOŚCI WSZECHŚWIATA W KOSMOLOGII ROBERTSONA-WALKERA
P o j ę c i e "n ie s k o ń c z o n o ś ć W szech św iata" n ie p o sia d a je d n ozn aczn ie o k r e ś lo n e j t r e ś c i . D z ie je s i ę tak d la t e g o , ż e z je d n e j s tro n y sam te r m in "n ie s k o ń c z o n o ś ć " j e s t w ie lo z n a c z n y i mo ż e być rozum iany na w ie le sposobów w z a le ż n o ś c i od p ła s z c z y z ny p o zn a w czej, w j a k i e j j e s t stosow any10, a z d r u g ie j - i s t n i e j ą ró ż n e k o n c ep cje p o j ę c i a "W szechśw iat " 11, którem u z ko l e i p r z y p is u je s i ę ró ż n e a s p e k ty . Do każdego z a ś z ty c h a sp ek
-1 2
tów można o d n ie ś ć cech ę n ie s k o ń c z o n o ś c i .
Na p r z e s t r z e n i wieków pojmowanie n ie s k o ń c zo n o ś c i p r z y j mowało ró ż n e o b l i c z a 1'*. P r z e z d łu g ie l a t a dominowało wywodzą
ce s i ę od A r y s t o t e le s a a o p a rte na i n t u i c j i o k r e ś le n ie n ie sk o ń czon o ści ja k o braku g r a n ic y . Nieskończonym j e s t t a k i z b i ó r , do k tó r e g o można c i ą g l e d o b ie r a ć z zew n ą trz j a k i ś nowy e le m e n t, a w ięc można go c i ą g l e p ow ięk sza ć i n ig d y w tym p r o c e s ie n ie d o ch o d zi s i ę do ja k ie jk o lw ie k g r a n ic y c z y k resu 1 Rozwój j e d nak, m iędzy innym i m atem atyki, o d s ł o n ił b r a k i t a k ie g o o k r e ś le n ia . P o w sta n ie bowiem rachunku n ie s k o ń c zo n o ś c io w e g o , g e o m e t r ii n ie e u k lid e s o w y c h o r a z t e o r i i m nogości w skazało na i s t n i e n i e n ie t y l k o nowych typów n ie s k o ń c z o n o ś c i, a l e ró w n ie ż p r z e s t r z e n i n ie o g r a n ic z o n y c h , a p r z y tym skoń czon ych. Z r o d z iła s i ę w ięc k o n ie czn o ść u ś c iś le n ia i u z u p e łn ie n ia d otych czasow ego sta n o wiska nowym, szerszym p o d e jś c ie m 1-*.
Ważną r o l ę z a c z ę ła w zw iązku z tym odgryw ać t e o r i a mno g o ś c i. Zajm ując s i ę z b io ra m i n ieskończon ym i s z c z e g ó ło w o ana l i z u j e ró ż n e ic h w ła s n o ś c i, d a ją o p rzy tym ś c i s ł e ic h o k r e ś le n ia . Pow szech nie p r z y jm u je s i ę n a s tę p u ją c ą d e f i n i c j ę . Z b ió r I nazywa s i ę skończonym, j e ż e l i j e s t r ó w n o lic z n y z e zb io rem l i c z b n a tu ra ln y c h /1 , 2 , . . . , n/ d la pewnego n a tu ra ln e g o n. W p r z e ciwnym wypadku mówimy, ż e z b ió r X j e s t n iesk o ń c zo n y 1^ . Innymi słow y z b i ó r n iesk oń czon y t o t a k i z b i ó r , k tó ry p o sia d a n iesk o ń czoną l i c z b ę elem entów , t z n . j e s t ró w n o lic z n y z e zb iorem w s z y s t
k ic h l i c z b n a tu ra ln y ch . Nazywa s ię go nieskończonym zbiorem p r z e lic z a ln y m i p rzyporządkow u je s i ę mu l i c z b ę kard yn aln ą zwaną a l e f - z e r o 1^ . J e s t t o n a jm n ie js z a l i c z b a kardyn aln a n ie skończona o zn a cza ją c a moc n iesk oń czon ego z b io r u p r z e l i c z a l n e -
18
go . Ponieważ z b ió r w s z y s tk ic h l i c z b r z e c z y w is ty c h n ie j e s t 19
zbiorem p r z e lic z a ln y m , l i c z b a kardyn aln a w ię c odpowiadająca takiem u z b io r o w i j e s t w ięk sza od a l e f - z e r o i n o s i nazwę mocy
on
kontinuum . J e s t t o n iesk o ń czo n ość w yższego rz ę d u , n ieskoń c z e n ie b o ga tsza od z b io ru w s z y s tk ic h l i c z b n a tu ra ln y ch , a ge om etryczn ie odpowiada j e j moc z b io r u w s z y s tk ic h punktów
od-21
cin k a , kwadratu, k o ła , s z e ś c ia n u , k u li i t d . W ykorzystu jąc zaś p o ję c ie booleanu o ra z znane t w ie r d z e n ie Cantora o rzek a j ą c e , że żaden z b ió r n ie j e s t ró w n o lic z n y z e swym booleanera, można konstruować c o ra z w ię k s ze l i c z b y kard yn aln e n iesk o ń czon e. W e f e k c ie o trzym u je s i ę n ie s k o ń c z e n ie w ie le n iesk o ń
-22
czonych l i c z b kardynalnych . N ie i s t n i e j e zatem z b ió r o naj w ię k s z e j mocy, ta k ja k n ie i s t n i e j e n a jw ię k s z a l i c z b a . Można w ięc p o w ie d z ie ć , że s z e r e g w ie lk o ś c i n iesk o ń czo n ych j e s t n ie-
23 skończony .
wid a ć w ię c , ż e t e o r i a m nogości p o s łu g u je s i ę bardzo pre cyzyjnym aparatem pojęciow ym w z a k r e s ie zb io ró w n iesk o ń c zo nych, co pozwala n ie t y l k o na uporządkowanie n a s ze j w iedzy w tym w z g lę d z ie , a l e ró w n ie ż na znaczne j e j r o z s z e r z e n ie . N a le ży jednak p a m ięta ć, że j e s t to w iedza z b y t o g ó ln a , bar dzo a b s tra k c y jn a i tym samym n ie w y s ta r c z a ją c a p rzy bezpośred n i e j c h a ra k te ry s ty c e układów kosm iczn ych . Trudno bowiem wyo b r a z ić s o b ie , w j a k i sposób t e o g ó ln e p o j ę c i a teo rio m n o g o śc io - we mogłyby okazać s i ę p rzy d a tn e p r z y o k r e ś la n iu n iesk o ń c zo n o ś c i re a ln e g o W szechśw iata, zw ła s z c z a że c h c ia ło b y s i ę zna l e ź ć em piryczne r o z s t r z y g n i ę c i e problem u. W s z e lk ie zatem t e go r o d z a ju próby mogą same w s o b ie b yć ciek a w e2-*, a l e z pew n o ś c ią n ie w yczerp u ją z a g a d n ien ia i n ie są w s t a n ie doprowa d z ić do za sa d n ic zy ch r o z s t r z y g n ię ć 2^ .
Szukać n a le ż y w ięc nowego p o d e jś c ia za p ew n ia ją ceg o w iększe pow odzenie, c h o c ia ż n ie re zy g n u ją c e g o z u s ta le ń teo rio m n ogościow ych . Wydaje s i ę , ż e wymogi t e może s p e łn ić g e o m e tria , k tó ra badając ró żn ego r o d z a ju r e l a c j e p r z e s t r z e n n e, s t a j e ró w n ież p rze d problemem n ie s k o ń c z o n o ś c i. Zadaniem w ięc d a ls z y c h r o z w a ż a ń b ę d z ie próba w y k o rz y s ta n ia n ie k tó r y c h dobrze z d efin io w a n y ch p o ję ć geom etryczn ych do m o ż liw ie ade kwatnego o k r e ś le n ia głów nych t r e ś c i zw iązan ych z p o jęciem
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECHŚW IATA 27
n ie s k o ń c z o n o ś c i. Problemem p o z o s t a je w ybór ty c h p o ję ć .
Od czasu pam iętnego w y s tą p ie n ia F e lix a K le in a w 1872 r . fo rm u łu ją ce g o t z w . program z Ęrlangen o k a z a ło s i ę , że pod stawowe w ła s n o ś c i geom etryczn e można tra k to w a ć ja k o t e o r i ę n iezm ien nik ów pewnych grup p r z e k s z t a łc e ń . Zgodnie w ięc z is t n ie ją c y m i typam i p r z e k s z t a łc e ń w yróżn ia s i ę w ła s n o ś c i t o p o lo g ic z n e , konforem ne, rzu tow e, a f i n i c z n e i m etryczne p r z e s t r z e n i . Każdej z otrzym anych w te n sposób p r z e s t r z e n i można p r z y p is a ć cech ę n ie s k o ń c z o n o ś c i, co p ro w a d z iło b y w kon s e k w e n c ji do ró żn ych typów n ie s k o ń c z o n o ś c i2^ .
T r a k tu ją c jedn ak g e o m e tr ię ja k o matematyczny o p is r e a l n ej p r z e s t r z e n i , b a r d z ie j słusznym w ydaje s i ę stan ow isko u j mujące ró ż n e ty p y w ła s n o ś c i geom etryczn ych ja k o ró żn e sposo by o p is u t e j samej r z e c z y w is t e j p r z e s t r z e n i f i z y c z n e j , w k tó r e j d a ją s i ę w y ró ż n ić p o s z c z e g ó ln e ze sobą pow iązane s tru k tu r y . Byłaby w ię c jed n a n iesk o ń c zo n o ś ć odnosząca s i ę do r z e c z y w is t e j p r z e s t r z e n i , k t ó r ą można by ch a ra k teryzow a ć za po mocą p o ję ć n a le ż ą c y c h do ró ż n y c h s t r u k t u r czy t e ż w ła s n o ś c i t e j p r z e s t r z e n i . R o d zi s i ę jedn ak p y t a n ie , k t ó r e z ty c h b a r dzo zró żn ico w a n ych w ła s n o ś c i n ad ają s i ę n a j l e p i e j do ch arak te ry z o w a n ia i u ś c iś le n ia p o ję c ia n ie s k o ń c z o n o ś c i.
B io rą c pod uwagę f a k t , że r e a l n i e i s t n i e j ą c a p r z e s t r z e ń p osia d a pewną s tr u k tu r ę m etryczn ą , k tó r a n ie ja k o a u to m a tyc
z-pó
n ie wyznacza pewną j e j t o p o l o g i ę o ra z t o , że Ogólna T e o r ia W zg lęd n o ś ci /OTW/ tk w ią c a u podstaw r e la t y w is t y c z n y c h m o d eli W szechśw iata za k ła d a m etryczn ą s tr u k tu r ę c z a s o p r z e s t r z e n i2^, w ydaje s i ę słusznym , by w ła s n o ś c i m etryczn e i t o p o lo g ic z n e tra k to w a ć ja k o podstawowe s tru k tu ry r e a ln e j p r z e s t r z e n i . In ne n a to m ia st ce c h y , t a k ie ja k konforem n ość, rzu tow ość czy a fin ic z n o ś ć są r a c z e j c z y s ty m i a b s tra k ta m i n ie w ie le w
noszący-30 mi do o p is u r e a ln y c h p r z e s t r z e n i f i z y c z n y c ł r . Zatem o s t a t e c z n ie z p o ję c ia m i m etrycznym i i to p o lo g ic z n y m i w iązane będą m o ż liw o ś c i g ł ę b s z e j e k s p l i k a c j i p o ję c ia n ie s k o ń c z o n o ś c i Wszech- 31 ś w ia ta “^ . P o d k r e ś lić n a le ż y p r z y tym k o n ie c z n o ś ć u w zg lęd n ia n ia obu ty c h p ła s z c z y z n r ó w n o c z e ś n ie , mimo że p r z e s t r z e ń m e try cz na zaw sze wyznacza ja k ą ś p r z e s t r z e ń t o p o lo g ic z n ą . P o m ija ją c
32
f a k t , że s y tu a c ja odwrotna j e s t n iem o żliw a , a ta k ż e t o , i ż 33 z r e g u ły je d n e j m etryce odpowiada w ie le m ożliw ych t o p o l o g i i ^ , n a le ż y zdać s o b ie spraw ę, i ż w ogólnym przypadku n ie ma j e d n o zn a c zn ej o d p o w ie d n io ś c i pomiędzy p o s z c z e g ó ln y m i w ła s n o ś c ia mi m etryczn ym i i t o p o lo g ic z n y m i. Znaczy t o , że z a s a d n ic zo
dane w ła sn o śc i m etryczne n ie p o c ią g a ją za sobą z k o n ie c zn o ś c i o k reś lon ych w ła s n o ś c i to p o lo g ic z n y c h , czego przykładem może byś f a k t , i ż trójwymiarowym p r z e s trz e n io m o s t a ł e j do d a t n ie j k r z y w iź n ie odpowiada n ie s k o ń c ze n ie w ie le różn ych form to p o lo g ic z n y c h -^ .
W przypadku k o s m o lo g ii r e la t y w is t y c z n e j s y tu a c ja j e s z c z e b a r d z ie j s i ę k o m p lik u je . Mamy t u bowiem do c z y n ie n ia
T C
z p r z e s tr z e n ia m i pseudom etrycznym i"' , a e in s t e in o w s k ie rów n ania p o la g r a w ita c y jn e g o są lo k a ln e , t z n . z a le ż n o ś c i m ię dzy ten sora m i g ^ y i T,u.v są u s ta la n e w każdym p u n k cie. Za tem ge o m etria m o d eli k o sm o lo giczn ych j e s t o k re ś la n a l o k a l n ie , c z y l i w s ą s ie d z t w ie każdego punktu-^. Stwarza t o j e s z c z e w ięk sze m o ż liw o ś c i d la z ró ż n ic o w a n ia o d p ow iadających j e j
17 g lo b a ln y c h s tr u k tu r t o p o lo g ic z n y c h ^ '.
Przech odząc o b ecn ie do omówienia p o ję ó m etryczn ych z n a j du jących za stoso w a n ie p rzy d e fin io w a n iu n ie s k o ń c z n o ś c i dos trzegam y, że tr a d y c y jn e o k r e ś le n ie n ie s k o ń c zo n o ś c i ja k o n i e - o g ra n ic z o n o ś c i j e s t t e g o wyraźnym p rzykładem .
O graniczonośó lu b n ie o g ra n ic z o n o ś ó z b io r u stanow i j e go w łasnośó m etryczn ą, t o znaczy j e s t d e fin io w a n a za pomocą
38
m etryczn ego p o ję c ia ś re d n ic y zb io ru ^ . Z b ió r A nazywamy o g ra niczonym w tedy, gdy je g o ś r e d n ic a 6 / A / c o o "5^ • Innymi słow y p r z e s t r z e ń m etryczna j e s t o g ra n ic z o n a , gdy o d le g ło ś ć punktów w n ie j n ie p rze k ra c z a pewnej skoń czon ej l i c z b y r z e c z y w is t e j^ 0 . W przeciwnym r a z i e p r z e s t r z e ń ta j e s t n ie o g r a n ic z o n a , c z y l i '» [ & / * / < ° s 7 41.
Z d e f i n i c j i t e j w idaó w y ra ź n ie , że n ie o g ra n ic z o n a p r z e s t r z e ń m etryczna winna byó ró w n ie ż p r z e s t r z e n ią n iesk o ń czo n ą . J e s t t o n iesk o ń czo n ość w s e n s ie r o z c i ą g ł o ś c i , a w ię c wskazu ją c a na n iesk o ń czo n e ro z m ia ry danej p r z e s t r z e n i^ 2 . Ponieważ p r z e z r o z c ią g ło ś ć rozum ie s i ę maksymalną o d le g ło ś ć m iędzy punktami j a k i e j ś p r z e s t r z e n i ^ , n iesk o ń czo n ość w ięc t a może p rzy s łu g iw a ć je d y n ie p r z e s trz e n io m m etrycznym . J e s t t o n a j b l i ż s z e naszym in tu ic jo m p o j ę c i e n ie s k o ń c z o n o ś c i, n a j l e p i e j odpow iadające p r z e s trz e n io m euklidesow ym , w k tó ry c h m etryka utożsam ia s i ę z r o z c i ą g ł o ś c i ą ^ . Swoją p r o s t o t ą w y ró ż n ia s i ę ona od in nych ro d za jó w n ies k o ń c zo n o ś c i odnoszących s i ę bądź do l i c z b y punktów p r z e s t r z e n i, bądź t e ż do j e j uporządkowa n ia , m iary lu b p o d z ie ln o ś c i^ "5. Są 0ne bowiem z b y t a b s t r a k c y j n e, p o m ija ją m etryczn e w ła s n o ś c i p r z e s t r z e n i i ja k o t a k i e n ie wydają s i ę być b ezp o śred n io p rzyd a tn e w o k r e ś la n iu n ie s k o ń
-Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃC-ZONOŚCI W S-ZECH ŚW IATA 29
c z o n o ś c i r e a ln e g o W szech św iata.
N ie znaczy t o je d n a k , że o k r e ś le n ie n ie s k o ń c z o n o ś c i j a ko n ie o g r a n ic z o n o ś c i j e s t o k re ś le n ie m w p e ł n i z a d o w a la ją c y m ^ . P rze d e w szystkim p o ję c ia p r z e s t r z e n i n ie o g r a n ic z o n e j n ie na l e ż y u tożsam iać z brakiem o g r a n ic z e n ia z b io r u , brakiem kresu czy b rze g u . Są t o bowiem p o ję c ia t o p o lo g ic z n e n ie p o z o s t a ją c e , ja k w ykazuje a n a liz a ic h t r e ś c i , w bezpośrednim zw iązku z zagadnieniem n ie s k o ń c z o n o ś c i^ . Ponadto i s t n i e j e za s a d n i cza tru dn ość z te o re ty c zn y m r o z s tr z y g a n ie m c z y dana k o n k ret na p r z e s t r z e ń m etryczna j e s t o g ra n ic z o n a , czy t e ż n ie . W ystę p u ją ce bowiem w d e f i n i c j i z b io r u o g ra n ic z o n e g o p o j ę c i e ś re d n ic y t e g o z b io r u ja k o k resu górn ego punktów zakłada u p rzed
-48
n ie uporządkowanie z b io r u . P o z o s t a je t o , ja k s i ę w yd a je, w zw iązku ze wspomnianą w c z e ś n ie j k o n ie c z n o ś c ią u w zg lęd n ie n ia p rzy o k r e ś la n iu n ie s k o ń c zo n o ś c i obok cech m etryczn ych rów n ie ż w ła s n o ś c i t o p o lo g ic z n y c h . Bez n ic h bowiem jed n ozn a czn e r o z s t r z y g n i ę c i e o o g r a n ic z o n o ś c i czy t e ż n ie o g r a n ic z o n o ś c i danej p r z e s t r z e n i, a w ię c i j e j n ie s k o ń c z o n o ś c i j e s t niem oż l i w e . W dodatku powyższe o k r e ś le n ie n ie s k o ń c zo n o ś c i n ie u w zglę dnia w sposób wyraźny fa k t u i s t n i e n i a p r z e s t r z e n i z a k rz y w io nych, co n ie p o z o s t a je bez wpływu na ś c i s ł o ś ć te g o o k r e ś le n i a ^ . K rzyw izn a c h a ra k te ry z u ją c a t e p r z e s t r z e n ie ja w i s i ę ja k o jed n a z podstawowych w ła s n o ś c i m etryczn ych i ja k o taka w skazała na nowe, b a r d z ie j o g ó ln e m o ż liw o ś c i o k r e ś le n ia po j ę c i a n ie s k o ń c z o n o ś c i. Pow szechnie bowiem p rzy jm u je s i ę , i ż zerowa i ujemna k rzy w izn a ^ s k a zu je na n iesk o ń czo n ość p r z e s
-Ó Q(XOJt\ĄJUOL c q
t r z e n i , a k rzy w izn a u j emna - na j e j sk oń czon ość7 . Wynika t o s tą d , że n iem al ró w n o cześn ie z pojaw ien iem s i ę g e o m e t r ii n ie eu k lid esow y ch d o s trz e ż o n o o p ie r a ją c s i ę na badaniach k r z y w iz ny p o w ie rz c h n i, że s t a ł a d o d a tn ia k rzyw izn a odpowiada geome t r i i s f e r y c z n e j , k rzy w izn a ujemna - g e o m e t r ii h i p e r b o l i c z n e j , a k rzy w izn a zerowa - g e o m e t r ii e u k lid e s o w e j. K rzyw izn a s t a ł a s i ę w ięc k r y te riu m w yróżn iają cy m t e g eom etrie-*1 . Z k o l e i in t u i c j e zw iąza n e z p o w ierzch n ia m i p ła s k im i i h ip e r b o lic z n y m i w skazały na ic h o tw a rto ś ć p rzy rów n oczesn ej za m k n ię to ś c i po w ie r z c h n i s fe r y c z n y c h . P r o w a d z iło t o n iem a l a u to m a tyczn ie do p rze k o n a n ia , że p r z e s t r z e n ie o tw a r te p o s ia d a ją o b j ę t o ś c i n ie skoń czon e, a za m k n ięte, c z y l i s fe r y c z n e - o b ję t o ś c i skoń czo ne-*2 . Ponieważ zaś w rozu m ien iu potocznym n iesk o ń c zo n o ś ć p r z e s t r z e n i j e s t utożsam iana z n ie s k o ń c zo n o ś c ią j e j o b j ę t o - ś c i 3 , z w ią z k i w ięc m iędzy znakiem k rzy w izn y a n iesk o ń c zo n o
ś c ią s t a j ą s i ę z ro z u m ia łe .
Samo zaś p o ję c ie o b ję t o ś c i w swym n a jb a r d z ie j ogólnym 54 zn a czen iu j e s t rozp a tryw a n e w ramach tz w . t e o r i i m iary . Mó w i s i ę wtedy o o b j ę t o ś c i w s e n s ie na p r z y k ła d m iary Jordana ja k o o w sp ó ln ej w a r to ś c i m iary ze w n ę trz n e j i w ew n ętrzn ej J o r dana d la danego o b s z a r u ^ . z i s t o t y t e o r i i m ia ry z n a jd u ją c e j wyraz w pow yższej d e f i n i c j i o b j ę t o ś c i w yn ika, że o b ję t o ś ć ta może być o k reś la n a bez k o n ie c z n o ś c i u c ie k a n ia s i ę do m etry k i ^ . Widać t o w wypadku p r z e s t r z e n i a f i n l c z n e j . J e ż e l i z o s t a ł w n i e j o k re ś lo n y układ w spółrzęd n ych /x1 , . . , x n/ , t o o b ję t o ś c ią b r y ły D nazywa s i ę n iezm ien n ik w zględn y Vp będący n -k ro tn ą ca łk ą
Vp m ^ d x ^ d x ^ .. .dxn
r o z c ią g n ię t a na o b s z a r D i p r z e k s z t a ł c a ją c ą s i ę do nowego układu w edług wzoru
n
-Tak o k re ś la n a o b ję t o ś ć dan ej b r y ły n ie w yraża s i ę ja k ą ś kon k re tn ą l i c z b ą , l e c z zm ien ia s i ę z e zmianą układu w s p ó łrzęd nych. N iem n iej c h a r a k te r y z u je ona p r z e s tr z e n n ą r o z c ią g ł o ś ć
c i a ł a n ie z a l e ż n i e od je g o k s z t a łt u i p o ło ż e n ia , podobnie ja k w y ra ża ją c a s i ę lic z b o w o o b ję t o ś ć w z w y k łe j p r z e s t r z e n i ^ . Za tem o b ję t o ś ć ja w i s i ę ja k o p o j ę c i e , k t ó r e nakłada na rozm ai t o ś ć m n ie js z e o g r a n ic z e n ia n iż sama m etryka. W kon sek w en cji zn a ją c m etrykę można je d n o zn a c z n ie w yznaczyć o b ję t o ś ć w po s t a c i pewnej w a r t o ś c i lic z b o w e j . W przypadku p r z e s t r z e n i Riemanna w a rtość t a dana j e s t wzorem
WD * j W d r
11
D
W łasności m etryczn e o k a zu ją s i ę zatem n ieod zow ne do je d n o znacznego w yzn aczen ia o b j ę t o ś c i , a tym b a r d z ie j do r o z s t r z y g n ię c ia o j e j sk o ń czon o ści c z y t e ż n ie s k o ń c z o n o ś c i. Chodzi tu bowiem o n iesk o ń czo n ość w s e n s ie r o z c i ą g ł o ś c i . Próby w ięc o k r e ś le n ia n ie s k o ń c zo n o ś c i p r z e s t r z e n i za pomocą j e j k r z y w izny n ie są pozbawione r a c j i , a l e n ie j e s t t o o k r e ś le n ie w p e ł n i adekwatne. Wymaga bowiem, ja k b y ło t o ju ż wspomina n e, u z u p e łn ie n ia odpow iednią c h a ra k te ry s ty k ą t o p o lo g ic z n ą , w ś w ie t le k t ó r e j d o p ie r o p o d e jś c ie m etryczn e n a b ie ra w ła ś ciw eg o z n a c z e n ia . P o w sta je jedn ak p y t a n ie , j a k i e k o n k re tn ie mają t o być w ła s n o ś c i t o p o lo g ic z n e .
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEM ATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECH ŚW IATA 31
Na p ie r w s z y r z u t oka wydawałoby s i ę , że c h o d z i t u o brak o g r a n ic z e n ia z b io r u , brak je g o b rzegu lu b k r e s u . B liż s z a j e d nak a n a liz a t r e ś c io w a ty c h p o ję ć w sk a zu je, że ta k n ie j e s t .
O g r a n ic z e n ie z b io r u d e f i n i u j e s i ę ja k o r ó ż n ic ę domknię c i a z b io r u A i je g o w n ę trza lu b ja k o i l o c z y n dom kn ięcia z b io ru A i dom kn ięcia d o p e łn ie n ia z b io r u A, co z a s p is u je s i ę w po s t a c i
Pr/A/ = A - I n t A » I f i / i ?1 } 6° .
O g r a n ic z e n ie z b io ru j e s t w ię c p o ję c ie m to p o lo g ic z n y m , a z j e go d e f i n i c j i w ynika, że o g r a n ic z e n ie c a ł e j p r z e s t r z e n i to p o l o g i c z n e j j e s t p u s te . N atom iast j e ś l i z b ió r j e s t dom kn ięty, t o z a w ie ra s w o je o g r a n ic z e n ie , podczas gdy z b ió r o tw a rty o g r a n ic z e n ia s w o je g o n ie z a w ie r a . W wypadku w ięc zb io ró w dom k n ię t y c h p o j ę c i e o g r a n ic z e n ia z b io r u pokrywa s i ę ze s p o ty k a nym ró w n ie ż w t o p o l o g i i p o ję c ie m b rze g u z b io r u ^1 i stąd po j ę c i a t e są c z ę s t o z e sobą u tożsam ian e, z w ła s z c z a w ję z y k u po tocznym .
P r z y to c z o n e o k r e ś le n ia w skazu ją w y r a ź n ie , że t o p o l o g i czne p o ję c ia braku o g r a n ic z e n ia czy b rzegu d an ej p r z e s t r z e n i w ca le n ie im p lik u ją J e j n ie s k o ń c z o n o ś c i. O rzek a ją one je d y n ie , mówiąc p o t o c z n ie , że można s i ę w p r z e s t r z e n i p o ru sza ć "b e z k o ń c a ". N igdy n ie n a t r a f i s i ę na c o ś , co m ogłoby być / in t u ic y jn ie mówiąc/ nazwane "b rz e g ie m " p r z e s t r z e n i , poza którym ju ż n ic z e g o n ie ma. N iem o żliw e j e s t n a t r a f i e n i e na t a k i e m ie js c e , z k tó r e g o n ie ma ju ż d a ls z e j d r o g i , a je d y n ie pow rót drogą p r z e b y tą c . Zatem p o j ę c i a t e n ie są w s t a n ie w n ieść n ic nowego do c h a r a k t e r y s t y k i n ie s k o ń c z o n o ś c i i d l a t e g o n a le ż y szukać in n ych m o ż liw o ś c i.
Wydaje s i ę , że użytecznym b ę d z ie t u t a j p o j ę c i e n ie z w a r - t o ś c i p r z e s t r z e n i , sta n o w ią c e razem z je g o za p rz e c z e n ie m , t j . z w a r t o ś c ią , jed n ą z podstawowych w ła s n o ś c i p r z e s t r z e n i to p o lo g ic z n y c h 3 . Samo p o j ę c i e z w a r t o ś c i z b io r u j e s t u o g ó ln ie niem w ła s n o ś c i b y c ia zb io rem domkniętym i ograniczonym w p r z e s t r z e n i e u k lid e s o w e j^ , co ja k wiadomo sta n o w i i s t o t ę t r a d y c y jn e g o o k r e ś le n ia s k o ń c z o n o ś c i. Ponadto w d e f i n i c j i z w a rto ś c i w ystęp u je p o j ę c i e p o k r y c ia skoń czon ego, co su gero w a ło b y, że słow u "sk o ń czo n y" /w je g o in tu ic y jn y m zn aczen iu / n a le ż a
-' 65
ło b y p r z y p is a ć ja k o p r e c y z y jn y odpow iedn ik term in " z w a r t y " . P r z e s t r z e ń t o p o lo g ic z n ą X nazywa s i ę z w a rtą , gdy z k a ż dego j e j p o k ry c ia o tw a rte g o można wybrać p o k r y c ie s k o ń c z o n e ^ .
Natom iast p r z e s t r z e ń X j e s t n ie z w a r ta , gdy n ie j e s t ona zw ar t a . In tu icyjn ym odpow iednikiem p o ję c ia z w a r t o ś c i p r z e s t r z e n i j e s t j e j w łasność p o le g a ją c a na tym , że j e j punkty są " b l i s ko s i e b i e " , są " ś c iś n ię t e " ® ^ . Natom iast cecha n ie z w a r t o ś c i p r z e s t r z e n i p r z e ja w ia s i ę , mówiąc obrazow o, w tym ż e p r z e s t r z e ń taka z a w ie ra l i n i e otw arte® ® .In n ym i słow y układ w sp ó ł rzęd n ych / p r z y p is u ją c y punktom p r z e s t r z e n i l i c z b y r z e c z y w is t e ja k o ic h w spółrzęd n e/ p r z e b ie g a w s z y s tk ie l i c z b y r z e c z y w is t e , c a ły ic h z b ió r , a n ie np. j a k i ś zw arty p r z e d z ia ł t e g o z b io r u , W e f e k c i e , w wypadku p r z e s t r z e n i n ie z w a r te j p rzy n a jm n ie j je d na ze w spółrzęd n ych , po k tó ry c h dokonuje s i ę całkow ania we w zorze na o b ję t o ś ć , p r z e b ie g a ć może c a ły z b ió r l i c z b r z e c z y w is ty c h , d a ją c tym samym n iesk oń czon ą o b ję t o ś ć t a k i e j p r z e s t r z e n i . Cecha n ie z w a r t o ś c i j e s t w ię c warunkiem koniecznym ta k ie g o o k r e ś le n ia , a le sama tu n ie w y s t a r c z y . N ieskończoność bowiem co do r o z c i ą g ł o ś c i , o j a k i e j tu mowa, j e s t ze sw ej na tu ry powiązana z m etrycznyjni w ła sn ościam i p r z e s t r z e n i i d la t e g o w ła sn o śc i t e muszą w tym o k r e ś le n iu być u w zg lęd n ion e.
Mając w m iarę za d o w a la ją ce o k r e ś le n ie p o j ę c i a n ieskoń c z o n o ś c i n a le ż y z k o l e i za sta n o w ić s i ę nad sposobem je g o wy k o r z y s ta n ia do c h a r a k t e r y s t y k i n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechświata opisanego p r z e z k o sm o lo gię R o b erts o n a -W a lk era . Wymagać to bę d z ie ch o c ia żb y skrótow ego p r z e d s ta w ie n ia is t o t n y c h w ła sn o śc i przypisyw an ych W szechśw iatow i p rze ^ t ę k o s m o lo g ię .
W potocznym p rzek on a n iu W szechśw iat j e s t rozum iany jako z b i ó r w s z y s tk ic h ob iek tów fiz y c z n y c h i s t n i e j ą c y c h w c z a s ie i p r z e s t r z e n i. Można w ięc mówić o je g o n ie s k o ń c zo n o ś c i p r z e
s t r z e n n e j, cza so w ej c z y t e ż m n ogościow ej, b io r ą c w tym o s t a t nim wypadku pod uwagę n iesk o ń czo n ą i l o ś ć r z e c z y , zd a rzeń czy z ja w is k wchodzących w je g o o k ła d .
W k o s m o lo g ii r e la t y w is t y c z n e j bada s i ę p rze d e wszystkim cz a s o p rz e s trze n n ą s tru k tu rę W szech św iata, k tó r a p o p rzez ró w
-70 nania p o la OTW powiązana j e s t z zaw artą w n i e j m a t e r ią ' . Py t a n ie zatem o n iesk o ń czo n ość W szechświata staw ian e tam j e s t przed w szystkim pytaniem o je g o c z a s o p rz e s tr z e n n ą n ie s k o ń c zo n o ść . Wprawdzie sama c z a s o p r z e s tr z e ń j e s t d ob rze z d e fin io w a nym tworem fiz y c zn y m , p o siadającym na g r u n c ie t e o r i i w z g lę d n o ś c i ch a ra k te r a b s o lu tn y , t o jednak z a s a d n ic ze r ó ż n ic e m ię dzy czasem i p r z e s t r z e n ią n ie u le g a ją w nim z a t a r c iu . N ie m ie r z y s i ę b ezp o śred n io w ie lk o ś c i c z a s o p rz e s tr z e n n y c h , a l e osobno
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECH ŚW IATA 33
cza s i osobno p r z e s t r z e ń , i d o p ie r o z n ic h sk ład a s i ę i n t e r -71
wały c z a s o p r z e s t r z e n n e ' . Stąd p y ta n ie o c z a s o p rz e s tr z e n n ą n iesk o ń czo n ość W szechświata J e s t pytaniem z b y t a b stra k cyjn ym , pozbawionym ty c h w s z y s tk ic h i n t u i c j i , j a k i e na p r z e s t r z e n i w ie ków w iązan o bądź z n ie s k o ń c z o n o ś c ią czasow ą, bądź t e ż z n ie s k o ń c zo n o ś cią p r z e s tr z e n n ą W szech św iata. Pow rót do t a k ie g o w ła ś n ie tra k to w a n ia problem u zapew nia k o sm o lo gia R o b ertson a -W a lk e- r a , w k t ó r e j na mocy p r z y ję t y c h z a ło ż e ń n a s tę p u je n ie ja k o a u to m atyczn ie r o z d z i a ł c z a s o p r z e s t r z e n i osobno na cza s i osobno na p r z e s t r z e ń . W k on sek w en cji problem atyka n ie s k o ń c zo n o ś c i Wszech św ia ta podejmowana w ramach t e j k o s m o lo g ii sprowadza s i ę zasad n ic z o do j e j wymiaru czasowego i p r z e s t r z e n n e g o . Pom ija s i ę na to m ia st in ne j e j a s p e k ty , np. m nogościowy, k tó r e wymykają s i ę
72
w ła ś c iw ie spod metod stosow anych w k o s m o lo g ii . -D a lsza zatem e k s p lik a c ja p o ję c ia n ie s k o ń c z o n o ś c i Wszech ś w ia ta fu n k cjo n u ją ceg o w k o s m o lo g ii R ob ertson a -W a lk era zm ie r z a ć b ę d z ie do wyeksponowania osobno t r e ś c i zw iązan ych z je g o n ie s k o ń c zo n o ś c ią p r z e s tr z e n n ą .
W o d n ie s ie n iu do cza so w ej n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechświata podana w c z e ś n ie j c h a ra k te ry s ty k a m etryczn a i t o p o lo g ic z n a p r z y b ie r a dosyć i s t o t n e u p r o s z c z e n ia . P r z y p is u ją c cza so w i cechę by c ia zb io rem typu l i n i i , c z y l i cech ę jed n ow ym iarow ości, s p ó jn o ś c i i n i e r o z g a ł ę z i o n o ś c i '^ sprowadza s i ę o k r e ś le n ie cza so w ej n ie s k o ń c z o n o ś c i do p y ta n ia : czy c za s ja k o z b ió r momentów j e s t o g ra n ic z o n y albo n ie o g ra n ic z o n y o ra z czy ma momenty końcowe a l
-7 A
bo ic h n ie ma . J e s t t o zatem podwójna, m etryczn a i t o p o l o g i czn a , c h a ra k te ry s ty k a p o ję c ia n ie s k o ń c z o n o ś c i czasu d a ją c a w k o n sek w en cji k ilk a ró żn y ch m o ż liw o ś c i, t j . s A cza s j e s t o g ra n iczo n y i p o sia d a je d e n lu b dwa momenty końcowe, co p r z e ja w ia s i ę w p o s t a c i dwóch m o d e li: cza su -od cin k a je d n o s tr o n n ie domknię t e g o / je d e n moment końcowy/ o r a z cza su -o d cin k a dom kniętego /dwa momenty końcowe/; B. czas j e s t o g ra n iczo n y i n ie p o sia d a momen tów końcowych, co j e s t r e a liz o w a n e p r z e z model cza su -o k ręg u lu b cza su -o d cin k a o tw a r t e g o ; C. cza s j e s t n ie o g ra n ic z o n y i p o sia d a je d e n moment końcowy / j e ś l i p o sia d a dwa momenty końcowe, t o j e s t o g ra n ic z o n y / . J e s t t o model c z a s u - p ó łp r o s t e j z momentem końcowym; D. c za s j e s t n ie o g r a n ic z o n y i n ie p o sia d a momentów końcowych, c z e g o obrazem j e s t model c z a s u - p r o s t e j. Zwartymi modelami są t y lk o c z a s -o k r ą g i c z a s -o d c in e k dom kn ięty. P o z o s t a łe modele są modelami n ie z w a rty m i”^ .
czasu sprowadza s i ę do u d z ie le n ia o d p o w ie d zi na p y ta n ie o mo d e l c z a s u ^ . Odnosząc to p y ta n ie do p o d ję t e j w a r t y k u le p ro b le m a ty k i, b ę d z ie c h o d z iło o o dpow iedź, k tó ry z pow yższych mo d e l i czasu j e s t re a liz o w a n y p r z e z n a jb a r d z ie j prawdopodobny, t j . p o z o s ta ją c y w n a jle p s z e j zgo d n o śc i z danymi o b serw a cy jn y m i, model W szechświata proponowany p r z e z k o s m o lo g ię R o b e rts o - n a-W alkera. Ponieważ w ie le wskazuje na t o , że a k tu a ln y Wszech św ia t j e s t n a j l e p i e j opisywany p r z e z model ekspandujący od pew nego w yróżn ion ego w p r z e s z ł o ś c i momentu zwanego o s o b liw o ś c ią p oczątk ow ą"^, tym samym w ię c re a liz o w a n y b y łb y model czasu -pół- p r o s t e j , c z y l i W szechświat b y łb y o g ra n ic z o n y w c z a s ie od s t r o ny p r z e s z ł o ś c i .
Modelu t a k ie g o n ie ch cą jednak p r z y ją ó w szyscy c i , któ r z y z r a c j i f i l o z o f i c z n y c h o p ow ia d a ją s i ę za czasową n ieskoń c z o n o ś c ią W szech św iata. Widzą bowiem w nim, j e ś l i n ie z a p rz e c z e n ie , t o z pew n ością poważne tru d n o ś c i po go d zen ia t e z y o wie c z n o ś c i W szechświata z o b ecn o ś cią o s o b liw o ś c i po czą tk ow ej w mo d e la c h k o sm ologiczn ych ^8 . Stąd w ie lo r a k ie próby u s u n ię c ia oso b liw o ś c i z ty c h m o d eli lu b ic h u zgo d n ie n ia z t e z ą f i l o z o f i c z
-79 '
n ą' .
Wydaje s i ę jed n a k , ż e akceptowany dosyó pow szechnie p r z e z kosmologów model z o s o b liw o ś c ią początkow ą n ie musi p rze s ą d za ć o wynikach sporu co do f i l o z o f i c z n o - ś w i a t o p o g l ą - dowej s tro n y za ga d n ien ia czasow ej sk o ń czon o ści czy t e ż n ie s k o ń czo n ości W szech św iata, Id ą c bowiem za t e z ą G. I e m a it r e ’ a można p r z y ją ó , że proponowany p r z e z k o sm o lo gię czasowy począ te k W szechśw iata ma c h a r a k te r w zględn y i d o ty c z y p oczątk u e k s p a n s ji i e w o lu c ji a k tu aln ego Kosmosu. Tym samym p o z o s t a je on poza problem atyką f i l o z o f i c z n o - t e o l o g i c z n ą , d la k t ó r e j czasowy p o czą te k św ia ta ma c h a ra k te r a b s o lu tn y w s e n s ie stwo r z e n ia z n ic z e g o 8 8 .
P rzech od zą c z k o l e i do c h a r a k t e r y s t y k i p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechśw iata p o d k r e ś lió n a le ż y w ię k s z ą j e j z ło ż o n o ś ć i z ró ż n ic o w a n ie n iż m ia ło to m ie js c e w przypadku cza su .
P rzed e w szystkim c h o d zi tu o pewne s z c z e g ó ln e p r z e s t r z e n i e , k tó rym i są iz o tr o p o w e i jedn orodn e trójw ym ia row e
h ip e rp o w ie r z c h n ie wyznaczone p r z e z c i ę c i a czasu kosm icznego t = c o n s t. Są t o w ięc trójw ym iarow e p r z e s t r z e n ie riem anow skie o s t a ł e j k r z y w iź n ie opisywane m etryką:
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEM ATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECHŚWIATA 35
da2 «= R2 / t/ [ d X 2 + sijQ2 x (i C ~)^ + s i n ^ j d . W z a le ż n o ś c i od znaku k rzy w izn y K = +1, - 1 , 0 będą t o odpow ied n io p r z e s t r z e n ie s fe r y c z n e , h ip e r b o lic z n e lu b e u k lid e s o w e . Za k ła d a s i ę ponadto dynamiczny c h a r a k te r ty c h p r z e s t r z e n i , t z n . że w z a le ż n o ś c i od typu modelu p r z e s t r z e n ie t e z w ię k s z a ją lu b
Ol z m n ie js z a ją z czasem sw oją o b ję t o ś ć .
B io rą c za ś pod uwagę m o ż liw o ś c i ob serw a cy jn e w t a k ic h p r z e s t r z e n ia c h , t o wskutek w ystępow ania w s z e r e g u m o d eli tz w .
Qp horyzon tów z d a rzeń lu b c z ą s t e k , są one w y ra źn ie o g ra n ic z o n e . W tym w ię c s e n s ie W szechświat b y łb y p r z e s t r z e n n ie o g ra n ic z o n y i tym samym skoń czon y. Widać w ię c , że w za k re s p ro b le m a ty k i p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechświata wchodzą zarówno c z y n n ik i c z y s t o g e om etryczn e, ja k i dynamiczne o r a z f i z y c z n e . Wydaje s i ę je d n a k , ż e n a jb a r d z ie j podstawowymi są tu c z y n n ik i geom etryczn e i d la t e g o p rzy n a jm n ie j w pierw szym p r z y b liż e n iu z a g a d n ie n ie p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata a n a l i zowane b ę d z ie w tym w ła ś n ie s e n s ie .
W yk o rzystu ją c p o j ę c i e k rzyw izn y p r z e s t r z e n i o r a z to p o lo g i c z n e j cech y z w a r t o ś o i czy t e ż n ie z w a r t o ś c i p r z e s t r z e n i można o k a za ć, że tró jw ym ia ro w e p r z e s t r z e n ie proponowanych p r z e z k o sm o lo g ię R obertson a -W a lkera m o d e li W szechśw iata mogą być skończone lu b n ie s k o ń c zo n e . Z a k ła d a ją c bowiem odpow iednio do znaku k rzy w izn y n a jp r o s t s z e z m ożliw ych t o p o l o g i i , t j . d la k = +1 - t o p o lo g ię tró jw y m ia ro w ej s f e r y /S^/, d la k = 0 - t o p o lo g ię tró jw y m ia ro w e j p r z e s t r z e n i e u k lid e s o w e j / V ? / o ra z d la k = -1 - t o p o l o g i ę tró jw y m ia ro w e j p se u d o s fe ry /H-fy, o trzy m u je s i ę d la m o d e li o k r z y w iź n ie d o d a t n ie j o b j ę t o ś c i skoń czon e, a d la m o d e li o k r z y w iź n ie z e ro w e j i ujemnej o b j ę t o ś c i n ie s k o ń
-83 czone .
K o sm ologia t a i d z i e j e s z c z e d a l e j , w skazu jąc na m o ż li w ości em piryczn ego r o z s t r z y g n i ę c i a o p r z e s t r z e n n e j sk o ń czo - n o ś c i czy t e ż n ie s k o ń c z o n o ś c i r e a ln e g o W szech św iata. W p rop o nowanych p r z e z n ią m odelach u s ta la n e są z w ią z k i pomiędzy zna kiem k rzy w izn y p r z e s t r z e n i i pewnymi w ie lk o ś c ia m i m ie r z a ln y m i, tz w . obserw ablam i, z k tó r y c h n a jw a ż n ie js z e t o ś re d n ia g ę s t o ś ć m a t e r ii W szechśw iata i t z w . param etr hamowania. Prowa d z i t o do m o ż liw o ś c i em piryczn ego o k r e ś le n ia znaku krzyw izn y p r z e s t r z e n i r e a ln e g o W szech św iata, a w k o n sek w en cji do r o z s t r z y g n i ę c i a o je g o p r z e s t r z e n n e j sk o ń czon o ści c z y t e ż n ie s k o ń czo n ości® ^ .
JÓZEF TUREK
w a rto ś c i napomnianych parametrów p r o p o z y c je t e w ydają a ie na p ierw szy r z u t oka bardzo o p ty m is ty c z n e , d z i ę k i czemu kosm olo g ia R obertson a-W alkera z y s k a ła s o b ie pew ien r o z g ł o s . Sprana n ie p rze d sta w ia s ię jednak ta k p r o s t o . N a le ży bowiem pamię t a ć , że p r o p o z y c je t e z o s t a ły w y su n ięte p rzy z a ło ż e n iu , i ż p oszczególn ym krzywiznom o d p o w iadają n a jp r o s t s z e z m ożliw ych t o p o l o g i i . P o w sta je p y ta n ie , czy n ie ma in nych m o ż liw o ś c i. Okazuje s i ę , że są .
Z rozw ażań tz w . problemu C l i f f o r d a - K l e i n a 8 '' w idać ogromną różn orod n ość form to p o lo g ic z n y c h odpow ia d a ją cych p rze strzen io m o s t a ły c h k rzy w izn a ch . Jak dotąd problem te n z o s t a ł n a j l e p i e j przebadany d la trójw ym iarow ych p r z e s t r z e n i o s t a ł e j k rzy w iźn ie. Podana z o s t a ła c a ło ś c io w a k l a s y f i k a c j a tró jw ym ia ro w ych form
to-86 p o lo g ic z n y c h d la p r z e s t r z e n i eu k lid esow y ch i s fe ry c z n y c h oraz niekom pletna je s z c z e , o i l e wiadomo, k l a s y f i k a c j a d la p r z e s t r z e n i h ip e r b o lic z n y o h 8^. O kazało s i ę p r z y tym, że trójw ym ia rowym p r z e s trz e n io m o s t a ł e j d o d a tn ie j k r z y w iź n ie odpowiada nie sk o ń czen ie w ie le różn ych form to p o lo g ic z n y c h , z k tó ry c h wszyst k ie są formami zw artym i. Podobnie n iesk o ń czo n a l i c z b a form to p o lo g ic z n y c h odpowiada trójw ym iarow ym p r z e s tr z e n io m o s t a ł e j ujemnej k r z y w iź n ie . C h a ra k te ry s ty c zn e j e s t jedn ak t o , że są wśród n ic h zarówno form y z w a rte , ja k i n ie z w a r te . w wypadku na- tom ia sttrójw ym ia ro w ych p r z e s t r z e n i o zero w ej k r z y w iź n ie is t n ie j e t y lk o 18 różn ych form t o p o lo g ic z n y c h , z k tó ry c h jed n e
posia-88 d a ją cechę n ie z w a r t o ś c i, in ne z a ś j e j n ie p o s ia d a ją .
S tw ie rd z e n ia t e n ie r o k u ją zb y t o p tym is ty czn y ch perspektyw d la podejmowanych w ramach k o s m o lo g ii R obertson a-W alkera prób r o z s t r z y g n ię c ia o p r z e s t r z e n n e j sk o ń czon o ści czy t e ż nieskoń c z o n o ś c i r e a ln e g o W szech św iata. Wskazują one w y r a ź n ie , że sa ma znajomość k rzyw izn y p r z e s t r z e n i j e s t n ie w y s ta r c z a ją c a do
orzek a n ia o tym, czy W szechśw iat j e s t p r z e s t r z e n n ie skończony czy t e ż n ie s k o ń c zo n y . P r z e s t r z e n ie o zero w ej i ujemnej k rzy w iź n i e , o k tó ry c h mówi s i ę p o w szech n ie, że są n ie sk o ń c zo n e, mogą róv^pież p o sia d a ć zw a rte form y t o p o lo g ic z n e i ja k o t a k ie być skończonym i. Zatem do o rz e k a n ia o p r z e s t r z e n n e j n iesk oń czon o ś c i W szechśw iata ko n ieczn a o k a zu je s i ę znajom ość n ie t y lk o zna ku k rzy w izn y p r z e s t r z e n i, a l e ró w n ie ż t e g o , że j e s t ona top o l o g i c z n i e n ie z w a r ta . Jednoznaczne o k r e ś le n ie i r o z s t r z y g n ię c ie , czy p r z e s t r z e n i r e a l n i e i s t n ie ją c e g o W szechświata cecha ta p rzj s łu g u je i t o w s e n s ie globalnym , p rze k ra c za m o ż liw o ś c i w spół c z e s n e j k o s m o lo g ii r e l a t y w is t y c z n e j. D la tego t e ż problem nieskc
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZECHŚW IATA 37
c z o n o ś c i a k tu a ln eg o W szechświata p o z o s t a je , p rzy n a jm n ie j na obecnym e t a p ie ro z w o ju k o s m o lo g ii, problemem d a le j otw artym .
3 . ZAŁOŻENIOWY CHARAKTER PREZENTOWANEJ PROBLEMATYKI
Mając naszkicow aną p rzy n a jm n ie j w o g ó ln y ch za ry s a c h kon c e p c ję n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata r o z w ija n ą w ramach kosmo l o g i i R obertson a -W a lkera można z k o l e i p o k u sić s i ę o p r z e d s t a w ien ie c h o c ia ż n a jw a ż n ie js z y c h z a ło ż e ń przyjmowanych b a r d z ie j lu b m niej świadomie u podstaw podejmowanej p r o b le m a ty k i.
Na w s tę p ie n a le ż y z a z n a c z y ć , że samo za w ężen ie rozw ażań nad n ie s k o ń c zo n o ś c ią W szechśw iata do k o s m o lo g ii R o b erts o n a - -W alkera j e s t ju ż pewnym z a ło ż e n ie m . Jak wiadomo, k o sm o lo gię t ę sta n o w ią modele W szech św iata, k tó ry c h c z a s o p r z e s t r z e ń o p i sywana j e s t m etryką R o b ertson a -W a lk era i s p e łn ia dodatkowo pewne z a ło ż e n ia /za p ożyczon e z OTW/ d o ty c z ą c e ru ch u *czą stek i p rom ien i ś w ie tln y c h 8^ . To, co j e s t n a jb a r d z ie j c h a r a k te r y s ty c z n e w ty c h m odelach, t o f a k t , że s p e łn ia ją c tz w . Zwykłą Zasadę K o sm ologiczn ą /ZZK/ d o p u s z c z a ją n ie m niej n i ż 6 - p a r a - m etryczn ą grupę s y m e t r i i . Znaczy t o , że i c h tró jw ym ia ro w e p r z e s t r z e n ie p rzy t = c o n s t. muszą być jed n o ro d n e i iz o t r o p o
-qn
we, a w ięc p o s ia d a ją s t a ł ą k rzy w izn ę . B a r d z ie j sym etryczne od n ic h są je d y n ie m odele z tzw . Id e a ln ą Zasadą K o sm o lo g icz ną /IZK/ n a k ła d a ją c ą na c z a s o p r z e s t r z e ń dodatkowo żą d a n ie s t a c jo n a r n o ś c i, a w ięc d o p u szcza ją c e w ię c e j n i ż 6-p a ra m e try - czną grupę automorfizm ów m etryczn ych . I s t n i e j e ró w n ie ż boga t a k la s a m o d e li o m niej n i ż 6-p a ra m e try c zn e j g r u p ie i z o m e t r i i , tz w . m o d eli a n izo tro p o w y ch i jedn orodnych r o z w ija n y c h z m yślą z b l i ż e n i a te o r e t y c z n y c h rozw ażań do obserwowanego w naszym s ą
-q*i
s ie d z t w ie n iejed n o ro d n eg o r o z k ła d u m a t e r i i 7 . W tym w ięc kon t e k ś c ie k o sm o lo gia R ob ertson a -W a lk era ja w i s i ę r z e c z y w iś c ie ja k o s z c z e g ó ln ie w yróżn ion a k la s a m o d eli s p e łn ia ją c y c h bard zo w y id e a liz o w a n e warunki d la ro z k ła d u m a t e r ii we W s z ech św iecie. N iem n iej k o sm o lo gia ta z r a c j i w ła ś n ie t e j p r o s t o t y sta n o w i dogodny punkt w y jś c ia d la sz e re g u b a r d z ie j ju ż s p e c j a l i s t y c z nych rozw aża ń .
ZZK n ie t y lk o w y d z ie la z b o g a t s z e j k la s y m o d eli kosm olo g i ę R ob ertson a -W a lk era , a l e ró w n ie ż w is t o t n y sposób warunku j e w ramach t e j k o s m o lo g ii samo p o d e jś c ie do z a g a d n ie n ia n ie sk o ń czo n o ści W szech św iata. W łaśnie w n a s tę p s tw ie nakładanych p r z e z t ę zasadę na c z a s o p r z e s t r z e ń s y m e t r ii można b y ło wpro w a d zić wspólny d la c a łe g o W szechśw iata układ o d n ie s ie n ia , zwa
ny globalnym układem w spółporuszającym s i ę . W u k ła d zie tym do konuje a lg n iem al a u tom atyczn ie r o z d z i a ł c z a s o p r z e s t r z e n i oso bno na cza s i osobno na p r z e s t r z e ń w t a k i s p o s ó b ,że c z a s mie rzon y względem te g o układu j e s t czasem glo b a ln ym , wspólnym dla ca łe g o W szechświata i stą d zwanym czasem kosmicznym. W konse k w en cji można mówić o je d n e j w sp ó ln ej d la c a łe g o W szechświata h i s t o r i i , k tó rą trudno b y łob y s o b ie w y o b ra zić w wypadku is t n ie n ia je d y n ie czasów w łasn ych . Wiadomo ró w n ie ż o ja k ą p rze s trz e ń t u t a j c h o d z i. Są n ią iz o tr o p o w e i jed n o ro d n e tró jw ym ia ro w e h i- p e rp o w ie rz c h n ie wyznaczone p r z e z c i ę c i a t = c o n s t. Ten rozdział c z a s o p r z e s t r z e n i powoduje zatem , że problem n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechśw iata rozw ażany j e s t osobno w o d n ie s ie n iu do je g o i s t n ie n ia czasowego i osobno w o d n ie s ie n iu do je g o I s t n i e n i a prze s trz e n n e g o ^2.
W yjątkowość t a k i e j s y t u a c ji j e s t aż nadto w idoczna. Prze de w szystkim w k o n te k ś c ie t e o r i i w z g lę d n o ś c i s ta n o w ią c e j pod stawę d la rozw ażań k o sm o lo giczn ych p o ja w ie n ie s i ę jed n eg o wspó] nego d la c a łe g o W szechśw iata czasu kosm icznego i prostopadłych do n ie g o c i ę ć p r z e s trz e n n y c h j e s t czymś r z e c z y w iś c ie bardzo szczeg ó ln ym . W t e o r i i t e j w ie lk o ś c ią n ie z a le ż n ą od układu od n i e s i e n i a , a w ięc je d n o zn a c z n ie o k re ś lo n ą w całym o b s z a rz e je j s to s o w a n ia , j e s t in t e r w a ł c z a s o p r z e s tr z e n n y . Czas n atom iast i p r z e s t r z e ń są w ie lk o ś c ia m i w zględn ym i, ś c i ś l e związanymi z konkretnym układem o d n ie s ie n ia i d la t e g o n ie mogą być w spo sób jed n ozn a czn y odnoszone do c a łe g o W szech św iata. Tylko w wy padku s z c z e g ó ln ie sym etryczn ego ro z k ła d u m a t e r ii, k ied y m o żli we j e s t w prowadzenie g lo b a ln e g o układu w sp ó łp o ru sza ją cego s ię , c za s i p r z e s t r z e ń n a b ie r a ją ch a ra k teru u n iw e rs a ln e g o . Natomiasl w in n ych układach o d n ie s ie n ia każdy o b s e rw a to r ma swój własny
93
c za s i sw o ją własną p r z e s tr z e ń ^ . Z a leżn o ś ć ic h od układu od n ie s ie n ia j e s t ta k d a le k a , że względnym i o k a zu ją s i ę ta k ż e ce-
94
chy im przyp isyw a n e . Z a in ic jo w a n e w la t a c h p ię ć d z ie s ią t y c h bi dania A. L . Zelmanowa w yk a za ły, że j e ś l i p r z y jm ie s i ę n i e j e d norodny r o z k ła d m a t e r ii we W szecliśw iecie, t o można otrzym ać do wolną i l o ś ć układów o d n ie s ie n ia , w k tó ry c h W szechśw iat b ęd zie p r z e s t r z e n n ie n iesk oń czon y o ra z dowolną i l o ś ć , w k tó r y c h bę d z ie on s k o ń c z o n y ^ . R o z p a tru ją c zaś ró żn e modele k o sm o lo g icz ne Zelmanow z n a la z ł p a radoksaln e na p ie r w s z y rz u t oka m iędzy nim i z w ią z k i. Tak n p. model p o s ia d a ją c y n iesk o ń czo n ą p r z e s t r z e ń o kazu je s i ę je d y n ie ograniczonym obszarem in n e g o modelu
Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCZONOŚCI W SZEC H ŚW IA TA 39
O czyw istą konsekw encją t a k i e j s y t u a c j i w ydaje s i ę być n ie t y lk o r e la t y w iz a c ja samej p ro b le m a ty k i n ie s k o ń c z o n o ś c i, a l e w o g ó le p o s ta w ie n ie pod znakiem z a p y ta n ia m o ż liw o ś c i po dejmowania p r z e z k o sm o lo gię n ie ro b e rts o n o w s k ą za g a d n ie n ia n ie sk o ń czon o ści W szechświata"*”^. Wskazuje t o j e s z c z e w y r a ź n ie j na b e z p o ś re d n ią z a le ż n o ś ć rozw aża n ej p r z e z k o sm o lo gię R o b erts o n a - -W alk era p ro b le m a ty k i n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata od p r z y j ę ty c h u j e j podstaw z a ło ż e ń o izotropow ym i jednorodnym r o z k ła d z ie m a t e r ii.
S z e re g z a ło ż e ń zw iązan ych j e s t z samą c h a ra k te ry s ty k ą czasow ej i p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c z o n o ś c i W szech św iata. D oty czą one zarówno k o n c e p c ji czasu i p r z e s t r z e n i, ja k i sposobów o k r e ś la n ia ic h n ie s k o ń c z o n o ś c i. C hodzi tu o t z w . r e la c y jn ą a l bo atryb u tyw n ą k o n c e p c ję czasu i p r z e s t r z e n i , a ta k ż e o s tr u k tu rę ic h m etryczn ą i t o p o lo g ic z n ą .
W pierw szym wypadku b i e r z e s i ę pod uwagę stosu n ek czasu i p r z e s t r z e n i do m a t e r ii, do ś w ia ta m a t e r ia ln e g o . Zgodnie z t e o r i ą w z g lę d n o ś c i cza s i p r z e s t r z e ń n ie są w ie lk o ś c ia m i a b so lu tn ym i, is t n ie ją c y m i n ie z a le ż n ie od m a t e r ii, ta k ja k ma t o m ie js c e w wypadku k o n c e p c ji n ew to n ow sk ie j88, a l e ś c i ś l e z n ią powiązanymi od n i e j u z a le żn io n y m i. J e s t to w ię c r e l a
-q -q
cy jn a ko n cep cja czasu i p r z e s t r z e n i , p o z o s ta ją c a w pewnej łą c z n o ś c i z t z w . k o n c e p c ją atrybutyw n ą^0 8 . W łasn ości czasu i p r z e s t r z e n i są zaprogramowane w samej s tr u k tu r z e m a t e r ii,
do t e g o s to p n ia p r z e z n ią zdeterm in ow ane, że n ie może być p u stych zarówno momentów czasow ych, ja k i punktów p r z e s t r z e ń -n ych . Ś w iat m a te r ia l-n y -n ie ja k o gw a ra -n tu je i s t -n i e -n i e czasu
101
i p r z e s t r z e n i .
To ś c i s ł e p o w ią za n ie w ła s n o ś c i cza su i p r z e s t r z e n i z w ła s n ościam i ś w ia ta m a te r ia ln e g o sp ra w ia , że problem cza so w ej i p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata n ie r ó ż n i s i ę od problemu n ie s k o ń c z o n o ś c i czasu i p r z e s t r z e n i branych same w s o b ie . Mówiąc in a c z e j , problem y t e s i ę ze sobą p o k ryw ają , ta k ż e odpow iedź na p ie r w s z y z n ic h j e s t id e n ty c z n a z odpow ie d z ią na d r u g i i o d w ro tn ie . U praszcza t o w is t o t n y sposób s y t u a c ję , gd yż mamy do c z y n ie n ia t y l k o z jednym problemem, a n ie z dwoma. Wykluczona j e s t n p . s y t u a c ja , w k t ó r e j cza s j e s t n ie o g ra n ic z o n y i bez punktów końcowych, a W szechśw iat j e s t a lb o o g ra n ic z o n y w c z a s ie i ma dwa punkty / s ta n y / końcowe, a lb o j e s t w c z a s ie n ie o g ra n ic z o n y i ma je d e n punkt /stan/ k ońco-
102
sza w pewnym s e n s ie m o ż liw o ś c i o rzek a n ia o n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechśw iata, gdyż w s z e lk ie a n a liz y s tru k tu ry czasu i p r z e
s t r z e n i w k o n te k ś c ie ic h n ie s k o ń c z o n o ś c i mogą być n ie ja k o auto m a tyczn ie odnoszone do n ie s k o ń c zo n o ś c i W szech św iata.
I s t n ie ją c a zatem u podstaw k o s m o lo g ii Robertsona-W alkera r e la c y jn a k o n cep cja czasu i p r z e s t r z e n i w pewnym z a k r e s ie wa runkuje o ra z wyznacza p o d e jś c ie do p r o b le m a ty k i nieskończon o ś c i W szech św iata. W przeciwnym r a z i e problem atyka ta m usiała by in a c z e j byś ro zp a tryw a n a.
P rzy p isy w a n ie n ato m ia st cza so w i i p r z e s t r z e n i w ła sn ości m etryczn ych i t o p o lo g ic z n y c h sprowadza w ła ś c iw ie c a łą charakte r y s ty k ę n ie s k o ń c zo n o ś c i W szechśw iata do ty c h dwóch c e c h . Ma to is t o t n ą z a l e t ę , gdyż pozwala sto sow a ć d o b rze z d e fin io w a n e po j ę c i a matematyczne do u ś c iś la n ia ogrom nie skom plikowanej pro b lem a ty k i n ie s k o ń c zo n o ś c i W szech św iata. P ł a c i s ię jednak za to cenę pewnego redu kcjon izm u . P o w sta ją bowiem w ą t p liw o ś c i, czy j e s t to w yczerpu jąca c h a ra k te ry s ty k a problem u, czy n ie pomija s i ę w te n sposób pewnych w ła s n o ś c i czasu i p r z e s t r z e n i, któ ry ch u w zg lę d n ie n ie mogłoby okazać s i ę ró w n ie ż ważne p rzy okre ś la n iu ic h n ie s k o ń c z o n o ś c i. W s z c z e g ó ln o ś c i o d n o si s i ę t o do czasu , któremu nawet w je g o fiz y k a ln y m u ję c iu trudno p r z y p i sać sens zw y k łe j t y lk o w s p ó łrz ę d n e j p r z e s t r z e n n e j.
Prow adzić t o musi do b a r d z ie j r e a l i s t y c z n e j postawy wo bec t e j c h a r a k t e r y s t y k i, z w ła s z c z a gdy weźmie s i ę pod uwagę, że t a k ie w ła s n o ś c i t o p o lo g ic z n e ja k jednow yiniarow ość, spójność, n ie z w a rto ś ć czy t e ż n ie r o z g a łę z io n o ś ć są przyp isyw a n e czasow i n a jc z ę ś c ie j na p o d sta w ie zw ykłych t y lk o k o n w e n c ji. N ie ma bo wiem, ja k wskazują na t o przeprow adzone p r z e z Z . Augustynek rozw ażan ia nad statusem ep iste m o lo g iczn y m ty c h o d n ie s ie ń , wy raźn ych danych em pirycznych czy t e ż r a c j i te o r e t y c z n y c h o r z e k a ją cy c h , że r e a ln y czas p o sia d a t a k i e w ła ś n ie cec h y 10-*.
B io rą c w ięc pod uwagę r o l ę , ja k ą w ła s n o ś c i t e o d e g r a ły w o k r e ś la n iu p rob le m a tyk i cza so w ej n ie s k o ń c zo n o ś c i Wszechświa t a , z a ło ż e n io w y c h a ra k te r t e j p ro b le m a ty k i ja w i s ię bardzo wy r a ź n ie i t o n ie ja k o w dwóch wym iarach. Z je d n e j s tr o n y wspomnia ne w ła s n o ś c i w is t o t n y sposób w yzn a c za ją c a ł o k s z t a ł t p o d e jś c ia do t e j p ro b le m a ty k i, a z d r u g ie j same są przyjmowane na pod s ta w ie zw ykłych kon w en cji lu b z a ło ż e ń .
Wydaje s i ę jed n a k , ż e n a jw y r a ź n ie j s tro n a za ło ż e n io w a da j e o s o b ie znać p rzy próbach r o z s t r z y g a n ia , ja k im j e s t a k tu a l ny W szechświat - skończony czy t e ż n iesk o ń c zo n y. P y ta n ie t o
wy-Z A Ł O Ż E N IA PROBLEMATYKI NIESKOŃCwy-ZONOŚCI W Swy-ZECHŚW IATA 41
d a je a lg być podstawowym i n a jb a r d z ie j in te re s u ją c y m w c a ł e j p ro b le m a tyce n ie s k o ń c z o n o ś c i W szech św iata.
W p e ł n i za d o w a la ją c e r o z s t r z y g n i e c i e t e j k w e s t ii j e s t m ożliw e je d y n ie o p ie r a ją c s i ę na danych o b serw a cy jn y ch , ja k o że c h o d zi o r z e c z y w is t y W szech św iat. Oznacza to sp row a d zen ie c a łe g o z a g a d n ie n ia do o b s e rw a c y jn e j s tr o n y k o s m o lo g ii, k tó ra ja k wiadomo, n ie j e s t n ajm ocn iejszym j e j punktem. D z ie je s i ę ta k n ie t y l k o z r a c j i c z y s t o te c h n ic z n y c h , k t ó r e z b ie g ie m czasu mogą byó usuwane, a l e p rze d e w szystkim z r a c j i b a r d z ie j fundam entalnych, zw iązan ych z n a tu rą samej k o s m o lo g ii i l o k a l
-104
nym ch arakterem dokonywanych o b s e r w a c ji .
K o sm o lo gię in t e r e s u je w ie lk o s k a lo w a s tru k tu ra Wszech ś w ia ta 10^ . J e s t t o s z c z e g ó ln ie i s t o t n e w wypadku je g o n ie s k o ń c z o n o ś c i, k ie d y to m etryczn e i t o p o lo g ic z n e w ła s n o ś c i Wszech św ia ta winny być o k r e ś lo n e w w ym iarze glo b a ln ym . O bserw acje jedn ak mogą s p e łn ia ć t o t y l k o lo k a l n i e i s tą d ro d z ą s i ę n a jp o w a ż n ie js z e tr u d n o ś c i ja k na p o d sta w ie t a k ic h o b s e r w a c ji r o z s t r z y g a ć o g lo b a ln y c h w ła s n o ś c ia c h W szech św iata10^ .
W przypadku cza so w ej n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata tru d n o ś c i t e n ie u w id a c z n ia ją s i ę na p ie r w s z y r z u t oka z b y t d ra s t y c z n i e , gd yż ja k b y ło t o ju ż wspominane, problem sprowadza s ię w ła ś c iw ie do wyboru modelu W szechśw iata z o s o b liw o ś c ią czy t e ż bez n i e j . Jednak wybór t a k i n ie j e s t m ożliw y bez w ie dzy o g lo b a ln y c h w ła s n o ś c ia c h W szech św iata, co w yraźn ie o d s ła n ia i s t n i e n i e wspomnianych t r u d n o ś c i.
N atom iast odnośn ie do p r z e s t r z e n n e j n ie s k o ń c z o n o ś c i W szechśw iata tru d n o ś c i zw iązan e z p r z e jś c ie m od lo k a ln y c h o b s e r w a c ji do o r z e c z e ń o c h a ra k te rz e globa ln ym tk w ią u samych podstaw n ie ja k o t e g o z a g a d n ie n ia . Widać t o zarówno w o d n ie s ie n iu do k rzy w izn y p r z e s t r z e n i, ja k i t o p o lo g ic z n e j cechy n ie -
z w a r t o ś c i. •
P o m ija ją c znaczne j e s z c z e n ie d o k ła d n o ś c i w w yznaczaniu k rzy w izn y p r z e s t r z e n i zw iązan e z aktu aln ym i m o żliw o śc ia m i te c h n iczn y m i o b s e r w a c ji, a ta k ż e w s z y s t k ie s t o ją c e za tym i obserw
a-107
c ja m i t e o r e t y c z n e uwarunkowania , n a le ż y w yraźn ie zdać s o b ie spraw ę, ż e może ona być o k re ś lo n a je d y n ie d la obszaru lo k a ln e g o . Zatem sama z s i e b i e n ie może s łu ż y ć ja k o podstawa do r o z s t r z y g a n ia o p r z e s t r z e n n e j sk o ń czon o ści c z y t e ż n iesk o ń c zo n o ś c i W szech św iata . Koniecznym j e s t o k r e ś le n ie j e j d la c a łe g o W szech św iata, a w ię c nadanie lokalnym obserwacjom wydźwięku g lo b a ln e g o . Z a b ie g t a k i j e s t m ożliw y je d y n ie na p o d sta w ie
