Planowanie i kontrola realizacji projektów z rozmytymi czasami trwania zadań

DOROTA KUCHTA Politechnika Wrocławska

Streszczenie

Artykuł proponuje metod planowania i kontroli realizacji projektów, w których czasy trwania zada
– zarówno w fazie planowania projektu, jak i w fazie realizacji – mog by szacowane w postaci trójktnych liczb rozmytych. W fazie planowania i w kolejnych punktach kontrolnych generowane s harmonogramy z dokładnymi planowanymi momentami rozpoczcia zada
oraz z rozmytym oszacowaniem czasu realizacji całego projektu. Kolejne harmonogramy maj nie tylko minimalizowa czas realizacji projektu, lecz by w maksymalnym stopniu zgodne z harmonogramem pierwotnym.

Słowa kluczowe: rozmyte czasy zada, harmonogramowanie projektu. 1. Wprowadzenie

Problem planowania projektów jest bardzo czsto rozwaany w literaturze, poniewa jest on wany z praktycznego punktu widzenia, a nie jest do koca rozwizany. To ostatnie stwierdzenie wynika z faktu, e bardzo wiele projektów nie jest realizowanych zgodnie z planami, a odchylenia od planów s czsto na tyle due, e projekt koczy si całkowit lub czciow porak: koczy si czas i/lub kocz si fundusze przewidziane na realizacj projektu, a jego cel nie został w wystarczajcym stopniu zrealizowany.

Problemy z generowaniem takiego planu projektu, który pozwoliłby – przynajmniej do pewnego stopnia – na przewidywalno czasu i kosztów realizacji celów projektu, wynikaj z wielu czynników. Najistotniejszym wydaje si fakt, e kady projekt jest w znacznym stopniu unikalny, dlatego na etapie planowania projektu nie mona przewidzie wielu czynników i ich wpływu na jego realizacj. Ten fakt jest oczywisty i uwzgldnia si go w literaturze od wielu lat, m.in. (jeli chodzi o aspekt planowania projektu w czasie) w ten sposób, e rozpatruje si czasy trwania zada bdce zmiennymi losowymi (od 1958 r. znana jest metoda PERT), uwzgldnia si bufory ([3, 4]) czy te dopuszcza si czasy trwania zada bdce liczbami rozmytymi (np. [1, 2, 3]).

W niniejszym artykule zajmiemy si ostatnim podejciem. Rozkłady zmiennych losowych najczciej s bowiem trudne do okrelenia ze wzgldu na niepowtarzalno projektów i warunki, jakie musz spełnia rozkłady zmiennych losowych (szersz dyskusj na temat rónic midzy podejciem probabilistycznym i rozmytym mona znale  w [5]). Stosowanie buforów jest w istocie szczególnym przypadkiem podejcia rozmytego, w którym wymagane jest podanie moliwych zakresów czasów trwania zada projektów, odpowiadajcych rónym stopniom moliwoci, przy czym warunki, jakie musz spełnia rozkłady rozmyte, nie s a tak restrykcyjne, jak w przypadku rozkładów prawdopodobiestwa.

Jak ju wspomniano, podejcie rozmyte w planowaniu projektów, polegajce na dopuszczaniu planowanych czasów realizacji zada w postaci liczb rozmytych, nie jest niczym nowym.

Niemniej jednak w absolutnej wikszoci prac powiconych zastosowaniu tego podejcia proces planowania ograniczony jest do wyznaczenia planowanego rozmytego czasu realizacji przedsiwzicia oraz tzw. stopnia krytycznoci poszczególnych zada (pojcie to jest uogólnieniem klasycznego pojcia zadania krytycznego), pokazujcego, w jaki stopniu dane zadania stanowi zagroenie dla planowanego czasu realizacji. Tymczasem, jak wiadomo z klasycznej metody cieki krytycznej, okrelenie czasu realizacji projektu i krytycznoci zada nie koczy procesu planowania. Kolejnym krokiem jest ustalenie harmonogramu realizacji projektu, czyli konkretnego kalendarza prac. Z prac powiconych podejciu rozmytemu w projektach ten etap obejmuje jedynie artykuł [9], gdzie wyznaczane s zarówno rozmyte, jak i – w dalszym etapie – dokładne planowane momenty rozpoczcia poszczególnych zada. Zatem mona powiedzie, e podejcie rozmyte do planowania projektu obejmuje w literaturze, jak dotd, jedynie wstpny etap planowania, w którym okrela si ramy czasowe dla projektu oraz wyznacza pewne charakterystyki czasowe zada, a w stopniu jedynie czstkowym zajmuje si dalszym etapem planowania, czyli wyznaczaniem planowanego harmonogramu realizacji projektu, tzw. planowaniem reaktywnym ([6]). Celem niniejszego artykułu jest cho czciowe wypełnienie tej luki.

Jak zaznaczono wyej, planowanie projektów powinno by takie, by w pewnym stopniu pozwalało na prognoz rzeczywistoci. Obecnie znaczna cz planów projektów nie jest realizowana z sukcesem. Czy planowanie rozmyte moe t sytuacj zmieni? Trudno tu mówi o dowiadczeniach praktycznych, bo literatura jak dotd całkowicie pomija przy podejciu rozmytym etap kontroli realizacji projektu. Wydaje si, e podejcie rozmyte do planowania projektów moe pomóc w tworzeniu bardziej realistycznych planów projektów – jako e pozwala uwzgldni niepewno, niezupełno wiedzy o przebiegu projektu, która zawsze w mniejszym lub wikszym stopniu jest zwizana z planowaniem projektów. Jednak eby zweryfikowa t tez, trzeba porównywa „rozmyte” plany projektów z ich realizacj. Z kolei, aby to robi, trzeba dysponowa metodami kontroli realizacji rozmytych planów. Takich metod jak dotd nie zaproponowano.

W niniejszym artykule zaproponujemy po pierwsze pewne podejcie do tworzenia planowanego harmonogramu w sytuacji, kiedy czasy trwania zada bd zadane w postaci liczb rozmytych. Bdzie to podejcie zakładajce inn, bardziej pesymistyczn postaw decydenta ni jedyne znane z literatury podejcie do budowania harmonogramów projektów w sytuacji rozmytych czasów trwania zada, zaprezentowane w [9]. Nastpnie zaproponujemy pierwsze w literaturze podejcie do kontroli realizacji harmonogramu wygenerowanego w przypadku rozmytych czasów trwania projektu.

2. Wybrane informacje na temat podejcia rozmytego do planowania

W tytule niniejszego rozdziału umieszczono słowo „planowanie” w sensie estymacji dowolnych wartoci liczbowych potrzebnych na „wejciu” procesu planowania projektu czy innej formy działalnoci. Estymacja ta ma by oparta na dowiadczeniu i wiedzy eksperckiej i powinna uwzgldnia równie niepewno i brak wiedzy, moliwo wystpienia rónych scenariuszy.

Zakładamy zatem, e w procesie planowania potrzebna nam jest aktualna wiedza na temat wartoci liczbowej pewnej wielkoci A, która wystpi (jednokrotnie) w przyszłoci. T nieznan rzeczywist warto oznaczmy jako a . Ekspert wyraa swoj aktualn wiedz na jej temat r w postaci trójktnej liczby rozmytej. Inne, ogólniejsze postacie liczb rozmytych s omówione np.

w [5]. Z praktycznego punktu widzenia zazwyczaj wystarczaj liczby rozmyte trójktne, trapezowe lub ogólnie liczby typu L-R ([5]). W niniejszym artykule oganiczamy si do liczb trójktnych, poniewa przeniesienie zaproponowanej metody na wymienione inne typy liczb rozmytych jest bezporednie. Trójktna liczba rozmyta jest postaci a~ =

(

a,a,a

)

, gdzie a ,,aas dowolnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, e a≤a≤a. Liczba rozmyta a~ =

(

a,a,a

)

informuje, e zdaniem eksperta a bdzie zawarte w przedziale r

[ ]

a,a i co do tego faktu ekspert jest pewny w stopniu 1. Jego pewno jest tym mniejsza, im bardziej chcielibymy ograniczy zakres moliwych wartoci wielkoci A. Ten fakt modelowany jest za pomoc tzw. poziomów liczby rozmytej a~ =

(

a,a,a

)

, definiowanych dla λ∈[0,1] jako

(

)

(

)

[

a a a a a a

]

aλ = −λ − , +λ − (1)

λ wyraa stopie, w jakim ekspert jest pewny, e warto a bdzie zawarta w przedziale r a . λ Oznacza to, e jeli akceptujemy pewien poziom ryzyka, moemy przyj do celów planowania przedział mniejszy ni

[ ]

a,a , ale mamy wtedy wiadomo, i istnieje moliwo, e warto ar bdzie wykraczała poza przyjty dla przedział. Ryzyko przyjcia dla wartoci a przedziału nie r zawierajcego wartoci A moemy mierzy za pomoc wyraenia 1− . Przykładowo, jeli λ

akceptujemy ryzyko pomyłki w oszacowaniu wartoci a na poziomie 0,2. to powinnimy przyjr za przedział moliwych wartoci A przedział a0,8=

[

a−0,8

(

a−a

)

,a+0,8

(

a−a

)

]

. Dodawanie trójktnych liczb rozmytych jest definiowae jako dodawanie odpowiednich prametrów. Liczba rzeczywista a bdzie traktowana jako szczególny przypadek trójktnej liczby rozmytej

(

a ,,aa

)

, spełniajcy warunek a=a=a.

3. Wybrane informacje na temat planowania i kontroli czasu realizacji projektów w przypadku nierozmytym

Planowanie projektu oraz kontrola realizacji projektu obejmuje szereg rónorodnych zagadnie, my ograniczamy si tutaj do planowania projektu w czasie i kontroli czasu jego realizacji, i to w przypadku, kiedy umiemy ju oszacowa planowany czas realizacji poszczególnych zada projektu oraz moemy załoy, e dysponujemy dostateczn liczb zasobów do realizacji projektu – niezalenie od tego, w jaki sposób wykonywanie poszczególnych zada bdzie rozłoone w czasie. Zakładamy równie znajomo relacji poprzedzania midzy poszczególnymi zadaniami, przy czym przyjmujemy, e moliwe s jedynie relacje typu „koniec-pocztek”, wymagajce, by – jeli relacja zachodzi midzy zadaniami X i Y, gdzie zadanie X jest poprzednikiem, a Y nastpnikiem, co bdziemy zapisywa jako K_P(X,Y) – koniec realizacji zadania X nastpił przed lub najpó niej w momencie rozpoczcia realizacji zadania Y. Przyjmujemy, e relacje poprzedzania s sztywne, tzn. nie mog by zmieniane w trakcie realizacji projektu.

Projekt bdzie zatem dla nas zbiorem n zada Z₁,...,Z_n, takich e znane s pary

(

Z_i ,Z_i

)

,i₁,i₂ 1,...n

2

1 = dla którychK_P

(

Zi1,Zi2

)

. Dla kadego zadania Zi, =i 1,...,ndefiniujemy

nastpnikówNAS

( )

Z_i , zdefiniowany jako

{

Z_j:K_P

(

Z_i,Z_j

)

}

. Zakładamy równie, e moemy oszacowa czasy realizacji poszczególnych zada. Szacowane wielkoci czasów realizacji zada w momencie planowania projektu bdziemy oznacza jako c_i0,i=1,...,n.

Planowanie projektu bdziemy rozumieli jako wyznaczenie pewnego harmonogramu, czyli zbioru par

(

s0_i,f_i0

)

, zawierajcych odpowiednio planowany moment rozpoczcia i zakoczenia i-tego zadania, spełniajcych relacje poprzedzania, czyli nierównoci 0 0

1 2 i i f s ≥ jeli mamy

(

₁, ₂

)

_PZ_i Z_i

K . Dla kadego i=1,...,nmusimy mie oczywicie spełnion równo 0 0 0 i i i c f

s + = . Kady zbiór par o wymienionych własnociach bdzie dopuszczalnym harmonogramem, my natomiast bdziemy poszukiwali harmonogramów optymalnych ze wzgldu na zadane kryterium optymalnoci. Przyjmujemy, e tym kryterium, które ma osign warto minimaln, jest planowany projektu moment zakoczenia całego projektu TZ , równy 0 0

,..., 1 max _i n i f = . W celu wyznaczenia jednego z harmonogramów minimalizujcych TZ0naley rozwiza nastpujce zadanie programowania liniowego ze zmiennymi decyzyjnymi s_i0,f_i0,i=1,...,ni α.

min → α n i f_i0, =1,..., ≥ α n i f c s_i0+ _i0 = _i0, =1,..., 0 0 i j f s ≥ dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i (3) n i f s_i0, _i0≥0, =1,...,

Na rozwizaniu problemu (3) koczy si proces planowania projektu w jego ograniczonej wersji, rozpatrywanej w niniejszym artykule. Przynajmniej jedna z wartoci s_i0,i=1,...,nbdzie wynosiła 0, zatem na moment 0 jest zaplanowane rozpoczcie realizacji projektu. Optymalna warto funkcji celu problemu (3) jest planowanym terminem zakoczenia całego projektu, oznaczmy j przez TZ . Harmonogram wyznaczony na etapie planowania projektu okrelany jest 0 mianem harmonogramu bazowego.

Kontrola realizacji projektu przeprowadzana jest przeprowadzana w wybranych momentach, w regularnych odstpach czasu i/lub w momentach narzuconych poprzez szczególne wydarzenia, takie jak odbiory prac itp. Zakładamy, e jest ona przeprowadzana w momentach t_l

(

l=1,...,L

)

, gdzie t₁>0, a t =_L TZr, a TZrjest momentem rzeczywistego zakoczenia projektu.

Kontrola realizacji projektu obejmuje, podobnie jak planowanie, rónorodne aspekty. W niniejszym artykule ograniczono si do weryfikacji czasu realizacji projektu oraz korekty planowanych momentów rozpoczcia i zakoczenia jeszcze nie rozpocztych lub nie zakoczonych zada, przebiegajcej w nastpujcy sposób:

I w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

zbierane s informacje pozwalajce okreli nastpujce zbiory: a) _ZAKtl_{: zbiór tych zada Z i n}

b) _{REA : zbiór tych zada}tl _{Z i n}

i =1,..., , które w momencie t s realizowane, tzn. l

zostały rozpoczte, ale nie zostały zakoczone c) _{NRP : zbiór tych zada}tl _{Z i n}

i =1,..., , które do momentu t nie zostały rozpoczte l

II dla zada tl

i ZAK

Z ∈ zbierana jest informacja o ich rzeczywistym momencie rozpoczcia

r i

s , zakoczenia f oraz o rzeczywistym czasie trwania _ir c (naturalnie _ir c =_ir f -_ir s ); _ir III dla zada tl

i REA

Z ∈ zbierana jest informacja o ich rzeczywistym momencie rozpoczcias oraz skorygowana informacja o ich przewidywanym całkowitym czasie trwania, _ir okrelonym według stanu wiedzy na moment t , oznaczona jako _l tl

i

c (zazwyczaj łatwiej bdzie zebra informacj o pozostałym przewidywanym czasie trwania zadania, ale po dodaniu go do dotychczasowego czasu trwania otrzymamy tl

i

c ); IV dla zada tl

i NRP

Z ∈ zbierana jest informacja o ich przewidywanym całkowitym czasie trwania, okrelonym według stanu wiedzy na moment t , oznaczona jako _l tl

i

c ; Korekty wspomniane w punktach iii) i iv) mog, ale nie musz nada tl

i

c warto inn ni 0

i

c . Czsto jednak bdzie to inna warto – zwłaszcza w punkcie ii), który dotycz zada ju realizowanych. Jednak równie w przypadku zada jeszcze nie rozpocztych im pó niej, tym wiedza eksperta o ich przewidywanym czasie realizacji moe si zmienia, na podstawie dowiadczenia i choby informacji z punktu i) – o rzeczywistych czasach realizacji zada ju zakoczonych, które mog by w jakim stopniu podobne czy powizane z zadaniami jeszcze nie rozpocztymi.

Na podstawie informacji z punktów i)-iv) naley wygenerowa w momencie t skorygowany _l harmonogram, czyli zbiór par

(

l tl

)

i t

i f

s , , zawierajcych odpowiednio planowany w momencie t_l moment rozpoczcia i zakoczenia i-tego zadania, i=1,...,n – przy czym dla tych i=1,...,n, e

l

l t

t

i ZAK REA

Z ∈ ∪ mamy s_itl_{= oraz dla tych} s_ir _{i=1,...,n, e} tl

i ZAK

Z ∈ mamy f_itl₌f_ir_. Ponadto musz by oczywicie spełnione warunki:

• l tl i t i f s 1

2 ≥ jeli jest wymagana relacja K_P

(

Zi1,Zi2

)

• dla kadego i=1,...,n l l tl i t i t i c f

s + = , gdzie c_itl ₌c_ir _{dla tych i=1,...,n, e}

l

t

i ZAK

Z ∈ .

Oczywicie teoretycznie moliwe s sytuacje, kiedy dla kadego t_l

(

l=1,...,L

)

bdziemy mieli st_il ₌s0_{i i} 0

i t

i f

f l _{= . Oznaczałoby to, e projekt został zrealizowany dokładnie zgodnie}

z planem. Jest to sytuacja idealna, która w rzeczywistoci rzadko bdzie miała miejsce. W praktyce niestety czste jest istnienie w niektórych momentach kontrolnych nawet takich

n

i=1,..., , e s <_i0 t_l, a tl

i NRP

Z ∈ – a taka sytuacja automatycznie oznacza, e pierwotny harmonogram

(

s

i0

,

f

i0

)

nie moe by zrealizowany i musi zosta wyznaczony nowy

harmonogram.

Problem wyznaczania skorygowanego harmonogramu jest rozwaany w stosunkowo niewielkiej liczbie pozycji literaturowych ([6,7,8]). O ile w momencie planowania projektu bardzo czstym i do jednoznacznie nasuwajcym si kryterium wyboru jednego z dopuszczalnych harmonogramów jest minimalizacja planowanego czasu realizacji całego projektu (model (3)), o tyle na etapie kontroli realizacji minimalizacja planowanego (w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

) czasu realizacji projektu jest tylko jednym z kryteriów i nie zawsze najwaniejszym. Czsto równie wane s kryteria mierzce zgodno skorygowanego harmonogramu z harmonogramem bazowym – poniewa przygotowania do realizacji projektu bd ustalenia co do czasu dostpnoci zasobów mog by na tyle sztywne, e zmiana harmonogramu wykonywania poszczególnych zada moe nastrcza trudnoci – bd kryteria zwizane z priorytetem wykonywania poszczególnych zada, wynikajcym z okolicznoci powstałych ju podczas realizacji projektu. Tutaj proponujemy uwzgldnienie kryterium zgodnoci z harmonogramem pierwotnym, bazowym (obok kryterium minimalizacji planowanego w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

czasu realizacji projektu), stosujc przy tym do powstałego problemu wielokryterialnego podejcie satysfakcjonujcego poziomu kryteriów – miary zgodnoci harmonogramu skorygowanego w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

z harmonogramem biecym zostan wyraone w postaci ogranicze, których lewa strona bdzie ustalana w dialogu z decydentem.

Zatem harmonogram

(

l tl

)

i t

i f

s , , t_l

(

l=1,...,L

)

bdzie rozwizaniem nastpujcego zadania programowania liniowego, w którym zmiennymi decyzyjnymi s sl ftl i n

i t

i , , =1,..., i α, pozostałe

wielkoci s danymi wejciowymi, których musi dostarczy decydent: min → α n i s s_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl tl i ZAK REA Z ∈ ∪ (4) n i c c_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl i ZAK Z ∈ (5) n i f f_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl i ZAK Z ∈ (6) n i f c sl l tl i t i t i + = , =1,..., n i ftl i , =1,..., ≥ α n i f c sl l tl i t i t i + = , =1,..., l l t i t j f s ≥ dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i n i P s sl tl i i t i − 0≤ , =1,..., takie, e Z ∈i NRPtl (7) n i S s s l tl i t i i0− ≤ , =1,..., takie, e Z ∈i NRPtl (8) n i f sl tl i t i , ≥0, =1,...,

W ograniczeniach (4)-(6) przyjmuj swoje stałe wartoci te zmienne decyzyjne, których warto w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

jest ju ustalona. W ograniczeniach (7) i (8) ujto kryterium zgodnoci zmodyfikowanego harmonogramu z harmonogramem bazowym. Zakładamy, e najwaniejsza jest dla nas zgodno terminów rozpoczcia poszczególnych zada z terminami zaplanowanymi w harmonogramie bazowym i ograniczenia te nie dotycz terminów zakoczenia. Parametry Sl Ptl i n

i t

i , , =1,..., dotycz dopuszczalnego opó nienia (7) i przypieszenia (8) terminu

rozpoczcia danego zadania w stosunku do harmonogramu bazowego. Parametry te mog by zmieniane w punktach kontrolnych t_l

(

l=1,...,L

)

. Mog take przyjmowa bardzo du warto, co bdzie odpowiadało sytuacji, e przypieszenie bd opó nienie danego zadania nie jest dla decydenta wane. Dalej, jeli okae si, e problem (4)–(8) nie ma rozwizania, decydent w trybie konwersacyjnym bdzie musiał podwyszy niektóre wartoci tl

i

S lub Ptl i n

i , =1,..., , poniewa

nie bdzie moliwa wymagana zgodno zmodyfikowanego harmonogramu z harmonogramem bazowym.

Optymalna warto funkcji celu problemu (4)–(8) bdzie terminem zakoczenia całego projektu według stanu wiedzy na punkt kontrolny t_l

(

l=1,...,L

)

. Oznaczmy j jako _{TZ . Mona} tl

j zestawi z pierwotnie planowanym terminem zakoczenia projektu TZ i podj odpowiednie 0 kroki (rozmowy z klientem, z podwykonawcami, szukanie dodatkowych zasobów w celu skrócenia przewidywanych czasów realizacji zada tl tl

i REA NRP

Z ∈ ∪ itp.), jeli _{TZ nie jest} tl

moliwe do zaakceptowania. Jeli uda si znale  sposób skrócenia przewidywanych czasów realizacji niektórych zada tl tl

i REA NRP

Z ∈ ∪ , odpowiednie wartoci tl+1

i

c (lub c dla zada_ir

(

_∪

)

_∩ +1 ∈ tl tl tl i REA NRP ZAK Z ) bd mniejsze od tl i c , t_l

(

l=1,...,L

)

. Oczywicie, zadowalajca warto_{TZ nie oznacza, e ostateczny termin zakoczenia projektu} tl _{TZ bdzie jej} r

bliski, czyli te zadowalajcy, bo midzy punktem kontrolnym t_l

(

l=1,...,L

)

a momentem zakoczenia projektu mog zdarzy si rzeczy w momencie t nieprzewidziane, niemniej jednak _l systematyczna weryfikacja kolejnych oszacowa terminu _{TZ pomaga} tl _zwikszy

prawdopodobiestwo zakoczenia projektu w terminie satysfakcjonujcym wszystkich udziałowców projektu.

W kolejnym punkcie zastosujemy zaprezentowan procedur planowania i kontroli realizacji projektów do przypadku, kiedy planowane czasy realizacji poszczególnych zada mog by oszacowane jedynie w postaci trójktnych liczb rozmytych.

4. Planowanie i kontrola czasu realizacji projektów w przypadku rozmytym

Projekt definiujemy tak jak w poprzednim rozdziale, z t rónic, e przewidywane czasy realizacji zada Z s nieznanymi wielkociami, oznaczanymi_i C_i0,i=1,...,n, reprezentowanymi w postaci trójktnych liczb rozmytych c~_i0,i=1,...,n, gdzie 

     = 0 0 0 0 _{, ,} ~ i i i i c c c c .

Problem traktowania wielkoci rozmytych w rozmytych odpowiednikach problemu (3) jest bardzo szeroki, a sposoby jego rozwizania wielorakie. Sformułowanie i interpretacja problemu (3) w przypadku rozmytych czasów planowanych czasów realizacji zada musi by poprzedzone:

• identyfikacj potrzeb decydenta co do formy generowanego harmonogramu. Na przykład autorzy [9] generuj dwa typy harmonogramu:

(

~s_i0,~f_i0

)

i

(

s_i0,~f_i0

)

,

(

i=1,...,n

)

: jeden z rozmytymi planowanym czasami rozpoczcia zada, jeden z rzeczywistymi (planowane czasy zakoczenia s w obu przypadkach rozmyte, ze wzgldu na zaleno

0 0 0 ~ ~ ~ i i i c f

s + = (a w przypadku rzeczywistych czasów rozpoczcia, które zgodnie z rozdziałem 2. mog by traktowane jako szczególny przypadek czasów rozmytych,s_i0+~c_i0= ~f_i0). Musimy wiedzie, czy decydent oczekuje harmonogramu całkowicie rozmytego (

(

~s_i0,~f_i0

)

,

(

i=1,...,n

)

), który daje mu jedynie orientacj w moliwych czasach rozpoczcia i wymaga elastycznego podejcia do realizacji projektu ze strony całego zespołu projektowego – jego członkowie musz by wtedy gotowi rozpocz realizacj odpowiednich zada wtedy, kiedy bdzie to korzystne i moliwe, nie mog si trzyma sztywnych terminów. Moliwe jest zarzdzanie projektem według harmonogramu nieprecyzyjnego – pokazuje to metoda łacucha krytycznego ([4]), w której harmonogram generowany na etapie planowania projektu pełni jedynie rol harmonogramu referencyjnego. Niemniej jednak takie podejcie nie zawsze jest moliwe do zastosowania. Wymaga ono specjalnej kultury organizacyjnej, szczególnych umiejtnoci menederskich, a take specjalnego typu projektów, w których nie trzeba przygotowywa si do konkretnych terminów rozpoczcia zada. My zakładamy, e decydent oczekuje harmonogramu nie do koca rozmytego: on chce móc okreli konkretne daty rozpoczcia poszczególnych zada i dy do ich przestrzegania, chce móc powiedzie wykonawcom poszczególnych zada, na jakie konkretne terminy maj by gotowi. Dlatego przyjmujemy załoenie, e decydent oczekuje harmonogramu w postaci

(

s_i0,~f_i0

)

,

(

i=1,...,n

)

. Zatem tylko przewidywane terminy zakoczenia zada F_i0,i=1,...,n bd w harmonogramie wyznaczane jako liczby rozmyte, bd one miały posta 

     = 0 0 0 0 _{, ,} ~ i i i i f f f F

(

i=1,...,n

)

,

• analiz preferencji i postaw decydenta, tzn. m.in. rozstrzygniciem, jaki poziom ryzyka pomyłki decydent jest gotowy zaakceptowa, czy jest raczej pesymist, czy raczej optymist oraz jakie podejcie (bardziej pesymistyczne czy bardziej optymistyczne) dopuszcza specyfika danego projektu. W [9] załoone zostało podejcie optymistyczne co

do rzeczywistych wartoci czasów zakoczenia f_ir, =i 1,...,n i dziki temu (biorc pod uwag ograniczenie s ≥0_j F~_i0 dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i ) moliwe było przyjmowanie stosunkowo niskich wartoci s . Takie podejcie jest uzasadnione tym, i0_j autorzy [9] rozpatruj projekty, w których niespełnienie której z relacji poprzedzania

(

Zi Zj

)

P

K_ , nie jest bardzo problematyczne: jeli w rzeczywistoci f bdzie wysze _ir ni warto, któr wyznaczono podczas planowania przyjmujc optymistyczne załoenia, to para zada

(

Z ,_i Z_j

)

(Z ∈_j NAS

( )

Z_i ) moe by przez jaki czas wykonywana równolegle, mimo i w zasadzie zadanie Z powinno by zakoczone przed _i rozpoczciem zadania Z . Wymaga to pewnego wysiłku włoonego w zarzdzanie _j projektem, ale jest moliwe. My natomiast zakładamy, e relacje poprzedzania musz by przestrzegane. Dlatego proponujemy podejcie pesymistyczne do oceny f , godzc si_ir raczej na przestoje, ni na niespełnienie relacji poprzedzania. Podejcie pesymistyczne łagodzimy jednak akceptujc pewien poziom ryzyka, podany przez decydenta, równy 1− , λ λ∈

[ ]

0,1. Bdziemy zatem rozpatrywa nastpujcy problem ze zmiennymi decyzyjnymi s_i0,~f_i0,i=1,...,ni α: min → α

(

f

)

i n E ,~_i0, =1,..., ≥ λ α n i f c s_i0+~_i0= ~_i0, =1,...,

(

0

)

0 ~ , _i j E f s ≥ λ dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i (9) n i f s i i, 0, 1,..., 0 0 _{≥ =}

gdzie E

(

λ,a~

)

oznacza wybran przez decydenta pesymistyczn charakterystyk liczby rozmytej a~ przy załoonym poziomie ryzyka 1−λ. Dla nas E

(

λ,a~

)

bdzie górnym kocem poziomu A , λ czyli bdzie równe a+λ

(

a−a

)

, ale decydent moe przyj inny sposób pesymistycznej oceny wartoci wyraonej za pomoc liczby rozmytej. (9) mona w tym przypadku wyrazi w postaci nastpujcego klasycznego zadania programowania liniowego ze zmiennymi decyzyjnymi

n i f f f s _{i i} i i, , , , 1,..., 0 0 0 0 _{= i α:} min → α n i f f f_i0 _i0 _i0, =1,...,      ₋ + ≥ λ α n i f c s i i i , 1,..., 0 0 0_{+ = =} n i f c s_i0+ _i0= _i0, =1,..., n i f c si i _i, 1,..., 0 0 0_{+ = =}

      − + ≥ 0 0 0 0 i i i j f f f s λ dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i (10) n i f f f _{i i} i , 1,..., 0 0 0_{≤ ≤ =} 0 , 0 0 _≥ i i f s .

Optymalna warto funkcji celu problemu (10) bdzie reprezentowała pesymistyczne oszacowanie (na poziomie ryzyka 1−λ) czasu realizacji całego projektu, natomiast to ~f , dla _i0

którego       ₋ + = 0 0 0 i i i f f f λ

α , bdzie reprezentowało ten czas w postaci trójktnej liczby rozmytej (jeli takich zada bdzie wicej, wówczas bdzie wicej rozmytych oszacowa tego czasu i naleałoby wybra jedno stosujc jedn z metod porównywania liczb rozmytych, np. [5]).

Jeli chodzi o kontrol realizacji projektu, w którym czasy trwania niezakoczonych czynnoci mog by reprezentowane w postaci trójktnych liczb rozmytych, to w kadym momencie kontrolnym t_l

(

l=1,...,L

)

zbierane s takie same informacje, jak w przypadku nierozmytym (punkty (i)–(iv) z sekcji 3), tyle e czasy trwania c

(

l L

)

l

t =1,..., zostan zastpione

ich rozmytymi odpowiednikami c

(

l L

)

l

t 1,...,

~ _{= . Oznacza to, w kadym momencie kontrolnym} decydent moe podawa skorygowane, ale nadal rozmyte oszacowania czasów trwania niezakoczonych jeszcze zada. Mona przypuszcza, e w miar postpu czasu wiedza na temat przewidywanych czasów trwania bdzie coraz wiksza i kolejne rozmyte oszacowania bd si charakteryzowały coraz mniejsz długoci 0-wego poziomu, który mona uzna za miar niewiedzy czy niepewnoci co do czasu trwania zadania. Moe si te zdarzy, e niektóre

(

l L

)

c

l

t 1,...,

~ _{= bd liczbami rzeczywistymi, które w rozdziale 2. uznalimy za szczególny} przypadek trójktnych liczb rozmytych.

W kadym punkcie kontrolnym t_l

(

l=1,...,L

)

bdziemy stosowali podejcie analogiczne do podejcia z przypadku nierozmytego (jeli chodzi o kryteria, jakie ma spełnia skorygowany harmonogram – ma on by, na ile to moliwe, zgodny co do czasów rozpoczcia zada z harmonogramem z bazowym z (10)) oraz do przypadku rozmytego z fazy planowania (jeli chodzi o posta harmonogramu oraz podejcie pesymistyczne na akceptowanym poziomie ryzyka). Bdziemy zatem wyznaczali harmonogram

(

l tl

)

i t

i f

s ,~ , t_l

(

l=1,...,L

)

rozwizujc nastpujcego zadania programowania liniowego, w którym zmiennymi decyzyjnymi s

n i f f f sl l l tl i t i t i t i , , , , =1,..., i α: min → α n i s s_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl tl i ZAK REA Z ∈ ∪ n i c c_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl i ZAK Z ∈ n i f f_itl _{= i}r_{, =1,..., takie, e} tl i ZAK Z ∈ (12) n i f f f l l tl i t i t i _, =1,...,     ₋ + ≥ λ α

n i f c sl l tl i t i t i + = , =1,..., takie, e Z ∉i ZAKtl n i f c sl l tl i t i t i + = , =1,..., takie, e l t i ZAK Z ∉ n i f c s_l l tl i t i t i + = , =1,..., takie, e Z ∉i ZAKtl       − + ≥ l l l l t i t i t i t j f f f s λ dla i, =j 1,...,n i Z ∈_j NAS

( )

Z_i n i P s sl tl i i t i − 0≤ , =1,..., takie, e Z ∈i NRPtl (13) n i S s s l tl i t i i0− ≤ , =1,..., takie, e Z ∈i NRPtl (14) n i f f f s _l l l l t i t i t i t i , , , ≥0, =1,...,

Podobnie jak w modelu (4)–(8), optymalna warto funkcji celu problemu (12)–(14) bdzie reprezentowała pesymistyczne oszacowanie (na poziomie ryzyka 1−λ) czasu realizacji całego projektu w punkcie kontrolnym t_l

(

l=1,...,L

)

, a to tl

i f ~ , dla którego       − + = l l tl i t i t i f f f λ α ,

bdzie reprezentowało ten czas w postaci trójktnej liczby rozmytej. Jeli zadane przez decydenta wartoci Pl Stl i n

i t

i , , =1,..., bd za małe i harmonogram spełniajcy warunki (13) i (14) nie bdzie

istniał, decydent bdzie poproszony o podanie nowych wartoci tych parametrów.

Zaproponowane podejcie wyznaczy w kadym punkcie kontrolnym zmodyfikowany harmonogram, w oparciu o rzeczywiste czasy trwania zada ju zakoczonych i planowane w momencie t_l

(

l=1,...,L

)

, potencjalnie rozmyte czasy trwania zada jeszcze niezakoczonych. 6. Podsumowanie

W artykule zaproponowano, według wiedzy autorki, pierwsze podejcie do harmonogramowania projektów, w których czasy realizacji zada s szacowane w postaci liczb rozmytych, obejmujce zarówno harmonogramowanie (przeprowadzane w fazie planowania projektu), jak i reaktywne (dokonywane podczas realizacji projektu). Przedstawione podejcie oparte jest na nastpujcych załoeniach pewnych załoenia co do postawy decydenta. Inne postawy decydent i inne cele decydenta wymagałyby innego podejcia do proaktywnego i reaktywnego harmonogramowania projektów z rozmytymi czasami trwania zada. Bdzie to przedmiotem dalszych bada.

%LEOLRJUDILD

[1] Chanas S., Kamburowski J.: The use of fuzzy variables in PERT. Fuzzy Sets and Systems 5, 1981, pp. 11–19.

[2] Chanas S., Zieliski P.: Critical path analysis in the network with fuzzy activity times, Fuzzy Sets and Systems 122, 2001, pp. 195–204.

[3] Duc Long L., Ohsato A.: Fuzzy critical chain method for project scheduling under resource constraints and uncertainty. International Journal of Project Management, 26, 2008, pp. 688–698.

[4] Goldratt E.M.: Critical Chain, North River Press, 1996.

[5] Kuchta D.: Mikka matematyka w zarzdzaniu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2002.

[6] Lambrechts O., Demeulemeester E., Herroelen W.: Proactive and reactive strategies for resource-constrained project scheduling with uncertain resource availabilities. Springer 2007. [7] Vonder de S.V, Ballestín F., Demeulemeester E.L., Herroelen W.S.: Heuristic procedures for reactive project scheduling. Computers and Industrial Engineering, 52(1), 2007, pp. 11–21. [8] Vonder de S.V., Demeulemeester E.L., Leus R., Herroelen W.S.: Proactive/reactive project

scheduling – trade-offs and procedures. W: Perspectives in modern project scheduling (Józefowska J., Wglarz J., red.), Springer, Berlin-Heidelberg-New York 2006.

[9] Wang J.: A fuzzy project scheduling approach to minimize schedule risk for product development. Fuzzy Sets and Systems, 127 (2), 2007, pp. 99–116.

PLANNING AND CONTROL OF PROJECT REALIZATION WITH FUZZY ACTIVITY DURATION

Summary

A method of planning and controlling projects whose activities duration times are represented as fuzzy numbers is proposed. Both in the planning phase and in the controlling phase schedules are generated where the activities starting times are crisp and the forecast project completion time is fuzzy. The schedules generated in the controlling phase minimize both the planned project completion time and the accordance of the current schedule with the original one.

Keywords: fuzzy activity duration, project schedule.

Dorota Kuchta

Instytut Organizacji i Zarzdzania Wydział Informatyki i Zarzdzania Politechnika Wrocławska

Wybrzee Wyspiaskiego 27, 50-370 Wrocław e-mail: dorota.kuchta@pwr.wroc.pl