Eine allgemeine gleichung für bewegungen starrer körper in flüssigkeiten und ihre anwendung auf ebene bewegungen von doppelkörpern

MITTEILUNGEN

DER VERSUCHSANSTALT FUR-WASSERBAU UND SOHIFFBAU

Heft 48 BERLIN 1964

EINE ALLGEMEINE GLEICHUNG FUR BEWEGUNGEN STARRER KORPER IN FLUSSIGKEITEN UND IHRE ANWENDUNG AUF EBENE BEWEGUNGEN VON DOPFELKORPERN

von Dipl.-Ing. M. Schmiechen, Berlin

Von der Fakultat far Maschinenwesender Technischen Universit'..it Berlin zur Verleihung der akademischen Ward° Doktor-Ingenieur genehmigte Dissertation.Ein-gereicht am 25. Oktober 1962, mandliche Prafung am 28. Februar 1964.

Berichter: Prof. Dr.-Ing.K.-A. Reckling Prof. Dr.-Ing.S. Schuster

83

Eigenverlag der Versuchsanstalt far Wasserbau und Schiffbau Berlin 12

R.

-_ 3 -_ EinfUhrun

Bei der Untersuchung der hydrodynamischen Trdgheiten und Ddmpfungen von Schiffen und Propellern zeigt sich trot z der

Ver-schiedenheit der Probleme im einzelnen sine innere Verwandtschaft, deren Wurzeln aufzuspUren und blo3zu1egen, eine lohnende und in vieler Hinsicht interessante Aufgabe schien. Ihre L6sung

ver-sprach eine FUlle von Einsichten, die ihrerseits geeignet sein mUBten, die gro3e Zahl der bekannten Tatsachen zu ordnen und Hinweise fUr die weitere Erforschung _{von Einzelfragen zu} lie-fern. Aus wenigen notwendigen Vorstellungen und PrinzilDien soll-te em n logisch befriedigendes Schema physikalisch insoll-terpretier- interpretier-barer Begriffe entwickelt werden, das die einwandfreie Grundla-ge fUr alle experimentellen UntersuchunGrundla-gen bilden kOnnte und, zunachst wenigstens fUr die betrachtete Klasse _{von Erscheinungen,} die Kluft zwischen der theoretischen und der _technischen Hydro-mechanik UberbrUcken wUrde. Pine solche _{axiomatische Theorie} kann ursprUnglich nur eine "anschauliche" _{Beschreibung des} prin-zipiell jeder quantitativen Wissenschaft _{zugrunde liegenden} Sy-stemmodells sein, nach dem sine in Systemgrenzen _gespeicherte Quantitdt nur durch FlUsse Uber die Grenzen oder Quellen inner-halb der Grenzen verdndert werden kann. Der von diesem Fundamen-talansatz ausgehende formale Zwang wurde bewu3t Uberbetont, da-gegen wurde-daz mm einzelnen naturgemaB abstrakte _{Schema vom} Ballast unnOtiger Vorstellungen _{freigehalten.}

Die historische Entwicklung der Arbeit ist natUrlich einen anderen Weg gegangen als aus der Niederschrift hervorgeht. So ha-ben sich der allgemeine _{Teil und der spezielle.Teil Uber}

die ebe-nen 1-3eregungen von Doppelkorpern, _{d, h. praktisch die Theorie} der Kursbewegungen von Schiffen, mm _{wesentlichen simultan}

ent-wickelt. Rein theoretische Fragen und konkrete Fragen der Aus-wertung von MeBergebnissen haben sich in gegenseitiger Wechsel-wirkung geklarto Die ale Beispiel entwickelte Theorie der Kurs-bewegungen von Schiffen stellt selbstverstandlich nur eine mbg-liche Anwendung der allgemeinen Theorie dar, an anderen Anwen-dungen wird gearbeitet.

Die vorliegende Arbeit bildet einen Tell der theoretischen Vorarbeiten zu Untersuchungen _{Uber die} hydro-dynamischen Trdgheiten von Schiffen, die in der Versuchsanstalt fur Wasserbau und _{Schiffbau, Berlin, mm}

Forschungs--4

vorhabens der Deutschen Forschungsgemeinschaft durchgefiThrt wird. FUr die verstandnisvolle Fdrderung der Arbeit ist der Verfasser dem Direktor der Versuchsanstalt, Herrn Baudirektor Prof. Dr.Ing. S. Schuster, zu besonderem Dank verpflichtet.

Aufaabenstellung

Allgemeine Gleichung fUr rdumliche Bewegungen starrer Kbrper in FlUssigkeiten

10

2.1 Fundamentalansatz fUr impulsb.nderungen ₁₀ 2.2 trbergang zum kbrperfesten Bezugssystem ₁₂ 2.3 VerknUpfung von Impuls und Geschwindigkeit ₁₅ 2.4 Allgemeine Bewegungsgleichung fUr starre

Kbrper

16

2.5 Einteilung der auBeren Krafte ₁₈

2.6 Gesetz fUr die kinetische Oberflachenkraft ₂₀ 2.7 Aufbau der hydrodynamischen Parameter

2.8 EndgUltige Bewegungsgleichung

2.9 _{Linearisierung der Bewegungsgleichung}

26 2.10 Lbsungen der linearisierten Bewegungsgleichung ₂₉

2.11 _{Naherungsgesetz fUr die hydrodynamische}

Durch-lassigkeit schlanker Kbrper ₃₂

2.12 _{Verteilungsdichte des hydrodynamischen}

Trag-heitsquerschnitts schlanker :(brper 36 2.13 _Bemerkungen

37 Linearisierte Gleichung fUr ebene Bewegungen von

Doppelkbrpern in FlUssigkeiten

3.1 Voraussetzungen

3.2 Fundamentalansatz, Impulsgesetz

3.3 _{Linearisierte Bewegungsgleichung, dueere Krafte} 3.4 _{Linearisiertes Gesetz fUr die kinetische}

Ober-flachenkraft

3.5 _{Experimentelle Bestimmung der hydrodynamischen} Parameter

3.6 Berechnung der hydrodynamischen Parameter _fUr schlanke Doppelkbrper

3.7 _{EndgUltige linearisierte Bewegungsgleichung} 3.8 _{Linearisierte Lagegleichung}

3.9 Ermittlung der Ruderkraft

3.10 _{Untersuchuna des Schleppvorganges}

3.11 Ansatz fUr die Kraft infolge _{einer Begrenzung} der FlUssigkeit 3.12 _Bemerkungen 7 Inhalt Seite 39 39 39 42 44 43 51 55 58 61 63 69 5. 25 68

Folgerungen

Liste

der.

Formelzeichen 7.1- Grb2en 7.2 indizes 7.3 Punkte

7.4

Kennzeichen Schrifttum 9, Bilder

-6-Lbsungen der linearisierten Gleichung fUr die ebenen. Bewegungen von DoppelkOrpern unter der Wirkung von.

Ruderkraften

,4.1 Invariante Form der Bewegungsgleichung

4.2 Kenngrof3en der "Kursstabilitat"

und

Steuerfahig-keit 4.3 Freie Bewegungen Periodische Bewegungen 4.5 Nichtperiodische Bewegungen

4.6

.ilbergangsbewegungen

4.7

Regellose Bewegungen 4.8 .Verallgemeinerung 4.9 Bemerkungen

5. _{Beispielrechnungen fUr affine Doppelkbrper mit}

elliptischen Querschnitten

5.1. Naherungsweise Bestimmung des Tragheitsquer-: schnittes für schlanke elliptische Kbrper im WaSser

5.2 Berechnung der Matrizen der phaenomenologischen Parameter fiir einen gegebenen Lateralplan bei ahnlichen Querschnitten Seite 71 71 90 91 103. 90 -,J"' ,

Berechnung der KenngrbBen der "Kursstabilita.t" fl

und Steuerfahigkeit fUr den gegebenen

Lateral-'

Dian ₉₅

5.4 Darstellung der Bewegungsgleichung auf einem

Analogrechner 98.1

5.5

ibsungen der Bewegungsgleichung, fUr den Kbrper 1 100

-1 0

.74

11 75 78

80

83 . 85 86 88 106 106 111 ' 112 113 116 121

-7

1...Alle Bewegungen starrer Kbrper in Flassigkeiten bilden eine gemeinsame Klasse von Erscheinungen. Fur ihre Beschreibung soil em n allgemeines Begriffsschema entworfen werden, das unmittelbar von den Grundanschauungen der klassischen Mechanik ausgeht. Eine solche allgemeine axiomatische Theorie, die Ausgangspunkt aller nherungstheorien far spezielle Gruppen der genannten Erschei-nungen bilden kann, scheint bisher nicht formuliert worden zu

cc in

Von der Beschreibung wird gefordert, daT sic far beliebige Bewegungen beliebiger Kbrper in beliebigen Flassigkeiten, d. h.

deformierbaren Umgebungsmedien, gilt. Eine wesentlich..physika,-lische Begriffsbildung mu3 unabnngig sein von speziellen Ei-genschaften der Bewegungen, Kbrper und Flassigkeiten, die ge-wbhnlich Voraussetzungen mathematischer Ebsungsmbglichkeiten sind.

Durch sin weitgehend formalisiertes Vorgehen, _{vgl, dazu z.B.} Bochehski (1959), unter konsequenter Verwendung _von.Tensoren und Matrizen far die Darstellung von ZustandsgrdRen und bhaeno-menologischen Parametern soil ein durchsichtiges Schema -entwik-kelt werden, das frei von irrefUhrenden Mathematisierungen alle wesentlichen Zusammenhnge klar in Erscheinung treten l'a.Bt. Nur auf diese Weise wird die exakte Formulierung allgemeiner Theore-me und die klare Trennung der naturbedingten ZUge _{von den} denk-notwendigen und rationalen Strukturen der _{Theorie mbglich; vgl.} dazu Mailer (1962). Ohne diese Trennung kann aber von einer be-wu2ten Beherrschung der 2robleme, wie sic _{far technische} Anwen:-dungen notwendig ist, nicht die Rede _sein.

Nicht das System der Axiome selbst, _{der'Beweis seiner} Wider-spruchsfreiheit etc., sondern die daraus folgenden KonSequenzen, genauer die mbglichst weitgehende Entwicklung der wichtigsten rationalen Strukturen der Bewegungstheorie _{soil den Gegenstand} der vorliegenden Arbeit bilden _{Dabei soil em n} besonderes'Augen-merk auf die Entwicklung von widerspruchsfreien,Naherungsglei-chungen far Bewegungen mit einer _{aberwiegenden} Bewegungskom-oonen-te und die Mbglichkeit der Bestimmung slier phaenomenologischen Parameter nabh einem einheitlichen Verfahren gerichtet werden.

41s sin praktisch Wichtiges Beispiel far die Brauchbarkeit des allgemeinen Begriffsschemas soil eine geschlossene Theorie crater Naherung far -die ebenen Bewegungen von Doppelkorpern in allen Einzelheiten entwickelt werden. Trotz der Bedeutung des Gegenstandes far die Theorie der Schiffe-ist-eine voll befrie-digende The one bisher.nicht bekannt geworden, obwohl es an Versuchen zu ihrer Formulierung nicht gefehlt hat; Vgl. z. B. das Echrifttum in 8..und die Bibliographien von Thieme (1957), llorrbin

(1960)

und anderen.

g

Die hie:r vorliegende Darstellung soil zeigen, da.6 zwingen-de formale Forzwingen-derungen'die Gestalt zwingen-der. Theorie.pragen, vgl. ..a.uch

Hertz (1956).

Vorstellungen Uber den Mechanismu der

Hy-drodynamik mm einzelnen, die im Mittelpunkt aller alteren Ar--. beiten standen, darfen in einer konsequenten Theorie von vorn-herein aberhaupt keine Sone spielen. in betont formale Be-handlung, vie sie die dem Gegenstand eigene.Unanschaulichkeit nahelegti muti daher viele altere Problemstellungen und bekann7 te ZusaMmenhange in neiei Lict erscheinen lassen.

Wahrend such die experimentelle Interpretation der einge-fi).hrten hydrodynamischen Grb2en.unabhangig sein mu3 van HyDo-'thesen aber dan Kraftmechanismus, kann-ihre rechneriache

Be-stiffmung nicht ohne solche Hypothesen auskommen. In dem ent-wickelten Zusammenhang liefert die. Vorstellung von Munk

₍₁₉₃₆₎

die bereits verschiedenen Autoren, _{2. B. Schmitz (1961), als} Ausgangspunkt zur Berechnung hydrodynamischen Farameter _gedient hat, den adaquaten Ansatz. Dais physikalische Kernproblem, die theoretische Bestimmung der hydrodynamischen

Tragheitsvertei-.

lung _{oder der Schiebekraftverteilung soil nicht behandelt} wer-dens vielmehr soil die Darstellung- der Naherungstheorie mit der

t

_{Herleitung der wichtigaten Gesetze far andere als}

hydrokineti-sche Krafte im engeren Sinne, d. h. _{solche, die.durch die Bewe-'} gungen der Kbri3er allein bedingt sind, abgeschlossen _werden.

Am Beispiel der ebenen Bewegungen _{von Doppelkdrpern unter'} -der Wirkung von Ru-derkraften soil gezeigt _{werden, wie der} An-schlu3 an die Iosungsmethoden und Ldsungen _{der Theorie der ii-.} nearen Differentialgleichungen hergestellt _{werden kann. Zur Ord-,} nung der Lbsungsmannigfaltigkeiten.werden zweckmaPig

Ahnlichkeits-parameter der "Kursstabilitat" und Steuerfahigkeit definiart, mit

9

-deren Hilfe die Lbsungen in standardisierter Form dargestellt werden kdrnen.

Prinzipiell ermbglicht jede LOsung die unmittelbare experi-. mentelle Bestimmung der Kenngr63en. Durch die Erfordernisse der .Regeltechnik haben diese direkten Methoden, die

wesentlich'weni-er aufwendig sind als indirekte Methoden, die den Umweg Ubwesentlich'weni-er die hydrodynamischen Grundparameter nehmen, sine groBe Bedeu-tung erlangt; s. z.B. Richter (1960). FUr eine rationelle ana-lytische Durchdringung und Beherrschung der Zusammenhange 1st 'dagegen der indirekte Wea nicht zu umgehen; s. such Goodman

(1960) und Cummins (1962).

Beispielrechnunaen fUr Doploelkbrper mit elli'sotischen Quer-schnitten sollen sine libersicht Uber die GrdPenordnungen slier eingefUhrten Parameter, aber die Bedeutung der verschiedenen geometrischen Einflu3grd3en und den Charakter der wichtigsten Idsungen geben.

Um die Geschlossenheit der Darstellung zu gewahrleisten, wurde em n Zeichensystem entwickelt, das notgedrungen von der von Imlay (1959) vorgeschlagenen Nomenklatur abweicht. Nach anfanglichen Versuchen mit einer halbsymbolischen _{Schreibweise,} wurde sine einheitliche analytische D2rstellung fUr Tensoren und Matrizen als die zweckma3igere _{eingefUhrt. Unter Beachtuhg} der Summenkonvention sind dann samtliche _{Operationen ohne} wei-teres eindeutig definiert und ausfUhrbar; _{s. z.3. Duschek und} Hochrainer (1954). Der benutzte KalkUl 1st, wie sich nach Fer-tigstellung der Arbeit herausstelite, _{der symbolischen} Motor-rechnung von V. Mises (1924) wesensgieich.

Die Namengebung fUr die verschiedenen Begriffe nimmt Bezug auf das zugrundeliegende _{Systemmodell. Sic 1st an sich in einer} vollkommen formalisierten Entwicklung _{UberflUssig. Samtliche} Zeichen erhalten ihren Sinn durch ihre Stellung im System, vgl. z.B. v. _{uses (1951) und BochefiSki (1959); s. indessen much} Whorf (1963). Die meisten der eingefUhrten GrbBen sind wesent-lich unanschauwesent-lich, die _{Arbeit soil jedoch zeigen, wie unter} Vermeidung aller Stekulationen mit ihnen operiert werden kann und wie sic der Messung _{zuganglich gemacht werden kdnnen.}

10

-2. Allgemeine Gleichung fUr rdumliche 3ewegunr;en starrer Korper in FlUssigkeiten

_ .

2.1 Fundamentalansatz fUr ImPuisanderungen

Zur quantitativen 3eschreibung der Bewegungen eines starren, nicht notwendig homogenen Korpers (1<) in einem dreidimensionaaen

euklidischen BeobachtungsrauM

(D)

werden als Bewegungsmenren oder -cuentitdten, d. h. ale extensive BewegungsgroBen der Impuls

(0)

sf,

(kb)

dpfe,(kb)

(A)

und des Impulsmoment

(-1)

9,e (kb)

. * gn,c(kb) (

2)

(A)

des KOrpers, d, h,

das

nullte und erste Moment der

Impulsvertei-lung

dkey:(k6)

im Korper, bezogen auf sin raumfestes, rechts orientiertes kartesisches Koordinatensystem 6* (Ursprung Plc ),

p

"-eingefUhrt.(Datei bezeichnenam,, den "Abstand" des Aufpunktes vom Bezugspunkt (Koordinatenursprung)P undEp.mx ny: den

Operator der Tensorrechnung, s. z.B. Duschek und Hochrai-ner (1954), der das "Kreuzprodukt" zwischen den auf ihn folgen-den Vektoren bewirkt.)

Diese Gro2en kLnnen zeitlichen :ilnderungen nur infolge der Wirkungen einer Oberflachenkraft

(0)

ee-

(i<b)

=id ee

(k,b)

(

)

(0')

sines Oberflachenkraftmomentes

(1)/D*

_p

re

cl*/ (kb);

Y)

(c)

,.h. des nullten b;w. ersten Momentes flachenhafter Verteilungen

dee

(ke/D) duBerer Krafte an der Korperoberflache(o) d0 h0 dif-,

fusiver ImpulsflUsse Uber die KOrperbegrenzang, und einer Volumen-kraft

(0)

(AID) -

<Le.* (Ab)

(A)

Gu.*(k,b)

=

E

_(k6)

₌

bzw. eines Volumenkraftmomentes (.1) iD

p

772

* C6 irc* (kb.)

(1.5)

(A)

. d, h. des nullten bzw. ersten :Jomentes raumlicher

gen aJ,,.*(ka) du2erer KrUfte im KOrper, d. h. Imulsquellen im KUr'oer, unterliegen. Anderungen durch konvektive Iml)uls-flasse sind wegen der Abgeschlossenheit des Kurpers(k) nicht mOglich.

Die exakten AusdrUcke fUr die Grundvorstellung sind der Impuls-satz von Newton und der DrallImpuls-satz von Euler. Sic sind die Kom-. -Qonenten des Ausdrucks

2.q9

z`. L-u* (AL)) ± Ell,*

(kb)

air

die totale .i-nderung des generalisierten Korperimpulses (0)

(kb)

unter der Wirkung der generalisierten Oberflachenkraft

(o)

ee*

(/(6)

(1)/D

ee.*(k6)

und der generalisierten Volumenkraft

(0)

* (1(h)

(i)_,

(kb)

(1,7)

(

1

8 )

k Verteilun-A-1(kb)

-

11 (-I s

entsDrechend der Beziehung (4)aJ,

(0,, J,

"'

=

P L L 2 4' /

e

"fr E

e *in

zu transformieren. 12

-Bei einem Wechsel des Bezugspunktes von Pi< zu Q'' sind die er-sten Momente der Verteilungen

dl

=

d

dsre. ; c

'5e7Z.

(

.

)

In dem Fundamentalansatz (1.7) bezeichnet der Punkt die to-tale Ableitung nach der "absoluten" Zeit. Irreversible Anderun-gen des Impulses durch FlUsse im KOrper, die sich nicht als Dif-ferentialquotienten von ZustandsgrdBen darstellen,lassen, Sind wegen der vorausgesetzten Starrheit ausgeschlossen; s. indessen

2.6.

Im Sinne der analytischen Mechanik maBten die GrbBen (1.8) bis (1.10) vollstandiger als Matrizen generalisierter Impulse und Krafte bezeichnet werden. Hier werden indessen die genera-lisierten Grd2en der analytischen Mechanik im Sinne eines zweck-maBig generalisierten Vektor- und Tensorbegriffs, vgl. dazu such die Ilotorrechnung von v. Mises (1924), als Kom'Ponenten komplexe-rer GrbBen aufgefaBt. Da hier fast ausschlieBlich mit soichen

Gr6Pen operiert_wird, kann der Hinweis auf die Generalisierung T.eistens unterdrUckt werden.

2.2 tbergang zum korperfesten Bezu.gssystem

Wird statt des raumfesten Bezugssystemakein korperfestes kartesisches Koordinatensystem ( Ursprung eingefUhrt, das

(er)

sich im Raum (6) mit der Winkelgeschwindigkeit are (kb) dreht, u und dessen UrsDrung P sich gegentiber

(6)

mit der

Geschwindig-(f)p

keit rj (h6) bewegt, so kOnnen zeitliche Anderungen des Impul-ses

u. (kb) -

buu.

0( ID) (2.-1 )

nicht nur infolge der Wirkungen der duBeren Krafte

(AID)

b

21. 21. *

)

(2.2)

(0.)

y 13 y -und

FL

Er .

r

22

0<h)

b

4- Z.L

sondern such infolge der Bewegung des Bezugssystems

_gegenaer

dem RaumX,S)in Erscheinung treten. In VerallgeMeinerung der in 2.1 dargelegten Grundvorstellungen wird gewOhnlich von der Reaktion

D

u (kb)

\/12,

(/<b)

_

bu,*

uuku-

_(ND)

(

2. 4 ) it

der durch MitfUhrung des Koordinatensystems Iedingten 1-:.nderungs-geschwindigkeit des Impulses als von einer generalisierten ,rZu-satzkraft" gesiorochen, die infalge der Bewegung des Bezugssy-stems auf den Korper with.

Wird statt des PKraftgesetzes" (2.4) mit der generalisier-ten Geschwindigkeit -1)p 2-7:e

( kb)

(v)

27e (4-6)

-(2.5)

als .intensiver Bewegungs- oder gustandsgrbEe das FluBgesetz

Du (fib)

B

ur (kb) V

(fib)

(2 6 )

eingefUhrt,..so lautet der vollstandige Ausdruck fUr die Impuls-anderungen,im kOrperfesten Bezugssystem

B(fib)V(k)

(2.

7 )

_

u (kh)

Fu (A

In dem 171ugesetz (2.6) gilt fUr den Austausch

-o- (fib)

= 11 215'

'8

to- (fib) j

(2.8)

=

-c'

_{21. 1Yur}

ten,

und

such

den generalisierten. -Operator mit .den Xompongn,

111 ,11YW, ,

0

1.7 2151 1.1.

B

_(i;

=

B.zy

it (k6) °

(1)p

Zre

(AID) =

2e(kh)

E

em

.erv-t,

bezeichnet; vgl. z..B. Lamb _v(1907), und Milne-ThomS,on 0960)0 Ins-besondere 1st wegen

11 A

Die .sogenannte "Zusatzkraftw ist also ihrer Natur nach emn Blind-f1uB des impulses, der insgesamt am Korloer keine Arbeit leistet. Die Matrix

Suly(kb)

beschreibt einen inneren Blindaustausch

zwi-Schen clef' VerschiedenenTreiheitsgraden, sie stellt die

drooko-pische Kopplung dar.

Das Transformationsaesetz (1.12) fUr die ersten Momente bleibt im kOrperfesten Bezugssystem unverandert gUltig; andererseits gilt

fUr die Geschwindigkeit des tbertragungsgesetz (Euler)

-(0) 772.(F))

try, (A-h)

-

(2'13)

^,:;,,a1Ifcm41 W, 910..,t, 1. ( 2 9) 2.10) -Tobei 14

0

(

e

(0)

15

-2.7-VerknUpfung von Impuls und Geschwindigkeit

Die impulsverteilung

_{d.e (kilo)}

im Kor-per(1:) wird mit der substantielien Geschwindigkeit

V)6

des Aufnunktes durch des Gesetz.

(i) 0,

e

(/(1)d

e7 (/)

rn (A-h)

verknUpft. Debei wird die Verteilung

CI

CU:ern,

(k) = CZ

_Time

_(A-)

der Impulskapazitat, d. h. der Tragheit ale Elgenschaft des Korpers (/;) angesehen, die vom Raum (6) unabhangig ist.

FUr die Beschreibung der Trdgheitsverteilung (3.2) sind die Trdgheit, d. h, des nullte Tragheitsmoment

'tem (A- )

00

das erste Tragheitsmoment, traditionell als "statisches :oment" bezeichnet,

(1)

-187n. (i,-)

en,

ZS'

a

n. (A-)

(,4)

und das zweite Tragheitsmoment, traditionell els "Tragheit8 moment" bezeichnet,

( 2 )

7tP

16

-en2. (4-)

c rapci

C

a loci (;;)

(3.5)

(/) von Bede7ltung.

Aus der VerknUpfung (3.1) ergibt sich damit unter DerUck-sichtigung des Transformationsgesetzes (2,13) als Gesetz fUr den generalisierten Impuls

Tu

tY(/) V25-

(/-6 )

(

3

)

mit der generalisierten Trdgheit

(

3 3 )

(

( )

die,

des -Kbrpers, fUr die sus der Bedingung (3.2) die Bedingung

Tu

= LL

k)

3ei einem Wechsel des

Bezugsuunktes.

von /ID zu 12 sind die bei7 den Tragheitsmomente entsprechend den Beziehungen

(0)

7-,

a

(fern

(k)

=

dera(A)

e

-e77. CY

a

(P)

o-riL (lc)

) Q

F

Q ern (1,-) m

ena

(P) J771

(k)

c(-1j17.1 MTh

c/- 72(P) (-leo.(k)

a

Q r E12, .

eenc

m,pF

a

ri

p

(P) (l()

(Steinerscher Satz) zu transformieren.

2.4 AllEemeine BewegunEsEleichunE fUr starre KorDer

Wird das Impulsgesetz (3.6) in das Austauschgesetz (2.8)

ein-e-r"lirt,

so ergibt sich fUr den

Blindaustausch =3b) das

FluB-L;esetz zweiter Stufe

u' (k)

16

-(0)

(T)

_p

772 ( J772. e (A)

(2)

c(1).)

p

e

(

1e

(k)

B

zi

h) =

a

24 2YVY

(k)

Vay

(1/,- 6)

mit der inneren Blinddurchlssigkeit

utrth(ic)

2L29 r

-r,,y

(A)

(3 9)

(4.1)

(3.7)

(s

)

(10.

Der Impulssatz (2.7) geht mit dem Impulsgesetz (3.9) und dem FluBgesetz (4.1) unter der Bedingung

gilt.

T

zy(

17

-(,WD) ze

)

(45)

erscheint. Diese Form des Impulssatzes, _{in symbolischer} 6chreib-weise, nimmt bereits in der Motorrechnung von v. lases (1924) eine zentrale Stellung em.

Wird die 3ewegung V(A6) _{eines starren Kdripers unter der} Wirkung bekannter auBerer Krafte Eup6) _{und Fu(AL)) gemessen,}

so gestattet die 3eWegungsgleichung (4.4) _{oder (4.5) die} Bestim-mung seiner Tr:ighei-L _{Erfahrungsgemb.3 1st bei irdischen} Ge-schwindigkeiten fUr praktisch _{starre Kdrper die 3edingung (4.5)} stets erfUllt. Weiterhin ist die TrLigheitsverteilung c/,

eines Kdrpers(A-) bekanntlich _{mit seiner ilassenverteilungcl,02w} gegeben:

ci

(k)

ci 722

(k)

STe 772, (4.6) so da3 auch

d-ent(i.)

= \

br

(4.7) in die Bewegungsgleichung

Tzt.ty(A)

,c,(,,)

vu, (/,6)

EL-a (Ab)

r

(kh)

( 4.4)

fLr starre-K6rper taer, die mit den Gesetz (4.2) auch in der Form

--Ttu-(1;)

Vzs,(k/D)

T e zas-r

I

rur (k) \10-(16)Vu.s-0,- )

(Ab)

=

Unter Beachtung der Beziehung (4.7) wird die Bewegungsglei-chung (4.5) gewanlich durch ihre Komponenten, bezogen auf den Massenmittelpunkt 1K, den sogenannten SchwerDunktsatz

(0)

_(1)K

₍₀₎

_(1)K

_\

"72(k) (

C-emm -m(k b) 1771,(c ID)

)

(o)

(0)

e-e(kb)

,-Te (kb)

C .

8 )

und die sogenannte Eulersche Gleichung

K

(°)

_{(7) "}

(2)

(0)

(0)

-em(k)

17'7r1 m

on(k) 1.9'777.(kb)

2-772.(kb) (2)

18

-(4)

(4),

=

e

_P(kb)

_?

_(kb)

gegeben. Bei den folgenden Untersuchungen bieten diese konven-tionellen Formen keine Vorteile, da filr die hydrodynamischen Tragheiten die Bedingung (4.7) erfahrungsgemdf3 nicht erfUllt jet und em Trdgheitsmittelpunkt im allgemeinen nicht zu defi-nieren ist.

2.5 Einteilung der du2eren Krdfte

(4.3)

Die generalisierte Oberfldchenkraft und die gene-raliaicrte Volumenkraft Fu(A],) werden aufgefaBt als die Resul-tierenden

E

u (kb)

=

(ik8)

verschiedener Krdfte

Eqikb)

bzw.

:=70,)

. Die

Klassifizie-rung der Krdfte erfolgt

Leh

ihren Kraftgesetzen. Im allgemeinen Sind die verschiedenen Krdite nicht unabhdngig voneinander. Be-wegt sich em n Kbrper (k ) in einem Raum (13), der von einer im

allgemeinen ruhenden Flussigkeit ) erfUllt ist, so ist jene

Oberflachenkraft E.2,(FAID) die durch die Bewegung des Mrpers

(5.1)

(5.2)

19

-allein hervorgerufen wird, besonders ausgezeichneto. Sie wird ale kinetische Oberflachenkraft im engeren Sinne bezeichnet. Bewegt sich der K6rper(k) allein in einer unendlich ausge-dehnten, im Raum(,b) im allgemeinen ruhEnden FlUssigkeit(i)', so trittE-7.-kb) als einzige Oberflachenkraft auf.

Zu der Ubrigen Oberflachenkraft

C7

u (u kh)

(k/D)

E

U (fkh)

(5.3)

.zdhlen neben den statischen jene kinetischen, die durch Eigen-bewegungen und Degrenzungen der umgebenden FlUssigkeit

(7)

ferner die, die durch die Bewegungen anderer Korper verursacht werden. FUr das Folgende wird die Ubrige Oberflachenkraft

mit der Volumenkraft

77)

_{zusammen als Ubrige,} nicht durch die Bewegungen des K6rpers allein verurachte Kraft

r

(ukh)

_{71 (kb)}

'

u (u kb)

(5.4)

bezeichnet. Zu den Volumenkraften sollen neben der Schwerkraft auch Finzelkrafte wie z.B. Halte- und Fesselkrafte _gezahlt wer-den.

Wird im folgenden die Ubrige :Lraft zunachst _{als bekannt,} doh _{im besonderen meRbar vorausgesetzt, und sind die} Oberfla-chenkraft

_E.,(7.-kh)

_{und die Ubrige Kraft Fu(24/(6) Draktisch} .unabhangig voneinander, so kann die _{Bewegungsgleichung (4.5)}

nach der weiterhin als unbekannt _{zu betrachtenden Oberflachen-,} kraft aufgelost werden:

u(i'kh)

(ukh)

±l L(/() V2.9(1<b)

."7

utyr

Tr

to(/) Vz5-(/) Vtz,- (kip)

(3.3)

d, h. die Oberflb.chenkraft _{kann Drinzipiell ohne weiteres sue}

Messunen der Tbrigen Kraft _{unter Bpracksichtigung der}

Impulsan-derunaen des Korpers bestimmt warden; s. such 2.9.

20

-2.6 Gesetz fUr die kinetische Oberflachenkraft

Dab Gesetz fUr die kinetische Oberflachenkraft im engeren Sinn kann unter BerUcksichtigung des Wechselwirkungsaxioms, d. h. des Kontinuitdtsaxioms fUr die diffusiven

impulsflUsse-17-

v. (fkb)

E

(Pfb)

aus darn Fundamentalansatz, vgl. (2.7)

u, (fb)

4- a(fb) V-6 (

La )

= D

f (fk-,) Fu (fiD) ) (

6 z )

mit dem Austauschgesetz

(ib) -zczyta to' (f) (5.3)

fUr, die reversiblen iinderungen des Impulses

G(fb)

der den KUrper umgebenden FlUssigkeit

(f)

, die ihrerseits em n abgeschlossenes,

aber nicht starres indessen zwangsldufiges System mit sechs Freiheitsgraden ist, unter der Wirkung des impuiseinflusses in der FlUssigkeit, d. h. der Reaktion der irre-versiblen Impulsdnderungen, der Oberfldchenkraft

und der Volumenkraft Fuu-b) auf die FlUssigkeit hergeleitet werden.

Wird ndmlich die Ubrige, nicht von den Bewegungen des Kor-pars (k) allein verursachte Kraft

(i.tfb)

FIL

(fb)

E

(th)-

E

(kfb)

auf die Flassigkeit(f) gleich Null gesetzt, so ergibt sich aus darn rlsatz (6.2) unter Beachtung des Axioms (6.1) das Ge-sets

u (fhb)

G

u(ih)

(fh) V( kb)

(f b)

)

b)

E

(

6.4)

( 6-5

=

Mit dem -Impulegesetz

1r

Mit

tr.

und. dem Flu2gesetz

D

_u

-

s (1,6) zym(1(1))

ferner dem Fluflgesetz zweiter Stufe fUr den AustaUsch

itzy

(a) - A

zyu (Fis)

E.9 )

A

2/ 2Y(t,13)

Rt.

_{2716' (f)}

(/(6)

El° )

G

u(fb)

_{(1) VI,.}

ty 26 17:-) gesetzt wird. n 4-1,17 nt.1,1 E1,'4.111 77:///,, ;4. n 21

1--)u2.?

(F)

"Pe

_{ic ur (I) )}

iirhnitdas.oige Ge setz die endgaltige Port

(fkh) =

)

_(h6)

Q.

2C Ira,' (f). Vt7(kh) Vie (fr6)

P2L

(f) Vu,(kL.) Vu? (ph)

an, wenn wieder

tizno,

(-)

_81t,

Z5'r

rziY (f),

und fUr beschrankte Geschwindigkeitsbereiche

A ( 6..6 ( 6, 7

(

)

(

6. ,13 .6 .14 ) it -

-u

= ) )

)

(

( 6.1l)

- 22

-Die hydrodynamische Trdgheit -1y(1) und die hydrodynami-sche Wirkdurchldssigkeit oder "-ddmDfung" Puulerf) des Korpers werden im allgemeinen ale Funktionen der Volumenverteilung des KUrpers, d. h. seiner Oterfldchengestait, der

Oberflchenbeschaf-fenheit, der Eigenschaften der umgebenden FlUssigkeit, der momen-tanen und vorhergehenden Bewegunen, nicht ater des Raumes (;D)

T rgesehen. Wahrend die Matrix 32",y(fb) wieder die gyroskopische

Kmplolung beschreibt, stellt die Matrix

A

zcv(i-b) einen

Wirkaus-.tausch, die hydrodynamische Dampfung der. Sic it erfahrungsge-md2 loositiv definit:

(fb) Vu. (/) Vzy (kb)

0,

( 5.15 )

so da2 sich wegen Gleichung (6.10) fir die Diagonalkomiponenten der Wirkdurchlassigkeit, z. B. unmittelbar die Beziehungen

()

(i) (kip) (

5.16 )

FY"

ergeben, wobei die

(f)

positive GrdBen bezeichnen. Die ent-sDrechenden BeziehunEen fUr die dbrigen Kom.,)onenten 6er Durchlds-sigkeit lassen sich im allgemeinen nicht ohne weiteres angeben. Infolge der GUltigkeit solcher Beziehungen scheint des

Fluf?ge-setz (6.8) bei oberflachlicher Betrachtung von Versuchsergebnis-sen einen kutischen Charakter aufzuweisen; s. z. 3. Suarez (1963). Die Gleichungen (5.5) und (6.12) liefern zusammen

Bestimmungs-gleichungen fUr die hydrodynamische Trdgheit und Wirkdurchldssig-eit des Korpers.

2.7 Aufbau der hydrodynamischen Plrameter

Auf die Struktur der Matrizen der hydrodynamischen Tr'dgheit 170.5.() und der hydrodynamischen Wirkdurchldssigkeit oder

"-ddmpfung" P2e(f) des KUrpers

(0

kann am einfachsten

ge-schlossen werden, wenn die Impulsverteilung cL.e (ft) und die Wirkflu2verteilung

(7)e

fiber der

Kbrperoberfidche(9)einge-fUhrt werden. Der generalisierte Impuls

Ciuub)

und der genera.-lisierte Wirkflu2

I)

2L rfh)

taw.

no)

(fh)

(1)

_d

-Fur Or)

(1

)0

die

(7(h) = j-e772, 27772,

(Rh)

ergibt sich dann genau wie vorher in 5.1

(o)(i )

1,e772 (I )

-/

`i

771 e (f)

(T)p

(?)

le,, (r)

1e771 (

7-)

(

7.1 )

(7.2)

darstellen, wenn die Momente analog den in 2.1 definierten eingefUhrt werden.

Aus der Verknapfung

( 73 )

der ImDulsverteilung und der Gescwindigket durch die Trig.7 heitsverteilung

e(r)

C )

( 7. 5 )

Datei bleiben die Transformationsgesetze (3.9) _{und (.10)} die Tragheitsmomente unverdndert gUltig. Von den 36 Komponen7 ten der hydrodynamischen Tragheit

Tul,rtc)

_{sind wegen der} Bedin-gunz (6.7) im allgemeinen hbOhstens 21 von einander unabhdngig. Die Annahme einer zusatzlichen antisymmetrischen Tragheitsma-trix in realen FlUssir.7keiten, _{s. z. 3. Imlay (1961), erscheint} von vornherein nicht gerechtfertigt, da sic _{ex:Derimentell nicht}

= - 23

(fb)

(-op

(lb)

(

(1)

nachweisbar wqre.

Ganz analog ergeben sigh aus der VerknUpfung

,4 0) 0 (1)0

d 0-e

(f- b) -

_-erin

(f) 7n, (l<) iz ( kb)

mit

und den Momenten

(0) CD MTh

=

f

Pe

m

f)

(i)

(/)

-emn

-

f

Eecyp

ct(-P73 (:F)

Empp Q

CI-CI-DV-n(0 0

pi

,e7n72(f)

,Le7727, co

-

2/1.

-?

_{?ma(t-) =}

(ID CZ _{772 en (f)}

=f

6772p.s 0

als Komponenten der iirkdurchlassigkeit

(0)

(I)

(DI

j

'671272,(f) m ?7z (70

67,

i

a: a; a-1,7 dgs,(70(711)

(4)

(2)

0.P

-497-an(f)

-emn (f)

(76)

( 7 7 )

und

₍₂₎

-

nme(f)

J

72.772-e (f)

-1I,72,(1)(f)

=

_{_QP}

(2)

(3)

op

( f )

emn. (F)

FUr die Momente der Wirkdurchlassigkeit gelten ganz dhnliche Transformationsgesetze vie fUr die Tragheitsmomente. Von den 216 Komponenten der hydrodynamischen Wirkdurchlassigkeit T'uvur(f)

( 712 )

( 713 )

(F)

(f)

0

a

und

das

_{Kraftgesetz (6.12) eingefUhrt, so ergibt sich als} Glei-chung fUr die Bewegungen_eines atarren Korpers in einer

FlUssig-keit.

-Ttur(s) \./.17(kiD)

ezt17

Trztr

(s) Vzy k

\ivy ( kb)

ijztv-zo-(S) _{VZY (kb) \ALP (OD)}

.(8.1)

Dabei bezeichnen

U(S)

die totals Tragheit und

25

-sind wegen der Bedingung (6.11) it allgemeinen hOchstens 126 ei'.nander unabhangig,

2.8. EndEUlti BeweEungsgleichung

s _{Werden in die Bewegungsgleichung (4.5) die Gleichung (5.4)}

Puzyur

(f)

E.

_(ufb)

( 8,2)

.die "totals Wirkdurchlassigkeit. des Systems

(s)

_, Jets der KOr-per

(k)

und die ihn umgebende FlUssigkeit

_(F)

_{bilden. Ferner} steht

(

far

_{die totale Ubrige, d. h, nicht darch die Bewegungen des}

Kbrpers (k) allein verursachte Kraft _{auf das System (5)'} Wird weiterhin der totals _{Scheinaustausch}

C

2( 15° (S

_{Zielff (5) Vta (k.10)}

mit der totalen Scheindurchlassigkeit _{oder m-dampfung"}

R

u.rziy(s)

_Pun&

_(s)

_uur

1:-/-1Lr (s)

( 8.6

des

Systems(5) eingefUhrt, _{so fol t aus (8.1) als endgUitige}

Bewegungsgleichung

-von

(

8.)

-

26

-Toy(s) V(kb)

ic)%ueur(s) Vu.(A,S)Vuy(kh)

-u(ush)

(8.7)

h, eine inhomogene, nicht-lineare Differentialgleichung

er-ster Ordnung fUr die intensive Zustandsgro1ev,0), Die Gleichung

(8.7) beschreibt alle Bewegungen von beliebigen starren KOrpern in beliebigen FlUssigkeiten. Die

Matrizen-1,,(s)

und

uituy(s)

der phaenomenologischen Parameter sind dabei.entweder experimen-tell oder rechaerisch aus den Verteilungen

ci3'

em.

PO,

d'*772- (7--)

und d(P,enzn6c)nachden angegebenen Vorschriften zu bestimmen. Im allgemeinen sind die, wie bereits festgestellt, selbst noch

-Funktionen der intensiven ZustandsgrOBe; s. 2.10.

Praktisch wird gewohnlich zur Beschrdnkung des Aufwandes mit Ndherungsgleichungen fUr beschrdnkte Bereiche der intensiven Zu-standsgrO3e gerechnet, wobei gleichzeitig mittlere konstante

hy-drodynamische 2arameter angenommen werden. Die Statilitat von LOsungen der allgemeinen Gleichung (8.7) fUr konstante Ubrige

Krdfte Fu(,s6) kann mit Hilfe der direkten Methode von

Lyapu-nov beurteilt werden; s. z.B. Ohetayev (1961) und Hahn (1959).

2.9

Linenrisierung der Bewegungsgleichung

Uberwiegt,eine Komnonente v/,b) der generalisierten Ge-schwindigkeit 0(,5) gegenUber allen Ubrigen Komponenten, so

geht.die allgemeine Bewegungsgleichung (8.7) mit dem Naherungs-gesetz

C

u (sip)

=

_r7; (s) \./t, (h6) )

fUr den totaien Scheinaustausch mit der in Gi. (9.6) noch naher definierten Matrix 1:uu,,i _(s) in die Form

(s) 1Y (1<, )

R

LI

(s) Vi. (keb)

Oh) =

7u(ush) ( 9.2 )

Uber. 1st die Uberwiegende Komnonente insbesondere konstant, d.h, 1st die Zahl der Freiheitsgrade des KOrDers (A') auf 5 be-schrdnkt, dann stellt Gleichung (9.2) die linearisierte Form der Gleichung (8.7) dar. FUr die totale Scheindurchlassigkeit

oder "-dampfung" in der Gleichung (9.1) ergibt sich aus dem

luBgesetz

) =

das mit der NTfiefun

Vzt. (1ap) Vt. /0S in das Naherungsgesetz

D

_2C is ) =

(

0

iThergeht, die Beziehung

1C

t

(

_{LL 13' t} )

Ina (s)

Vzy (k)

vu

(id))

3.3 )

-

77-1. ) LL L 3)) Vt. (k 6) YU'

(kb)

vollig

analoge Beziehung lassen sich fUr die Blind- und Wirk-durchldssigkeit herleiten.

FUr

(ko'

(9.7)

geht die, Naherungsgleichung (9.2) mit (9.6) in die bequeme Form

I 2, (s) vzy (kis)

7

RtL (s) _{(1: IS)} Vt7 (

)

2 (zts

R

it: (3)

'41(k,5)

9

°'s

2

(5)

RuLL(s)

j(-`).

) S 8 )

Uber; dabei gilt, wie auch im folgenden Abschnitt _2.10

zt,

iy

t

(3.)

-Lrfolgt die Bewegung (9.4) des Korpers von einem bestimmten Zeitpunkt an unter der Viirkung einer konstanten Ubrigen _Kraft,

so it der Bewegungszustand

R

asymptotisch stabil, wenn die Eigenwerte der Matrix'

(,) = u 4(.5) Rtruy, t' (5) Vt. (, b)

der Form

Sup

(5) L .5)

Systemkonstanten und den Matrizen

722.6/ (kb)

-

28

-der Bewegungs- bzw. Kraftzustdnde

,

12

VI:

(kb)

Vc/ (kb)

FL

e/ (14..51D)

(9.11)

(9,14)

samtlich positive Realteile besitzen. Eine notwendige Bedingung dafUr ist nach Hurwitz

d et

PN

> 0

(9,12)

die.sogenannte Bedingung der statischen Stabilitdt. Babel wird die stets erftIllte Bedingung

det 1-1(s)

>

0

(-3.13)

vorausgesetzt.

Zurexperimentellen Bestimmung deY. hydrodynamischen Parame-ter ist folgender Weg zu beschreiten. (Rechnerische Verfahren s. 2.11). Schreibt man die Bewegungsgleichung (9.2) mit der Matrix Vu k (s) (

(kb))

I 0 )

(frb)

und itci(v_sio) in

)

*der (9,16,)

( a s )

S

_up

r \_Is)

_Vpy-

₍

_b)

_(usb),

so ergibt sich daraus unmittelbar die allgemeine Vorschrift die experimentelle Bestimmung der phaenomenologischen Konstan-ten.

Die AuflOsung der Gleichung (9.18) ist _{offenbar nur unter} der Bedingung

det, V

_{pcf kb)}

(

-L 0

eindeutig mbglich, d. h. wenn die betrachteten Bewegungszustn-de linear unabhangig sind. Diese Bedingung ist bei Bewegungszustn-der Planung von Experimenten zu beachten; s. _{a. 3.5. In der experimentellen} Praxis. werden die KLirperkonstanten _{in der gleichen Weise aus} Versachen im Vakuum, d. h, praktisch in Luft, bestimmt, so daB sich bei gleichen Bewegungszustinden die explizite Vorschrift

s

-up zip (us b)

r2ip

(kb))Vci-pl

(Ab)

( 9,20 )

fUr die Ermittlung samtlicher _{hydrodynamischer Parameter} aus

MeBergebnissen ableiten laBt. Diese _{Gleichung liegt alien} bekann-ten Verfahren zur Bestimmung _{der hydrodynamiSchen Parameter}

zu-grunde, so z. B. auch dem in _{3.5 entwickelten. Verfahren.}

2.10 Lbsungen der linearisierten _{Bewegungsgleichung}

Die Lbsungen der _{linearisierten Bewegungsgleichung (9.8)} fUr einen beliebigen Verlauf der Ubrigen Kraft Fuo,s.b)

lassen sich, asymptotische Stabilitat des Zustandes

V,,

(k6) 0 =

R

7:25-)(S)-R (s) k (113,1

vorausgesetzt, in der Form

vu(kb)

=

vu(kb)0

( 10 2)

6

u

V', (S) 47: r-(74 (513) Cz 29

-( 9,19 )

fUr.

(

darstellen, die mit der Substitution in ,

E=

Vu(b)

=

V.,,,(hh)0

Co

e

(s) 0 30

-vsh)

(t-tt) dtr

(,10.3) (104

Ubergeht. Die EinfluBmatrix

Gr

, die die Reaktion des

Sy-stems (s) auf Einheitsstbae

F,L(usb)

cr('E)

e

(105)

(Diracschecr-Funktion) darstellt, wird als Gewichtsfunktion (impulse response function) bezeichnet.

Fr die explizite Berechnung wird die Gewichtsfunktion ale Eigenbewegung des Systems(s) mit der Anfangsbedingung

Gttrt'

(.5)

(+

0) =

u,ty (s)

um den Gleichgewichtszustand (10.1) angesehen. Tinter Verwendung der Matrix (9.11) kann die Gewichtsfunktion explizit in der Fora

Su,"

(,)

.L)

= ocp

(-

(.5)

(s)

(10.7)

geschrieben werden. Dabei wird der Einfachheit halber vorausge-setzt, da3 die Matrix

207)40

diagonalbihnlich ist, d. h. die voile Anzahl linear unabhngiger Eigenvektoren besitzt: vgl.

ZurmUhl (1961). Der zugehorige Frequenzgang, d0 h. die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion

Eny,i

(5)

(to)

(s)

o(pi

)

(io, 8)

ist offenbar

\-1

ruz.9.,/..(s)

Tzoy(s)

+

(s)

(kb) )

(11I9)

)

(-Die Gewichtsfunktion 6,107,1:(s) kann praktisch,

_L(s)

)

Undstir (s

im allgemeinen nur fir beschrankte Bereiche der. intensiven ZustandsgrHe als unabhangig vom Bewegungsverlauf an-gesehen werden. Die Tatsache, da3 bei weeentlich instationaren Vorgangen aus der "Tragheit" des 'ITachlaufs" Nachwirkungen _vor-. hergehender Bewegungen resultieren, kann in dem Ansatz fir

_die.

Oberflachenkraft durch em n Integral Uber die Vorgeschichte rUcksichtigt werden; s. Cummins (1962). Anstelle der Gleichung .(9.2) kann man etwa

T(5)

v-,y(kb)

_uv,

(5) (id.) Vz9,- (kb)

f

(

*)

(

t -t *) c/t

=

(10.10)

0

schreiben. Mit dem denkbar einfachsten Ansatz.fUr die Einflu2-funktion der Vorgeschichte

Guu)(f)(t)

Tue(f)

_{1(?)(P.(77itz,.)40 t)}

mit Ityzy)-t. (f) Vt. (

kb)

)

r.)Fui-A-Y)L

(-F) '-`.70)/:(f) (1-

)

(10,1z)

ergibt sich dann anstelle des Frequenzganges (10.8) vollstandi-ger

}-1.,,ii

(5)

(co) "

[(Ts)

d- uby, L

(79)tco

_(10.13)

-1

-,ny)i. (5) +

LLt(-9)

_{vf, kb,)]}

Dabei bezeichnet

t

_{Ule) t}

=

2 ( -17;

2t

p)i(f)

I FAY)

(f)

LLJ

2 du

uY)

den "Grad der Instationaritat", _{der im folgenden stets als}

ver-schwindend angesehen werden soil, d, h. es sollen sogenannte

qua-sistationdre Zustande betrachtet werden. Bei Stromungen mit

Uber-G

_(usk))

=

-31

Am Beispiel schlanker KJrper soil gezeigt werden, vile eine praktische Abschdtzung der hydrodynamischen Wirkdurchldssigkeit im Einzelfall vorgenommen werden kann. Betrachtet werden schlan-ke Kbrper, mit einer ausgepragten Figurenachse, deren

Bewegun-gen UberwieBewegun-gend in Richtung.dieser (x)-Achse erfolgt. Babel braucht es sich keineswegs nur um Doppelkbrper zu handeln, d.h. Korper, die zu den Ebenen = 0 und z symmetrisch sind.

Kit der Verteilungsdichte

Cte

(-HA)

em. (7-) = ern.(T)

Jer hydrodynamischen Trdgheit langs der x-Achse ergibt sich in Yerallgemeinerung des Impulsansatzes von Munk (1936) fiir die Verteil:ngsdichte

0) = CZ.

01.2 )

.e

re

rA/D c12

der kinetischen Oberflachenkraft 32

-wiegend zirkulatorischen Komponenten, im Gegensatz zu den in die-ser Arbeit betrachteten Strbmungen mit Uberwiegenden Verdrdngungs-koluonenten, 1st dieses Verfahren hdufig nicht zuldssig, indessen ist hier der Grenzfall "voll-instationdrer" Bewegungen von Bedeu-tung, s. z.B. Dernedde (1960), fUr den der Instationaritatsgrad mit der Einheitsmatrix identisch wird linter sehr speziellen Be-dingungen haben Kotik und Mangulis (1962) die Zusammenhange zwi-schen den Matrizen 1,,r(f) und TRu,y,t.(f) untersucht; s. a. 2.11 und 3.6. FUr praktische Abschatzungen kann als erste Ndherung

uzyt(f) =

Ruu,t(f)

(015)

ingefUhrt werden.

2.11 Ndherungsgesetz fUr die hydrodynamische Durchldssigkeit schlanker Korper

(1)

No

-

(t.

(-)

, ci

e

yx (AID) -enz, 7-, (AD

(0)

2-eran.

rn. (/ b)

nx

( kb)

Mit

tinter Beachtung von

(i)p

p

₍₀₎

C. CL

29--e

hb)

(ND)

-eyn.

x

n (Kr))

wenn nur Bezugspunkte auf der Figurenachse zugelassen werden, folgt aus dem Ansatz (11.3) durch Integration fUr die hydro-dynamische Tragheit wie frUher die Beziehung (7.5) mit den Mo-menten

(0)

de

( 11.6 )

J-em (f)

=

m, (f)

(i)

,---/-

_a

2

-Lem. (79

=

x _n

₍

_{f )}

de

(11.7)

P.2

=i

cexT6

x

`"" x

(- no (f)

de;

(11.8)

ferner fUr die hydrodynamische Scheindurchlidssigkeit oder "-ddmpfunp." Zl. 1.7 X (-,-)

33

-(1),J -

e

e if

kb)

-e

09

(-1)

(o)

P

2m

e()

enTax 127-1.

(i)

(f).7,

(0)

2 E2r,z7-1,

I

_{n.x (f)}

(2)

₍₇₎

72 772 A'

'e

,

,--)

(T) P

(f)

r,..(2- 7

2 6

exo

0,727a.

nr

(-:1 9)

(1)o

(i) p

(i)

x (ND) z 13. JD)

-

_{7-7x (}

fib)

77L (/b)

(1)0

(019'x

(

)

(

(

11,5 )

.(i)

x ( f )

34

-mit den analog (11.6) bis (11.8) definierten Momenten der Ver-teilungsdichte

7-'-ena.(f)

=

dt

_2771(1)

/de

"Tra:gheitsquerschnittes" 6e7.71(i) des Korpers

(k)

und .

(i)

7-

x

1

CL X

se (1)

de

Wird jetzt die hydrodynamische Blinddurchlassigkeit

(o)

_ F

--enx

'n(f)

(0)

emTh 72-x (1)

-4-von (10.9) subtrahiert, so ergibt sich durchlssigkeit schlanker Korper

em(f)

E

_emn

)

-r-ax

(f)

('11.12)

(2)

-2E

('1'P

ern()'t

m. x -e77(f) E,e,ve. 6-0772.rt _{72..x (0}

E

en-L,

n (

7c)

als hydrodynamische Wirk-(11.13 )

(/)

(0)

-

nmx

Jen 09

x

(0)

des

35

-Die von (11,13) erfUllte Symmetriebedingung

P2L

(0

x (f)

von.deren GUltigkeit man sich durch Ausrechnen Uberzeugen kann, soil Hornscher Satz genannt werden; s.

FUr Doppelkorper fallen die Hauptachsen der Verteilungen

zem.(0

und

ren,(0

mit den Symmetrieachsen zusammen, d0 h0 die

genannten Verteilungen haben in Bezug, au f diese Achsen Diagonal-form. Fallen insbesondere auch die Hauptachsen der Massenvertei--

-lungen mit den Symmetrieachsen der Kbrper zusammen, so fat

(-)/

P

uxx (s) xxx (s) 2d, 7

em n Gleichgewichtszustand. Seine Stabilitat 1st nach demselben Kriterium au beurteilen, wie die des Zustandes (9.10). Bei den angegebenen Berechnungsverfahren fUr die hydrodynamischen Para-meter wird such der Rollfreiheitsgrsd'unterdrUckt; die Tragheits-_ querschnitte haben ansatzgemd3 keine Tragheitsmomente. Bei dem Verfahren handelt es sich offenbar nicht um eine Streifenmetho-de. Diese dient zur Berechnung des Tragheitsquerschnitts unter

Voraussetzung ebener Stromungen in dem einzelnen Querschrlitten

-solange man keine genaueren Kenntnisse besitzt; s. a. 2.12 und, d. b. es treten infOlge der Uberwiegenden Bewegungen in Rich-tung der Symmetrieachse nur Widerstandskrafte in.RichRich-tung die?. ser Achse auf, und die Gleichung (9.8) wird au3erlich identisch mit Gleichung (9.2). Bei, Abwesenheit einer Ubrigen au2eren Kraft

ist daher

x

3.4.

d

lk

-2.12 Verteilungsdichte des hydrodynamischen Tragheitsquer-. schnitte schlanker KOrper

Ausgehend von derNerteilungsdichte.der hydrodynamischen kurz dem "Tragheitsquerschnitt" ie,I(f) oder dessen

Ver-teilungsdichte -r_eraffy * kurz der (normierten)"Schiebekraftver-: teilung",- die in dem gleichen Verhdltnis zueinander stehen wia Quell- und'.Dipolverteilungen in der Potentialtheorie,,lessen sich also fUr schlanke KbrDer samtliche integralen hydrodynaMischen

-Parameter in einfacher Weise berechnen, Das eigentliche,'physika,-

I-lische Problem ist offenbar die Ermittlung des Tragheitsquer,

. ,

'"-schnittS oder seiner Verteilungsdichte.

.

,

.

-.Die aus der Potentialtheorie bekannten Lbsungen.sind offen- . bar fiir die vorliegenden praktischen Zwecke hicht brauchbar, da

- sie verschwindende Tragheitsquerschnitte fiir die Enden der um-,'

: o strbmten Kbrper, d. h. 1 , ,

(0)

6D - A- -e-mn(f)

-

10 4,

(12.1)

: 1

liefern, Und damit inen technisch wichtigen Teil des 2roblems nicht zu erfassen gestattan.

Die olistandige Lbsungdes 2roblems lauft auf,eine Berechnung oder

Messung.

der linearen Verteilungsdichte der kinetischen -Oberflachenkraft fUr welnigstens, zwei verschiedene Bewegungszu

stande hinaus, Werden z.. B0 durch die Bedingungen

36

-(1)p

(kb)i-

( k (12.4)

zwei gradlinig stationare Bewegungszustande und durch

2.8 (6kkl,

_. die zugehbrigen Verteilungsdichten der kinetischen, Oberf10.,

(12.5)

(0)

17-e (As)

= 0

(12.2 )

El

2.7A, (Ab)

const

(12,3)

1 und Trag-heit, )

-e

_e

_b)i

-1,2

mit

-

37-chenkraft gekennzeichnet, ergibt sich ale Bestimmungsgleichung fUr die Verteilungsdichte des Trdgheitsquerschnitte

(i)

in(f)

( kb)

13.772,(1<b)i

e,e

rt--kb)j

(12.6)

Da es brauchbare und verld2liche Verfahren zur lilessung oder Berechnung der Verteilungsdichte eeri-A6) noch nicht gibt, ist man praktisch auf gewohnlich ausreichende Abschatzungen des Trag-heitsquerschnitts t err, (70 angewiesen; s. indessen 3.6. In 5.

soil am Beispiel von Doppelkorpern mit elliptischen 0,uerschnit-ten gezeigt werden, wie im Einzelfall vorgegangen werden kann.

2.13 Bemerkungen

Die Entwicklung des allgemeinen Begriffsschemas fUr die Be-schreibung der Bewegungen von starren Mrpern in FlUssigkeiten soil mit wenigen Bemerkungen abgeschlossen warden.

Neben dem impulssatz, z. B. in der generalisierten Eulerschen Fassung (4.5), and dem Wechselwirkungsaxiom (6.1) nimmt in der vorstehenden Entwicklung das Axiom (6.9) von der Symmetrie der Austauschmatrix zw. (03) eine zentrale Stellung em. Es ist nach dam OnsagerTheorem der Thermodynamik irreversibler Frozesse vollkommen analog. Im Palle der Bewegung schlanker Mrper konnte das Axiom auf den Fundamentalansatz fUr die differentiellen Im-pulsanderungen der FlUssigkeit im korperfesten Bezugssystem zu-rackgefUhrt warden. Die Aussage (6.15) hat ihr Analogon im zwei-ten Hauptsatz der Thermodvnamik.

Die ganze Herleitung der allgemeinen Bewegungsgleichung (8.7) bleibt auch fUr beliebige mechanische Verbande, auch mit mehr

als sechs Freiheitsgraden unverdndert gUltig. Die Liatrix vuo,b) kann dabei beliebig generalisierte Bewegungen des Verbandes

be-schreiben. In der theoretischen idechanik wird die Gleichung (8.7) dann gewOhnlich in der standarisierten Form

und -O. u, (us b)

T

I (s) ur (s) rzyuy (s) 9 u i, (s) 38, -( 13.2 )

dargestellt . Die Komponent en der Matrix rtcate(s) we rd en dabei als Christoffelsymbole bezeichnet ; s. z.B. Morgenstern und Sza-bo (1961) .

-

39

-3. Jinearisierte Gleichung fUr ebene BeWegungen ,von_poppelkbrpern in FlUssigkeiten

3:1 Voraussetzungen

Am Beispiel der- ebenen Bewegungen _{von Doppelkbrpern soli} die Bra,uchba.rkeit des entwickelten Begriffsschemas. _gezeigt

den. Be tra.chtet Werd en Korper (is) 1. die zu den Ebenen y ₀ und

=O eine

kbrperfe sten Bezugssystems 6°' .symmetrisch _{sind., und}

die dera.rt gefesselt sind da.3 die Ebene a ,Stet's mit der Ebene z *.= O _{eines raumfe sten. BezugSsystems .G" "* zusammenf}

Die Zahl der Freiheitegra.de der mbglichen _{Itebenen" Bewegungen} ist drei,, zwei tra,nslatorische in den Richtungen ee und

und em n rOtatorischer urn die Richtung _{2,e Der Einfachheit} .halber \verden nur kbrperfeste Bezugssysteme z,ugelassen die

d'urch .6ine . re ine Translation cz.lPv(po) langs der- x,-Achse in dab

System G°- UbergefUhrt werden kOnner,.. _{Ferner soil das System}

0°

mit dem Hauptachsensystem der Ma.ssenverte iiung ₍₁₇₇₂(A) der

Kbr.,-pers identisch sein, was z _{B. bei homogenen Kbrpern stets} ohne i,veiteres mbglich

Me iterhin werden der Bequemlichkeit halber alle nicht unbe-dingt notwendigen Ind izierungen der verschiedenen Grb2en

unter-,

drUckt . Das geschieht in unmiBverstandlicher

:Weise ,. wenn . im

folgenden zunachst alle Grundbeziehungen _{in der abgekUrzten} . Schreibweise wiederholt werden.

ZweckmaBig, werden dabei alle generalisiert en GroBen sbfort als normierte GrbBen eingefahrt. Ale Bezugewerte dienen die Lange des K:irpere (A) in x-Richtung' und _{die Plächef seines} Hauptspan.,-i-tes senkrecht zu dieser Richtung,, _{ferner die Dichte sp}

_{der umge;}

benden FlUssigkeit

(F)

_{und eine ausgezeichnete Geschwindigkeit}

'y, die speziell bei Uberwiegender und _konstanter

Langsgeschwin-c4

(1)

digkeit x mit dieser indentifiziert _wird.

Als natUrlicher Phasenraum bietet sich das jeweilige Bezugssy 'stem an;

S.

7.2.

-5.2 Fundamentalansatz , Impulssatz

,

Die zeitliche And erung des Impulses _C310:

00

_{eineS star-} 74 61 ren Doppelkbrpers

(k)

_{mit den a,uf sin raumfestes Bezugssysteul,}

bezogenen Komponenten , 71 6, " : ' 4 N r , I 4 , .1, wer-z=

ee

ist ,

e

40 (0) (

k)

tEz7

(

2.1 )

(0) =

_gy.*(k)/

_,S;25-

(2.2)

(-i) . ZP: S;) 2

(2.3)

unter der Wirkung der du3eren Krdfte (k) und r,,,t(k) den Komloonenten (0) 2

=_,v*.(k)

=

fA-,(k)

/Ffz'

(0)

(k)

(k)

..S),)?"2

(i)

*

(k)

₌

ZP*

(k)

S)C6°2" 2

-

.

und analog definierten Komponenten 'der Kraft El.,* (k) wird durch den Fundamentalansatz (2.17)

G

26 * (k) ( k) ' -Lt* (k)

(

2.7 )

beschrieben. Datei bezeichnet der :Punkt jetzt die Anderungsge-schwindigkeit bezogen auf die normierte Zeit

L.1.912 . (2.6)

Bei einem Wechsel des Bezugspunktes von

P4- zu a*ist nach

(2.1.12) die Transformationsregel * (2'"

X

_{a x* (P*) /}

cl'

G

zA,

G

-p *

( 2, 9 )

zu beachten. Analoge Regeln gelten fUr die ersten Momente der Ubrigen Verteilungen. Dabei bezeichnet

(

2.10)

mit

- 41

-den normierten Abstand der Bezugspunkte; offenbar gilt

x

-

. (2.11 )

In einem korperfesten Bezugssystem treten Impulsanderungen nach 2.2 auch infolge der Bewegung des Bezuassystems gegenUber

dem Raum(b) in Erscheinung. Zwischen den Komponenten der Bewe-gung

(1)p

2,"

/

_{( 2.12)}

X

besteht nach (2.2.13) die Beziehung

a

TD _Q

= V

X

.

d ::

P

In der Bewegungsgleichung 2.2.7)

u_.(k)

Bu25-(k) \/2.7 =

_EU(k)

F..2.6(A)(2.16)

gilt fUr die gyroskoipische Kopplung (2.2.8)

B') = e

uzyuy alY(1-) ( 2,17) mit

e

=

E

(

2,18 ) = ( 2.19 ) 2."..try E.1.C.Z7cy

e

= 0

(

2.20 ) ( 2,13 ) (2,14 ) ( 2,15 ) =

v

+

-'fUr die Tragheit

mit

lerner ergibt_siCh in cem Impulsgesetz (2.3.0

(Steineracher 'Satz) gilt.

Iinearisierte Bewegungsgleichung, au2erS Kr'd.fte

Der Impulssatz (2,16) geht mit dem impulsgesetz (2.21) und dem FluBgesetz zweiter Stufe (2.4.1)

, (0)

x (k)

.54-ta

(0) -

-(19'

-7(,<')/

91

0'

B

wzr(k)

Tx (k)

0

t(-T:(k)

( vtor ZL2Y74Y

V

V.7

p

r_L-2,2) p

TZ(k)

JEE

(k)

...$)

wofilr mit dem Abstand

x K

des Tragheitsmittelpunktes K des air-pers (1) vom Bezugspunkt P die Transformationsregel

XP;

2

K

' (2.23) ( 2.21i ) 2.25)

2.2)

-''.79111 , und

=

42

(k)

0

=

.y(k) 5.3

(2.22)

0

(2.21) (

fUr den Blindaustausch, mit der Blinddurchla.ssiakeit (2.4.2)

aurvr(k) 8711,7-

Trio

(k)

( 3.2 )

unter der Bedingung .(2.4.3)

Tuty(k)

=

in die Bewegungsgleichung (2.4.4) Uber:

I ulY(k)

n

'

ulyuy(k)

VVzzy

Eu(k)

(k)

-(3'

4 )

Insbesondere gilt fUr praktisch starre Kbrper (2.4.7)

(k) = 1-(k) = T1k)

( 3

mit der Tragheit

Im folgenden wird die La.ngsgeschwindigkeit V als Uber-wiegend und konstant angesehen. ZweckmaBig wird also

V

.

1 (3.7) und damit

V

« 1

(3.8)

-und

<< 1

(3.9)

gesetzt. Die Gleichung (3.4) vereinfacht sich damit nach 2.9 und einer Bemerkuna in 2.11 unter Beachtung on Gleichung

(3.5) zu .41y(k) Vz7

a

uly, x lc)

V

F-_(k)F(k)

(

3.10) mit

(0)

,

I (k)

=

172(k) /Ye

( 3,6 ) (3.3 )

40m , 01,

1u(k)

ZL f A)

it (Ilk)

"

Die haufig vorgenommene-Normierung der Gleichang (3.13) mit

der Tragheit Too, h.

der.

Masse des Mrpers, 1st irrefUhrend. Die hydrodynamischen Wirkungen auf dem Korper haben Von vornher-,ein nichts mit der Masse des KOrpers zu tun.;

vgl. z.a..

Imlay

(1961). FUr de m 2rdgheitaradius des Mrpers

.z ,01.1

(T

z

(k)/

1(k)

)

1/2

3.14 )

gilt nach Gleichung

,

P.; 2

K; 2

TD;2

(k)

74'

`

(k)

X

-( 3.15 )

-r

3.4 Linearisiertes Gesetz fUr die kinetische Oberflachenkraft und der Blinddurchldssigkeit

P

T(k)

K ara.

T

rtirarkuweN, 41 AA )

Tp.

(k)

re. u19.x(R) = P .

-17(k) )(

Werden jetzt vie in 2.5 ,die duBeren.Krafte in die kinetische Oberflachenkraft

E.u(fk)

und die abrige, nicht durch die Bepe-, gungen des Mrpers allein verursachte Kraft

F(00,

aufgespal-ten, so. ergibt sich 'analog Gleichung

.(2.5.5)

als Bestimmungsglei chung fUr die kinetische Oberfldchenkraft

7/17 (A) V17

'3.12 )

¼

4

3.13)

Das Gesetz (2.6.12) fUr die kinetische Oberflachenkraft geht mit RUcksicht auf die Bedingungen (2.12) -6is (24) 'in die

line-arisierte Form ;/. rf. .11

Q

44

-(k)

k)

(

3.11)

(k)

d.

R

u

_e)x

(f)

_P2.11.9' x (f) u

/7)x (f)

entsioricht.

Auf die Struktur der Matrizen -1-,n5q0 und -R (E) kann in diesem einfachen Fall unmittelbar mit Hilfe _der Transforma-tionsregeln (2.9) und (2.15) geschlossen. Danach _{ergeben sich} als allgemeine Ansatze

mit und u , x ( f z--in Uberez--instimmung mit

T

in

X F

45

-::(f)

=

T:(f)

(f)

x,-;7; 2 v ThE,

\

"

4-1

systeme. Ferner ergibt sich fUr die Blinddurchldssigkeit (4.3)

(4 4)

(4,5)

(46)

Ru

_(f)

-fl .7)\; 2

];

den Frinzipien der 6tatik ebener

KrEifte-(f )

= - 111y

-

_a

_{u19, x (f)}

Vy

_-

_{1P,u5 x (f)}

_{Vry (4,1)}

fiber, der der unmittelbare Ansatz

u (770 =

Tiny

(f)

V2y u,9-).y _Vz, (4.2)

mit der hydrodynamischen Scheindurchlassigkeit oder "-d'Amlpfung"

(1)

!A Toc) =

(f)

(f)

( 4

.

8 )

und damit nach Gleichung (4.3) fUr die Wirkdurch1L4.ssigkeit

TR

(f)

R (f)

- b(f) -

x (-0

P

-PUV') X (79

0

Tx

(f)

(4,7)

R

_(..f)

xP

- A

T

_(I)

_R

yrR

₍

?;

2 --,

_b

_Ty.F

_{T )1P}

Ira einzelnen bezeichnen dabei

Tx(7927(,),

die ana-log (2.23) bis (2.25) normierten Komponenten der hydrodynamischen Tragheit, x - den Abstand des Mittelpunktes F der

hydrodynami-schen Tragheit T

(f)

vom Bezugspunkt,Ry(,c) die

Schiebekraft-P

zahl, i3(f) die Gierkraftzahl

undxR

und x die Koordinaten der

3

sMittelpunkteR bzw.

3

der Schiebekraft bzw. Gierkraft. Nach dem Hornschen Satz (2. 11.14)

ist hier also

-Put?) x.(f)

-Ptru, x(f) ( 4,10 )

Th

(f) =

Ty (f)

2

Tx

(f)

.

(

4,11 )

Die Matrix

?2,-)40

kann damit auch in der Form

( 4.12 ) -P A Pat

R

"R

(f) X

7

-R (70 2, -)

(f)

ky (f) X -R) -2A

7-09 XT

T

_(f)

Tv,(f)

1(f)

mit -(.4)

-- 46

T(f)

4: TA. NVN 47 NI XT

+ Ty (

_{f.), XF}

geschJrieben werden ie kann gedeutet werden.als'die DurchlaS sigkeit zweier eich gegenseitig,hydrodynamisch'nicht beeinflus-".sender-tragender l!inien in, den Punkten,_ -R

,re r gegeben durch die Koordinate

NN

" bzvv

Mit den. 'YKraftza.hlerift

'

,;(2(f)

.

A 1

(1)/

Da T)_{WAY )} 7-2) .positiv definit' ist,

.gelten,

die' Bedingungen

-/

f

X2

(f)

> 0

.Diese,

_{Modellvorstellung ist fUr qualitative Betrachtungen von}

Bedeutung,-Ihre tiefere"Berechtigung liegt in.der Tatsache be-

-F

grUndet, daB em_{n WirkfluB des Impulses sin, der Flassigkeit ,nur} bei sirkulatorischer UmstrOmung des Krpers auftreten kanm

Mit det.durch die Gleichung

R z/_, i/ y,(f) R11, -D

P'

2 F\ X .

R

x

) /2

:LI

I(f)

_(4.:1

₃₎

RI rtA und X2y,letzte-,, .

4 .16)

, . . " r

(4/1e)

m

(4,119)

- 1,,Vew _ " 5,4

X(5

=

R

X2

_{2 (}

.

)

wenn nooh die Varianz

-AA.

definierten Dampfungsmittelpunkt

_RI

_{ergibt_s,ich-fUr die Damp-.} .fungsmatrix auch die Form .

t , mit X1=

T

-

-(f)

(4.17) --( f )

+

1;.

-4

s. GI. ,(8.*5), mit.kleiner Amplituder und der normierten

Kreis-frequenZ (Strouhal-Zahl) und 48 -« " ?I , y . ' : ..,.. rs - z

:6 T(f),(2 .x

-R

:-e)

. i,

7

. _R* ' w :

' (

20 ) k Fo. , . . Tr :eingefUhrt.wird 1

-Die on Horn Vertutete Symmetrie(4:1'0) kann'natUrlich.nicht,. bestehen, wenn,beim Ansatz der Blinddurchldssigkeit, wie e--,

'

wOhnlich geschieht, einzelne Terme unberUckeichtigt-bleibens.

Horn (1951)

3.5 Experimentelle Bestimmung der hydrodynamischen Parameter

7on,denacht'in.3.4 eingefUhrten hydrodynamischeri Parametarn_. .sind wegen der-- Relation (4.11) nur sieben voneinander unabhdngig.

Diese kOnnen Drinzipiell aus beliebigen EXperimenten. bestimmt .werden, tei denen die Bewegungen und die Ubrige Kraft gemessen

-warden. Besondare einfach gestaltet sich ihreBeetimmung aue Ex-, perimenten, bei denen der- Kbrper um ,den mitkonstanter

Transla-tionageschwindigkeit/.7

y

Gl. (8.1), bewegten Bezugspunkt 7',

-harmonischesDrehschwingungen-.

.0)

W*

(--C)

"

exp-

.(.5A .)

_'it 1

v.2,3./

cc)

(5.6)

-

(5.7)

,2

rirri,e/

(

5.2)

aue--fUhrt.

-.Die BeWegungen desKOrDers wer8en dabel in ereter Ndherung durch die Beziehungen

=

T')

=

es z.B. , =

=

beschrieben, Als Komponenten der Bestimmungsgleichung (3.13) fUr die Oberflachenkraft ergeben sich damit

?

(fk)

-

17y, (u I-7

(k)

K

-/

(5.8)

und

?

L-2(f11)

z(u )

T,_

(k)

Andererseits ergeben sich aus dem KraftgeSetz (4.2) it den Ansatzen (4.4) und (4.6) die Beziehungen

=

[ (2

I (f) -

x.:PR )1:17a,

Tau) x-PF v2+ Ry(f)

CT)

(5.10) Lind

-z (fk)

[(2

i(f)

(T:(f)

V' 2 +

x,-P7R )x((r)

,5,11

fUr die Komponenten der Oberflachenkraft. Werden entsprechende Ansdtze

1-r(uk)

[Y;i

_(Y-;

_v

2

1-\(;)]

?/(7-)

(5.12) bzw.

-

49

-77

(-7-P\72+ZP)1d(()

'r ( 5 9) (5:13)

fUr die die Bewegung erzwingende Kraft gemacht, _{so ergeben sich} endlich durch Koeffizientenvergleich ais Bestimmungsgleichungen

,-V

R(f)

,(f)

Ry(f)

-

50 -fUr die hydrodynamischen Parameter

Yr

R

-17-) (5.14) Yi,P

= 2 41(0-

P(

c)

X;

(

S. 15 )

P

Y,

-,_-

T(k)

x,;

+ Ty (f)

_{X7.___ (5.16)}

7P

_-R. "P ,_ _x.

(f)

(

5.17 ) ----Y Y. -R --7? ___. -P

2

Z.

T(f)

_X-i-

R.,4 (0

_{X,PR; 2.} (5.18)

?

---P _-P = 7.-1.z. (1- ) -"-- 1

z (1)

'

(

5 ,19 )

Die eindeutige Bestimmung sb.mtlfcher Parameter nach den aufge-lOsten Beziehungen

2

T(f)

==

=

2L(f)

XTF 2---13 2

-

P5

(5.24)

T(k)

(5,20)

(5.21)

(5.22)

Y-r

kP.,(5.23)

setzt offenbar Messungen far zwei verschiedene Drehpunkte voraus. Die praktische Brauchbarkeit dieser Methode konnte in

Vorversu-chen bereits mehrfaOh erprobt werden.

Z

(k)

6

(5.25)

(f)

z.(f)

3 K .