Klasyfikacja i klasyfikowanie

Pelagia Morejko

Klasyfikacja i klasyfikowanie

Nauczyciel i Szkoła 2 (9), 118-123

2000

Klasyfikacja i klasyfikowanie

Wprowadzenie

K lasyfikacja je s t jed n y m z w ażniejszych pojęć w nauce w ogóle, a w m ate­ matyce w szczególności, ze w zględu na jej w alor poznawczy. D zięki bow iem kla­ syfikacji pow stają nowe pojęcia. Klasyfikacja stanowi rów nież elem ent racjonalnej pracy (zabaw y), co w idoczne je s t dość w yraźnie w życiu codziennym . Tam w szę­ dzie, gdzie o efektach pracy decyduje dobra organizacja, trudno się obejść bez kla­ syfikow ania w ielorakich elem entów tej pracy. K lasyfikow anie jak o pew na um ie­ jętn o ść tow arzyszy człow iekow i niem al od pierw szych dni je g o życia, oscylując od form stanow iących zaczątek procesu budow ania się tej um iejętności, poprzez różne form y przejściowe (nieporadne, jeśli obserwujem y czynności; niepełne, jeśli oceniam y efekt), do klasyfikacji zwanej operacyjną.

Definicja klasyfikacji

W now oczesnych sklepach obuw niczych buty są sklasyfikow ane w edług roz­ m iarów ; w sklepie spożyw czym nie stoją obok siebie na jed n ej półce m ąka, m a­ sło, sery i w ędliny, lecz produkty te są ułożone na różnych półkach; eksponaty w m uzeum klasyfikuje się przez rozm ieszczenie ich w różnych salach czy gablo­ tach. W m atem atyce dokonujem y klasyfikacji w ielokątów na w ypukłe i niew ypu- kłe, a także dokonując innego podziału: na trójkąty, czw orokąty, pięciokąty itd.; liczby naturalne m ożem y podzielić na parzyste i nieparzyste; trójkąty dzielim y na ostrokątne, prostokątne i rozw artokątne.

A nalizując pow yższe przykłady, dostrzeżem y, że za każdym razem w rozw a­ żanym zbiorze (butów, produktów spożyw czych, w ielokątów , liczb naturalnych, trójkątów ) w yróżniono pew ne podzbiory, przy czym spełnione były następujące w arunki:

1 ) sum ą (m nogościow ą) w yróżnionych podzbiorów je s t dany zbiór; 2) każde dw a podzbiory są rozłączne;

3) w yróżnione podzbiory są niepuste.

Podzbiory, o których wyżej mowa, nazyw am y klasam i abstrakcji lub krótko klasami.

Pelagia M o re jk o — Klasyfikacja i klasyfikow anie 119 Zauważmy, że zbiory w rozw ażanych przykładach były jedne skończone (np. zbiór butów ), inne nieskończone (np. zbiór trójkątów). Także liczba podzbiorów (klas) była skończona lub nieskończona. Skończony zbiór butów został podzielony na na skończoną liczbę klas — jest ich tyle, iloma rozm iarami butów dysponuje ak­ tualnie konkretny sklep. W ielokątów je st nieskończenie wiele; podział na w ieloką­ ty w ypukłe i niew ypukłe daje dwie klasy. Podział w ielokątów na: trójkąty, czw oro­ kąty, pięciokąty itd. daje nieskończenie wiele klas. Trójkątów jest nieskończenie wie­ le; podział na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozw artokątne daje trzy klasy.

Zwróćm y uw agę na fakt, że ogólne pojęcie zbioru w m atem atyce pozw ala na tw orzenie zbiorów z elem entów całkow icie dow olnych i nie zw iązanych ze sobą. M ożna w ięc utw orzyć zbiór, do którego należy długopis pew nej osoby, konkret­ ne auto stojące na osiedlow ym parkingu i ekspedientka z osiedlow ego sklepu. Takie jed n ak pojęcie zbioru je st trudne i nie m a żadnego znaczenia praktycznego, dlatego też tw orzy się zbiory z elem entów , które posiadając w spólną cechę, od­ różniają się w ten sposób od innych elementów. W logice i psychologii tylko taki zbiór byw a nazyw any klasą. Zatem w yróżniając w w ybranym zbiorze podzbiory w sposób całkowicie arbitralny, jeśli tylko spełnione b ędą sform ułowane wyżej w a­ runki od 1-3, otrzym am y popraw ną klasyfikację. Tylko że ta klasyfikacja m oże się okazać zupełnie nieprzydatną.

D latego klasyfikow anie (podział zbioru na klasy) będzie oparte na łączeniu elem entów w klasy na podstaw ie zw iązków zachodzących m iędzy nim i (podo­ bieństw , w spólnoty cech itp.). W dalszej części zw rócim y uw ag ę zarów no na aspekt praktyczny klasyfikacji, ja k i jej w ykorzystanie dla celów poznaw czych, ści­ śle do budow ania now ych pojęć.

Zdobycie um iejętności klasyfikow ania, które Piaget (1998) nazyw a operacyj­ nym , trw a dość długo i zaw iera się w zasadzie w okresie przedszkolnym . Szcze­ gółow y opis poziom ów klasyfikacji, które zdobyw a dziecko w w ielu przedszkol­ nym, zam ieszczony je s t w książce E. G ruszczyk-K olczyńskiej (1997).

D ziecko w w ielu 7 -8 lat przejaw ia ju ż zrozum ienie inkluzji (zaw ierania się) klas. Potrafi rów nocześnie dostrzegać podobieństw a będące p o d staw ą tw orzenia poszczególnych klas, ja k i różnice m iędzy klasam i. N a tym etapie dziecko potra­ fi przew idyw ać kryteria, według których nastąpi klasyfikacja; dostrzega m ożliw o­ ści zm iany kryterium (np. klocki m ożna klasyfikow ać w edług koloru, kształtu, w ielkości i grubości), a także przejaw ia ju ż zdolność do budow ania klasyfikacji hierarchicznych.

Tworzenie klasy pojęciowej

Tworzenie klasy pojęciowej je s t dla ucznia jednym ze sposobów w prow adza­ nia nowego pojęcia. K lasę pojęciow ą otrzymujemy, tw orząc zbiór elem entów speł­ niających określony w arunek (jeden lub w ięcej) i nadając jeg o elem entom nazwę. N a danym etapie wiedzy ucznia nadana nazw a przysługuje tylko elem entom utw o­ rzonego zbioru. E lem enty zbioru — klasy pojęciow ej — w ybierane są z pew ne­ go z góry ustalonego zbioru. Zbiór ten w procesie nauczania występuje dość niejaw­ nie; jeg o istnienie je st jednak milcząco zakładane. Proces tw orzenia klasy pojęcio­ wej prowadzi zatem do wyróżnienia w danym zbiorze dwóch podzbiorów: zbioru re­ prezentantów budowanego pojęcia i zbioru pozostałych obiektów. W logice nazywa się ten proces klasyfikacją dw udzielną: na zbiór elem entów posiadających d aną własność i zbiór elementów nie posiadających jej. Uświadomienie sobie przez ucznia istnienia zbioru, z którego w ybierane są elem enty celem utw orzenia klasy pojęcio­ wej, pozw ala na w łączenie utworzonej klasy do klasy nadrzędnej.

R ozw ażm y kilka przykładów.

Przykład 1. Dzieci w przedszkolu w ybierają z zestawu klocków logicznych np. p odzbiór klocków czerw onych. Ich w yodrębnienie oznacza podział klocków na dwa podzbiory: klocków czerw onych i klocków nieczerw onych.

Przykład 2. U czeń szczebla początkowego zapoznaje się ju ż z pojęciem łam a­ nej, choć zakres tego pojęcia na tym etapie je st jeszcze dość ubogi. U czeń obser­ w uje narysow ane różne „linie” , a także sam rysuje (przez „linię” będzie tu rozu­ mieć figurę ograniczoną dającą się narysować bez odryw ania ołów ka od papieru). N a rys. 1 m am y kilka takich linii.

Rys. 1.

U czeń spośród tych linii w ybiera na zasadzie podobieństw łam ane. U łatw ie­ niem je st dla niego znajom ość odcinka.

Przykład 3. W kl. II uczeń poznaje pojecie liczby parzystej. Po licznych za­ biegach dydaktycznych, w śród których niebagatelną rolę odgryw a w skazyw anie

Pelagia M o re jko — Klasyfikacja i klasyfikow anie 121 tych liczb na osi, a w odpow iednim czasie spraw dzanie podzielności przez dwa, uczeń w yodrębnia ze zbioru liczb naturalnych dwa podzbiory: zbiór liczb parzy­ stych i zbiór liczb nieparzystych. Podzbiory te są rozłączne i każda liczba naturalna należy do jednego z nich. Jest to całkiem ju ż jaw ny przykład klasyfikacji dw udziel­ nej. U czeń je st także w pełni św iadom y istnienia klasy nadrzędnej, ja k ą je s t w tym przypadku zbiór liczb naturalnych.

Klasyfikacja według cech

K lasyfikow anie na podstaw ie w łasności elem entów (cech, w arunków ) odby­ w a się w następujący sposób: form ułujem y alternatyw ę w arunków zaw sze praw ­ dziw ą w rozw ażanym zbiorze i tak, aby koniunkcja każdych dwóch w arunków dla każdego elem entu klasyfikowanego zbioru była zdaniem fałszywym. Sform ułowa­ ne warunki są podstaw ą utw orzenia podzbiorów rozłącznych i niepustych i takich, że ich sum ą m nogościow ą jest dany zbiór. K ażdy z podzbiorów m oże tw orzyć kla­ sę pojęciową, lub tylko niektóre. Tym, które tw orzą klasy pojęciowe, nadajem y na­ zwy, pozostałym nie. Te ostatnie m ogą być nieinteresujące w ogóle lub tylko na danym etapie nauczania.

Przykład 1. R ozw ażm y zbiór klocków logicznych. Jako cechę ogólną przyj­ mijmy kształt. Odmianam i tej cechy w rozważanym zbiorze są: prostokątność, trój- kątność, okrągłość. Zbiór klocków rozpadnie się na trzy podzbiory rozłączne: zbiór klocków prostokątnych, zbiór klocków trójkątnych oraz zbiór klocków okrągłych. Ten sam zbiór m ożna sklasyfikować w edług cechy „barw a” , lub cechy „w ielkość” , lub cechy „grubość” .

P rzykład 2. R ozw ażm y zb ió r w szystkich trójkątów . P ew ne tró jk ąty m ają w szystkie kąty ostre, inne jeden kąt prosty (dw a pozostałe są w tedy ostre), inne w reszcie jeden kąt rozw arty (dwa pozostałe są ostre). Żaden z trójkątów nie może spełniać dw óch w arunków rów nocześnie i nie ma trójkąta, który nie spełniałby żadnego z warunków. W yodrębnianie ze zbioru trójkątów tych, które spełniają ko­ lej no jeden z warunków, prowadzi do podziału trójkątów na trzy podzbiory — kla­ sy pojęciowe — na tyle ważne, że nadajemy odpowiednim pojęciom nazwy: trójkąt ostrokątny, trójkąt prostokątny, trójkąt rozwartokątny.

Przykład 3. Zbiór w szystkich w ielokątów m ożem y sklasyfikow ać w następu­ jący sposób: w ybieram y cechę o g ó ln ą — liczbę boków i jej odm iany — 3 boki, 4 boki, 5 boków itd. M am y tu do czynienia z alternatyw ą warunków: w ielokąt ma 3 boki lub w ielokąt ma 4 boki lub w ielokąt ma 5 boków itd. K ażdy z w ielokątów spełnia jeden z w arunków i tylko jeden. W tym przypadku nastąpi podział na n ie­ skończenie wiele klas. Każda z klas generuje jedno z pojęć: trójkąt, czworokąt, pię­ ciokąt itd.

Klasyfikacja według relacji równoważności

D efiniow anie pojęć przez klasy abstrakcji relacji rów now ażnościow ych je st w ażną m etodą stosow aną w m atem atyce, ale nie tylko w niej. W edług niej p o stę­ pujem y w następujący sposób: w klasyfikow anym zbiorze w prow adzam y pew ną relację rów now ażności. K ażda relacja rów now ażności m a tę w łasność, że dzieli zbiór na podzbiory zw ane klasam i abstrakcji. Podzbiory te są rozłączne i niepuste i ich sum a m nogościow a rów na się danem u zbiorowi.

P rzykład 1. N iech zbiór Z będzie zbiorem osób o inicjałach (w kolejności: im ię, nazw isko): A .Κ., I.K., R.K., B.W., G.W., Z.P. W zbiorze tym w prow adzam y relację: „m am nazw isko na tę sam ą literę, co ty ” . R elacja ta je st rów now ażnością, łatwo bow iem sprawdzić, że je st zwrotna, sym etryczna i przechodnia (choć zwrot- ność wyrażona zdaniem: „m am nazw isko na tę sam ą literę, co j a ” brzmi sztucznie, lecz nie m ożna jej zanegow ać). Rys.2 przedstaw ia podaną zależność za pom ocą strzałek. W idoczne są rów nież w yraźnie trzy klasy, na które rozpadł się rozpatry­ w any zbiór osób. Tymi klasam i są: zbiór osób o nazw isku na literę K, zbiór osób o nazw isku na literę W oraz zbiór osób o nazw isku na literę P.

N a rysunku nie uw zględniono strzałek oznaczających zw rotność.

Przykład 2.W zbiorze prostych płaszczyzny w prow adzam y relację rów nole­ głości. Łatw o spraw dzić, że je s t ona rów now ażnością. Jest bow iem :

— zw rotna, bo а II a,

— sym etryczna, bo a || b=> b || a — przechodnia, bo a |J b i b || с => a || c,

gdzie a, b, с oznaczają proste. Zależności pow yższe zachodzą dla w szystkich prostych ustalonej płaszczyzny.

Relacja równoległości dzieli zbiór prostych płaszczyzny na podzbiory rozłącz­ ne i niepuste. Proste każdego z podzbiorów są rów noległe, proste należące do róż­ nych podzbiorów nie są rów noległe. K ażda z otrzym anych pow yższych klas w y­

Pelagia M o re jko — Klasyfikacja i klasyfikow anie 123 znacza now e pojęcie matematyczne, jakim je s t k i e r u n e k . K ierunków je s t nie­ skończenie w iele. N ie m ają one sw oich specyficznych nazw.

Podsumowanie

D w a podstaw ow e sposoby klasyfikow ania: za pom ocą w arunków (cech, w ła­ sności) nie są w istotny sposób różne. M ożna bow iem przejść od jednego sposo­ bu do drugiego, co zostało pokazane w cześniej w ju ż om ów ionych przykładach. O w yborze sposobu decyduje łatw ość konstruow ania klas.

W przykładzie, w którym zbiór osób został sklasyfikow any w edług relacji „m am nazw isko na tę sam ą literę, co ty”, m ożna łatwo przejść do klasyfikacji w e­ dług cech. W ybierając cechę „pierw sza litera nazw iska” m am y w rozpatryw anym zbiorze trzy je j odm iany: litera K, litera W oraz litera P. Ten drugi sposób je s t prostszy.

K lasyfikując klocki w edług cechy „barw a” , m ożna dokonać przejścia do k la­ syfikacji w edług relacji. R elację tę m ożna zdefiniow ać jak o .je s te m tego samego koloru, co ty” . Ten pierw szy sposób je s t prostszy.

Zam iana klasyfikacji zbioru prostych płaszczyzny w edług relacji rów noległo­ ści na klasyfikację według cechy je st trudna. W tym celu należałoby podjąć dodat­ kowe zabiegi, w prowadzając układ współrzędnych. W ów czas każda z prostych na­ leżąca do jednego kierunku będzie m iała ten sam w spółczynnik kierunkow y. O d­ rębną w tej konstrukcji klasę będą tw orzyć proste rów noległe do osi OY. M ożna też pójść d ro g ą w y braną przez geografa, dokonując w yboru dw óch kierunków wzorcowych: północ-południe oraz wschód-zachód. W ówczas w szystkie pozostałe kierunki m ogą być określane przez odchylenia od w ybranych w zorcow ych.

Bibliografia

K. A jdukiew icz: Logika pragm atyczna, W arszawa 1975.

E. G ruszczyk-K olczyńska: D ziecięca matem atyka, W arszaw a 1997. Z. K rygow ska: Zarys dydaktyki m atem atyki, cz.3, W arszawa 1977. W. N ow ak: K onwersatorium z dydaktyki m atem atyki, W arszawa 1989. Z. Sem adeni (red.): N auczanie początkow e m atem atyki, t .l , W arszawa 1981. B. J. W adsw orth: Teoria Piageta, W arszaw al998.