Wnioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w edukacji matematycznej

Jan Konior

Wnioskowanie przez analogię i

potrzeba jego rozwijania w edukacji

matematycznej

Nauczyciel i Szkoła 1-2 (22-23), 67-77

2004

J an K o n i o r

Wnioskowanie przez analogię i potrzeba

jego rozwijania w edukacji matematycznej

1. M otyw y p o d ję c ia te m a tu i cel a rty k u łu . Zainteresow anie dydaktyków , w szczególności dydaktyków m atem atyki problem atyką rozum ow ań przez analo­ gię i rozw ijaniem tej um iejętności w ram ach edukacji m atem atycznej je s t w ostat­ nich latach stosunkow o niew ielkie, jeśli brać pod uw agę znaczenie tej form y m y­ ślenia w poznaw czej aktyw ności człow ieka, a stopień zaangażow ania badaw cze­ go m ierzyć liczbą specjalistycznych prac. Choć tem at daleki je s t od pełnej eksplo­ atacji badaw czej, o analogii często się jed n ak m ów i. Taki stan rzeczy m a różne źródła, tkw iące m .in. w przekonaniu, że m yślenie przez analogię stanow i od po­ czątku intelektualnej aktyw ności um ysłu naturalny jej składnik, konstytuuje się w niej jak b y sam o - poprzez dośw iadczenie - i przynajm niej na sw ym elem entarnym poziom ie i w mniej specjalistycznych obszarach nie musi być w spom agane w roz­ w oju w specjalnie organizow anych zabiegach dydaktycznych. Inna przyczyna w yw odzi się z tradycyjnego nauczania podającego m atem atyki, w zorow anego na strukturze i m etodologii dyscypliny m acierzystej. Chodzi o priorytet m etodologicz­ ny i zainteresow anie przede w szystkim rozum ow aniam i dedukcyjnym i; tym cza­ sem m yślenie przez analogię takim nie jest. N ie bez znaczenia pozostaje też od­ działyw anie pew nej tradycji, w ywodzącej się jeszcze od K .Poppera, który tę pro­ blem atykę przesunął do psychologii. Jednak prześw iadczenie o roli rozum ow ań przez analogię w życiu codziennym i zaw odow ym , a także jej niew ątpliw e znacze­ nie w nauce, zw łaszcza na etapie dokonyw ania odkryć, nakazuje spojrzeć nań także od strony dydaktycznej.

Głów nym celem artykułu je s t więc zw rócenie uw agi na doniosłość w nioskow a­ nia przez analogię w edukacji m atem atycznej, a w ięc spojrzenie nań jak o na tem at kryjący obszerną problem atykę dydaktyczną, zaś podstaw ow ym przesłaniem to, że w procesie nauczania m am y nie tylko w ykorzystyw ać analogię, ale także syste­ m atycznie uczyć racjonalnego posługiw ania się nią, ukazując zarów no jej w alory ja k i sytuacje, w których m oże ona prow adzić na m anow ce.

2. P ow szechność i zn aczen ie m yślenia p rz e z analogię. M yślenie przez ana­ logię je s t je d n ą z pierw otnych i bodaj najpow szechniejszą form ą zachow ań po­ znaw czych człow ieka. Pierwotną, gdyż proste formy tego m yślenia stw ierdza się w rozw oju osobniczym ju ż od najm łodszych lat, gdzie ich w ystępow anie i rola

68

w cale nie s ą epizodyczne. Pow szechną, gdyż jeg o elem enty stosujem y niem al w każdej sytuacji życiow ej, niezależnie od w ykształcenia, zaw odu itp. Z aznaczają one sw ą obecność w języku, choćby np. w pow iedzeniu „iść gęsiego” lub w n a ­ zw ie „w ieloryb”, której urobienie od formy dw uczłonow ej „w ielka ryba” w skazuje tym razem na zaw odność analogii (w ieloryb w cale n ie je s t rybą). Ten prym am y charakter analogii podkreśla H. Freudenthal: „A nalogia je s t dlatego tak skutecz­ nym środkiem stanow ienia zw iązków w m atem atyce i poza nią, gdyż je s t w ogóle naturalnym i pierw otnym środkiem poznania św iata.” ([4], str. 78).

W skazując na znaczenie m yślenia przez analogię, należy zw rócić też uw agę, że ten sposób zachow ań m entalnych je st w p ra k ty cejed y n ą drogą, na której m ożem y coś w nosić o stanie em ocjonalnym - i ogólniej - o stanie św iadom ości drugiej oso­ by. Bez analizy własnych przeżyć wewnętrznych, przy założeniu ich podobnej struk­ tury dla całego gatunku, bylibyśm y bezradni, pragnąc dokonyw ać hipotetycznych rekonstrukcji zjaw isk przebiegających w św iadom ości innych osób. B rak takich m ożliw ości byłby brzem ienny w skutkach, zakłócając kontakt psychiczny i proce­ sy porozum iew ania się ludzi.

Posługując się analogią w sytuacjach codziennych (i nie tylko) zachow ujem y się tak, jakbyśm y p o dstaw ąsw ych działań uczynili generalne założenie o regularności budow y świata. Przyjm ujem y w ięc, że funkcjonuje on niezm iennie na tych sam ych zasadach w m iejscu i czasie A, co w m iejscu i czasie B. Z apew ne św iadom a akceptacja takich rozum ow ań zasadza się na przekonaniu o jedności natury. To przekonanie je s t w ontogenezie m yślenia naturalnym uw arunkow aniem naszych zachow ań w ew nętrznych i zarazem jak b y entym em atycznąprzesłanką. Z drugiej strony m yślenie przez analogię je s t także - niezależnie od sw ego pierw otnego cha­ rakteru - efektem osobistego dośw iadczenia jednostki. Jest przez to dośw iadcze­ nie w zbogacane. C harakterystyczne oznaki na zaśnieżonym stoku i je g o kształt nasuw ają dośw iadczonem u taternikow i myśl o m ożliw ości rychłego zejścia lawiny, poniew aż w przeszłości spotykał takie zjaw iska i w ielokrotnie obserw ow ał ich następstw a.

M yślenie oparte na analogii nie stanowi dom eny jed y n ie działań potocznych. W ystępuje ono - w spom niano ju ż o tym - rów nież w nauce, gdzie najczęściej w y­ znacza się m u rolę heurystyczną i przypisuje charakter twórczy. W tym obszarze aktyw ności ludzkiej kojarzy się zresztą jeszcze z tą form ą m yślenia dalsze funkcje: poznaw czą, argum entacyjną, system atyzującą i inne [1]. D edukcyjna m etodologia m atem atyki - rozum ianej jak o gotow y produkt myśli zobiektyw izow anej w odpo­ w iednim języku - nie dopuszcza argum entacji opartych na analogii. N ie oznacza to jednak, że nie m ają one znaczenia na etapie w ykryw ania tw ierdzeń i dochodzenia do pojęć m atem atycznych, a ta ich rola interesuje nas najbardziej z punktu w idze­ nia aktyw nego nauczania. O znaczeniu analogii w m atem atyce tak oto mówi Z. K rygow ska: „U ogólnienia i w ielkie syntezy, tak charakterystyczne dla w

spół-Jan Konior - Wnioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w

69

czesnej m atem atyki, to w yrażone językiem m atem atycznym analogie. Z m ysł ana­ logii odgrywa zasadniczą rolę w rozw ijaniu się naszej intuicji w dziedzinie m atem a­ tyki” . ([8], str. 67).

Z naczenie analogii w m yśleniu tw órczym znalazło w yraz w polyow skich regu­ łach preferencji. Tw órca now oczesnej heurystyki podkreśla rolę m yślenia przez analogię, form ułując tak je d n ą z reguł użytecznych przy rozw iązyw aniu proble­ mów: obiekt m ający w ięcej punktów w spólnych z zadaniem m a pierw szeństw o przed obiektem m ającym mniej takich punktów. ([10], str. 284). Jednocześnie w różnych sw ych dziełach G. Polya zw raca uw agę na subtelną naturę tego narzę­ dzia m yśli; m oże ono być spożytkow ane na drodze do pom ysłu i w sam ym proce­ sie rozw iązyw ania zadania w różnoraki sposób i przynosić korzyści naw et w ów ­ czas, gdy atak na problem przy pom ocy tego narzędzia ostatecznie skończy się niepowodzeniem.

3. D w a p rz y k ła d y p a ra d y g m a ty c z n e . Słowo „analogia” , przy sw ym chw iej­ nym , potocznym rozum ieniu kryje różne treści. A by przynajm niej w zarysie w ska­ zać kierunek częściow ego porządkow ania tego dość nieokreślonego pola, rozw a­ żymy dwa paradygmaty sytuacji, szczególnie interesujących z dydaktycznego punktu widzenia.

T reścią pierwszego je st rekonstrukcja w nioskow ania M. K opernika w toku opra­ cow ywania jeg o teorii heliocentrycznej. A utor De revolutionibus ... przytacza opis w rażeniajakiego doznaje pasażer okrętu, obserw ując pozorny ruch m ijanego nad ­ brzeża. Takie sam o w rażenie pow staje - pisze on - przy obserw acji ruchu Słońca na sklepieniu niebieskim . Ruch ten m usi być przeto ruchem pozornym . M am y tu klasyczne rozum ow anie, w którym z sytuacji dobrze znanej (pasażerow ie okrętu - brzeg) w nioskuje się o relacjach pozostających poza naszym bezpośrednim zasię­ giem (układ Z iem ia i jej m ieszkańcy - Słońce).

Drugi przykład, zw iązany bezpośrednio z rozw ojem m atem atycznym dziecka w zbogacim y częściow o kom entarzem m etodycznym akcentującym od tej strony rolę i funkcjonow anie analogii. Przykład dotyczy spontanicznego kształtow ania się pojęć m ierzenia i długości. W początkach tego procesu, daleko w yprzedzających zorganizow ane nauczanie (choć sam proces nakłada się jeszcze później na w iele lat nauki szkolnej) istotne są dw a m om enty: ujęcie przez dziecko stałości długości oraz zdolność do kwalifikacji dwóch wielkości jako wielkości tego sam ego rodzaju. Pierwszy je st przedm iotem rozw ażań psychologii, gdzie stwierdzono, że przekona­ nie o niezm ienniczości przedm iotu w toku odpow iednich transform acji nie od razu staje się udziałem dziecka. D rugiem u pośw ięcim y tu nieco miejsca.

Aby zm ierzyć p ew n ą w ielkość należy j ą porów nać z w ielkością tego sam ego rodzaju, najczęściej znorm alizowaną, tj. przyjętą um ow nie za jed n o stk ę1.

Przesłań-1 N a u k i m ie rz e n ia n ie n a le ż y je d n a k r o z p o c z y n a ć o d a u to ry ta rn e g o w p r o w a d z e n ia je d n o s te k (cm , d c m , m , ...) i ć w ic z e n ia ic h z a m ia n y , j a k to się w p ra k ty c e n ie r a z d z ie je . N a jp ie r w d z ie c k o p o w in n o

70

ki do rozum ienia procesu m ierzenia, a tym sam ym pojęcia długości pow stają zatem w ów czas, gdy m yśl dziecka staje się zdolna do selekcji w ielkości pod w zględem ich rodzaju, aby je później porów nyw ać. N ie je s t tak od początku. Taka klasyfika­ cja zasadza się na dostrzeganiu podobieństw a obiektów ze w zględu na pew ne ich cechy, tutaj w łaśnie ze w zględu na w ym iar2 (liniowy, połow y, objętościow y) bądź inne ja k np. ciążenie, upływ anie lub trw anie (w przedziale od ... do) itp. Tak więc kaw ałek patyka, w ahający się sznurek z podw ieszoną m askotką u tornistra i prze­ byty odcinek drogi m ają w ym iar liniowy, w zięty do ręki kam ień lub torebka mąki natom iast ciążą, zaś dzień pracy i polarna noc upływ ają. Dopóki na patyk i odcinek drogi patrzym y pod kątem w ym ienionej cechy i nie bierzem y po d uw agę żadnych innych cech, którym i się przecież różnią, oba przedm ioty zaliczam y dojednej kate­ gorii; są one bow iem jednakow e pod tym względem .

O gólnie - w zorując się na m atem atycznym sposobie opisu - pow iem y, że taka je d n a k o w o ś ć pod pew nym w zględem ” m a istotne w łasności: je s t zw rotna (każdy przedm iot j e s t , je d n a k o w y ” sam ze sobą), sym etryczna (gdy pierw szy obiekt je s t , je d n a k o w y ” z drugim , to i na odw rót) i przechodnia (gdy pierw szy je s t je d n a k o ­ w y” z drugim , a drugi z trzecim , to rów nież pierw szy z trzecim ). D zięki tem u (aby pozostać przy naszym przykładzie dotyczącym m ierzenia długości) na tle relacji „... m a ten sam w ym iar co ...” pow staje klasa, w obrębie której m ożem y obiekty porów nyw ać, a następnie m ierzyć ustalonym i jednostkam i3.

Podkreślm y w yraźnie, że ten częściow o sform alizow any opis nie m oże w na­ szym przykładzie w pełni zadowalać pod względem psychologicznym ani pod w zglę­ dem m atem atycznym , choć naw iązuje do stylu m atem atycznego rygoryzm u. Jest bow iem je d n o stro n n ą i uproszczoną charakterystyką raczej zam kniętego schem a­ tu niż autentycznego przebiegu bardzo złożonego zjaw iska przebiegającego w cza­ sie. Z ostał tak skonstruow any i zaprezentow any, aby ukazać na pew nym etapie udział analogii w kształtow aniu się m yślenia pojęciow ego. W rzeczyw istości pro­ cesy form ow ania się pojęć u dziecka (i nie tylko) nie przebiegają tak jednokierun­ kowo; um ysł zapew ne dochodzi do w ielu z nich różnym i w spółzależnym i drogami jednocześnie.

operacyjnie i językow o opanować porównywanie, konstatując na przykład, że krótki ołówek, a także klucz od mieszkania może odłożyć w zdłuż brzegu kartki trzykrotnie. Nabywa więc doświadczeń w zastępowaniu pewnych przedm iotów przez inne oraz w "wymierzaniu" jednych przedm iotów drugimi. Dopiero po cyklu takich w ielokierunkowych ćwiczeń ołówek zostaje - tym razem przy udziale naturalnej motywacji - zastą­ piony zn o rm alizow aną je d n o stk ą długości. Taki porządek ma o nto - i filogenetyczny sens ja k rów nież oparcie w znanej zasadzie paralelizm u dydaktycznego ([3], str. 127 - 138).

2 Dla ścisłości podkreślmy, że słowo "wymiar" nic oznacza tutaj · jak nieraz w języku potocznym - tego samego co „długość”.

3 Dlatego też niektóre programy nauczania słusznie zalecają, aby najpierw oswajać dziecko z odróż­ nianiem przedmiotów jedno, dwu - i trójwymiarowych; dopiero w następnej kolejności przew idują porów­ nyw anie - na różne sposoby - przedm iotów w obrębie tej sam ej kJasy, a jeszcze później m ierzenie ja k o porównywanie wyrażone liczbowo.

Jan Konior - W nioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w

71

Porów najm y oba przykłady paradygm atyczne. Pierw szy ilustruje klasyczne - spotykane na co dzień i w sytuacjach szkolnych - rozum ow anie przez analogię. M ożem y tu zatem w skazać podstaw ow e konstrukty w nioskow ania’, punkt w yjścia - przesłanki i stwierdzenie docelow e, tj. w niosek. W drugim natom iast je s t inaczej: analogia sprow adza się jak b y do ujęcia , jed n ak o w o ści” przedm iotów, a przez to otw iera drogę do now ych pojęć (w ym iaru liniow ego, a następnie długości). Proces ten, przedstaw iony tu w dużym uproszczeniu, kończy się w ięc aktem konstruow a­ nia pojęcia.

Zarów no rozum ow anie w znaczeniu czynności konkluzyw nej, polegającej na w yciąganiu w niosków - w szczególności rozum ow anie o charakterze przyczyno­ w o skutkow ym - ja k i tw orzenie pojęć, są procesam i poznaw czym i, tym niem niej są to z m etodologicznego, a także dydaktycznego punktu w idzenia kategorie różne. Tak w ięc analogia (tego słow a używ am y ciągle w sensie zastanym ) m oże być osnow ą rozm aitych zabiegów poznaw czych, ja k rów nież podstaw ą odm iennych czynności w iedzotw órczych.

4. Is to ta w n io sk o w an ia p rz e z analogię. Pierw ow zorem w spółczesnego spo­ sobu rozum ienia analogii je st proporcja4. Jesteśm y tu, ja k w wielu innych przypad­ kach spadkobiercam i dorobku starożytnych. W tradycji platońskiej i u A rystotelesa „analogia” oznaczała rów ność stosunków a : b = с : x, z której na podstaw ie trzech danych wielkości m ożna w yliczyć czwartą. A nalogie w ystępujące pow szech­ nie nie zaw sze jed n ak w p isu jąsię w taki schem at kw antytatyw ny. Pojęcie analogii w nauce i jeg o opis ew oluow ały w ięc tak, że rów ność stosunków (liczb) zastępo­ wano um ow ną form ułą m ającą w yrażać jeg o charakterystykę jakościow ą:

dzień - noc :: białe - ... ,

która po „rozw iązaniu” m oże być odczytana jak o zdanie dzień m a się lak do

n ocy j a k kolor biały do czarnego. Z nak :: odpow iadający rów ności zm ienił

z czasem sw e znaczenie. N ab y ł b ąd ź to ch arak teru ró w n o w ażn o ści, b ąd ź - w poszerzonej interpretacji - stał się odpow iednikiem dość nieokreślonych zw ro­ tów ję zy k o w y ch typu relacyjnego j e s t p o d o b n y do, być odpow iednim (odpo­

wiada), odnosi się ta k do ..., j a k ... itp. Jeśli łącznik zastąpim y zgodnie z intencjątych zm ian znakiem relacji, otrzym am y schem at

a Rb :: cR'x,

używ any dziś w wielu przypadkach - na przykład w badaniach psychologicznych naw et jak o paradygm at - do orzekania o funkcjonow aniu analogii m iędzy polam i relacji R, R ' i m iędzy sam ym i tym i relacjam i. U m ow ny znak :: reprezentuje w pow yższym opisie zw iązek analogii (nieraz m ów i się krótko o analogii) między

4 Stw ierdzenie to nie oznacza ignorow ania faktu, że słowo "analogia" je st w powszechnym użyciu słowem wieloznacznym; także w specjalistycznych pracach można w yodrębnić różne orientacje i propozy­ cje terminologiczne w tym zakresie. Jednak z historycznego i konstrukcyjnego stanow iska m ają one - ja k w olno ogólnie przyjąć - ten sam punkt wyjścia.

72

stanam i rzeczy w yrażanym i przez relacje po lewej i prawej jeg o stronie (por.[l], [2], [5]). A nalogia je s t to w ięc pew ien rodzaj podobieństw a m iędzy dziedzinam i.

Sytuacje, które zechcem y podporządkow ać tem u schem atow i m o g ą okazać się w dużym stopniu nieokreślone. W rzeczyw istości bow iem nasza myśl robi użytek z analogii także w ów czas, gdy relacje R i R', w szczególności ta ostatnia, ich dzie­ dziny lub przeciw dziedziny oraz sam o znaczenie praktyczne sym bolu :: w danym kontekście nie zostały do końca sprecyzow ane. Często bow iem pozostają one do­ m yślne lub naw et nieznane. M oże być naw et tak, że elem entem poszukiw anym je s t w ręcz relacja R ', w brew sugestiom zaw artym w sym bolice literowej i w kon­

strukcji schem atu aRb :: cR'x, w którym niew iadom ą je s t argum ent x. Ponadto takich relacji m oże być w ięcej, przy czym nie w yłączam y unam ych; m o g ą się one różnić liczbą i rodzajem argumentów. W iele przypadków w skazujących na w yko­ rzystyw anie analogii zdaje się w yłam yw ać z tego schem atu. N iekom pletność na­ szego opisu nie pow inna jed n ak dziw ić, m am y w szak do czynienia z pró b ą zapre­ zentow ania kontekstu tow arzyszącego m yślow ym zachow aniom o charakterze heurystycznym .

D otychczasow e uw agi p row adzą w ięc do rozróżnienia zw iązku analogi oraz w nioskow ania przez analogię jak o odrębnych kategorii. W niespecjalistycznych rozw ażaniach lub skrótow ym opisie używ a się term inów zam iennie i nie zaw sze klarow nie oddziela zw iązek analogii od sam ego w nioskow ania przez analogię. To ostatnie je s t procesem m yślow ym , który m oże być generow any przez zw iązek analogii po jej zidentyfikow aniu przez podm iot. Proces ów je s t zatem niejako nad­ budow any nad tym zw iązkiem . K onkludując przyjm iem y, że pod nazw ą w niosko­ w anie przez analogię rozum ie się proces myślowy, w którym od zdań danych (prze­ słanek) przechodzim y do zdania innego (w niosku), biorąc za podstaw ę istnienie zw iązku analogii m iędzy stanam i rzeczy orzekanym i w przesłankach i w e w nio­ sku.

Przyjęta charakterystyka kontrastuje z określeniem w nioskow ania dedukcyjne­ go, które pojm ujem y jak o przechodzenie od przesłanek (zdań przyjętych za podsta­ w ę) do wniosku (zdania będącego konkluzją), przy czym konkluzja w ynika logicz­ nie z przesłanek. Ten ostatni w arunek oznacza, że podstaw a w ykonyw ania każde­ go kroku w obrębie w nioskow ania dedukcyjnego je s t w yraźnie określona. Stano­ w ią j ą tautologie logiczne i tzw. reguły inferencji; to one w łaśnie p o zw alają na w ylegitym ow anie każdego kroku i jed n o zn aczn ą odpow iedź czy w niosek istotnie w ynika logicznie z przesłanek. N atom iast sprecyzow anie takiej podstaw y w przy­ padku w nioskow ania przez analogię - i tu je st zasadnicza różnica - n ie je s t m ożli­ we, naw et gdyby nasza form alna w iedza dotycząca dziedziny skojarzonej w po­ w yższym schem acie z form ułą aRb, w ydaw ała się dostatecznie uporządkow ana, w m iarę kom pletna i mobilna. Potrzebne są jeszcze przesłanki dotyczące sam ego zw iązku analogii, a ten ja k w idzieliśm y nie poddaje się jednoznacznej charaktery­

Jan Konior - W nioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w

73

styce. M ożna tu jed y n ie w sposób niekonstruktyw ny stw ierdzić, że to, na czym dokładnie polega zw iązek analogii, a w ięc najakiej podstaw ie odbyw a się przejście do w niosku w takim rozum ow aniu, pozostaje tajem nicą naszej m yśli.

N ieokreśloność zw iązku analogii odpow iedzialna za to, że oparte na nim w nio­ skow anie nie m a - tak ja k dedukcja - w aloru niezaw odności została w pew ien szczególny sposób przezw yciężona w m atem atyce. Z w iązek analogii, reprezento­ w any w opisow ym schem acie aRb :: cR 'x przez znak m a tutaj swój ścisły odpow iednik w postaci morfizmów·. hom om orfizm u oraz izom orfizm u. Jeśli p o ­ w rócić na grunt całkiem potocznego rozum ienia analogii, gdzie językow o funkcjo­ nuje ona rów nież jak o cecha stopniow alna (podobieństw o m oże być w iększe lub mni'ejsze), to izom orfizm byłby intuicyjnym odpow iednikiem pełnej analogii, zaś hom om orfizm częściow ej. Idea m atem atycznego w yprecyzow ania znaczeń funk­ cjonujących potocznie nawiązuje do wspomnianej ju ż wcześniej interpretacj i związku analogii jako odpowiedniości.

N iech bow iem D = ( X , f , g , R ) i D' = ( X ' , f , g ' , R ') oznaczają dziedziny, w których f g, R i f , g', R ' są odpow iednio funkcjam i jed n o i dw uargum ento- w ym i (np. działaniam i) oraz relacjam i w zbiorach X i X'. Funkcję h :~ ^ X X ' odw zorow ującą zbiór X na zbiór X і nazyw am y hom om orfizm em dziedziny D na dziedzinę D ' (zaś dziedzinę D hom om orficzną z dziedzinąZ) ' ), gdy:

(i) h(f(x)) = / (h(x)) dla w szystkich x ze zbioru X,

(ii) h(g(x,y)) = g ' (h(x), h(y)) dla w szelkich x, y ze zbioru X ,

(iii) x'R'y'<^> З Х’У ? X [ x ' ~ h(x) A y ' = h(y) A x R y] dla x ', y 'ze zbioru X .

G dy funkcja A je s t odpow iedniością w zajem nie jednoznaczną, w ów czas nazy­ w am y j ą izom orfizm em . W tym przypadku warunek (iii) przyjm uje prostą postać:

(iii1) x R y O h(x) R ' h(y) dla każdego x і у ze zbioru X .

Warunki (i) - (iii) m ożna w yrazić słow nie m ów iąc, że przy odw zorow aniu h zbioru X na zbiór X ' działaniom f g na elem entach pierw szego z tych zbiorów odpow iadają ściśle działania f , g ' na przyporządkow anych im (poprzez funkcję h) elem entach drugiego, zaś relacji R między elem entam i zbioru X odpow iada relacja R ' zachodząca m iędzy ich obrazam i (poprzez tę funkcję) w zbiorze X'.

M im o częściow ej i pow ierzchow nej zbieżności budow y form uły (iii1) i w cze­ śniejszego schem atu aRb :: cR 'x w idać tu zasadnicze strukturalne różnice i od­ mienny sens przypisyw any tym w zorom (niezależnie od przedyskutow anej ju ż nie­ określoności tego drugiego). Poniew aż zostały explicite sform ułow ane w arunki (i) - (iii), którym czyni zadość izom orfizm h, w ięc z tego, że jak aś w łasność w y ra­ żona przy pom ocy pojęć X, f g, R przysługuje dziedzinie D m ożna zasadnie w nosić (m ożna to ogólnie i ściśle udow odnić), że odpow iednia własność w ypow ie­ dziana w term inach X \ f , g', R' przysługuje rów nież dziedzinie £>'.Na przykład, je śli re la c ja R porządkuje zbiór to relacja ^ 'ta k ż e porządkuje z b i ó r I z o m o r

-74

fizm dziedzin D i D' w m atem atyce pozw ala ju ż autom atycznie „przenosić” różne w łasności z jed n ej na drugą. Tak w ięc udow odnienie izom orfizm u dziedzin je s t z heurystycznego punktu w idzenia w pew nym sensie zam knięciem problem u. N a­ tom iast, gdy opieram y się jedynie na dom niem aniu zw iązku analogii, m ożem y przy jeg o pom ocy dokonać istotnie now ych, interesujących odkryć w jednej z nich, ale

każd ą odkrytą w łasność trzeba niezależnie udow odnić na drodze dedukcyjnej. Innego przykładu zastosow ania m atem atycznej m etody do opisu analogii m ożna upatryw ać w w yodrębnieniu klasy relacji binarnych, które sązw ro tn e i sym etrycz­ ne zarazem . Takie relacje zw ie się tolerancjam i (por.[ II]). Jest to przykład m ate- m atyzacji pozw alający kom pletow ać tw ierdzenia na tem at tolerancji, dow odząc ich różnych form alnych w łasności. A le taka form alizacja, jakkolw iek procentująca na użytek budow y teorii m atem atycznej, nie dostarcza tw ierdzeń interesujących z heurystycznego ani też z żadnego innego punktu w idzenia, który m ógłby się oka­ zać bezpośrednio użyteczny w w yszukiw aniu tw órczych m etod aktyw izacji na­ uczania.

5. R ola a n alo g ii w e d u k a c ji m a te m a ty c z n e j na poziom ie szk o ln y m . W prak­ tyce nauczania analogia ciągle jeszcze pojaw ia się przypadkow o, spontanicznie - tak ja k w sytuacjach potocznych, a w ięc najczęściej w sposób nie tylko zupełnie nie kontrolow any, ale i naw et całkow icie nie dostrzegany. Tym czasem jej rola, zw łaszcza w dobie w spółczesnych reform , odstępujących od prezentacji gotow ej m atem atyki i dopuszczających obok dedukcji w iele innych form aktyw ności, które należy u uczniów rozw ijać, m ogłaby być znacznie w iększa. K ształcenie m yślenia przez analogię w yzw alanego w obrębie treści m atem atycznych w inno m ieć cha­ rakter zam ierzony, przez nauczyciela planow any i m etodycznie organizowany. W ów czas m oże dać w idoczne efekty. Podkreślała to ju ż przed laty Z. K rygow ska, akcentując - za Stefanem B anachem - w ielopoziom ow y charakter tego m yślenia w m atem atyce i zw racając rów nocześnie uw agę, że przy takim jeg o pojm ow aniu „dostrzega się łatwo, ja k w rzeczyw istości szkolnej rola analogii je s t jeszcze uboga i jak ie możliw ości edukacji intelektualnej otw ierająsię naw et przed uczniam i słab­ szym i, gdy w ykorzystuje się szeroko różne analogie w sposób zarów no m atem a­ tycznie, ja k i pedagogicznie racjonalny” . ([9], str.30).

W m atem atyce analogia w ykorzystyw ana je s t na różne sposoby; w śród nich są dość specyficzne (w porów naniu z sytuacjam i potocznym i), co oczyw iście przeno­ si się do nauczania. Przykładem takiego sposobu eksploatacji analogii je s t tzw. transport struktury. Przytoczym y tu dla ilustracji w dużym skrócie propozycję roz­ w iązania dydaktycznego w klasie, które ten specyficzny sposób m yślenia przez analogię czyni dostępnym naw et na poziom ie całkiem elem entarnym . ([8], str. 40).

U czniow ie m a ją ju ż poglądow e, lecz dobrze ugruntow ane pojęcia odcinka, pro­ stej i półprostej; w szczególności potrafiąróżne fakty dotyczące poprzedzania punk­ tów na prostej, ich następow ania i leżenia m iędzy konkretyzow ać w rysunku. Ta

Jan Konior - W nioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w

75

w iedza dotyczy w ięc struktury porządkow ej linii prostej. Proponujem y, by próbo­ w ali sw oje w iadom ości przenieść do zbioru prostych rów noległych, gdy te proste s ą przecięte dow olną pro stą p (rys. la).

Przez każdy punkt prostej p przechodzi dokładnie jed n a prosta rozw ażanej rodzi­ ny prostych rów noległych. G dy punkt В leży m iędzy punktam i A i С na prostej p, to o prostej przechodzącej przez ten punkt m ożem y pow iedzieć, że leży m iędzy prostym i przechodzącym i odpow iednio przez punkty A i C. Porządek na odcinku został tą bardzo poglądow ą m etodą „przeniesiony” do rodziny prostych rów nole­ głych. W ten sposób rodzina ta została w ięc uporządkow ana. Punkty w szystkich prostych leżących m iędzy dw iem a w ybranym i tw o rzą łącznie figurę zw aną pa­ sem, jeśli uw zględnim y rów nież punkty tych w ybranych prostych (rys. 1 b). Tak oto transportując porządek, zdefiniow aliśm y kolejne now e pojęcie. Podobnie możem y postępow ać dalej, jeśli ju ż uczniow ie zauw ażyli analogię m iędzy strukturą prostej a strukturą rozw ażanej rodziny prostych rów noległych (innym , w ten sam sposób otrzymanym pojęciem mogłoby być choćby pojęcie półpłaszczyzny jako odpowiednik znanego pojęcia półprostej). D ostrzegą oni nie tylko now e pojęcia, ale rów nież now e tw ierdzenia dzięki naśladow aniu tego, co ju ż w iedzą o prostej, półprostej i odcinku.

Zw róćm y uw agę, że pojęcia pasa i półpłaszczyzny pojaw iają się - z epistem olo- gicznego punktu w idzenia - w zupełnie inny sposób niż w ów czas, gdy w prow adza­ m y każde oddzielnie i bez kontekstu struktur izom orficznych, np. na podstaw ie obserw acji tradycyjnego rysunku lub m anipulacji kartką papieru. O czyw iście od­ w oływ anie się do modeli rysunkow ych bądź innych też m oże się okazać potrzebne jak o zabieg równoległy, tym niem niej w ykorzystanie izom orfizm u je st zabiegiem poznaw czo bogatszym i stw arza duże m ożliw ości rozw ojow e myśli ucznia. U cząc tak, nie tylko rozw ijam y intelektualnie, lecz przygotowujemy ucznia do racjonalne­ go stosow ania analogii poza m atem atyką, w jeg o przyszłym życiu osobistym , spo­ łecznym i zaw odow ym .

76

6. A n alo g ia i ro zu m o w an ie p rz e z an alo g ię ja k o p rz e d m io t b a d a ń d y d a k ty ­ ki. Problem atyka dotycząca rozw ijania m yślenia przez analogię w edukacji m ate­ m atycznej na różnych poziom ach praw ie nie została jeszcze podjęta w szerszych i system atycznych badaniach, organizow anych w takiej skali, ja k a je s t niezbędna. O tw iera się olbrzymi obszar eksploracji badawczej, koniecznej ze w zględu na prak­ tyczny aspekt zagadnień, które w ym agają opracow ania podstaw teoretycznych oraz głębszego zakotw iczenia w spraw dzonych faktach em pirycznych. A by choć częściow o w skazać na rozległość tej problem atyki, w arto przytoczyć kilka przy ­ kładow ych zagadnień, m ogących stanow ić jak iś punkt orientacyjny na drodze ra­ cjonalnych poszukiw ań i ustaleń (słow o „przykładow ych” w tym kontekście nie oznacza problem ów uw ażanych za w zorcow e, czy też najw ażniejsze ani naw et za w yprecyzow ane w szczegółach do końca).

1 ) Czy na dostrzeganie (rozpoznanie) analogii przez uczniów m a w pływ kontekst; ja k ono przebiega w sytuacjach m atem atycznych, a ja k w kontekstach nie zaw ierających explicite treści z zakresu m atem atyki.

2) Jaki stopień subiektyw nej pew ności skłonni są uczniow ie przypisać w łasnym w nioskow aniom opartym na analogii; czy ta ocena zm ienia się z w iekiem szkol­ nym i od jak ich innych param etrów ew entualnie zależy.

3) Jaka je s t uczniow ska ocena w nioskow ań opartych na analogii prezentow a­ nych im dla porów nania z innym i typam i rozum owań.

4) Czy i ja k zdolność do w nioskow ań przez analogię w zakresie treści m atem a­ tycznych koreluje z w ynikam i ogólnym i ucznia w szkole.

5) Jaka je s t struktura i etapy w nioskow ania przez analogię na m ateriale m atem a­ tycznym u uczniów w różnym w ieku szkolnym .

6) Czy m ożna w yodrębnić różnice w percepcji i stosow aniu analogii w sytuacjach m atem atycznych zaprezentow anych w erbalnie oraz za p o m o cą środków geo­ m etrycznych.

7) Do bardziej szczegółowych m ożna zaliczyć pytanie o to, ja k przebiega u uczniów w różnym w ieku transport struktury ze zbioru A do zbioru В (jako zm ienne niezależne m ożna w badaniach uw zględniać rozm aite param etry dotyczące struktur zadanych na zbiorze A).

Ogólniejszym zadaniem je st w ypracowanie metodologii badań nad postrzeganiem i stosow aniem analogii przez uczniów w sytuacjach matematycznych. Próby naw ią­ zywania do badań operujących m ateriałem pozam atem atycznym stanowić m ogą oczywiście pierwszy krok, ale naśladowanie istniejących procedur m a zakres ogra­ niczony, gdyż na przykład psychologiczne testy analogii są z b y t w ąskim szablonem badawczym, aby mogły objąć wielorakie sytuacje, w których analogia jako narzędzie poznaw cze występuje w m atematyce. Różnorodność tych sytuacji je st tutaj zjaw i­ skiem naturalnym i nie m ożna jej ograniczyć, naw et na poziom ie kształcenia prope- deutycznego. N ie pow inno się ich zatem z badań dydaktycznych wyłączać.

Jan Konior - W nioskowanie przez analogię i potrzeba jego rozwijania w

77

Bibliografia:

B iela A.: P sych o lo g iczn e p o d sta w y w nioskow ania p rz e z analogią·, PW N , W arszaw a 1981

B iela A.: A nalogia w nauce', Instytut W ydaw niczy Pax, W arszawa 1989 D uda R.: Zasada paralelizm u w dydaktyce·, D ydaktyka M atematyki 1 (1982) Freudenthal H.: M athem atik als pädagogische Aufgabe, B and 1; K lett ,

Stuttgart 1974

Jurkow ski A.: R ozum ow anie p rz e z analogią u dzieci w w ieku szko ln ym ; PW N , W arszaw a 1967

K onior J.: D yd a ktyka m atem atyki i j e j m etodologia w rozw oju (w ybrane z a ­

gadnienia)·, D ydaktyka M atem atyki 20 (1998)

K onior J.: Dydaktyka matematyki postrzegana o d wewnątrz i z zewnątrz;

form alne i nieformalne uwarunkowania na drodze do własnej tożsamości (refleksje i przykłady)·, Studia Matematyczne Akademii Świętokrzyskiej,

tom 9 W ydaw nictw o A kadem ii Św iętokrzyskiej, K ielce 2002

Krygowska Z.: Zarys dydaktyki matematyki, część 1; WSiP, Warszawa 1977 K ry g o w sk a Z.: E le m e n ty a k ty w n o śc i m a tem a tyczn ej, które p o w in n y odgry­

wać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich', Dydaktyka Matematyki 6 ( 1986)

Polya G.: O dkrycie m atematyczne·, W NT, W arszawa 1975

Szrejder J.A .: Rów ność, podobieństw o, porządek', W NT, W arszaw a 1975

S u m m a r y

The reasoning in m athcm aiics based on analogy is characterized in the article. The author's aim is to em p h asize th e m eaning o f the reasoning o f such type in m athem atical edu catio n . The text contains examples o f using analogy in education. Pedagogical research problem s are formulated at the end o f the article.