Projektowanie łuków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych

.

Wadysaw Koc

Politechnika Gdaska

PROJEKTOWANIE UKÓW KOSZOWYCH

DOSTOSOWANE DO POMIARÓW

SATELITARNYCH

Rkopis dostarczono, kwiecie 2013 roku

Streszczenie: W pracy przedstawiono now metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy

kolejowej, dostosowan do techniki ciagych pomiarów satelitarnych. Metoda ta mo e si okaza szczególnie przydatna podczas projektowania regulacji osi istniejcego toru, kiedy okrelenie obu kierunków gównych trasy okazuje si niemo liwe. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o ró nym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego.W prezentowanej metodzie projektowanie nowego ukadu odbywa si w lokalnym ukadzie wspórzdnych. Rozwizanie problemu projektowego wykorzystuje zapis matematyczny i polega na wyznaczeniu uniwersalnych równa opisujcych cao ukadu geometrycznego. Odbywa si to sekwencyjnie, obejmujc kolejne fragmenty tego ukadu. Zaprezentowana metoda zostaa zilustrowana odpowiednim przykadem obliczeniowym.

Sowa kluczowe: tor kolejowy, ukad geometryczny, nowa metoda projektowania

1. WPROWADZENIE

Globalny system pozycjonowania GPS [10] pozwala na wyznaczanie wspórzdnych punktów w jednolitym, trójwymiarowym ukadzie wspórzdnych WGS 84, którego pocztek znajduje si w centrum masy Ziemi. Mo liwo uzyskania odpowiedniej efektywnoci pomiaru w torze kolejowym daje opracowana przez zespó naukowy Politechniki Gdaskiej i Akademii Marynarki Wojennej w Gdyni metoda cigych (mobilnych) pomiarów satelitarnych [7, 8], polegajca na obje dzie badanego odcinka trasy z antenami zainstalowanymi na poruszajcym si poje dzie szynowym.

Efektywne wykorzystanie systemu GPS do projektowania, inwentaryzacji i eksploatacji stao si mo liwe w Polsce dopiero w poowie 2008 roku – po uruchomieniu narodowej Aktywnej Sieci Geodezyjnej ASGEUPOS. Ju na pocztku 2009 roku zespó badawczy Politechniki Gdaskiej i Akademii Marynarki Wojennej w Gdyni, przy wspópracy z Zakadem Linii Kolejowych PKP PLK S.A. w Gdyni oraz firm Leica Geosystems, przeprowadzi eksperyment terenowy zwizany z wykorzystaniem mobilnych technik

.

satelitarnych do okrelenia poo enia osi toru kolejowego. Pomiary te miay charakter pilota owy, a ich gównym celem byo sprawdzenie, czy metoda cigych pomiarów satelitarnych mo e okaza si przydatna do okrelania ksztatu geometrycznego toru w paszczy nie poziomej.

Wykorzystujc przyczep (wagon-platform) PWM-15 oraz cignik szynowy WM-15 stworzono pierwowzór kolejowego zestawu pomiarowego. Na pododze przyczepy zostay przytwierdzone specjalnie zaprojektowane i wykonane stalowe podstawy, na których umocowano spodarki, na nich za anteny do odbioru sygnaów satelitarnych. Ju pierwsze pomiary satelitarne (przeprowadzone na odcinku linii kolejowej o dugoci ponad 30 km) wykazay, e zastosowana technika pomiarowa otwiera zupenie nowe perspektywy. Jej wykorzystanie umo liwia bardzo precyzyjne okrelenie danych do projektowania modernizacji linii (kierunków gównych i kta zwrotu trasy). Uzyskane wyniki pozwoliy na weryfikacj metodyki pomiarowej, zastosowanego sprztu i jego ustawienia.

Cige pomiary satelitarne umo liwiaj wyznaczenie wspórzdnych istniejcej trasy kolejowej w pastwowym ukadzie odniesie przestrzennych 2000 [7, 10]. W takiej sytuacji staje si spraw oczywist, e w tym e ukadzie powinny by wyznaczane równie wspólrzdne nowo projektowanej osi toru, su ce do wytyczenia trasy w terenie. Wymaga to zmiany dotychczasowej metodyki projektowania. Przykady nowych metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy, dostosowanych do techniki ciagych pomiarów satelitarnych, przedstawiono w pracach [1, 2, 3]). Opracowano ju tak e pierwszy program wspomagajcy projektowanie [4].

W przypadku rejonu zmiany kierunku trasy projektowanie bdzie najczciej polega na takim skorygowaniu promienia uku koowego oraz rodzaju i dugoci krzywych przejciowych, aby nowy ukad geometryczny by jak najkorzystniejszy z punktu widzenia kinematyki ruchu pojazdów szynowych, a jednoczenie jego poo enie w paszczy nie poziomej nie odbiegao zbytnio od poo enia istniejcego. Jak wykazay przeprowadzone dotd pomiary satelitarne, ksztat eksploatowanych torów kolejowych jest czsto tak zdeformowany, e okrelenie kierunków gównych okazuje si niemo liwe; nie mo na wic podczas projektowania zastosowa modelowego ukadu: krzywa przejciowa  uk koowy  krzywa przejciowa. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o ró nym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego. To wanie zagadnienie stanowi przedmiot niniejszego opracowania. Nale y w tym miejscu zaznaczy, e mamy tutaj do czynienia z uogólnieniem przypadku zarówno symetrycznego [1, 2], jak te niesymetrycznego [3] sposobu rozwizania problemu; uk koszowy mo na bowiem atwo sprowadzi do jednego uku koowego o ustalonym promieniu.

W prezentowanej metodzie projektowanie nowego ukadu geometrycznego odbywa si w lokalnym ukadzie wspórzdnych x, y (rys. 1). Najbardziej istotnym elementem nowej procedury jest to, e rozwizanie problemu projektowego polega na wyznaczeniu uniwersalnych równa opisujcych cao ukadu geometrycznego. Tworzenie kolejnych wariantów przebiegu trasy odbywa si zatem nie za pomoc techniki graficznej (np. z wykorzystaniem programu Autocad), lecz poprzez wprowadzanie do odpowiednich formu matematycznych kolejnych wartoci projektowych (promieni uków i dugoci krzywych przejciowych).

Rys. 1. Cao rozpatrywanego ukadu geometrycznego w lokalnym ukadzie wspórzdnych

2. PROCEDURA PROJEKTOWANIA

Tworzenie zapisu analitycznego odbywa si sekwencyjnie, obejmujc kolejne fragmenty ukadu geometrycznego trasy: pierwsz krzyw przejciow (KP1), pierwszy uk koowy (K1), drug krzyw przejciow (KP2), drugi uk koowy (K2) oraz trzeci krzyw przejciow (KP3). Podstawow przyjt zasad stanowi zachowanie zgodnoci stycznych w miejscach pocze poszczególnych elementów geometrycznych.

2.1. PIERWSZA KRZYWA PRZEJCIOWA (

KP1)

Rozpoczynamy procedur od okrelenia rzdnych krzywej przejciowej KP1 o dugoci l1, czcej prost z ukiem koowym K1 o promieniu R1, zlokalizowanej w pomocniczym ukadzie wspórzdnych ܱݔ_ଵݕ_ଵ(rys. 1). Przyjcie rodzaju tej krzywej okrela funkcj jej krzywizny k1(l), na podstawie której jestemy w stanie okreli równanie krzywej przejciowej zapisane w postaci parametrycznej x1(l) i y1(l) (gdzie parametrem l jest poo enie danego punktu na dugoci krzywej).

Kolejnym etapem dziaa jest transformacja krzywej przejciowej KP1 do przyjtego lokalnego ukadu wspórzdnych, poprzez dokonanie obrotu jej ukadu odniesienia o kt /2. W wyniku tej operacji otrzymujemy równania parametryczne krzywej przejciowej w lokalnym ukadzie wspórzdnych [9]:

 ݔሺ݈ሻ ൌ ݔଵሺ݈ሻ …‘•ן_ଶെ ݕଵሺ݈ሻ•‹ן_ଶ (1) ݕሺ݈ሻ ൌ ݔଵሺ݈ሻ •‹ן_ଶ ൅ݕଵሺ݈ሻ…‘•ן_ଶ (2) Wystpujcy w równaniach (1) i (2) parametr ݈ א ۃͲǡ ݈_ଵۄ , a odcita krzywej przejciowej ݔ א ۃͲǡ ݔ௄ଵۄ , gdzie

ݔ_௄ଵൌ ݈_௄௉ଵൌ ݔ_ଵሺ݈_ଵሻ …‘•ן

ଶെ ݕଵሺ݈ଵሻ•‹ ן

ଶ (3) Rzdna kocowa krzywej przejciowej KP1 wynosi

       ݕ_௄ଵൌ ݕሺ݈_௄௉ଵሻ ൌ ݔ_ଵሺ݈_ଵሻ •‹ן

ଶ ൅ݕଵሺ݈ଵሻ…‘• ן

ଶ (4)

Warto stycznej na kocu krzywej KP1 jest okrelona wzorem ݏ_௄ଵൌ –ƒ ቀെ ௟భ

ଶோభ൅

ן

ଶቁ (5)

2.2. PIERWSZY UK KOOWY (

K1)

uk koowy K1 o zadanej dugoci lR1 musi by styczny do krzywej przejciowej KP1 na jej kocu, tj. w punkcie K1, a na prostej prostopadej do stycznej, poprowadzonej w punkcie K1,le e bdzie promie uku koowego R1. Wspórzdne rodka uku koowego s nastpujce: ݔௌଵൌ ݔ௄ଵ൅ ௦಼భ ටଵା௦಼భమ ܴଵ (6) ݕௌଵൌ ݕ௄ଵെ ଵ ටଵା௦಼భమ ܴଵ (7) Mo emy teraz zapisa równanie uku koowego K1.

ݕሺݔሻO௄ଵൌ ݕௌଵ൅ ሾܴଵଶെ ሺݔௌଵെ ݔሻଶሿ

భ

మ,ݔ א ۃݔ_௄ଵǡ ݔ_ைଶۄ (8) Wspórzdne poo enia koca uku koowego K1, tj. punktu ܱ_ଶሺݔ_ைଶǡ ݕ_ைଶሻ, s nastpujce:

ݔைଶൌݔܭͳ൅ –ƒןͳ_ʹ ටͳ൅ݏܭͳʹ ܴͳ൅ ୲ୟ୬ןభ_మ ටଵା௦ೀమమ ܴଵ (9)         ݕ_ைଶൌ ݕ_௄ଵ൅௦಼భ୲ୟ୬ ןభ మ ටଵା௦಼భమ ܴ_ଵ൅௦ೀమ୲ୟ୬ןభమ ටଵା௦ೀమమ ܴ_ଵ  (10) gdzie 1 jest ktem zwrotu stycznych uku K1 (rys. 1), którego warto wynosi ןଵൌ௟_ோೃభ_భ . Nachylenie ݏ_ைଶstycznej do K1 w punkcie O2 jest równe

          ݏ_ைଶൌ –ƒሺƒ–ƒ ݏ_௄ଵെן_ଵሻ (11)

2.3. DRUGA KRZYWA PRZEJCIOWA (

KP2)

Krzywa przejciowa KP2 o dugoci l2 czy ze sob uki koowe o promieniach R1 i R2; jest zlokalizowana w pomocniczym ukadzie wspórzdnych ܱ_ଶݔ_ଶݕ_ଶ(rys. 1). Sposób wyznaczania krzywizny k2(l) oraz równa parametrycznych tej krzywej x2(l) i y2(l) , gdzie ݈ א ۃͲǡ ݈ଶۄ, zosta przedstawiony w pracach [5, 6]. W przypadku liniowej zmiany

krzywizny otrzyman krzyw okrelono tam mianem krzywej klasy C0, za dla krzywizny nieliniowej (w postaci wielomianu trzeciego stopnia)  krzywej klasy C1. Transformacja KP2 do lokalnego ukadu wspórzdnych x, y odbywa si poprzez pomocniczy ukad wspórzdnych ݔതതത , ݕ_ଶ തതത_ଶ (rys. 1), powstay po obrocie ukadu ܱ_ଶݔ_ଶݕ_ଶ o kt ן_ଶൌ ƒ–ƒ ݏ_ைଶ.

Równania parametryczne krzywej przejciowej KP2 s nastpujce:

ݔሺ݈ሻ ൌ ݔ_ைଶ൅ ݔതതതሺ݈ሻ (12) _ଶ             ݕሺ݈ሻ ൌ ݕைଶ൅ ݕതതതሺ݈ሻ , ݈ א ۃͲǡ ݈ଶ ଶۄ (13) ’”œ›…œ›†Žƒןଶ൐ Ͳ ݔଶ തതതሺ݈ሻ ൌ ݔଶሺ݈ሻ…‘•ןʹെ ݕଶሺ݈ሻ •‹ןʹ ݕଶ തതതሺ݈ሻ ൌ ݔଶሺ݈ሻ •‹ןʹ൅ ݕଶሺ݈ሻ …‘•ןʹ , ݈ א ۃͲǡ ݈ଶۄ za †Žƒן_ଶ൏ Ͳ ݔଶ തതതሺ݈ሻ ൌ ݔଶሺ݈ሻ…‘•ןʹ൅ ݕଶሺ݈ሻ •‹ןʹ ݕଶ തതതሺ݈ሻ ൌ െݔଶሺ݈ሻ •‹ןʹ൅ ݕଶሺ݈ሻ …‘•ןʹ , ݈ א ۃͲǡ ݈ଶۄ

Wspórzdne punktu K2  koca KP2 wynosz

ݕ௄ଶൌ ݕைଶ൅ ݕതതതሺ݈ଶ ଶሻ (15)

a warto stycznej ݏ_௄ଶw punkcie K2

ݏ௄ଶൌ –ƒሾെ߆ଶሺ݈ଶሻ ൅ןଶሿ (16)

2.4. DRUGI UK KOOWY (

K2)

uk koowy K2 musi by styczny do krzywej przejciowej KP2 na jej kocu, tj. w punkcie K2, a na prostej prostopadej do stycznej, poprowadzonej w punkcie K2 , le e bdzie promie uku koowego R2. W tej fazie procedury nie znamy jeszcze wartoci stycznej ݏ_௄ଷna kocu uku oraz samego poo enia tego koca, czyli wspórzdnych punktu ܭ_ଷሺݔ_௄ଷǡ ݕ_௄ଷሻ. Wspórzdne rodka uku koowego K2 s nastpujce:

ݔ_ௌଶൌ ݔ_௄ଶ൅ ௦಼మ

ටଵା௦_಼మమ ܴଶ (17)

ݕ_ௌଶൌ ݕ_௄ଶെ ଵ

ටଵା௦಼మమ

ܴଶ (18)

Mo emy te zapisa równanie uku koowego K2. ݕሺݔሻ௄ଶൌ ݕௌଶ൅ ሾܴଶଶെ ሺݔ െ ݔௌଶሻଶሿ

భ

మ , ݔ א ۃݔ_௄ଶǡ ݔ_௄ଷۄ (19)

2.5. TRZECIA KRZYWA PRZEJCIOWA (

KP3)

Krzywa przejciowa KP3 ma dugo l3 i jest zlokalizowana w pomocniczym ukadzie wspórzdnych ܱ_ଷݔ_ଷݕ_ଷ(rys. 1), przy czym dokadne poo enie punktu O3 jest jeszcze na tym etapie nieznane (wiemy tylko, ze le y on na drugim kierunku gównym trasy). W tym ukadzie mo emy jednak zamodelowa sam krzyw przejciow i ustali jej podstawowe dane, niezbdne do wyznaczenia wspórzdnych punktu K3 (tj. wartoci ݈_௄௉ଷ i οݕ_௄௉ଷ). Przyjcie rodzaju krzywej okrela funkcj jej krzywizny k3(l), na podstawie której jestemy w stanie okreli równania parametryczne x3(l) i y3(l) krzywej przejciowej.

Mo liwa jest równie transformacja punktów krzywej do pomocniczego ukadu wspórzdnych ݔതതത , ݕ_ଷ തതത_ଷ(rys. 1). Poniewa osie tego ukadu s równolege do osi ukadu lokalnego Oxy, operacja ta pozwoli na okrelenie lKP3 i yKP3 . Wspórzdne punktów krzywej KP3 w ukadzie ܱ_ଶݔതതതݕ_ଷതതത s okrelone równaniami parametrycznymi _ଷ

ݔതതതሺ݈ሻ ൌ ݔ_{ଷ ଷ}ሺ݈ሻ …‘•ן

ଶ൅ ݕଷሺ݈ሻ •‹ ן

ݕଷ

തതതሺ݈ሻ ൌ െݔଷሺ݈ሻ •‹ן_ଶ൅ ݕଷሺ݈ሻ…‘•ן_ଶ, (21)

Parametr ݈ א ۃെ݈_ଷǡ Ͳۄ , a odcita krzywej przejciowej ݔ_ଷሺ݈ሻ א ۃെ݈_௄௉ଷǡ Ͳۄ , gdzie ݈_௄௉ଷൌ ȁݔതതതሺെ݈_{ଷ ଷ}ሻȁ ൌ ቚݔ_ଷሺെ݈_ଷሻ …‘•ן ଶ൅ ݕଷሺെ݈ଷሻ •‹ ן ଶቚ (22) Warto οݕ_௄௉ଷ wynosi οݕ௄௉ଷൌ ȁݕതതതሺെ݈ଷ ଷሻȁ ൌ ቚെݔଷሺെ݈ଷሻ •‹ן_ଶ൅ ݕଷሺെ݈ଷሻ …‘•ן_ଶቚ (23)

Jestemy równie w stanie okreli warto stycznej ݏ_௄ଷw punkcie K3 . ݏ௄ଷൌ –ƒ ቀ_ଶோ௟య

మെ

ן

ଶቁ (24)

Dziki temu mo emy ju wyznaczy brakujce wspórzdne punktu ܭ_ଷሺݔ_௄ଷǡ ݕ_௄ଷሻ koca uku koowego K2 i krzywej przejciowej KP3

ݔ_௄ଷൌ ݔ_ௌଶെ ௦಼య ටଵା௦಼యమ ܴଶ (25) ݕ_௄ଷൌ ݕ_ௌଶ൅ ଵ ටଵା௦಼యమ ܴଶ (26)

oraz punktu ܱ_ଷሺݔ_ைଷǡ ݕ_ைଷሻ  pocztku krzywej KP3.

ݔ_ைଷൌ ݔ_௄ଷ൅ ݈_௄௉ଷ (27) ݕ_ைଷൌ ݕ_௄ଷെ ߂ݕ_௄௉ଷ (28) Wykorzystujc wzory (20), (21), (27) i (28) uzyskuje si równania parametryczne krzywej przejciowej KP3 w lokalnym ukadzie wspórzdnych x, y.

ݔሺ݈ሻ ൌ ݔைଷ൅ ݔതതതሺ݈ሻ ൌ ݔଷ ைଷ൅ ݔଷሺ݈ሻ …‘•ן_ଶ൅ ݕଷሺ݈ሻ •‹ן_ଶ (29)

3. PRZYKAD OBLICZENIOWY

Przedstawiony algorytm postpowania zostanie zilustrowany przykadem obliczeniowym, dotyczcym zaprojektowania poczenia dwóch kierunków gównych trasy kolejowej z zastosowaniem elementów geometrycznych podanych w tablicy 1. Kt zwrotu trasy wynosi 400, a planowana prdko pocigów110 km/h.

Tablica 1 zawiera charakterystyk projektowanego ukadu geometrycznego. Przyjto wartoci promieni obydwu uków koowych oraz dugo uku K1. Z warunków kinematycznych wyznaczono wartoci przechyki na ukach oraz dugoci krzywych przejciowych. Dugo uku K2 jest wartoci wynikow, stanowi zamknicie caoci ukadu geometrycznego.

Tablica 1

Charakterystyka projektowanego ukadu geometrycznego

Krzywa KP1 uk K1 Krzywa KP2 uk K2 Krzywa KP3

klotoida R1 = 1200 m krzywa kl. C 0

[6] R2 = 700 m klotoida

l1 = 80 m lR1 = 150 m l2 = 50 m lR2 = 273,275 m l3 = 130 m

h1 = 70 mm h2 = 115 mm

Zestawienie obliczonych wartoci dla charakterystycznych punków trasy (rys. 1) podano w tablicy 2.

Tablica 2

Zestawienie wartoci liczbowych dla charakterystycznych punków trasy

Punkt O K1 O2 K2 K3 O3

Nachylenie s 0,36397 0,32666 0,19308 0,13500  0,26197  0,36397

Odcita x [m] 0,000 75,471 220,593 269,907 540,946 664,376

Rzdna y [m] 0,000 26,523 64,079 72,288 55,730 15,085

Zaprojektowany ukad geometryczny jest opisany nastpujcymi równaniami: x krzywa przejciowa KP1 ݔ א ۃͲǡ ͹ͷǡͶ͹ͳۄ m

ݔሺ݈ሻ ൌ Ͳǡͻ͵ͻ͸ͻ͵ݔଵሺ݈ሻ െ Ͳǡ͵ͶʹͲʹݕଵሺ݈ሻ 

ݕሺ݈ሻ ൌ Ͳǡ͵ͶʹͲʹݔଵሺ݈ሻ ൅ Ͳǡͻ͵ͻ͸ͻ͵ݕଵሺ݈ሻ ǡ  ݈ א ۃͲǡ ͺͲۄ 

gdzie x1(l) i y1(l) to równania parametryczne klotoidy w ukadzie ܱݔଵݕଵ.

x uk koowy K1 ݔ א ۃ͹ͷǡͶ͹ͳǡ ʹʹͲǡͷͻ͵ۄ m ݕሺݔሻ ൌ െͳͳͳͶǡͳ͸ ൅ ሾͳʹͲͲଶെ ሺͶͶͺǡͲͺ͸ െ ݔሻଶሿభమ

ݔሺ݈ሻ ൌ ʹʹͲǡͷͻ͵ ൅ Ͳǡͻͺͳͺ͸͸ݔଶሺ݈ሻ െ Ͳǡͳͺͻͷ͹ͺݕଶሺ݈ሻ



ݕሺ݈ሻ ൌ ͸ͶǡͲ͹ͻ ൅ Ͳǡͳͺͻͷ͹ͺݔଶሺ݈ሻ ൅ Ͳǡͻͺͳͺ͸͸ݕଶሺ݈ሻ , ݈ א ۃͲǡ ͷͲۄ m

Równania parametryczne x2(l) i y2(l) tej krzywej w ukadzie wspórzdnych ܱଶݔଶݕଶwyznacza si zgodnie z procedur podan w pracach [5, 6].

x uk koowy K2 ݔ א ۃʹ͸ͻǡͻͲ͹ǡ ͷͶͲǡͻͶ͸ۄ m ݕሺݔሻ ൌ െ͸ʹͳǡͶʹ ൅ ሾ͹ͲͲଶെ ሺݔ െ ͵͸͵ǡͷͷͷሻଶሿభమ x krzywa przejciowa KP3 ݔ א ۃͷͶͲǡͻͶ͸ǡ ͸͸Ͷǡ͵͹͸ۄ m ݔሺ݈ሻ ൌ ͸͸Ͷǡ͵͹͸ ൅Ͳǡͻ͵ͻ͸ͻ͵ݔଷሺ݈ሻ ൅Ͳǡ͵ͶʹͲʹݕଷሺ݈ሻ ݕሺ݈ሻ ൌ ͳͷǡͲͺͷെͲǡ͵ͶʹͲʹݔଷሺ݈ሻ ൅Ͳǡͻ͵ͻ͸ͻ͵ݕଷሺ݈ሻ , ݈ א ۃെͳ͵Ͳǡ Ͳۄ m

gdzie x3(l) i y3(l) to równania parametryczne klotoidy w ukadzie ܱଷݔଷݕଷ.

Na rysunku 2 przedstawiono zaprojektowany ukad geometryczny w lokalnym ukadzie wspórzdnych. Zostay tam równie naniesione obydwa kierunki gówne.

Rys. 2. Graficzna ilustracja zaprojektowanego ukadu geometrycznego y(x) (w skali ska onej); y1(x) i y2(x)  kierunki gówne trasy

4. PODSUMOWANIE

x Zastosowanie mobilnych pomiarów satelitarnych, z antenami zainstalowanymi na poruszajcym si poje dzie szynowym, umo liwia odtworzenie poo enia osi torów w bezwzgldnym ukadzie odniesienia. Stwarza to zupenie nowe mo liwoci w zakresie ksztatowania geometrycznego torów kolejowych. W zaistniaej sytuacji pojawia sie konieczno opracowania nowych metod projektowania.

x W niniejszym opracowaniu przedstawiono kolejn (po opisanych w pracach [1, 2, 3]) metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej, dostosowan do techniki ciagych pomiarów satelitarnych. Metoda ta mo e si okaza szczególnie przydatna podczas projektowania regulacji osi istniejcego toru, kiedy okrelenie obu kierunków gównych trasy okazuje si trudne do ustalenia. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o ró nym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego.

x Przedstawiona koncepcja sposobu projektowania rejonu zmiany kierunku trasy prowadzi do uzyskania rozwizania analitycznego, z zastosowaniem odpowiednich formu matematycznych, a wic najbardziej przyjaznego w praktycznym stosowaniu. Procedura projektowania ma charakter uniwersalny i stwarza mo liwo zró nicowania rodzaju i dugoci stosowanych krzywych przejciowych oraz uków koowych. Nale y j traktowa jako uogólnienie przypadku zarówno symetrycznego [1, 2], jak te niesymetrycznego [3] sposobu rozwizania problemu; uk koszowy mo na bowiem atwo sprowadzi do pojedynczego uku koowego o ustalonym promieniu.

x Efekty zastosowania omawianej metody projektowania zilustrowano konkretnym przykadem obliczeniowym. W celu wdro enia podanej procedury niezbdne bdzie opracowanie w najbli szym czasie odpowiedniego wspomagania komputerowego.

Bibliografia

1. Koc W.: Design of rail-track geometric systems by satellite measurement. Journal of Transportation Engineering 2012, Vol. 138, No. 1, January 1 © ASCE.

2. Koc W.: Metoda projektowania rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej. Problemy Kolejnictwa 2011, zeszyt 152.

3. Koc W.: Projektowanie rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej w zapisie matematycznym. Przegld Komunikacyjny 2012, nr 7-8.

4. Koc W., Chrostowski P.: Program komputerowy do projektowania zmiany kierunku trasy kolejowej. Zeszyty Naukowo-Techniczne Stowarzyszenia In ynierów i Techników Komunikacji Rzeczpospolitej Polskiej Oddzia w Krakowie, seria: Materiay Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 99), Kraków 2012.

5. Koc W., Palikowska K.: Analiza sposobów modelowania krzywizny – krzywe Bezier a metoda analityczna. Zeszyty Naukowo-Techniczne Stowarzyszenia In ynierów i Techników Komunikacji Rzeczpospolitej Polskiej Oddzia w Krakowie, seria: Materiay Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 99), Kraków 2012.

6. Koc W., Palikowska K.: Ocena dynamiczna wybranych sposobów czenia elementów trasy o zró nicowanej krzywi nie. Technika Transportu Szynowego 2012, nr 9, CD-ROM.

7. Koc W., Specht C.: Selected problems of determining the course of railway routes by use of GPS network solution. Archives of Transport 2011, vol. XXIII, issue 3.

8. Koc W., Specht C.: Wyniki pomiarów satelitarnych toru kolejowego. Technika Transportu Szynowego 2009, nr 7-8.

9. Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i in ynierów. PWN, Warszawa 1983. 10. Specht C.: System GPS. Wydawnictwo BERNARDINUM, Pelplin 2007.

DESIGN OF CIRCULAR ARCS ADAPTED TO THE SATELLITE MEASUREMENTS

Summary: The paper presents a new design method for the railway area of the change of main direction.

The method is adapted to the technique of continuous satellite measurements. This method may be particularly useful in the design of axis adjustment of an existing track, especially when it is a real problem to define the main directions of the considered bow. In such cases, the only solution is to design a layout of two circular arcs of different radius. In the presented method, the design of the new geometrical layout is given in the local coordinate system. The design method uses a mathematical notation and also is based on the determination of the universal system of equations, describing the whole geometrical layout of the designed area. The process is sequential and covers the subsequent parts of the layout. The presented method is illustrated by a proper calculation example.