W7. Geometria mas, dynamika bryły Plik

(1)

(2)

Geometria mas

Okazuje się, że sposób rozmieszczenia masy względem przyjętego układu odniesienia jest ważnym problemem w dynamice. Informacje o sposobie rozmieszczenia masy w układzie odniesienia, wynikają z podania poniższych wielkości.

a) Masowe momenty statyczne.

Rys. 2.9 x y z x_i y_i z_i m_i 0







































   yx n i i i S xy zx n i i i S xz zy n i i i S yz

S

z

m

z

m

S

y

m

y

m

S

x

m

x

m

S

1 1 1 (2.33)

(2.33) to wielkości skalarne zwane masowymi momentami statycznymi. Mogą być (+) (-), lub zero.

Podają pewną informację dotyczącą rozmieszczenia mas względem odpowiednich płaszczyzn.

(3)

b) Masowe momenty bezwładności. Rys. 2.10 x y z x_i y_i z_i m_i 0





































   n i i i i z n i i i i y n i i i i x

y

x

m

I

z

x

m

I

z

y

m

I

1 2 2 1 2 2 1 2 2 (2.34)

(2.34) to wielkości skalarne zwane masowymi momentami bezwładności, określonymi względem odpowiednich osi układu odniesienia.

Wielkości te przyjmują zawsze wartości dodatnie. W pewien sposób podają informację o rozmieszczeniu masy w układzie odniesienia.

(4)

Można również określić masowy moment bezwładności względem bieguna.













n i i i i i

x

y

z

m

I

1 2 2 2 0 (2.35)

Często wprowadza się pojęcie tzw. promieni bezwładności:

I

_x

 

m i

_x2

I

_y

 

m i

_y2

I

_z

 

m i

_z2

_I

_{m i}

0 0 2

 

i

I

m

i

I

m

i

I

m

x x y y z z















(2.36)

(5)

z x x dx l/2 l/2 Rys. 2.11 S

Określimy masowy moment bezwładności jednorodnego cienkiego pręta względem osi symetrii z. Masa pręta wynosi m a jego długość l. Wymiary poprzeczne pręta są

bardzo małe w stosunku do jego długości tak, że możemy je pominąć.

Wycinamy myślowo w odległości x od osi z element o długości dx, co pokazano na rysunku (2.11). Masa elementu o długości dx wynosi

dm=dxρ, gdzie ρ jest masą właściwą pręta, czyli

m l   _zatem dm mdx l  l / 2 l / 2 2 n 2 2 2 2 2 Z i i i i i i 1 _{( m )} _{l / 2} _{l / 2} m ml I m (x y ) dm x x dx x dx l 12  _ _ 



 







 





(6)

Poniżej podano jak określamy masowe momenty bezwładności najczęściej stosowanych układów. s r (z) x y

I

_x



I

_y



m r



2

4 I

_z



m r



2

r z x y

 

I

_l



m l



2 2

12 sin



I

_y



m l



2

3 I

_x



I

_y



I

_z

  

2 m r

3

2 y l S(m) α l/2 l/2 x

Jednorodna płyta płaska o kształcie kołowym i masie m. Jednorodny pręt o masie m i długości l. Jednorodna kula o masie m.

(7)

Jednorodny walec kołowy o masie m. Jednorodny stożek o masie m.

I

_x



I

_y

 

m



r



l











2 2

4

3 I

_z



m r



2

2 I

_x



I

_y

  

m h





r











3

5

4

2 2

I

_z



3  

m r

10

2 y z x s r l l r s h x y z

(8)

Rys.3.2 x y z 0 S(m) y_S x_S z_S m_i Ciało o masie m P_S

A). Ruch postępowy bryły to taki ruch, w którym przyspieszenie każdego punktu ma taką samą wartość.

a

_i



a

_S ai

a_S

Praktycznie opisujemy zjawisko ruchu środka masy bryły podając równania:

Są to różniczkowe równania ruchu postępowego bryły.

























   n i iz S n i iy S n i ix S

P

z

m

P

y

m

P

x

m

1 1 1



(3.1)

3.Dynamika bryły

(9)

B). Ruch obrotowy bryły.

Ruch obrotowy bryły będzie jednoznacznie określony, jeżeli znamy tzw. kąt obrotu, prędkość kątową, przyspieszenie kątowe.