Pakowania grafów i ich uogólnienia
Rozprawa doktorska pt. "Pakowania grafów i ich uogólnienia" dotyczy problemu, powstałego w późnych latach 70. ubiegłego wieku. Mówimy, że dwa grafy się pakują, jeżeli istnieją krawędziowo rozłączne kopie tych grafów w grafie pełnym. Już na początku badań w tej teorii pojawiły się pierwsze, klasyczne dziś, rezultaty. Od tego czasu wyniki te były uogólniane na wiele różnych sposobów. Niniejsza rozprawa zawiera wyniki w trzech dziedzinach - niemal pakowania grafów (kiedy kopie grafów nie muszą być krawędziowo rozłączne, byleby krawędzie, które się powtarzają indukowały graf z określonej rodziny), pakowania digrafów i pakowania hipergrafów. Podajemy w niej dowody twierdzeń dotyczących niemal pakowania w przypadku czterech rodzin grafów. Wyniki uzyskane zostały za pomocą różnych metod, m.in. metody wartości oczekiwanej, jak i dzięki wykorzystaniu najnowszych twierdzeń dotyczących pakowania grafów. Korzystamy także z twierdzeń z teorii wierzchołkowej stabilności grafów. W dziedzinie pakowania digrafów otrzymaliśmy twierdzenie potwierdzające w części hipotezę Wojdy, postawioną w 1985 roku. W dowodzie również korzystamy z niedawno udowodnionego twierdzenia dotyczącego pakowania grafów, jak i z innych, znanych faktów dotyczących grafów. Stosunkowo od niedawna trwają też badania nad pakowaniem hipergrafów. W przedostatnim rozdziale uogólniamy niektóre z tych twierdzeń i podajemy oszacowanie warunku na sumę rozmiarów hipergrafów jednolitych, wystarczającego do pakowania tych hipergrafów. Ostatni rozdział zawiera dowody twierdzeń o wierzchołkowej stabilności grafów ze względu na rodzinę grafów o ograniczonej liczbie chromatycznej. Twierdzeń tych używamy do uzyskania wyników dotyczących niemal pakowania.
Graph packing and its generalisation
This Ph.D. Thesis consists of 5 chapters, beginning with introduction of the main subject, i.e. packing of graphs. We say that two graphs pack if one graph is isomorphic to some subgraph of another graph. Second chapter gives some results on sum of sizes conditions yielding near packing of graphs. We say that two graphs have an F near packing if there is an assignment of vertices of one graph into another one, such that the edges, which coincide after this assignment, yield a graph from given family F. We propose some conditions for families of graphs with bounded size, maximum degree, clique number and chromatic number. Third chapter consists of a proof of a part of a Wojda's conjecture on digraph packing. The conjecture remains open in general since 1985. Fourth chapter consists of some results on hypergraph packing, giving sum of sizes conditions and product of maximum degree conditions providing packing. We use recent result of Keeveash on combinatorial designs existence to give construction of appropriate, nonpackable hypergraphs. Fifth chapter is an appendix, giving some preliminary results used in second chapter to provide proof for near packing with family of graphs with bounded chromatic number. It consists of results on vertex stable graphs.
