KSZTAŁCENIE POLONISTYCZNE CUDZOZIEMCÓW 23, 2016
*
alicjaziel@tlen.pl; danutawrobel77@wp.pl; Studium Języka Polskiego dla Cudzoziemców,
Uniwersytet Łódzki, 90-231 Łódź, ul. Matejki 21/23.
http://dx.doi.org/10.18778/0860-6587.23.10
Danuta Wróbel, Alicja Zielińska
*
NAUCZANIE jęZyKA PoLSKIEGo jAKo oBCEGo
W ZAKRESIE MATEMATyKI
ChARAKTERySTyKA PRoCESU DyDAKTyCZNEGo
I TREŚCI KSZTAŁCENIA
Słowa kluczowe: treści nauczania w matematyce, język polski w matematyce, weryfikacja
efektów nauczania
Streszczenie. Artykuł powstał na podstawie długoletnich doświadczeń autorek
przygotowu-jących cudzoziemców do studiów w Polsce. Pokazujemy cele, fazy i metody nauczania języka
pol-skiego jako obcego w zakresie matematyki. W tabeli prezentujemy szczegółowe treści kształcenia
wraz ze słownictwem, strukturami gramatycznymi, specyficznymi zwrotami i wymaganymi
umie-jętnościami językowymi. Omawiamy też metody sprawdzania kompetencji językowych słuchaczy.
1. ChARAKTERySTyKA NAUCZANIA
Celem nauczania jest przygotowanie młodzieży polonijnej i zagranicznej do
studiów w Polsce. Język podręczników akademickich do matematyki różni się
dość istotnie od ogólnej polszczyzny. Zawiera on specyficzne zwroty i struktury
gramatyczne, np. ciąg zbieżny do granicy, rozwinąć funkcję w szereg. Szczególnie
trudne dla cudzoziemców są konstrukcje zdań, które zaczynają się rzeczownikiem
w narzędniku lub w bierniku. W ten sposób bardzo często formułowane są w
ma-tematyce definicje, np.:
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję postaci
lub inaczej
(
)
1 0,
0
1 1+
+
+
≠
+
=
− − n n n n nx
a
x
a
x
a
a
a
x
W
Funkcję postaci
W
(
x
)
=
a
nx
n+
a
n−1x
n−1+
+
a
1x
+
a
0,
a
n≠
0
nazywamy
wie-lomianem stopnia n.
Niektóre nazwy występujące w matematyce nie istnieją w języku ogólnym
(różniczka, asymptota, iloczyn skalarny wektorów) albo mają zupełnie inne lub
przesunięte znaczenie (kombinacja, wariacja, funkcja, ciało) (Wróbel i in. 2014,
Jóźwiak i in. 1999). Język polski matematyki zawiera wiele nazw, które nie są
tzw. internacjonalizmami pochodzącymi bezpośrednio czy pośrednio z łaciny lub
greki, a występują np. w języku angielskim, francuskim, rosyjskim. I tak:
całka – ang. integral, franc. intégrale, ros. интеграл;
liczba wymierna – ang. rational number, franc. nombre rationnel, ros. рациональное
число;
macierz – ang. matrix, franc. matrice, ros. матрица
(Jóźwiak i in. 1999, Wróbel, Zielińska 1995).
W literaturze glottodydaktycznej można znaleźć niewiele pozycji
omawiają-cych te zagadnienia, wobec tego autorki musiały oprzeć się prawie wyłącznie na
własnych, wieloletnich badaniach i doświadczeniach. Doświadczenia te zostały
również wykorzystane w podręcznikach (Wróbel i in. 2011, 2014), które powstały
we współpracy z polonistą – glottodydaktykiem.
Program językowy został opracowany w oparciu o dokładną analizę potrzeb
(przygotowanie do studiów w języku polskim) i możliwości naszych słuchaczy
(kompetencje w zakresie języka ogólnego, czas nauki, przygotowanie
meryto-ryczne). Inaczej mówiąc, stosujemy tu metodę polegającą na dokładnej analizie
warunków, w których realizujemy zadanie główne, jakim jest przygotowanie do
studiów, jak również zadania cząstkowe stawiane w trakcie realizacji programu
(rozumienie tekstu matematycznego, komunikowanie się z wykładowcą i z
ko-legami w zakresie omawianego tematu). Prezentujemy tu program dla grup
po-litechnicznych, który jest realizowany w ciągu 135 godzin lekcyjnych. Grupy
ekonomiczne realizują ten sam program w ciągu 125 godzin, z konieczności więc
pomija się niektóre tematy, a zadania rozwiązywane na zajęciach i zadawane do
domu są łatwiejsze merytorycznie, choć nie językowo.
Nauczanie języka polskiego jako obcego w zakresie matematyki
charaktery-zuje się niecałkowitą zbieżnością faz nauczania z poziomami kompetencji w
języ-ku obcym wg ESOKJ (Janowska 2011). Mamy tu do czynienia z krzyżowaniem
się kompetencji, np. w stadium nauczania, gdy w zakresie sprawności mówienia
studenci są nadal na poziomie A2, w zakresie czytania ze zrozumieniem muszą
sięgać poziomu B2. Program ułożony jest tak, aby nie wprowadzać sztucznych
form, odbiegających od języka używanego w podręcznikach i od typowych
zacho-wań językowych nauczycieli akademickich. W początkowym stadium nauczania
świadomie powstrzymujemy się od stosowania trudniejszych form fleksyjnych
i upraszczamy składnię. Zabiegi te mają na celu maksymalne dostosowanie
na-uczania języka matematyki do poziomu języka ogólnego słuchaczy. W
później-szych fazach wracamy do tych samych zagadnień matematycznych, używając
bogatszych form językowych (por. Wróbel i in. 2011, Wróbel i in. 2014). Program
jest realizowany w trzech fazach:
FAZA I. 40 GODZIN. KURS WSTĘPNY
W pierwszej fazie zakładamy, że zjawiska językowe charakterystyczne dla
poziomu A1 są znane słuchaczom. Absolutną większość w tej fazie stanowią
zjawiska z poziomu A2. Osiągnięcie tego poziomu kompetencji
komunikacyj-nej w zakresie matematyki jest szczególnym celem tej fazy, ze względu na treści
merytoryczne nie można jednak uniknąć nielicznych zjawisk z wyższych
pozio-mów kompetencji językowej. Np. w zasobie Słownika minimum języka polskiego
Haliny Zgółkowej (2009), który wyznacza znajomość leksyki na poziomie A2
polszczyzny ogólnej, brak obecnych już w pierwszej lekcji matematyki
przymiot-ników parzysty i nieparzysty. W tej fazie kursu stosujemy prawie wyłącznie
defi-nicje ostensywne (przez przykład), głównie przy wprowadzaniu pojęć geometrii
elementarnej (Wróbel 1991, por. też Wróbel i in. 2011, s. 31–39) lub definicje
formalne przez postulaty, jak np. definicje spójników logicznych (Wróbel i in.
2011, s. 62–65). Nie wprowadzamy tu również języka dowodów
matematycz-nych, z wyjątkiem takich pojęć, jak: twierdzenie, dowód, założenie, teza.
FAZA II. 84 GODZINY. FUNKCJE, CIąGI, SZEREG GEOMETRYCZNY
ELEMENTY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Zakładamy znajomość języka polskiego ogólnego na poziomie A2.
Szcze-gólnym celem tej fazy nauczania jest osiągnięcie kompetencji komunikacyjnej
w zakresie matematyki na poziomie B1 (poprzez metodyczne rozwijanie
kompe-tencji) z elementami poziomów wyższych B2 i C1 (tylko, gdy jest to niezbędne ze
względów merytorycznych). Wprowadzamy język definicji oraz dowodów
twier-dzeń matematycznych.
FAZA III. 11 GODZIN. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ELEMENTY KOMBINATORYKI. WPROWADZENIE DO RACHUNKU
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Celem trzeciej fazy nauczania jest wdrożenie wybranych zjawisk języka
matematyki. Zakładamy taką biegłość w języku polskim, aby słuchacze mogli
rozwiązywać zadania z tekstem (szczególnie z rachunku prawdopodobieństwa
i kombinatoryki), co sprowadza się do poziomu co najmniej B1. Wprowadzamy
więcej zjawisk z poziomów B2 i C1. Pogłębiamy rozumienie twierdzeń w
po-staci warunku koniecznego i warunku dostatecznego oraz utrwalamy
umiejęt-ności formułowania takich twierdzeń. Dla studentów jest to bardzo trudne ze
względów językowych i logicznych (por. ćwiczenia językowe Wróbel i in. 2014,
s. 188–191).
Biorąc pod uwagę warunki realizacji postawionych zadań, musimy przede
wszystkim skupić się na funkcji komunikacyjnej języka polskiego w zakresie
ma-tematyki i koncentrować się na sprawnościach receptywnych (rozumienie i
czy-tanie tekstu pisanego z użyciem symboli matematycznych, rozumienie tekstu
mó-wionego). Kształcenie sprawności produktywnych uzależniamy od kompetencji
w zakresie języka ogólnego, ale słuchacz musi przynajmniej porozumieć się po
polsku w formie ustnej i pisemnej z egzaminatorem w zakresie podanym w
mate-riałach (Wróbel, Zielińska 2014).
Po zakończeniu kursu student powinien:
• rozumieć wypowiadane w naturalnym tempie i tonie pytania oraz ustne
polecenia nauczyciela/egzaminatora dotyczące rozwiązywania
proble-mów matematycznych,
• rozumieć treść tekstów zapisanych po polsku z użyciem symboli
mate-matycznych,
• umieć głośno przeczytać polski tekst zawierający symbole
matematycz-ne, z dopuszczeniem obcego akcentu, który jednak nie zakłóca
komuni-kacji,
• umieć sformułować pisemnie odpowiedzi do zadań na pracach
kontrol-nych i egzaminie końcowym oraz opisać przebieg rozumowania w
trak-cie rozwiązywania zadań lub przeprowadzania dowodu,
• umieć ustnie formułować wypowiedzi przekonujące, że rozumie treść
postawionych przed nim zadań.
Terminy matematyczne wprowadzane są w szczególny sposób: są one
jed-noznaczne co do postulatów (często aksjomatów), które muszą spełniać. Tak
wprowadzane są przede wszystkim relacje jedno-, dwu- lub wieloargumentowe
oraz predykaty. Dobrym przykładem jest definiowanie działań (arytmetycznych,
logicznych i teoriomnogościowych) przez algebrę Boole’a, czyli pewną
struk-turę. Sprawdzanie poziomu kompetencji językowej naszych słuchaczy powinno
się więc odbywać poprzez sprawdzanie rozumienia tekstu zawierającego terminy
matematyczne lub przez formułowanie zdań prawdziwych zawierających takie
terminy. Stąd w naszych podręcznikach mamy zadania typu: Podaj wartość
lo-giczną zdania. Dotyczy to zarówno zdań prostych, w których konieczne jest
zro-zumienie treści zdania, jak i złożonych (zawierających funktory zdaniotwórcze
od argumentów zdaniowych), w których rozumienie składowych zdań prostych
nie zawsze jest konieczne (por. Wróbel i in. 2011, s. 29, 41, 66–67). Taka sytuacja
zależy od tego, czy funktory są ekstensjonalne czy też intensjonalne.
W języku sformalizowanym równościowa definicja terminu matematycznego
x
musi spełniać warunki: 1)
(x
)
x
ϕ
∨
i 2)
,(
(
1)
(
2)
1 2)
21 x
x
x
x
x
x
∧
ϕ
∧
ϕ
⇒
=
czyli warunek istnienia (w sensie istnienia bytów matematycznych) i warunek
jednoznaczności. Wobec tego zasadne są polecenia i pytania: Proszę podać
przy-kład terminu x. lub Czy x jest
ϕ
? (por. Wróbel i in. 2011, s. 16–17, 23; Wróbel
i in. 2014, s. 86, 111). Poprawne odpowiedzi świadczą z dużym
prawdopodobień-stwem o rozumieniu terminu x. Aby zmniejszyć liczbę trafień losowych
wprowa-dzamy również pytania typu: Czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe, czy też nie
można tego wiedzieć (nie wiadomo)? (Wróbel i in. 2011, s. 46, 66–67). Z uwagi na
wymaganie jednoznaczności, dobrym sprawdzianem rozumienia i umiejętności
użycia tych terminów są zadania typu: Uzupełnij zdania tak, aby były one
praw-dziwe (Wróbel i in. 2011, s. 41, Wróbel i in. 2014, s. 112–113, 193–194).
Ważnym elementem kompetencji językowej w zakresie matematyki jest
rozumienie poleceń do zadań matematycznych. Aby rozwiązać zadanie, nawet
bardzo łatwe, trzeba zrozumieć polecenie. Przykładem sprawdzania umiejętności
w tym zakresie są proste zadania z geometrii elementarnej, jak np. Obliczyć
wyso-kość trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 cm opuszczonej z wierzchołka
kąta prostego. W tym zadaniu nie tyle chodzi o sprawdzenie wiedzy
matematycz-nej (poziom polskiego gimnazjum), ale języka polskiego zadań geometrycznych
(Wróbel i in. 2011, s. 41). W sprawdzianach stosujemy też różne, ale mające takie
same lub podobne znaczenie, polecenia, jak np. Wykonać wykres., Sporządzić
wy-kres., Naszkicować wykres. czy też Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji., Podać
najmniejszą i największą wartość funkcji. Sprawdzamy również umiejętność
czy-tania wzorów i zapisów symbolicznych, ale w przypadku skomplikowanych zdań,
np. definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie
x
0:
( )
δ
ε
δ
ε
<
−
<
⇒
−
<
⇔
=
∈ > > →xf
x
g
∧
∨
∧
x Dx
x
f
x
g
xlim
0 0 0(
0
0(
)
nie wymagamy poprawności gramatycznej, o ile nie zakłóca to komunikacji (np.
egzaminator rozumie studenta). W obu podręcznikach Wróbel i in. (2011, 2014)
obecne są też ćwiczenia językowe pokazujące różne sformułowania tego samego
twierdzenia, np. w formie zdania warunkowego, warunku koniecznego, warunku
dostatecznego lub też kontrapozycji podstawowego twierdzenia (np. Wróbel i in.
2011, s. 80). Dobrym sprawdzianem rozumienia tekstu jest pisanie schematów
zdań zarówno w języku klasycznego rachunku zdań (użycie funktorów
ekstensjo-nalnych) (Wróbel i in. 2011, s. 71; Wróbel i in. 2014, s. 194–195), jak i w języku
klasycznego rachunku predykatów (Wróbel i in. 2011, s. 76).
( )
δ
ε
δ
ε
<
−
<
⇒
−
<
⇔
=
∈ > > →xf
x
g
∧
∨
∧
x Dx
x
f
x
g
xlim
0 0 0(
0
0(
)
TREŚCI KSZTAŁCENIA
W załączonej tabeli opisującej szczegółowe treści nauczania podajemy
przede wszystkim takie słownictwo z zakresu matematyki, które nie istnieje w
ję-zyku ogólnym (np. logarytm, homografia, radian), które ma w matematyce inne
lub przesunięte znaczenie (czynnik, liczba wymierna, parabola) bądź inne
kolo-kacje (np. zbieżny do…, wzór na..., styczna do…). Wobec tego, terminy
matema-tyczne podajemy w ich typowym otoczeniu językowym (kolumna: Struktury
gra-matyczne i specyficzne zwroty). Niektóre pojęcia występujące w podręcznikach
matematycznych mają w języku ogólnym nieostre znaczenie, zatem ucząc języka
matematyki trzeba takie pojęcia doprecyzować. Np. zdanie złożone ze spójnikiem
lub jest w języku ogólnym często rozumiane jak dyzjunkcja albo…albo… (zdanie
2 ≥ 2 jest prawdziwe), zdanie Niektóre prostokąty są kwadratami oznacza w
ma-tematyce Istnieje prostokąt, który jest kwadratem. Pokazujemy też, jak te same
treści matematyczne można wyrazić różnymi sposobami, np. funktor koniuncji
˄ można opisać międzyzdaniowym: i, a, ale, lecz, również, oraz, także, ani (por.
Wróbel i in. 2011). W przedostatniej kolumnie zawarto kompetencje językowe,
jakie słuchacze powinni uzyskać na danym etapie nauczania.
TREŚ
CI K
SZ
TAŁCENIA
Te m at yka Sł ow ni ct w o St ru kt ury g ra m at yczn e i sp ec yf iczn e z w ro ty D zi ał an ia ję zy ko w e i u m iej ęt no ści G odz . le kc . Kurs ws tęp ny Cy fry , l icz by n at ur al ne , licz by cał ko w ite . licz ba, cy fra, l icz eb ni ki g łó w ne , p lu s, m in us , z na k (li cz by ), z bi ór , e le m en t z bi or u, n al eżeć d o, li cz ba par zy sta, l icz ba n ie par zy sta To jes t + M 5 to jes t l ic zb a n at ur al na. T o n ie jes t l ic zb a ca łk ow ita . M 5 nal eż y do + D C zy to jes t l iczb a par zy sta? Czy 5 to jes t el em en t zb io ru N ? Czy ta ni e sy mb ol i C b N a , . Zap isy w an ie sy m bo lam i w yr ażo ny ch sł ow am i zd ań w ro dz aj u: C N 78 , 1123 . 1 D zi ał an ia ar yt m et ycz ne . dz iał an ia ar yt m et ycz ne , d od aw an ie , o de jm ow an ie , m no że ni e , d zi el en ie , w yn ik , s um a, ró żn ica , i lo czy n, ilo raz , s kł ad ni k, cz yn ni k, r ów na s ię , zad an ie , o bl icz yć Co rob im y? D od aj em y + B . P ro szę d od ać + B O dej m uj em y – od jąć . M no żym y – pom noż yć , p om noż yć p rzez 3 . D zi el im y – po dzi el ić , p od zi el ić p rz ez 5 . N azy w an ie e le m en tó w d zi ał ań ar yt m et ycz ny ch . Ro zu m ien ie p ol ec eń w yko na ni a ta ki ch dzi ał ań . 2 Re lacj e:
,
,
,
,
ró w ne , w ię ks ze n iż , m ni ej sz e n iż , w ię ks ze lu b r ów ne , m ni ej sz e l ub ró w ne , l icz ba d od at ni a, li cz ba u je m na , l icz by pr ze ci w ne ; p raw da, f ał sz Czy ta ni e ni er ów no śc i. Za pi sy wa ni e sy mb ol ami n ie ró w no śc i w yr aż on ych sło w am i, n ap isa ny ch lu b dy kt ow any ch. 3 U łam ki z w ycz aj ne , dz ie się tn e, l icz by m ie sz an e. Pr oc en t, punk t p roc ent ow y. lic ze bni ki po rz ąd ko w e, li cz ni k, m ia no w ni k, kr es ka uł am ko w a, uł am ek z w ycz aj ny , w sp ól ny m ian ow ni k, sk ró ci ć u łam ek , u łam ek sk ra cal ny , n ie sk rac al ny , d zi el ni k, lic zb a p ie rw sz a, cz ęś ć, cał oś ć, u łam ek d zi es ię tn y, r od zaj e uł am kó w dz ie się tny ch (s ko ńc zo ny , ni es ko ńc zo ny , ok res ow y, n ieo kr es ow y) , o kr es u ła m ka d zi es ięt neg o, naw ias , o tw or zy ć n aw ias , z am kn ąć n aw ias . Po d k res ką , na d k res ką , w li czn ik u, w m ia no w ni ku , w ok res ie, w n aw ia sie. (M c) Z am ie nić u łam ek z w ycz aj ny na uł am ek d zi es ięt ny . j ak i p ro cen t l icz by a st an ow i l iczb a b ? Cz yt an ie u łam kó w zw yc zaj ny ch , cz yt an ie uł am kó w d zi es ięt ny ch , p isa ni e ze słu ch u uł am kó w i d zi ał ań . 4– 7 (4 ) Pod sta w ow e figu ry geo m et ry czn e. punk t, pr os ta , p ół pr os ta , o dci ne k, k ąt , k ąt o str y, p ro sty , ro zw ar ty , p eł ny , p ół pe łn y, s to pi eń , w ie rz ch oł ek , r am io na ; pr os te rów nol eg łe , p ros te p ros to pa dł e; tr ój ką t, trój ką t os tro kąt ny , p ro sto kąt ny , r ozw ar to kąt ny , b ok , t ró jk ąt rów no bo cz ny , r ów no ra m ie nny , w ys oko ść , po ds taw a; cz w or ok ąt , p rz ek ąt na, k w ad ra t, p ro sto ką t, r om b, ró w no leg ło bo k, t rap ez , p ię ci ok ąt , s ze śc io kąt , .. ., w ie lo kąt , kr zy w a, k oł o, o kr ąg , ś ro de k, pr om ie ń, fi gu ra ge om et ry cz na, p łas zcz yz na, d łu go ść , p ol e i o bw ód , w zó r, tw ie rd ze ni e, b ry ła, s ze śc ian , p ro sto pa dł ości an , ści an a, kr aw ęd ź , g ran ias to słu p, o str os łu p, b ry ły o br ot ow e, o br ót , oś o br ot u, w al ec, s to że k, k ul a, o bj ęt oś ć, p ol e p ow ier zch ni Pun kt le ży na p ro stej . P ro ste p rz eci na ją si ę w punk ci e A. P ro sta l j es t ró w no leg ła (pr os to pa dł a) d o p ro st ej k . Cz y ka żd y kw ad ra t j es t p ros tok ąt em ? (N) Cz y ro m b m oże b yć k w ad rat em ? Cz y tró jk ąt m oże m ieć dw a k ąt y pr os te? Cz y za w sz e pr os tok ąt je st rów nol egł ob ok ie m ? W zó r n a po le tró jk ąt a. Zn al eźć w zó r n a lic zb ę p rzek ąt ny ch n -k ąt a. N azy w an ie fi gu r g eo m et ry cz ny ch i i ch el em en tó w . O pi sy w an ie w łas no śc i f ig ur . Czy ta ni e ze zr ozu m ien iem pr os ty ch za da ń geo m et ry czn yc h. 8– 13 (6 )Kurs ws tęp ny Li czb y w ym ier ne, ni ew ym ie rn e, r ze czy w ist e. D ef in ic ja, li cz ba w ym ie rn a, ni ew ym ier na, rz eczy w ist a, od w ro tn oś ć lic zb y, ro zw in ięc ie dzi es ięt ne lic zb y, m od uł licz by rze czy w ist ej , w ar to ść b ezw zg lęd na l icz by rzec zy w ist ej Pr ze dst aw ić li czb ę w p os ta ci u ła m ka zw yc za jn eg o. Pr zed st aw ić j ak o uł am ek d zi es ięt ny . Ro zu m ien ie i fo rm uł ow an ie def in icj i w po sta ci zd an ia w ar un ko w eg o (n a p od staw ie de fin ic ji lic zb y w ym ie rn ej ). 14 (1 ) Po tę ga i p ie rw ias te k. W zo ry sk róc on ego m noż en ia . po tę ga, po tę go w ać, p od no sić do p ot ęg i, po ds taw a i w ykł adni k po tę gi , w ła sno śc i po tę g, p ie rw ia ste k n-te go sto pn ia z lic zb y a, p ier w ia stek k w ad rat ow y, za ło żen ie, zas trz eż en ie , w ar un ek , r oz ło ży ć na cz yn ni ki , r oz kł ad n a czy nn ik i, kw ad rat su m y, r óż ni cy , r óżn ica kw ad ra tó w , sz eś ci an su m y, r óż ni cy , s um a i ró żn ic a s ze śc ia nó w , w yk on ać d zi ał an ia Po dno sić /po dn ie ść d o po tę gi (do kw adr at u, do sz eś ci anu , do pi ąte j). Pot ęga o w yk ład ni ku n at ur al ny m. Pie rw ia st ek z d w óch , z trzech . Jeż el i..., to ... . R ozł oż yć/ ro zk ła da ć n a c zy nn ik i. W łą czy ć cz ynni k po d p ier w ia st ek , w ył ąc zy ć p rzed pi er w ia st ek , w ył ąc zy ć p rzed n aw ia s. Czy ta ni e po tęg . C zy tan ie p ie rw ias tk ów . Pi sa ni e z e s łu ch u s ym bo li p ot ęg i pi er wi as tk ów. F or m uł ow an ie z as trz eże ń d o ni ek tó ry ch o pe racj i m at em at ycz ny ch . 15 –17 (3 ) Loga ry tm – d ef in icj a, w ła sn ości . loga ry tm p rzy p od staw ie a lic zb y b, po ds taw a l og ar yt m u, licz ba l og ar yt m ow an a, l og ar yt m d zi es ię tn y, l og ar yt m na tu ral ny , l og ar yt m ow ać, l og ar yt m ow an ie Loga ry tm pr zy p od sta wi e Cz yta nie sy m bo li lo ga ry tm ów o dow ol ne j po ds taw ie i z ap isy w an ie ty ch sy m bo li z e słuc hu. 18 –19 (2 ) El em en ty rach un ku z dań i kw an ty fik ato ró w zd an ie w se ns ie lo gi cz ny m , z dan ie w lo gi ce , z dan ie pr aw dz iw e, z dan ie fał sz yw e, w ar to ść lo gi cz na z da ni a, fu nk cj a z da ni ow a, z m ie nn a, z m ie nn a licz bo w a, z m ie nn a zd an io w a, d zi ed zi na, sp eł ni ać, sc he m at z dan io w y, po ds taw iać, p od staw ie ni e, f un kt or y zd an io tw ór cz e, sp ój ni ki lo gi cz ne , n eg acj a, al te rn at yw a, ko ni un kcj a, im pl ik acj a, z ał oż en ie , t ez a, w ni os ek , w ni os ko w ać, ko nt rap oz ycj a, s pr ze cz no ść , t w ie rd zen ie o dw ro tn e, rów now aż no ść , „ p w te dy i t yl ko w ted y, g dy q ”, dow ód , ud ow od ni ć, w yk az ać, t au to lo gi a, pr aw o lo gi cz ne , m et od a zer oj ed yn ko w a, k w ant yf ika to r, kw ant yf ika to r d uż y, og ól ny , k w an ty fik at or m ał y, s zcz eg ół ow y x 0 spe łn ia fu nk cj ę zd an io w ą p(x ) ( pe o d x). D la k ażd eg o x rz ec zy w ist eg o: p(x ). Do wi eś ć – do w od zi ć – udo w odni ć. D la k aż de go x n al eżą ceg o do z bi or u R: p(x ). W szy st ki e licz by n at ur al ne są c ał ko w ite . K aż da li cz ba na tur al na je st ca łk ow ita. Ża de n ok rą g ni e jes t w iel ok ąt em . Ist ni ej e x na tur al ne , t ak ie że p (x ). Ist ni ej e x na le żą ce d o zb io ru N , t ak ie ż e p(x ). N iek tó re ro m by są k w ad ra tam i. In te rp re ta cj a fun kt or ów p ra w dz iw oś ci ow yc h kl as yc zn ej lo gi ki zd ań . R ozu m ien ie i tw or zen ie sc hem at ów zd ań zł ożo ny ch . Czy ta ni e i r ozu m ien ie zd ań z łoż on yc h i z da ń skw ant yf iko w any ch. For m uł ow ani e w ję zy ku po lski m ne ga cj i zd ań skw ant yf iko w any ch. O pi sy w an ie ni ekt ór yc h el em ent ów do w odu. 20 –29 (10)
Kurs ws tęp ny El em en ty te or ii m nogoś ci. D zi ał an ia na z bi or ac h, pr aw a ra chun ku z bi or ów . Pr ze dz iał y n a o si l icz bo w ej . Ilo czy n k ar te zj ań sk i z bi or ów . Pr os to ką tny ukł ad w spó łrz ędny ch. in kl uz ja , z aw ie ran ie z bi or ów , p od zb ió r, z bi ór p us ty , pr ze str ze ń, u ni w er su m , s um a z bi or ów , i lo cz yn , cz ęś ć w spó lna z bi or ów , r óż ni ca , do pe łni eni e zbi or u do da ne j pr zes trz en i, zb io ry ro zł ącz ne , o ś l icz bo w a, j ed no stk a, zbi ór sko ńc zo ny , z bi ór ni es ko ńc zo ny , ni es ko ńc zo no ść , pr ze dz iał o tw ar ty , d om kn ię ty , l ew os tro nn ie d om kn ię ty , pr aw os tro nn ie d om kn ię ty , p ar a up or ząd ko w an a, ilo czy n kar te zj ań sk i, u kł ad w sp ół rzę dn ych , p łas zczy zn a ka rtezj ań sk a, w sp ół rz ęd ne , o dci ęt a, r zę dn a, p ocz ąt ek ukł ad u w spó łrz ędny ch, ć w ia rtka u kł adu w spó łrz ędny ch, ok reś lić w sp ół rzęd ne pu nk tu , i nt er pr et acj a gr af ic zn a Zb ió r A jes t za w art y w zb io rze B. Zb ió r A za w ie ra si ę w zb io rze B. Zb ió r B za w ie ra z bi ór A . Zb ió r x cał kow ityc h, ta ki ch że p (x ). Zb ió r x n al eżą cy ch d o zb io ru C , t ak ich że p (x ). Pr zed zi ał o tw ar ty o d a do pl us ni es ko ńc zo no śc i. Pr zed zi ał o d m in us d w óch d o czt ere ch . Zap isy w an ie i cz yt an ie sy m bo li p rz ed zi ał ów licz bo w ych , r el acj i p rz yn al eż no śc i e lem en tu do pr ze dz ia łu lub in ne go pod zbi or u R or az rel ac ji in kl uzj i. N azy w an ie el em en tó w i po dz bi or ów p łas zczy zn y k ar te zj ań sk ie j. 30 –3 6 (7 ) W ek to ry. Su m a w ek to ró w i i lo czy n w ek to ra p rzez lic zb ę. Tr an slacj a i sy m et ria. w ek to r za czep io ny , p oc zą tek i k on iec w ek to ra , d łu go ść , ki er une k i z w ro t w ek to ra, w ek to ry o zw ro tach z go dn ych i w ek to ry o zw ro tach p rz eci w ny ch , r ów no ść w ek to ró w , w sp ół rzę dn e w ek to ra, i nt er pr et ac ja g eo m et ry cz na, w ek to r sw ob od ny , z az naczy ć w u kł ad zi e w sp ół rz ęd ny ch , zaz nacz yć n a pł as zczy źn ie k ar te zj ań sk ie j, t ra ns lac ja , pr ze su ni ęci e r ów no leg łe , o br az , s ym et ria, sy m et ria osi ow a, sy m et ria w zg lę de m p ro ste j, oś sy me tri i, sy me tri a śr odko w a, śr ode k sy m et rii , s ym et ria w zgl ęde m p un kt u, sy m et ry czn y Pr ze su ni ęci e o w ek to r. Sy m et ri a w zg lęd em p ro st ej , w zg lę de m p un kt u. o br az punk tu A w sy m et ri i w zg lęd em … . O bra z p un kt u A w p rzes un ięc iu o w ek to r. o bra z p un kt u A w tr an sla cj i o w ek to r. O db ić fi gu rę f sy m et ry czn ie w zg lęd em … . O pi sy w an ie w ek to ró w o raz p od staw ow ych pr ze ks zt ał ce ń g eo m et ry cz ny ch (t ran slacj a, sy m etr ia ). Czy ta ni e ze zr ozu m ien iem pr os ty ch zad ań g eo m et ry cz ny ch z w iąz an ych z ty m tem at em 37 –3 8 (2 ) Pr ac e kont rol ne 38 –4 0 (2× 1) K ur s w st ęp ny 40
Fun kcj a i j ej w łas noś ci. P ods taw ow e rów nan ia i nie rów noś ci D ef ini cj a fun kc ji. S po so by ok re ślan ia f un kcj i. W yk re s fu nk cj i rz ec zy w ist ej zm ien nej rzec zy w ist ej . W łas no śc i f un kcj i. F un kcj a od w ro tn a. F un kc ja z ło żo na. Pr zek sz ta łc en ia w yk res u fu nk cji. fu nk cj a, pr zek sz ta łc en ie, pr zek sz ta łc ać , o dw zo ro w an ie, od w zo ro w yw ać, p rz yp or ząd ko w an ie , p rz yp or ząd ko w ać, o kr eś lać fu nk cj ę, ar gu m en t, w ar toś ć fun kc ji w p unk ci e x, w ar to ść fu nk cj i dl a ar gu m en tu x , d zi ed zi na, z bi ór w ar to śc i f un kcj i, z m ie nn a ni ez al eż na, z m ie nn a z al eż na, f un kcj a rz ec zy w ist a, f un kc ja zm ien nej rzec zy w ist ej , w yk res , s po rz ąd zi ć w yk res , m iej sc e zer ow e fu nk cj i, ró żn ow ar to śc io w oś ć, fu nk cj a, róż now ar toś ci ow a, m on ot on icz no ść , f un kcj a m on ot on icz na, ro sn ąca, m al ej ąca, fu nk cj a r oś ni e, m al ej e, f un kc ja n ie ro sn ąc a, n ie m al ej ąca , s tał a, pr ze dz iał am i m on ot on icz na , o gr an icz on oś ć, fu nk cj a o gr an icz on a, fu nk cj a o gr an icz on a z d oł u, z g ór y, p ar zy sto ść , n ie pa rz yst ość, fu nk cj a par zy sta, ni ep ar zy sta, o kr es ow oś ć, o kr es fu nk cj i, o kr es po ds taw ow y, f un kcj a o kr es ow a, k re s g ór ny fu nk cj i, k re s d ol ny , ek str em um g lo ba ln e, ek str em um a bs ol ut ne , m aks im um , mi ni m um, fu nk cj a o dw ro tn a, o dw raca ln a, z ło żo na, z ło że ni e fun kc ji, su pe rp oz ycj a f un kcj i N iech X b ęd zi e dan ym zb io rem . y za le ży o d x Funkc ja p rz ek szta łc a, od w zor ow uj e zb ió r X w (na ) z bi ór Y. W ar to ść na jm ni ejs za , w ar to ść n aj w ię ksza Zos tał a ok re ślon a fun kc ja . Funkc ja ni e jes t a ni p ar zys ta , a ni n iep ar zy sta . Ba da m y og ran ic zon oś ć funk cj i; funkc ja je st ogr an ic zon a. Fo rm uł ow an ie d ef in ic ji rów no śc io w yc h i r ek ur enc yj ny ch. O dcz yt yw an ie w łas no śc i f un kcj i z w yk re su . O pi sy w an ie p rz ek sz tał ce ń w yk re su (t ra ns lacj a o w ek to r, sy m et ria w zg lęd em o si uk ład u w spó łrz ędny ch lu b w zgl ęde m po cz ąt ku u kł adu w spó łrz ędny ch) . 41 –4 5 (5 ) Fu nk cj a l in io w a, r ów nan ia i ni er ów noś ci li ni ow e. Ró w na ni a i ni er ów noś ci lin io w e z m od uł em i z pa ra me tre m. U kł ady rów na ń i ni er ów no śc i lin io w yc h. fu nk cj a l in io w a, w sp ół czy nn ik i, w sp ół czy nn ik k ie ru nk ow y, w yr az w ol ny , k ąt n ach yl en ia, par am et r, r ów nan ie , r oz w iąz an ie ró w nan ia, ro zw iąz ać r ów nan ie , n ie w iad om a, pi er w ias te k ró w nan ia, ró w nan ie sp rz ecz ne , r ów nan ie li ni ow e, n ie ró w no ść lin io w a, u kł ad ró w nań , u kł ad n ie ró w no śc i, m et od y ro zw iązy w an ia u kł ad ów ró w nań (p od staw ian ia , p rz eci w ny ch w sp ół czy nn ik ów , g raf icz na, w yz nacz ni ko w a) , w yz nacz ni k, m ac ie rz , w ie rs z m ac ie rzy , k ol um na m aci er zy , w ym iar m ac ie rz y, uk ład o zn ac zo ny , n ieo zn ac zo ny , s pr zec zn y Pom noż yć st ron am i. D od ać d o obu st ro n. Ro zw iąz an ie po st ac i:. .. . i-t ą ko lu m nę za st ęp uj em y ko lum ną w yr az ów w ol ny ch . O pi sy w an ie o pe racj i m ate m aty cz ny ch w yko ny w an yc h pr zy ro zw iązy w an iu ró w nań , ni er ów no śc i o ra z ukł adó w rów na ń i ni er ów noś ci . 46 –5 5 (10)
Fun kcj a i j ej w łas noś ci. P ods taw ow e rów nan ia i nie rów noś ci Funkc ja kw adr at ow a, wi el om ian , f un kc ja w ym ier na, po tę go w a, w yk ład ni cz a, lo gar yt m icz na , fu nk cj e try go no m et ry czn e. fu nk cj a kw ad ra to w a, t ró jm ian k w ad ra to w y, w yr óż ni k ( de lta) tró jm ia nu k w ad rat ow eg o, p ar ab ol a, w ie rz ch oł ek i r am io na pa ra bol i, pos ta ć ka noni cz na tr ój m ia nu kw ad ra tow ego, w iel om ian , s to pi eń w ie lo m ian u, r es zt a z d zi el en ia, w ar un ek ko ni ecz ny , w ar un ek d os tat ecz ny (w ys tar cz aj ący ), d ow ód n ie w pr os t, f un kc ja w ym ie rn a, h om og raf ia, f un kc ja ho m og raf icz na, as ym pt ot y, as ym pt ot a pi on ow a, as ym pt ot a po zi om a, h ip er bo la, gał ąź h ip er bo li, f un kcj a po tę go w a, f un kcj a w yk ład ni cz a, fu nk cj a lo gar yt m icz na, f un kcj e t ry go no m et ry cz ne (s in us , co sin us , ta ng en s, co ta ng en s) , k ąt sk ie ro w an y ( zo rie nt ow an y) , m iar a sto pn io w a, m iar a ł uk ow a, ł uk , r ad ian , w zo ry re du kcy jn e, to żsamo ść, to żsamo ść tr yg on ome try cz na , j ed yn ka try go no m et ryc zn a Ram io na p ar ab ol i s ą sk iero w an e k u g órz e ( ku d oł ow i). (C ) Ram io na p ar ab ol i s ą sk iero w an e d o gó ry (d o d oł u) . Spr ow ad zi ć (tró jm ia n kw ad ra to w y) do p os ta ci k an on ic zn ej . R oz łoż yć w ie lo m ian na cz ynni ki . Za łó żm y, że ... . W aru nk iem k on ieczn ym p od zi el no śc i l icz by p rz ez 4 je st po dz ie ln oś ć te j l icz by p rz ez 2 . W aru nk iem k on ieczn ym n a t o, ab y lic zb a d zi el iła si ę pr zez 4, je st p od zi el no ść tej li czb y pr zez 2. ..., co k oń czy d ow ód . c.b .d .o . ( co b ył o d o o kaz an ia) cnd. (c o n al eża ło d ow ieś ć) N a m ocy w zo ru (1 ), m am y. .. . St ąd w yn ik a.... . Z t eg o w yn ik a... . W ob ec t eg o.. . . Za te m ... . For m uł ow ani e tw ie rdz eń i do w odó w tw ier dz eń (w pro st i n ie w pro st). Ro zu m ien ie t w ier dzeń w p os ta ci w ar unk u ko ni ec zne go i w ar unk u do stat ec zn eg o or az w ar un ku ko ni ec zn eg o i d os tat ec zn eg o. 56 –8 2 (27) Pr ac e kont rol ne 83 –8 6 (2× 2) Funkc ja i je j w ła sno śc i. Po ds ta w ow e ró w na ni a i ni er ów no śc i. 46 Cią gi. Sze reg geo met rycz ny Ci ąg li cz bo w y. Mo no to ni cz no ść i ogr an ic zon oś ć ci ągu . C ią g ar yt m et ycz ny . C iąg geo m et ry czn y. Sy m bo le
!n
i k n. G ran ica ci ąg u. T w ier dz en ia o gr an ica ch . Szer eg li czb ow y. Szer eg g eo m et ry czn y. ci ąg , c iąg li cz bo w y, w yr az ci ąg u, w yr az o gó ln y ci ąg u, n -ty w yr az ci ąg u, ci ąg sk oń cz on y, ci ąg n ie sk oń cz on y, ci ąg ar yt m et ycz ny , ró żn ica ci ąg u ar yt m et ycz ne go , ci ąg g eo m et ry cz ny , i lo raz ci ąg u geo m et ry czn eg o, n -ta su m a cz ęś ci ow a c iąg u, s um a n po cz ąt ko w ych w yr az ów ci ąg u, n si ln ia , n po k , n nad k , sy mb ol N ew to na, g ra ni ca ci ąg u, pr aw ie w sz ys tk ie w yr azy ci ąg u, ot ocz en ie p un kt u, g ra ni ca w łaś ci w a, g ran ica ni ew łaś ci w a, c iąg zbi eż ny , c ią g ro zbi eż ny do pl us lu b m in us ni es ko ńc zo no śc i, lim es , d ow ol ni e m ał e, s ym bo l n ie oz nacz on y, s ze re g licz bo w y, sz er eg zb ieżn y i s zer eg ro zb ieżn y, su m a sz er eg u, sz er eg geo m et ry czn y n dą ży do n ie sk ońc zon oś ci. Ci ąg jes t z bi eż ny do g . Ró żn e sp os ob y czy tan ia s ym bo li gr an icy ci ąg u i s um n ie sk oń cz on ych . Ró żn e sf or m uł ow an ia d ef in icj i gr an icy ci ąg u w ję zy ku p ol sk im . 87 –9 8 (12) Pr ac a kont rol na 99 –1 00 (2 ) Ci ąg i. Szer eg g eo m et ry czn y. 14Grani ca i ci ągłoś ć funkc ji. Poc hodn a. G ran ica f un kcj i Ci ągł oś ć funk cj i w pu nk ci e i w p rzed zi al e. gr an ic a f un kc ji f w pun kc ie 0
x
; g ran ic a f un kc ji f , g dy x d ąż y do 0x
; g ra ni ca pr aw os tro nn a, l ew os tro nn a, je dn os tro nn a, f un kcj a ci ąg ła, ci ąg ło ść fu nk cj i, pu nk t n ie ci ąg ło śc i, f un kcj a e le m en tar na Cz yt an ie sy m bo li g ran icy fu nk cj i i gr an ic je dn os tro nn ych . O pi sy w an ie punk tów n ie ci ągł oś ci i pr ze dz ia łów ci ągł oś ci fu nkc ji. 101 –1 10 (10) Poc hodn a fun kc ji w pu nk ci e i j ej in te rp re tacj a geo m et ry czn a Poc hodn e w yż sz yc h rz ęd ów . A sy m pto ty . Bad an ie p rzeb ieg u zm ie nn oś ci fun kc ji. pr zy ro st zm ien nej n ieza le żn ej , p rzy ro st fu nk cj i, ilo ra z ró żn ic ow y, po ch od na f un kc ji, s ty cz na, p un kt st ycz no śc i, r óż ni cz ko w al no ść , fu nk cj a r óż ni cz ko w al na, e ks tre m um lo kal ne , m in im um i mak sim um l ok al ne , a sy mp to ta p oc hy ła (u ko śn a) , b ad an ie pr ze bi eg u zm ie nno śc i f un kc ji C o n aj m ni ej , p rzy na jm ni ej , c o n aj w yżej . Funkc ja o sią ga ek st rem um , f un kcj a p rzy jm uj e w art oś ć mak sy mal ną . St yczn a d o kr zy w ej w pun kc ie A . O pi sy w ani e pr ze bi eg u zm ie nno śc i fun kc ji. R óż ne sf or m uł ow an ia w ję zy ku po lsk im w ar unku kon ie cz ne go, w ar unk u dos ta te cz ne go or az w ar unk u ko ni ec zn ego i do stat ec zn eg o. Tr an sf or m acje te ks tu mat emat yc zn eg o. 111 –1 22 (12) Pr ac a kont rol na 123 –1 24 (2 ) G ran ica i ci ąg ło ść fu nk cj i. P oc ho dn a. 24 Geome tri a a nal ity czn a Ilo czy n s kal ar ny i w yzn ac zni k pa ry w ekt or ów . Ró w na ni a pr os te j. Ró w na ni e ok rę gu . S ty cz na d o o kr ęg u. sk al ar , i lo cz yn sk al ar ny w ek to ró w , w yz nacz ni k par y w ek to ró w , śr od ek od ci nka , r ów na ni e kr zyw ej , r ów na ni e ki er unk ow e pr os te j, ró w nan ie o gó ln e p ro ste j, r ów nan ie p ar am et ry cz ne p ro ste j, sy m et ral na o dci nk a, dw us ie cz na k ąt a, śr od ko w a b ok u tró jk ąt a, śr od ek c iężk oś ci tr ój kąt a O dl eg ło ść pun kt u od pr os te j. Pr ze z punk t A po pro w ad zi ć p ro st ą. Ką t za w art y m ięd zy p ro sty mi . Czy ta ni e ze zr ozu m ien iem z ad ań z ge om etr ii an al ity cz ne j, op isy w an ie cz yn no ści p rz y r ozw iązy w an iu tak ich zad ań i ob ja śn ian ie to ku ro zum ow ani a w ję zy ku po lski m . 12 5– 130 (6 ) G eo m et ria an al ity czn a 6Wst ęp do ra chunku praw dopo dobi eńs tw a El em en ty k om bin ato ry ki. Zd ar ze ni a l os ow e, d zi ał an ia na zd ar zen ia ch . K las ycz na d ef in icj a pr aw do po do bi eń stw a. W ła sn ości pr aw do po do bi eńs tw a. pe rm ut acj a z bi or u n-el em en to w eg o, k -w yr az ow a w ar iacj a b ez po w tó rz eń ze zb io ru n -el em en to w eg o, k -w yr azo w a w ar iacj a z po w tó rze ni am i z e z bi or u n-el em en to w eg o, k -e lem en to w a ko m bi na cj a ze zb io ru n -e le m en to w eg o, l os ow ać, lo so w an ie , g ra lo so w a, l os ow an ie z e zw racan ie m (z e zw ro te m ), l os ow an ie b ez zw racan ia ( be z zw ro tu ), ko stk a do g ry , o cz ka n a ko stce , m on et a, or ze ł, r es zk a, u rn a, t al ia k ar t, z dar ze ni e l os ow e, z dar ze ni e el em en ta rn e, p rzes trz eń zd ar zeń el em en ta rn yc h, zd ar zen ie ni em ożl iw e, zd ar zen ie pew ne, zd ar ze ni e p rzec iw ne, zd ar zen ie sp rzy ja ją ce, zd ar zen ia w yk lu cza jąc e się, zd ar zen ia jed nak ow o pr aw do po do bne (j ed na ko w o m oż liw e) , pr aw do po do bi eńs tw o, rz ut k os tką d o gr y Zb ió r A za w ie ra n el em en tó w . Zd ar zen ie sp rzy ja ją ce zd arz en iu A . Za ch od zi zd arz en ie A . W ypa dł o 5 oc zek . O rz eł p oj aw ił się tr zy razy . O pi sy w an ie z da rzeń i do św iad czeń lo so w yc h or az dzi ał ań n a zd ar zen ia ch . O pi sy w an ie pr zes trzen i pr oba bi lis ty cz ny ch . 13 1– 135 (5 ) W stę p do ra ch un ku pr aw do po do bi eńs tw a 5 R azem 135
