R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E T o m X L I X . z e s z y t 1 - 2001 B O Ż E N A C Z E R N E C K A K I L K A U W A G O P R Z E D M I O C I E L O G I K I I N T U I C J O N I S T Y C Z N E J W a ż n y m z a g a d n i e n i e m , n a k tó re z w r a c a u w a g ę A. H e y t i n g , j e s t r o z r ó ż n i e n ie m ię d z y b a d a n ie m n a d in t u i c j o n i z m e m a p r a k t y k ą i n t u i c j o n i z m u 1. Intui- c jo n iś c i p r e f e r u j ą to d r u g ie . H e y tin g o s o b ie p is z e , że z a d o w a l a się b u d o w a n ie m m y ś l o w y c h k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n y c h w p r z e k o n a n i u , że p r z y c z y n i ą się o n e w j a k i ś s p o s ó b do r o z j a ś n i e n i a lu d z k ie j m y ś li. M ó w i e n i e o in tu ic jo - n iz m ie , c z y li r o z w i j a n i e p e w n e j re fle k s ji f ilo z o f i c z n e j n a d in tu ic jo n iz m e m - j a k p i s z e - p o z o s t a w i a i n n y m . N ie m n ie j j e d n a k h o l e n d e r s k i u c z o n y w y p o w i a d a w ie le u w a g d o t y c z ą c y c h m a te m a t y k i i lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j. C e le m n in ie js z e g o a r t y k u ł u b ę d z i e p r ó b a u s ta le n ia , p r z y w y k o r z y s t a n i u p ra c in tu ic jo - n is tó w , co j e s t p r z e d m i o t e m lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j. B ę d z ie p rz y ty m c h o dz iło ty lk o o l o g ik ę z d a n i o w ą . H e y tin g b y ł u c z n i e m L. E. J. B r o u w e r a i c h o c i a ż r o z w i j a ł id e e tw ó r c y in tu ic jo n iz m u , n ie b y ł o r t o d o k s y j n y m k o n t y n u a t o r e m j e g o m y śli. R o z b ie ż n o ś c i m ię d z y n im i d o t y c z y ł y g ł ó w n i e m o ż l i w o ś c i p r z e d s t a w i e n i a tw ó r c z e j m y śli m a te m a t y c z n e j w j ę z y k u lo g ik i s y m b o l i c z n e j . B r o u w e r o d n i ó s ł się z d e c y d o w a n i e n e g a t y w n i e do p o d j ę t e j p r z e z H e y t i n g a a k s j o m a t y z a c j i (z d a n io w e j) logiki in tu ic jo n is ty c z n e j, u w a ż a ją c , że d y n a m i c z n e j i n ig d y n ie z a m k n ię te j d z ie d z in y m y ś l o w e j a k t y w n o ś c i c z ł o w i e k a nie d a się o p is a ć w ję z y k u logiki m a ją c e j c h a r a k t e r s ta ty c z n y . T r z e b a j e d n a k z a u w a ż y ć , że w k w e s t i a c h d o t y c z ą c y c h p r z e d m i o t u m a t e m a t y k i i lo g ik i in t u i c j o n i s t y c z n e j z a s a d n ic z o n i e by ło m ię d z y n im i r ó ż n ic y z d ań . Dr B o ż e n a C z e r n e c k a - W y d z i a ł F i l o z o f i i K U L , Katedra L o g ik i; adres d o k o re sp o nd e n c ji: A L . R a c ł a w i c k i e 14, 2 0 - 9 5 0 Lu b lin . 1 A . H e y t i n g , I n t u i t i o n i s m . A n I n t r o d u c t i o n , A m s t e r d a m 1 9 6 6 , s. 12.
1 5 2 B O Ż E N A C Z E R N E C K A W l i t e r a tu r z e f i l o z o f i c z n o - l o g i c z n e j m o ż n a s p o tk a ć o p in ie, iż w s z y s t k i e o d p o w i e d z i d o ty c z ą c e p r z e d m i o t u lo g ik i f o r m a ln e j (p rzy u w z g l ę d n i e n i u w s z y s t k i c h m o ż l i w y c h p o d e jś ć ) d a d z ą się, p o d o k o n a n i u p e w n y c h u p r o s z c z e ń , s p r o w a d z i ć d o trz e c h p o d s t a w o w y c h . P i e r w s z e , z w a n e id e a l i z m e m lo g ic z n y m lu b p l a t o n i z m e m , u m i e s z c z a p r z e d m i o t lo g ik i w s fe rz e b y tó w id e a ln y c h . D r u g ie , z w a n e n o m i n a l i z m e m l o g i c z n y m , s p r o w a d z a p r z e d m i o t lo g ik i do s a m y c h w y r a ż e ń j ę z y k o w y c h . W r e s z c i e o s ta tn ie , z w a n e r e a liz m e m lo g ic z n y m , u t o ż s a m i a p r z e d m i o t lo g ik i z c z y m ś ze ś w ia ta r e a ln e g o . O p ró c z ty ch trz e c h p o d s t a w o w y c h s ta n o w i s k w y r ó ż n i a s ię c z a s a m i k o n s t r u k t y w i z m , w e d ł u g k t ó r e g o p r z e d m i o t lo g ik i s t a n o w i ą k o n s t r u k c j e m e n ta ln e , o r a z f i k c jo n a liz m , k tó ry u w a ż a p r z e d m i o t lo g ik i za fik c je . I s t n i e j ą o c z y w i ś c i e r ó ż n e o d m i a n y w y ż e j w y m i e n i o n y c h s ta n o w is k . W z w i ą z k u z p o w y ż s z y m z a p y ta jm y : co j e s t s z e ro k o p o ję ty m p r z e d m i o t e m lo g ik i i n t u i c j o n is ty c z n e j - c z y ja k i e ś b y t y id e a ln e , c z y w y r a ż e n i a j ę z y k o w e , c z y też c o ś ze ś w ia ta re a ln e g o ? H e y t i n g p is z e , że in tu ic jo n iś c i b a d a j ą m y ś l o w e k o n s t r u k c j e m a t e m a t y c z n e j a k o t a k i e i że d o ta k ic h b a d a ń lo g ik a k l a s y c z n a j e s t n i e a d e k w a t n a 2. R o d z i się j e d n a k p y ta n ie , w j a k i m a s p e k c ie s ą b a d a n e te k o n s t r u k c j e m a te m a t y c z n e i co g ł o s z ą b ą d ź s t w i e r d z a j ą p r a w a lo g ik i in tu i c j o n is ty c z n e j. Z a n im j e d n a k p o d e j m i e się p r ó b ę u k a z a n ia tego, c z e g o d o t y c z ą p r a w a lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j, p o p r z e z a n a l i z ę te k stu H e y tin g a , a ta k ż e in n y c h z w o l e n n i k ó w in tu ic jo n iz m u , tr z e b a , ty tu łe m w s tę p u , w y p o w i e d z i e ć k ilk a u w a g o p r z e d m i o c i e lo g ik i k l a s y c z n e j . N a ten o s ta tn i te m a t n i e k tó r z y a u to r z y n i e k i e d y m a r g in a ln ie j u ż p isa li. N ie m a n a t o m i a s t p rac z f ilo z o fii lo g ik i, k tó r e b y ły b y p o ś w i ę c o n e w p r o s t z a g a d n i e n i u p r z e d m i o t u lo g ik i in tu i c jo n is ty c z n e j. O s o b n ą r o z p r a w ę p o ś w i ę c o n ą p r z e d m i o t o w i lo g ik i fo r m a ln e j n a p is a ł J. M . B o c h e ń s k i. W e d ł u g n ie g o , p r z e d m i o t o n to lo g ii - b y ty r e a l n e - je s t c z ę ś c i ą w ł a ś c i w ą p r z e d m i o t u lo g ik i f o r m a l n e j . Z a J a n e m od św . T o m a s z a (X V I I w ie k ) B o c h e ń s k i p r z y j m u j e , że p r z e d m i o t e m lo g ik i f o r m a ln e j j e s t b y t n a d t r a n s c e n d e n t a l n y , tj. b y t w y a b s t r a h o w a n y z b y tu r e a l n e g o i b y tu i d e a ln e g o 2. I n n y m i sło w y , lo g ik a j e s t n a j o g ó l n i e j s z ą t e o r i ą p r z e d m i o t ó w , j e s t o n to - l o g i ą z a r ó w n o b y tó w r e a ln y c h , j a k i i d e a l n y c h . L o g i k a f o r m a ln a , p o d o b n i e j a k o n to lo g ia , f o r m u ł u j e s w o je t w i e r d z e n i a w j ę z y k u p r z e d m i o t o w y m . 2 T a m ż e , s. 3. J J. M . B o c h e ń s k i, L o g i k a i o n t o l o g i a , w: t e n ż e, L o g i k a i f i l o z o f i a , red. J. Pa- v_\s. W a r s z a w a 1 9 9 3 . s. 129. 4 T a m ż e , s. 116, 129.
P R Z E D M IO T LO G IK I IN TU IC JO N IS TY C ZN E J 1 5 3 W a ż n ą te z ę z w i ą z a n ą z p r z e d m i o t e m lo g ik i k l a s y c z n e j w y p o w i e d z i a ł ta k ż e K. A j d u k i e w i c z , p is z ą c , że k a ż d e tw i e r d z e n i e lo g ic z n e s t w i e r d z a p e w ie n o b i e k t y w n y z w i ą z e k m i ę d z y s ta n a m i r z e c z y 5. P r a w d z i w o ś c i o w e s p ó jn ik i lo g ic z n e k l a s y c z n e g o r a c h u n k u z d a ń p o z w a l a j ą o p i s y w a ć z a le ż n o ś c i m ię d z y d o w o l n y m i s ta n a m i rz e c z y . G d y m a m y ja k ie ś d w a s tan y rz e c z y ( je d e n z nich o p i s y w a n y w z d a n iu
p,
d ru g i w z d a n iuq),
w ó w c z a s r ó ż n e „ m e c h a n i z m y ” m o g ą s ta n o w ić o ty m , że w o k r e ś l o n y s p o s ó b o n e w s p ó ł w y s t ę p u j ą lu b że tak się n ie d z ie je . R o z u m i e się to w te n s p o s ó b , że w ś w ie c ie , w k t ó r y m te s tan y rz e c z y z a c h o d z ą , is tn ie ją r ó w n i e ż o k r e ś lo n e z w ią z k i, o k r e ś l o n e r e la c je m ię d z y n im i. „ I te w ła ś n ie - w p e w n y m a b s t r a k c y j n y m sen sie r e a ln e z w ią z k i - m a ją s w ó j s w o i ś c i e ik o n ic z n y o d p o w i e d n i k w j ę z y k u , o p e r u j ą c y m o d p o w i e d n i m i s p ó j n i k a m i ” 6. W e d ł u g k o n c e p c ji in s p i r o w a n e j w y p o w i e d z i ą A j d u k i e w i c z a , l o g i k a je s t t e o r i ą z w i ą z k ó w z a c h o d z ą c y c h b e z w y j ą t k o w o p o m i ę d z y r ó ż n e g o ty p u istn o ś- c ia m i, o k tó r y c h to z w i ą z k a c h m ó w i ą w s z y s t k i e n a u k i u j m u j ą c e św ia t w a s p e k c ie o n t o l o g i c z n y m 7. Z w i ą z k i te s ą n i e k i e d y b a r d z o s k o m p l i k o w a n e , lecz o p i e r a j ą się na in n y c h p r o s t y c h z w ią z k a c h , ta k ic h j a k z w i ą z e k w s p ó ł- z a c h o d z e n i a d w ó c h f a k t ó w ( z w i ą z e k k o n iu n k c ji) , z w i ą z e k n i e w s p ó ł z a c h o - d z e n ia d w ó c h f a k tó w ( z w i ą z e k d y s ju n k c ji) , z w i ą z e k n i e w s p ó ł n i e z a c h o d z e n i a d w ó c h fa k tó w ( z w i ą z e k a lte r n a ty w y ) , z w ią z e k w s p ó ł n i e z a c h o d z e n i a d w ó c h fa k tó w ( z w ią z e k b in e g a c ji) , z w i ą z e k z g o d n o ś c i d w ó c h f a k t ó w p o d w z g l ę d e m ich z a c h o d z e n i a ( z w ią z e k r ó w n o w a ż n o ś c i ) , z w i ą z e k n ie z g o d n o ś c i d w ó c h fa k tó w pod w z g lę d e m ich z a c h o d z e n i a ( z w ią z e k a lte r n a ty w y r o z ł ą c z n e j ) 8.P rz y p o d e jś c iu , w k t ó r y m istn o śc i (fak ty ) tra k tu je się p o z a k a t e g o r i a l n i e , m o ż n a po s tr o n ie r z e c z y w i s t o ś c i w s k a z a ć b a r d z o o g ó l n e re la c je , k tó r e u ję te p o z n a w c z o , b y ły b y w y r a ż o n e p r z e z te z y k la s y c z n e j lo g ik i z d a n io w e j. D la p r z y k ła d u p r a w o s y m p lif ik a c ji d la k o n iu n k c ji s tw ie r d z a , że je ś l i w s p ó ł z a c h o - d z ą d w ie is tn o ś c i, to k a ż d a z n ic h o s o b n o też z a c h o d z i. P r a w o w y ł ą c z o n e g o ś r o d k a (o n to lo g ic z n e ) s t w ie r d z a , że z d w ó c h s p r z e c z n y c h s t a n ó w r z e c z y j e d e n z a c h o d z i, c z y li s tw ie r d z a z w i ą z e k n i e w s p ó ł z a j ś c i a fa k tu i n i e z a j ś c i a te g o ż fa k tu . Z k o le i p r a w o t r a n s p o z y c j i s tw ie rd z a , że je ś l i ś w ia t j e s t tak i, że: je ś li
5 K. A j d u k i e w i c z. Z a r y s l o g i k i . W a r s z a w a 1 96 0. s. 5-6. 6 E . Ż a r n e c k a - B i a t y, M a ł a lo g ik a . P o d s t a w y l o g i c z n e j a n a l i z y t e k s t ó w , w n i o s k o w a n i a i a r g u m e n t a c j i . K r a k ó w 1 9 9 0 , s. 3 8. 7 S. K i c z u k, P r z e d m i o t l o g i k i f o r m a l n e j w u j ę c i u J. M. B o c h e ń s k i e g o . „ R o c z n i k i F i l o z o f i c z n e ” , 4 6 - 4 7 ( 1 9 9 8 - 1 9 9 9 ) , z. 1. s. 8 6. 8 T e n ż e , U w a g i o p r z e d m i o c i e l o g i k i f o r m a l n e j . „ R o c z n i k i F i l o z o f i c z n e ” , 4 3 ( 1 9 9 5 ) , z. 1. s. 50 .
154 B O ŻEN A C Z E R N E C K A
p ,
toq,
to ś w ia t je s t taki, że je ś linie-q,
tonie-p.
N a p r z y k ł a d je ś li ś w ia t je s t tak i, że je ś li k to ś zje tr u ją c e g r z y b y , to m a b o le ś c i b r z u c h a , to ś w ia t j e s t taki, ż e je ś li k to ś n ie m a b o le ś c i b r z u c h a , to n ie z ja d ł tr u ją c y c h g r z y b ó w 9. S tałe lo g ic z n e z d a n i o w e j lo g ik i k la s y c z n e j z n a j d u j ą w ię c ja k i e ś o d z w i e r c i e d l e n i e w s a m e j r z e c z y w i s t o ś c i u ję te j w b a d a n ia c h o n a s t a w i e n i u o n t o l o g i c z n y m .Z d a n i e m A. B. S t ę p n i a 10, tw ie r d z e n ia lo g ik i f o r m a ln e j m o ż n a in t e r p r e t o w a ć co n a j m n i e j d w o ja k o : j a k o d o t y c z ą c e z w i ą z k ó w p o m i ę d z y s ta n a m i rz e c z y (a w ię c tak , j a k to w y ż e j p r z e d s t a w i l i ś m y ) lub ja k o d o t y c z ą c e z w ią z k ó w p o m i ę d z y w y r a ż e n i a m i j ę z y k o w y m i . P o n ie w a ż j e d n a k m e t a j ę z y k o w y m o d p o w ie d n i k i e m is tn ie n ia ( z a c h o d z e n ia ) j e s t p r a w d a , w y d a je się, że te d w i e in te r p r e ta c je w c a le się ze s o b ą n ie kłó cą. W y ż e j w y m i e n i o n y m z w i ą z k o m m ię d z y f a k ta m i o d p o w i a d a j ą ( o d p o w i e d n i o ) w m e t a j ę z y k u n a s t ę p u j ą c e zw iązki: w s p ó ł p r a w d z i w o ś c i d w ó c h z d a ń , n i e w s p ó ł p r a w d z i w o ś c i d w ó c h z d a ń , nie- w s p ó ł f a ł s z y w o ś c i d w ó c h z d a ń , w s p ó ł f a ł s z y w o ś c i d w ó c h z d a ń , z g o d n o ś c i d w ó c h z d a ń p o d w z g l ę d e m p r a w d y i fa łs z u , n i e z g o d n o ś c i d w ó c h z d a ń pod w z g l ę d e m p r a w d y i f a ł s z u 11. W r ó ć m y j e s z c z e do te z y B o c h e ń s k i e g o , że lo g ik a k l a s y c z n a j e s t n a j o g ó l n i e j s z ą t e o r i ą p r z e d m i o t ó w ( o n t o l o g i ą b y tó w re a ln y c h i i d e a ln y c h ) . C zy m o ż n a j ą p o g o d z i ć z p o g l ą d e m A j d u k i e w i c z a ? W y d a j e się, że tak, g d y ż n a j o g ó l n i e j s z a te o ria p r z e d m i o t ó w , w u ję c iu B o c h e ń s k i e g o , o p is u je te p r z e d m io ty p r z e z ich n a d t r a n s c e n d e n t a l n e c e c h y w z g lę d n e , czy li p r z e z r e la c je d o in n y c h p r z e d m i o t ó w . N ie je s t o n a t e o r i ą c e c h w s p ó l n y c h w s z y s t k i m b y t o m ani te o r ią a s p e k t ó w b y tu w y k r y w a l n y c h p r z e z a n a liz ę k a t e g o r i i 12. M o ż n a w ię c p o w i e d z ie ć , że o p i s u j e z w ią z k i m i ę d z y p r z e d m i o t a m i , a b s tr a h u ją c w p e w n y m se n sie od c z ł o n ó w ty ch z w i ą z k ó w . O p i s y w a n e z w i ą z k i s ą ta k o g ó ln e , że z a c h o d z ą p o m i ę d z y j a k i m i k o l w i e k b y ta m i ( p r z e d m i o t a m i ) , z a r ó w n o r e a l n y m i , j a k i id e a ln y m i. I n n y m i sło w y , f u n k to r y lo g ik i k l a s y c z n e j m a j ą s z e r o k i e p o le n e u tr a ln o ś c i tr e ś c io w e j. P o j a w i a j ą się w d y s k u r s a c h d o t y c z ą c y c h w s z e l k i c h t e m a tó w , z a r ó w n o w j ę z y k u c o d z i e n n y m , j a k i w ję z y k a c h w s z y s t k i c h d y s c y p lin n a u k o w y c h 13. 9 A . G r z e g o r c z y k , N i e k l a s y c z n e r a c h u n k i z d a ń a m e t o d o l o g i c z n e s c h e m a t y b a d a n i a n a u k o w e g o i d e f i n i c j e p o j ę ć a s e r t y w n y c h , „ S tu d i a L o g i c a ” , 2 7 ( 1 9 7 1 ) , s. 118. 10 W p r o w a d z e n i e d o m e t a f i z y k i , K r a k ó w 1 9 6 4 , s. 2 2 6 . n Z, K r a s z e w s k i , L o g i k a . N a u k a r o z u m o w a n i a , W a r s z a w a 1 9 8 4 , s. 7 5 - 7 6 . 12 B o c h e ń s k i , L o g i k a , s. 115. l3 B. S t a n o s z, W p r o w a d z e n i e d o l o g i k i f o r m a l n e j . P o d r ę c z n i k d l a h u m a n i s t ó w , W a r s z a w a 1 9 9 8 , s. 10 o r a z J. H e r b u t, P r o b l e m u ż y t e c z n o ś c i l o g i k i w u p r a w i a n i u f i l o z o f i i , w: F i l o z o f i a - w z l o t y i u p a d k i . X X X I X T y d z i e ń F i l o z o f i c z n y K U L , red. A . G u d a n i e c , A . N y g a , L u b lin 1998 , s. 4 1 .
P R Z E D M IO T L O G IK I IN TU IC JO N IS TY C ZN E J 155 D o d a j m y , że lo g ik a k l a s y c z n a p o w s t a ł a w z w ią z k u z b a d a n i e m b a r d z o o g ó l n y c h re la c ji z a c h o d z ą c y c h m i ę d z y p r z e d m i o t a m i re a ln y m i. T a k ą k o n c e p cję p r a w lo g ik i r e p r e z e n t o w a ł , j a k s ię w y d a je , G. F reg e. W e d ł u g te g o z n a k o m ite g o lo g ik a , p r a w a lo g ik i k l a s y c z n e j s ą n a jb a r d z ie j o g ó l n y m i p r a w d a m i o r z e c z y w i s t o ś c i , ta k f u n d a m e n t a l n y m i , że ż a d n e g łę b s z e ich u s p r a w i e d l i w i e n i e n ie j e s t m o ż l i w e 14. N a o n t o l o g i c z n y p u n k t w y j ś c i a lo g ik i k l a s y c z n e j z w r a c a u w a g ę A. G r z e g o r c z y k . P is z e on: „ W u ję c iu k l a s y c z n y m lo g ik a j e s t j a k b y n a j o g ó l n i e j s z ą o n to lo g ią . P r z y j m u j e się, że r e f l e k s j a o g ó l n o o n t o l o g i c z n a je s t w c z e ś n i e j s z a lo g ic z n ie o d re fle k s ji m e t o d o l o g i c z n e j c z y t e o r i o p o z n a w c z e j i stą d j e s t o d tej d r u g ie j n ie z a le ż n a , j a k o że s t a n o w i p o d s t a w ę d la n iej i dla c a łe j n a u k i o ś w i e c i e ” 15 P r a w a lo g ik i k l a s y c z n e j s tw i e r d z a j ą o g ó l n e i o b i e k ty w n e z w ią z k i m ię d z y s t a n a m i r z e c z y , z d a r z e n i a m i , f a k ta m i. T e j o s ta tn ie j tezy G r z e g o r c z y k a z p e w n o ś c i ą n ie m o ż n a o d n ie ś ć d o lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j. „ O n t o l o g i ę ” w y z n a c z a j ą tu n ie s tan y r z e c z y , le c z ra c z e j r ó ż n e m a t e m a t y c z n e k o n s t r u k c j e 16. D l a i n tu ic jo n is tó w r e fle k s ja , k t ó r ą m o ż n a o g ó l n i e n a z w a ć t e o r i o p o z n a w c z ą (lu b m e t o d o l o g i c z n ą ) , p o p r z e d z a w s z e l k i e in n e r o z w a ż a n i a . A. K o ł m o g o r o w 17 s t w i e r d z a w p r o s t, iż - w e d ł u g i n t u i c j o n is tó w - m a t e m a t y k a ( lo g ik a ) n ie j e s t n a u k ą b a d a j ą c ą o b ie k ty l e ż ą c e n a z e w n ą tr z n a s, le c z je s t s w o i s t ą „ d z i a ł a l n o ś c i ą ” t w ó r c z ą w z a k r e s ie b u d o w a n i a k o n s tr u k c ji m y ś l o w y c h . H e y tin g p o d k r e ś l a , że m y ś l m a t e m a t y c z n a n ie k o m u n ik u je p r a w d o ś w ie c ie z e w n ę t r z n y m , le c z z a j m u j e się w y ł ą c z n i e k o n s t r u k c ja m i m y ś l o w y m i . P r z e d m i o t y m a t e m a t y c z n e n ie is tn ie ją n ie z a l e ż n i e o d n a szej w i e d z y o n ic h (ich
esse est concipi
a lb o lepiej:construere).
K a ż d e t w i e r d z e n ie m a t e m a t y c z n e j e s t - z d a n i e m H e y t i n g a - s tw ie r d z e n ie m , ż e z o s ta ła w y k o n a n a p e w n a k o n s t r u k c j a m a t e m a t y c z n a 18. L o g ik a n a t o m i a s t z o s ta ła , w e d ł u g n ie g o , w y a b s t r a h o w a n a z m a te m a ty k i. W c e lu u s ta le ń d o t y c z ą c y c h p r z e d m i o t u lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j p r z e a n a liz u jm y za H e y tin g ie m s p o s ó b , w j a k i p o w s t a j ą p r a w a i n t u i c j o n i s t y c z n e g o r a c h u n k u z d a ń . WIntuitionism
h o l e n d e r s k i lo g i k i m a t e m a t y k d o k o n u j e a n a 14 0 . L i n n e b o, F r e g e ' s C o n c e p t i o n o f L o g i c : f r o m K a n t to „ G r u n d g e s e t z e " , w: l l ' h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f L o g i c , M e t h o d o l o g y a n d P h i l o s o p h y o f S c i e n c e . V o l u m e o f A b s t r a c t s , K r a k ó w 1 9 9 9 , s. 4 3 4 . 15 G r z e g o r c z y k , N i e k l a s y c z n e r a c h u n k i , s. 118 , ora z t e n ż e , U w a g i o r o z u m i e niu p r a w lo g ik i. „ M y ś l F i l o z o f i c z n a ” , 1 ( 1 9 5 5 ) , s. 2 1 3 - 2 1 4 . 16 Z d a n i e m B o c h e ń s k i e g o , l o g i k a H e y t i n g a j e s t t a k ż e p r z y k ł a d e m s y s t e m u l o g i c z n e g o , który w c i e l a i o p r a c o w u j e p e w n e in tu ic je o n t o l o g i c z n e . M o ż e b y ć o n a p o ję ta j a k o o n t o l o g i ą r e g i o n a l n a . Z o b . B o c h e ń s k i , L o g i k a , s. 130. 17 O m a t e m a t y c e , W a r s z a w a 1 9 5 5 , s. 8 3. 18 H e y t i n g , I n t u i t i o n i s m , s. 3.156 B O Ż E N A CZ E R N E C K A
lizy g e n e z y p r a w a s y l o g i z m u w a r u n k o w e g o (w p o s ta c i k o n i u n k c y j n e j ) . W p r o w a d z a tu n a s t ę p u j ą c e o z n a c z e n ia : p r z e z A o z n a c z a w ł a s n o ś ć p o d z i e l n o ś c i ja k i e j ś l ic z b y c a łk o w ite j p r z e z 8, lite ra B o z n a c z a w ł a s n o ś ć p o d z i e l n o ś c i tej lic z b y p r z e z 4, a litera C o z n a c z a w ła s n o ś ć p o d z i e l n o ś c i te jż e l ic z b y p r z e z 2. W d a ls z e j k o le jn o ś c i H e y t i n g w y k o n u j e n a s t ę p u j ą c ą k o n s t r u k c j ę m a t e m a ty c z n ą : z a m i a s t 8
a
p is z e 4 x 2 a , k t ó r ą to k o n s t r u k c j ę , tj. 4 x 2 a , o z n a c z a p rz e z P. N a p o d s t a w i e tej k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n e j w id a ć , że w ł a s n o ś ć A j a k ie jś l ic z b y c a łk o w ite j p o c i ą g a z a s o b ą w ł a s n o ś ć B te jż e l ic z b y (A —> B). N a s t ę p n ie H e y tin g z a m ia s t 4a
p is z e 2 x 2a.
T ę o s t a t n i ą k o n s t r u k c j ę o z n a c z a p r z e z Q. N a p o d s t a w i e tej k o n s tr u k c ji d o s t r z e g a , że w ł a s n o ś ć B p o c i ą g a z a s o b ą w ł a s n o ś ć C (B —> C ). P o p r z e z w y k o n a n i e k o n s tr u k c ji P, a p o t e m k o n s tr u k c ji Q (z e s ta w ia ją c o b o k s ie b ie P i Q ), o t r z y m u j e m y 8a =
2 x ( 2 x 2 a ) , p o k a z u j ą c w ten s p o s ó b , że A ^ C. T e n to k p o s t ę p o w a n i a p o z o s t a j e o b o w i ą z u j ą c y , je ż e li za A, B, C p o d s t a w i m y in n e d o w o l n e w ła s n o ś c i. T a k w ię c , p i s z e H e y ting, je ż e l i k o n s t r u k c j a P u w y d a t n i a , że A —> B, i k o n s t r u k c j a Q p o k a z u je , iż B —> C , to z e s t a w i e n i e P i Q u w y d a tn ia , że A —> C. W ten s p o s ó b o t r z y m a liś m y tw i e r d z e n i e l o g i c z n e 19.T w i e r d z e n i e to - n a j o g ó l n i e j r z e c z u jm u ją c - s t w i e r d z a , że „ m o ż e być w y k a z a n e ( is tn ie je e f e k t y w n a p r o c e d u r a - w ty m w y p a d k u k o n s tr u k c ja ) , że je ż e l i m o ż e b y ć w y k a z a n e , że j e s t tak, iż (p —> q) a (q —ż r), to m o ż e b y ć
w y k a z a n e , że j e s t tak , iż (p —> r ) ” , a w ię c (p — > q) a (q —> r) —> (p —» r). W ś w ie tle f a k tu , że z d a n ia , k tó r e m o ż n a p o d s t a w i a ć za z m i e n n e p, q i r, o p i s u j ą o d p o w i e d n i o w ł a s n o ś c i A , B i C, m o ż n a p o w i e d z i e ć , że w p r a w i e ty m s ą s tw ie r d z a n e p e w n e z a l e ż n o ś c i p o m i ę d z y w ł a s n o ś c i a m i , ale s tw ie r d z a n e n a p o d s t a w i e u p r z e d n i o d o k o n a n y c h i p o z n a n y c h m y ś l o w y c h k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n y c h . H e y tin g p is z e , że sp o s ó b , w j a k i z o s ta ło w y d e d u k o w a n e to tw i e r d z e n i e lo g ic z n e , w s k a z u j e n a m , że n ie r ó ż n i się o n o is to tn ie od t w i e r d z e ń m a te m a t y c z n y c h . P o p r o s tu to tw i e r d z e n i e i k a ż d e in n e tw ie r d z e n ie lo g ic z n e j e s t tw i e r d z e n i e m m a t e m a t y c z n y m n a j w i ę k s z e j o g ó l n o ś c i 20. W in n y m m ie js c u H e y t i n g p is z e , iż m a te m a t y c z n e w y ra ż e n ie : „ 2 + 2 = 3 + 1 ” p o w i n n o b y ć t r a k t o w a n e j a k o s k r ó t n a s t ę p u j ą c e g o tw ie r d z e n ia : „ w y k o n a ł e m k o n s t r u k c j e m y ś l o w e w s k a z a n e p r z e z « 2 + 2 » o ra z « 3 + 1 » i s tw ie r d z iłe m , że p r o w a d z ą o n e d o te g o s a m e g o r e z u l t a t u ”21. W y d a j e się, że p o w y ż s z e t w i e r d z e n ie m a t e m a t y c z n e s t w i e r d z a z a le ż n o ś ć p o m i ę d z y w ł a s n o ś c i a m i lic z b y 4 19 T a m ż e , s. 6. 20 T a m ż e . 21 T a m ż e , s. 8.
P R Z E D M IO T LOGIKI I N T U IC JO N IS T Y C Z N E J 1 5 7 z w i ą z a n y m i ze s p o s o b a m i je j o tr z y m a n i a , k t ó r ą to z a le ż n o ś ć m o ż n a d o s tr z e c na p o d s t a w i e d w ó c h w y k o n a n y c h k o n s tr u k c ji m y ś l o w y c h , g d z ie p rz y k o n s t r u o w a n i u w g rę w c h o d z i ł y lic z b y n a tu r a ln e ( f u n d a m e n t a l n e tw o ry d la m a t e m a ty k i i n t u ic jo n is ty c z n e j) . W ra m a c h k ró tk ie j d y g r e s ji z a u w a ż m y , że H e y t i n g i B r o u w e r m ó w i ą o ty m , iż lo g i k a j e s t a b s t r a k c j ą z m a t e m a t y k i , a p r a w a lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j p o w s t a j ą n a d r o d z e , k t ó r ą w y ż e j o p is a liś m y , a n a l i z u j ą c te k s ty H e y tin g a . F a k te m j e s t j e d n a k , że lo g ik a i n t u i c jo n is ty c z n a p o w s t a ł a n ie w d r o d z e a b s tra k c ji z j a k i e j ś k o n k r e tn e j c z ę ś c i m a t e m a t y k i (np. z a r y t m e t y k i , k tó r a b y ła u w a ż a n a p rz e z i n t u ic jo n is tó w za n a c z e l n ą d y s c y p l i n ę m a t e m a t y c z n ą ) , le c z z r o d z iła się n a p o d s t a w i e p r o c e d u r s t o s o w a n y c h j u ż d a w n i e j p r z e z l o g ik ę k la s y c z n ą . H e y ting, j a k w i a d o m o , p rz e d s ta w i! in tu i c j o n i s t y c z n y r a c h u n e k z d a ń w p o sta c i a k s j o m a t y c z n e j w taki s p o s ó b , aby nie b y ło m o ż l i w e w y p r o w a d z e n i e z a k s j o m a tó w p r a w a w y ł ą c z o n e g o ś r o d k a o r a z m o c n e g o p r a w a p o d w ó j n e j n e g a c ji. T a k w ię c g e n e z a p ra w lo g ik i i n t u i c j o n is ty c z n e j w y d a j e się in n a od tej, k tó r ą p r z e d s t a w i ł H e y t i n g n a p r z y k ł a d z i e p r a w a s y l o g i z m u w a r u n k o w e g o . B a rd z ie j k o n s e k w e n t n y b y łb y w tej m ie r z e B r o u w e r , k t ó r y o d r z u c a j ą c a k s jo m a t y c z n ą m e t o d ę k o n s t r u o w a n i a lo g ik i, u w a ż a , iż w z a s a d z i e n ig d y n ie m o ż n a być p e w n y m n i e z a w o d n o ś c i o g ó l n y c h p ra w - k a ż d e p o d s t a w i e n i e w i n n o być o d d z ie ln ie s p r a w d z a n e p r z e z o d n i e s i e n i e do f a k t y c z n i e w y k o n a n y c h k o n s t r u k cji m a t e m a t y c z n y c h . W s z y s t k i e p r a w a l o g i c z n e b y ły b y w ię c p ó ź n i e j s z e (i z a le ż n e ) o d p ra w m a t e m a t y c z n y c h .
R ó w n i e ż w s p r a w i e teg o , co s t w i e r d z a t w i e r d z e n i e m a te m a t y c z n e (p ra w o lo g ic z n e ) , a w ię c w k w e s tii p r z e d m i o t u lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j, s t a n o w is k o H e y t i n g a w y d a j e się n i e s p ó jn e . J e g o p r o g r a m o w e d e k l a r a c j e te o r e ty c z n e z d a ją się b o w i e m k łó c ić z f a k t y c z n i e p o d a w a n y m i p r z y k ł a d a m i . N a s tro n ie 3
Intui-
tionism
o r a z w w ie lu in n y c h p ra c a c h H e y t i n g p is z e , iż tw i e r d z e n i e m a t e m a ty c z n e ( lo g ic z n e ) je s t s t w i e r d z e n i e m , że z o s ta ła w y k o n a n a p e w n a k o n s tr u k c ja m a t e m a t y c z n a . T y m c z a s e m z o d c z y t a n i a s y m b o l i c z n i e z a p i s a n e g o t w ie r d z e n ia n a s tr o n ie 8 m o ż n a w n i o s k o w a ć , ż e w t w i e r d z e n i u ty m j e s t s t w ie r d z a n a z a l e ż n o ś ć m ię d z y d w i e m a w ł a s n o ś c i a m i l ic z b y 4, k t ó r ą to z a l e ż n o ś ć m o ż n a d o s tr z e c n a p o d s t a w i e d w ó c h w y k o n a n y c h k o n s tr u k c ji m y ś lo w y c h . To, ż e p r a w a m a t e m a t y k i i n t u i c j o n is ty c z n e j s t w i e r d z a j ą w ła ś n ie z a le ż n o ś c i m ię d z y p e w n y m i w ł a s n o ś c i a m i , w y n i k a ta k ż e z a n a liz H e y t i n g a u k a z a n y c h n a s tro n ie 6Intuitionism.
Je śli u w z g l ę d n i ć a n a l i z o w a n y w y ż e j p r z y k ł a d H e y t i n g a d o t y c z ą c y s p o s o b u o t r z y m a n i a p r a w a s y l o g i z m u w a r u n k o w e g o , to nie w y d a j e się w ła ś c iw e s tw ie r d z e n ie , iż lo g ik a in t u i c j o n i s t y c z n a d o ty c z y „ p r z e p r o w a d z a n i a d o w o ln y c h1 5 8 B O Ż E N A C Z E R N E C K A k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n y c h ”22. P r z e p r o w a d z a n i e m k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n y c h z a j m u j e się m a t e m a t y k - i n t u i c j o n i s t a . W p r a w a c h zaś lo g ik i in tu ic jo n is - ty c z n e j s tw ie r d z a n e s ą - o g ó l n i e m ó w i ą c - p e w n e z a le ż n o ś c i p o m i ę d z y d o w o l n y m i w ł a s n o ś c i a m i ( s p o s o b a m i o t r z y m a n i a ) liczb , f i g u r g e o m e t r y c z n y c h , z b io r ó w , k tó r e to z a le ż n o ś c i m o ż n a d o s t r z e c n a p o d s t a w i e w y k o n a n y c h m y ś lo w y c h k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n y c h . N a to o s ta tn ie s tw i e r d z e n i e n a p r o w a d z a j ą r ó w n ie ż u w a g i w y p o w i e d z i a n e p rz e z h o l e n d e r s k i e g o l o g ik a na k o n g r e s ie w P a ry ż u . H e y tin g z d a je się tu tw ie r d z ić , że p r a w a lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j to p r a w a m a te m a t y c z n e b a r d z o o g ó l n e j n a t u r y , m i a n o w i c i e p r a w a o p e w n y c h p r o s t y c h o p e r a c ja c h n a k o n s t r u k c j a c h 23. P o j a w i a j ą się o n e w te d y , g d y lo g ik in tu ic jo n is ty c z n y o p is u je b a r d z o o g ó l n e o p e r a c j e na n a s z y c h m y ś l o w y c h k o n s t r u k c ja c h m a te m a t y c z n y c h . W a n a l i z o w a n y m p r z e z H e y t i n g a p rz y k ła d z ie o g ó l n ą o p i s y w a n ą o p e r a c j ą b y ła o p e r a c j a z e s t a w i a n i a k o n s tr u k c ji P i Q o b o k siebie. M o ż n a z a te m p o w ie d z ie ć , że p r a w a lo g ik i i n t u i c jo n is ty c z n e j s t w i e r d z a j ą p e w n e r e g u la r n o ś c i, p e w n e z a le ż n o ś c i, le c z z c a ł ą p e w n o ś c i ą n ie s ą to z w i ą z ki m ię d z y o b i e k t y w n i e i s t n ie ją c y m i p r z e d m i o t a m i . P r a w a lo g ik i in tu i c j o n i s ty c z n e j n ie b ę d ą n a p e w n o w y z n a c z o n e p r z e z p r o s te z w ią z k i w s p ó lz a jś c ia , n i e w s p ó ł z a j ś c i a , n i e w s p ó ł n i e z a j ś c i a d w ó c h is tn ie ją c y c h n i e z a l e ż n i e o d p o d m io tu f a k tó w , z d a r z e ń itp. A. S. T r o e l s t r a ta k ie r e g u la r n o ś c i, k tó r y c h d o t y c z ą p r a w a lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j, n a z y w a l i n g w i s t y c z n y m i 24. P o d s t a w ą do t a k ie g o s t w ie r d z e n ia s ą w y p o w i e d z i B r o u w e r a m ó w i ą c e o ty m , iż p r a w a lo g ik i o p i s u j ą r e g u la r n o ś c i o tr z y m a n e w s y s t e m a c h j ę z y k o w y c h . Z ko lei te j ę z y k o w e r e g u la r n o ś c i z a c h o d z ą j e d y n i e d la te g o , że m o ż n a w y k o n a ć o d p o w i e d n i ą k o n s tr u k c ję m a t e m a t y c z n ą . B r o u w e r p is z e te ż , że lo g ik a j e s t n a u k ą o r e g u ła c h „ p r z e j ś c i a ” od j e d n y c h z d a ń do i n n y c h , tj. o d z d a ń z d a j ą c y c h s p r a w ę z w y k o n a n ia p e w n y c h k o n s tr u k c ji do z d a n i a o m o ż l i w o ś c i f a k t y c z n e g o w y k o n a n i a in n e j k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n e j . I n n y m i s ło w y , p r a w a lo g ik i s ą - w e d łu g B r o u w e r a - r a p o r ta m i z d z i a ł a l n o ś c i m a t e m a t y k a . W m i a r ę r o z w o j u w ie d z y m a te m a t y c z n e j m o g ą b y ć o d k r y w a n e n o w e m e t o d y p r z e p r o w a d z a n i a k o n s t r u k cji. Z tej racji „ l o g ik a je s t n a u k ą e m p i r y c z n ą [...] p o w i n n a b y ć b a d a n a ta k j a k e t n o g r a f i a ” 23. 22 G r z e g o r c z y k , N i e k l a s y c z n e r a c h u n k i , s. 119. 23 A. H e y t i n g , L o g i q u e el i n t u it i o n n i s m e . A c t e s du 2 e c o l l o q u e i n t e r n a t i o n a l e d e l o g i q u e m a t h é m a t i q u e . P a r i s 1 9 5 2 , P a r y ż 1 9 5 4 , s. 7 5 - 8 2 . 24 A . S. T r o e 1 s t r a, The I n t e r p l a y B e t w e e n L o g i c a n d M a t h e m a t i c s : I n t u i t i o n i s m , w: M o d e m L o g i c - A S u r v e y , ed . E. A g a z z i , D o r d r e c h t 1 9 8 1 , s. 198. 2:1 L. E . J. B r o u w e r. O n th e F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , w: t e n ż e , C o l l e c t e d
P R Z E D M IO T LOG IKI IN TU IC JO N IS TY C ZN E J 159
J e śli u w z g l ę d n i ć p o w y ż s z e w y n i k i , to w y d a j e się, że z a l e ż n o ś c i s t w i e r d z a ne p rz e z p r a w a i n tu ic jo n is ty c z n e j lo g ik i z d a ń m o ż n a n a z w a ć z w i ą z k a m i p o m ię d z y o d p o w i e d n i m i w ł a s n o ś c i a m i tw o r ó w m a t e m a t y c z n y c h . Z a l e ż n o ś c i te m o ż n a s tw ie r d z ić , p r z e p r o w a d z a j ą c o g ó l n e o p e r a c je n a w y k o n a n y c h i p o z n a n y c h m y ś l o w y c h k o n s t r u k c j a c h m a t e m a t y c z n y c h . N a le ż y te ż d o d a ć , że z k l a s y c z n e g o p u n k t u w id z e n ia , o b i e k t y m a t e m a t y c z n e , p o m i ę d z y k t ó r y m i z a c h o d z ą o w e z w ią z k i s t w i e r d z a n e w p r a w a c h lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j, w s w y m is tn ie n iu ( w ł a s n o ś c i a c h ? ) z a l e ż ą o d p o d m i o t u p o z n a j ą c e g o , od u m y s ł u m a t e m a ty k a . P r z y ta k im p o d e jś c iu j a s n e sta je się s f o r m u ł o w a n i e H e y tin g a , że p r z e d w y k o n a n i e m k o n s tr u k c ji n ie m a j e s z c z e tw i e r d z e n i a m a te m a t y c z n e g o , a w ię c t a k ż e l o g ic z n e g o . Z r o z u m i a ł a sta je się te ż p o n i e k ą d te z a B r o u w e r a g ł o s z ą c a , iż lo g ik a m a c h a r a k t e r e m p i r y c z n y . W a ż n ą r o lę w p o g l ą d a c h B r o u w e r a n a m a t e m a t y k ę i l o g ik ę o d g r y w a k o n c e p c ja k r e a t y w n e g o ( tw ó r c z e g o ) p o d m i o t u , n a z y w a n a te ż c z a s a m i t e o r i ą „ w y id e a l i z o w a n e g o m a t e m a t y k a ” 26. Ó w w y i d e a l i z o w a n y m a t e m a t y k m a p a m i ę ć i d o k o n u j e w c z a s ie p e w n y c h k o n s tr u k c ji. N ie istn ie je ż a d e n ś w ia t o b ie k tó w m a t e m a t y c z n y c h , k tó ry b y ł b y n i e z a l e ż n y od u m y s łu lu d z k ie g o . N ie i s tn ie ją ty m s a m y m w ie c z n e , n ie z a l e ż n e o d lu d z k ie j w i e d z y p r a w d y , z k tó r y c h n i e lic z n e b y ł y b y o d k r y w a n e . P r a w d a m o ż e b y ć u j a w n i o n a j e d y n i e w u m y ś l e p o z n a j ą c y m . B r o u w e r b a r d z o m o c n o a k c e n tu je z n a c z e n i e w o ln e j w o li, d o c e n i a b o w i e m je j p o d s t a w o w ą ro lę w k r e o w a n i u r z e c z y w i s t o ś c i , w k o n s t r u o w a n i u . B y t m a t e m a t y c z n y w i d z i a n y j e s t w i ę c j a k o sta ła m o ż l i w o ś ć p e w n y c h o p e r a c ji m y ś l o w y c h . N i e s k o ń c z o n y o b ie k t j e s t np. t r a k t o w a n y j a k o n i e s k o ń c z o n y p ro c e s b e z o s t a t e c z n e g o re z u lta tu , w p r z e c i w i e ń s t w i e d o m a t e m a t y k i k l a s y c z n ej, k tó r a t r a k tu je go tak, j a k b y b y ł g o to w y . M a t e m a t y k in tu i c j o n i s t y c z n y w y k o n u j e s w ą d z ia ła ln o ś ć w c z a s ie , z k tó r y m z w i ą z a n e j e s t w z r a s t a n i e w i e d z y , p o z n a w a n i e p e w n y c h tw ie r d z e ń . F a k t ten p o w o d u j e t e m p o r a l n ą r e l a t y w i z a c ję m a t e m a t y k i , n i e d o p u s z c z a l n ą d l a m a t e m a t y k a k l a s y c z n e g o , d la in tu ic jo - n isty j e d n a k b a r d z o n a t u r a l n ą 27. P o n a d t o i n t u i c j o n i s t y c z n a m a t e m a t y k a n ie m o ż e się o d w o ł y w a ć do p e w n y c h p o ję ć , k tó r e H e y tin g n a z y w a p o j ę c i a m i W o r k s , v o l. I: P h i l o s o p h y a n d F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , ed . A . H e y t i n g , A m s t e r d a m - O x f o r d - N e w Y o r k 1 9 7 5 , s. 7 4. 26 T r o e 1 s t r a, The I n t e r p l a y , s. 2 0 7 oraz A . A . F r a e n k e 1, Y . B a r - H i I- 1 e 1, A . L e v y , F o u n d a t i o n s o f S e t T h e o r y . A m s t e r d a m - L o n d o n 1 9 7 3 , s. 2 2 5 . R . M i s z c z y ń s k i , F i l o z o f i c z n e ź r ó d ł a i n t u i c j o n i z m u m a t e m a t y c z n e g o L. E. J. B r o u w e r a , „S tu d ia F i l o z o f i c z n e ” , 5 ( 1 9 8 9 ) , s. 166 . W literaturze p o d k r e ś l a się , ż e m ó w i ą c o m a te m a t y c e i n t u i c j o n i s t y c z n e j B r o u w e r a - H e y t i n g a , n i e m o ż n a n ie a b st r a h o w a ć od rel acj i, jaka j ą w i ą ż e z u m y s ł e m , z p o d m i o t e m p o z n a j ą c y m .
160 BO Ż E N A C Z ER N EC K A m e ta f i z y c z n y m i , tzn. d o ś w ia ta p r z e d m i o t ó w m a t e m a t y c z n y c h , is tn ie ją c y c h n i e z a l e ż n i e od n a s z e j w i e d z y 28. W z w i ą z k u z ty m , że m a t e m a t y k a i l o g ik a in t u i c j o n i s t y c z n a n ie d o t y c z ą ś w ia ta z e w n ę t r z n e g o , o b i e k t y w n i e is tn ie ją c e g o , p o d s t a w o w e p y t a n i e in tu ic jo - n is tó w n ie m o ż e b y ć f o r m u ł o w a n e tak j a k u b a d a c z y o n a s t a w i e n i u o n to lo - g ic z n y m , k tó r z y p r z y j m u j ą k la s y c z n y r a c h u n e k l o g ic z n y . U te g o ty p u b a d a c z y p o d s t a w o w e s ą p y ta n ia : Ja k i j e s t ś w iat? D la c z e g o c o ś j e s t tak ie, j a k i e je s t? I n tu ic jo n iś c i z ko lei m o g ą p y ta ć o to, ja k i e m y ś l o w e k o n s t r u k c j e m a t e m a t y c z n e m o g ą b y ć w y k o n a n e w u m y ś l e p o z n a j ą c e g o p o d m i o t u lu d z k ie g o , j a k ie z a le ż n o ś c i m o ż n a d o s tr z e c m ię d z y w ł a s n o ś c i a m i , n a p r z y k ł a d ja k i e j ś liczby, na p o d s t a w i e j u ż w y k o n a n y c h m y ś l o w y c h k o n s tr u k c ji m a te m a t y c z n y c h .
B o d a j ż e n a j w a ż n i e j s z ą s p ra w ą , j a k a się w y ł a n i a w tra k c ie d o ty c h c z a s o w y c h r o z w a ż a ń , j e s t p y t a n i e o k r y te r ia k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n e j . J a k ie s ą i skąd się b i o r ą re g u ły k o n s tr u k c ji? C z y są o n e i n t e r s u b i e k t y w n e 29, a je ś l i tak, to na j a k ie j p o d s t a w i e ? C o, o p r ó c z p o s tu la tu w e w n ę t r z n e j n ie s p r z e c z n o ś c i , o g r a n ic z a s w o b o d ę k o n s t r u k c y j n ą m a te m a t y k a in t u i c j o n i s t y c z n e g o ? O d p o w i e d z i na p o w y ż s z e p y ta n ia s ą d e c y d u j ą c e d la u z n a w a n i a p e w n y c h f o r m u ł za p r a w a m a t e m a t y k i i lo g ik i in tu ic jo n is ty c z n e j. W ś r ó d i n tu ic jo n is tó w n ie m a z g o d y co do r o z u m i e n i a z a k r e s u p o ję c ia k o n s tr u k c ji m a t e m a t y c z n e j . P r z y j r z y j m y się z a te m r o z w i ą z a n i o m k w e s tii g e n e z y ( s k ą d się b io rą ) i c h a r a k t e r u (np. czy są o b i e k t y w n e , c z y s u b i e k t y w n e ) r e g u ł k o n s tr u k c ji p r o p o n o w a n y m p r z e z t w ó r c ó w in tu i c j o n i z m u o r a z p rz e z n i e k tó r y c h w s p ó ł c z e s n y c h a u to ró w .
W y p o w i e d z i B r o u w e r a w tej m a te rii s ą n ie ja s n e . P is z e o n n a j e d n y m m i e j scu, iż re g u ły o g r a n i c z a j ą c e k o n s tr u k c ję s ą w y n i k i e m w e w n ę t r z n y c h p ra w m y śli o ra z z a l e ż ą o d s w o b o d n e j d e c y z ji m a t e m a t y k a - i n t u i c j o n i s t y . C z ę ś c ie j je d n a k z a r ó w n o B r o u w e r , j a k i JJey tin g m ó w i ą o in tu icji j a k o o p o d s ta w ie d z ia ła ln o ś c i k o n s t r u k c y j n e j m a t e m a t y k a in tu ic jo n is ty c z n e g o . D o d a j ą p rz y tym , iż m a t e m a t y k a j e s t i n d y w i d u a l n ą a k t y w n o ś c i ą u m y s ł o w ą . T e g o ty p u w y p o w i e dzi s ą dla w ie lu a u to r ó w p i s z ą c y c h n a ten te m a t p o d s t a w ą do w s k a z y w a n i a n a p e w n e s u b i e k t y w n e a s p e k ty , j a k i e z d a je s ię w y k a z y w a ć s t a n o w i s k o intui- c j o n i s t y c z n e 30. D la p r z y k ł a d u M. H. L o b w n a s t ę p u j ą c y s p o s ó b c h a r a k te ry -28 H e y t i n g u w a ż a p o n a d to , ż e pra wa (śr odki d o w o d o w e ) l o g i k i k l a s y c z n e j w y m a g a j ą m e t a f i z y c z n e g o u z a s a d n i e n i a , tj. o d w o ł a n i a si ę do n i e z a l e ż n e g o o d p o d m i o t u is t n i e n i a p r z e d m i o t ó w m a t e m a t y c z n y c h . 29 Z a g a d n i e n i u i n t e r s u b i e k t y w n o ś c i m a te m a t y k i i n t u i c j o n i s t y c z n e j p o ś w i ę c o n a j e s t praca T. Pla c ka M a t h e m a t i c a l I n t u i t i o n i s m a n d I n t e r s u b j e c t i v i t y ( D o r d r e c h t 19 9 9 ). 30 B. va n R o o t s e l a a r , O n S u b j e c t i v e M a t h e m a t i c a l A s s e r t i o n s , w: I n t u i t i o n i s m a n d P r o o f T h e o r y . P r o c e e d i n g s o f th e S u m m e r C o n f e r e n c e a t B u f fa l o N. Y. 1 9 6 8 , e d s . A . Kin o, J. M y h i l l , R. E. V e s l e y , A m s t e r d a m - L o n d o n 1 970 , s. 187.
PR Z E D M IO T LOGIKI I N T U IC J O N IS T Y C Z N E J 161 ż u je to s ta n o w is k o : „ k o n s t r u k t y w i z m w n a j s z e r s z y m s e n s ie j e s t to t e n d e n c ja do o d c z y t a n i a m a t e m a t y k i w te r m i n a c h p o z n a w c z e j o c z y w is to ś c i. W o d r ó ż n i e n iu o d k l a s y c z n e j m a te m a ty k i, m o t y w o w a n e j p r z e z n a i w n y p la to n iz m , on [tj. k o n s t r u k t y w i z m - B. C.] r o z p a tr u je a b s t r a k c y j n e o b ie k ty j a k o p r z e d m io ty m y śli. J a k o ta k ie p o ję c ia k o n s t r u k t y w n e s ą e k s p l i k a c j a m i s z c z e g ó ł o w y c h s t r u k t u r p o z n a w c z y c h ' " 1.
R. A. B u l i ' 2 p isze, że p o d s t a w o w a te z a in tu ic jo n iz m u , g ło s z ą c a , iż m a t e m a t y k a j e s t j a k ą ś a k t y w n o ś c i ą o k r e ś l o n e g o o s o b n i k a ( a k t y w n o ś c i ą b e z „ m e t a f i z y c z n e g o ’’ s ta tu s u ), o t w i e r a m o ż l i w o ś ć , że m o g ą się p o j a w i ć ró ż n i m a t e m a ty cy z r ó ż n y m i te o r ia m i m a t e m a t y c z n y m i . W y d a j e się, ż e m o ż n a by p o s ta w ić j e s z c z e m o c n i e j s z ą te z ę - że k a ż d y m a t e m a t y k m a s w o j ą m a te m a ty k ę . W e d ł u g A. S. T ro e ls try , a k t y w n o ś ć w y i d e a l i z o w a n e g o m a te m a ty k a s a m a nie je s t p r z e d m i o t e m m a te m a ty k i. Z teg o p o w o d u n ie m a z g o d y co do tego, j a k s p r e c y z o w a ć , k tó r e z a s a d y są do p rz y ję c ia , a k tó re n a le ż y o d r z u c i ć 33. M a t e m a ty k a nie m a m o ż n o ś c i d o s ta r c z y ć ta k ic h k r y te rió w . J e d n a k ż e d z ia ła ln o ś ć m a te m a ty k a - in tu ic jo n is ty nie m o ż e b y ć d o w o ln a , w p r z e c iw n y m b o w ie m razie m a t e m a t y k a r e d u k o w a ł a b y się do p s y c h o l o g i c z n e j a u to b io g ra fii jej t w ó rc y . Co z a te m m o g ł o b y g w a r a n to w a ć is tn ie n ie j e d n e j m a te m a ty k i in tu ic jo n is ty c z n e j?
W l i te r a tu r z e m o ż n a z n a le ź ć s t w i e r d z e n i e , że p r a w d o p o d o b n i e w s p ó łc z e ś n i in tu ic jo n iś c i z g o d z ilib y się z K a n te m , iż t w i e r d z e n i a m a t e m a t y c z n e s ą o b i e k ty w n e w ty m s e n sie , że s ą o g ó l n i e w a ż n e d la w s z y s t k i c h in te lig e n tn y c h b y t ó w 34. G d z i e in d z ie j j e d n a k z d a j ą się u p a t r y w a ć p o d s t a w y tej o b i e k t y w n o ś c i (a w ł a ś c i w i e i n te r s u b ie k ty w n o ś c i) . J e s t k w e s t i ą s p o rn ą , co d o k ł a d n i e tw ó r c a i n tu ic jo n iz m u , B r o u w e r , ro z u m ie p r z e z „ w e w n ę t r z n e p r a w a m y ś l i ” . N i e k t ó r z y a u to r z y z w r a c a j ą u w a g ę n a to, że n ie w i a d o m o , j a k n a le ż y i n t e r p r e t o w a ć s ta n o w is k o B r o u w e r a w o m a w i a n e j kw e stii: c z y z g o d n i e z l in ią k a n t o w s k ą , c z y te ż w b a r d z ie j s u b i e k t y w n y s p o s ó b 35. F a k te m je s t, że B r o u w e r n i g d z i e n ie m ó w i o ( k a n to w s k ic h ) a p r i o r y c z n y c h k a t e g o r i a c h u m y s ł o w y c h , k tó r e b y ł y b y w s p ó l n e w s z y s tk im lu d z io m , a ty m s a m y m g w a r a n t o w a ł y b y o b i e k t y w n o ś ć w ie d z y . I n t e r s u b i e k t y w n o ś ć 31 M . H. L o b , C o n s t r u c t i v e T ru th , w: C o n s t r u c t i v i t y in M a t h e m a t i c s . P r o c e e d i n g s o f the C o l l o q u i u m h e l d a t A m s t e r d a m 1 9 5 7 . ed . A . H e y t l n g , A m s t e r d a m 195 9. s. 159. 32 M I P C a s the F o r m a l i s a t i o n o f an I n l u i t i o n i s t C o n c e p t o f M o d a l i t y . „T he Journal o f S y m b o l i c L o g i c " . 3 1 ( 1 9 6 6 ) , s. 61 1. T r o e I s t r a. The I n t e r p l a y , s. 2 0 7 . '4 W . K n e a 1 e. M . K n e a 1 e. The D e v e l o p m e n t o f L o g i c , O x f o r d 1962. s. 6 7 4 . 3 T . P 1 a c e k, On B r o u w e r ' s C r i t i c i s m o f C l a s s i c a l L o g i c a n d M a t h e m a t i c s . „ L o g i c and L o g i c a l P h i l o s o p h y " , 5 ( 1 9 9 7 ) . s. 25.
162 B O Ż E N A C Z E R N E C K A
m a te m a t y k i n ie w y d a j e się, w e d ł u g B r o u w e r a , w y n i k i e m p e w n e g o u s tr u k tu r a - li z o w a n i a r o z u m u lu d z k ie g o . Z d r u g ie j j e d n a k stro n y , w y j a ś n i a j ą c r o z b i e ż n o ś c i p o m i ę d z y w y n i k a m i u z y s k a n y m i p r z e z r ó ż n y c h m a t e m a t y k ó w , a d o t y c z ą c y m i te g o s a m e g o p r o b l e m u m a t e m a t y c z n e g o , m ó w i, iż m u s z ą b y ć o n e (te r o z b i e ż n o ś c i ) re z u lta te m luki w f u n k c j o n o w a n i u intuicji, tzn. j e d e n z m a t e m a t y k ó w (lub o b y d w a j) „ p r z e s ta ł b y ć u m y s ł e m (m ie ć u m y s ł ) ” , je ś li b o w i e m co ś j e s t u m y s ł e m , to m a z d o l n o ś ć n a z w a n ą „ i n t u i c j ą m a t e m a t y c z n ą ”36.
P o d s t a w ą p o z n a w c z ą m a te m a t y k i i n t u i c j o n is ty c z n e j j e s t - w e d łu g B r o u w e ra i H e y t i n g a - in tu ic ja . R o z w i ą z a n i e to j e d n a k n ie je s t s a ty s f a k c jo n u ją c e , g d y ż nie istn ie je ty lk o j e d n a in tu ic ja , lecz w ie lo ś ć r ó ż n y c h intu icji. W ł a ś c i w i e m o ż n a by p o w ie d z ie ć , że k a ż d y m a t e m a t y k p o s tę p u je z g o d n i e ze s w o j ą in tu i cją. W o b e c te g o ro d z i się p y ta n ie , k tó r a to in tu ic ja , w o b e c ich w i e lo ś c i, s ta n o w i p r a w d z i w ą p o d s t a w ę m a t e m a t y k i . P o n i e w a ż m a t e m a t y c y nie m o g ą w s k a zać o b i e k t y w n y c h k r y t e r i ó w w y b o r u , z j e d n e j s tro n y r o z l e g a j ą się g ło s y o s u b i e k t y w n y m c h a r a k t e r z e w i e d z y m a t e m a t y c z n e j , z d r u g ie j zaś p o d e j m o w a n e s ą p r ó b y p e w n e g o „ z o b i e k t y w i z o w a n i a ” in tu ic ji m a te m a ty c z n e j.
M a t e m a t y c y w s p ó ł c z e ś n i u t r z y m u j ą p o w s z e c h n i e , że n ie m o ż e b y ć p r a w d z i w e s tw ie r d z e n ie , iż k a ż d y m a t e m a t y k m a s w o j ą m a t e m a t y k ę ( c h y b a że w y p o w i e d ź ta z n a c z y p o p r o s tu r e p e r t u a r tw ie r d z e ń , j a k i e k to ś o s o b iś c ie o d k r y ł lub u d o w o d n ił) . J e d n a k ż e B r o u w e r , c h c ą c być k o n s e k w e n t n y , p o w in ie n b y ł w y c i ą g n ą ć taki w n i o s e k . F a k t y c z n i e h o le n d e r s k i u c z o n y w s w o i c h p o g l ą d a c h f ilo z o f ic z n y c h b y ł z w o l e n n i k i e m s o lip s y z m u . M. D u m m e t t j e d n a k a r g u m e n tu je za tezą, że B r o u w e r m ó g ł z b u d o w a ć s w o j ą te o rię w y ł ą c z n i e d z ię k i te m u , iż j e g o s o lip s y z m j e s t j a w n i e f a ł s z y w y 7. J e g o z d a n ie m , n ie ty lk o nie j e s t tak, j a k u t r z y m y w a ł B r o u w e r , że k o n s tr u k c je m a te m a t y c z n e s ą j e d y n i e n i e d o s k o n a l e k o m u n i k o w a l n e , le c z t a k ż e p r a w d ą je s t co ś w r ę c z p r z e c iw n e g o : s ą o n e d o s k o n a l e k o m u n i k o w a l n e . W p r a w d z i e p o s z c z e g ó l n i m a t e m a t y c y m o g ą m ie ć r ó ż n e p u n k ty w y jś c ia , ró ż n y z a k re s w ie d z y , u z d o ln ie n ia , le c z n ie r ó ż n i ą się p o d w z g l ę d e m u ję c ia r z e c z y w i s t o ś c i m a t e m a t y c z n e j , g d y ż b e z w z g l ę d u n a to, j a k ą k o n s t r u k c j ę o d k r y j e j e d e n m a t e m a t y k , k a ż d y in n y j e s t w s ta n ie do n ie j d o tr z e ć . Z tego w z g l ę d u , d o d a j e D u m m e t t , B r o u w e r o w s k ą te o rię z n a c z e n ia m o ż n a r o z u m i e ć n ie w k a t e g o r i a c h j e d n o s t k o w y c h k o n s tr u k c ji m e n ta l-o l-o n y c h , le c z w k a te g o r ia c h k o n s t r u k c j i d o s t ę p n y c h dla w s z y s t k i c h ' . 36 T a m ż e . 37 M . D u m m e t t, R e a l i z m i a n t y r e a l i z m , w: F i l o z o f i a b r y t y j s k a u sc h y ł k u X X w ie k u , red. P. G u t o w s k i , T. S z u b k a , Lu b lin 1 9 9 8 , s. 7 9. 38 T a m ż e .
P R Z E D M IO T LO G IK I IN TU IC JO N IS TY C ZN E J 163 H e y tin g , w p r z e c i w i e ń s t w i e do B r o u w e r a , za p o m o c ą f o r m a l i z a c j i p r ó b o w a ł w j a k i m ś s t o p n iu „ z o b i e k t y w i z o w a ć ” in tu ic ję m a t e m a t y c z n ą , u ją ć j ą w p e w n e ra m y . U w a ż a ł , iż m a t e m a t y k a , je ś li m a b y ć n a u k ą in t e r s u b i e k t y w n ą , n ie m o ż e b y ć d z i a ł a l n o ś c i ą b e z j ę z y k o w ą (jak c h c ia ł B r o u w e r ) . W r ę c z p r z e c iw n ie , m u si p o s ł u g i w a ć s ię j ę z y k i e m - w y r a ż e n i e m w s ł o w a c h lu b z n a k a c h k o n s tr u k c ji m e n t a l n y c h - g d y ż „ p o r o z u m i e n i e m ię d z y m a t e m a t y k a m i je s t s p r a w ą i s t o t n ą ”79. O c z y w i ś c i e s a m a j ę z y k o w a k o m u n i k a c j a w y n i k ó w m a t e m a ty c z n y c h n ie g w a r a n t u j e , że m a t e m a t y c y m o g ą w y k o n a ć ta k ie s a m e k o n stru k c je u m y s ł o w e . P o d s t a w i n t e r s u b i e k t y w n o ś c i z d a je się o n d o p a t r y w a ć w fa k c ie ( n a tu ry p s y c h o l o g i c z n e j ) , iż lu d z k ie m y ś li są „ a n a l o g i c z n e ” . W i e lo ś ć in tu ic ji, n a k t ó r e p o w o ł u j ą się ró ż n i m a t e m a t y c y , ro d z i w ś ró d w s p ó ł c z e s n y c h te o r e t y k ó w i n t u i c j o n i z m u p ró b y ich u p o r z ą d k o w a n i a , u s t a w i e n i a w ja k ą ś h i e r a r c h i ę , o b e j m u j ą c ą n a n iż s z y c h p ię tra c h in tu ic je d a w n e , d z iś j u ż z m a t e m a t y z o w a n e , u s z c z y tu zaś in tu ic je n o w e , d z iś n i e r e d u k o w a l n e 40. O w o m a t e m a t y z o w a n i e in tu icji o z n a c z a , j a k się w y d a je , u s t a l a n i e p e w n y c h reg u ł, np. re g u ł d o w o d z e n i a . I tak G r z e g o r c z y k u t r z y m u je , że p o d s t a w ą in te r s u b i e k t y w n o ś c i m a t e m a t y k i j e s t o b l i c z a l n o ś ć d o w o d ó w . G d y b y n ie b y ło e f e k ty w n y c h m e to d s p r a w d z a n i a , m a t e m a t y k a p r z e s ta ła b y b y ć n a u k ą in t e r s u b i e k ty w n ą . S ie d z e n ie d o w o d ó w m a t e m a t y c z n y c h j e s t - je g o z d a n i e m - c z y n n o ś c i ą c z y s to m e c h a n i c z n ą , a t w ó r c z e g o w y s i ł k u w y m a g a j e d y n i e n a s k u t e k s k r ó t o w e g o ich p r z e d s t a w i e n i a 41. O g ó l n i e m o ż n a c h y b a p o w i e d z i e ć , że w s p ó ł c z e ś n i in tu ic jo n iś c i ( w b r e w in te n c jo m tw ó r c y in tu ic jo n iz m u , B r o u w e r a ) d ą ż ą do fo rm a liz a c ji j a k n a j w i ę k s z e j c z ę ś c i m a te m a t y k i in tu ic j o n i s t y c z n e j , tak aby je j w y n ik i s tały się i n t e r s u b i e k t y w n i e s p r a w d z a ln e , c z y li ab y k a ż d y k o m p e te n tn y m ó g ł s p r a w d z i ć p o p r a w n o ś ć d a n e j a r g u m e n ta c ji c z y d o w o d u . P o d s u m o w u j ą c , n a le ż y s tw ie r d z ić , że z a r ó w n o p r a w a lo g ik i k l a s y c z n e j , j a k i lo g ik i in t u i c j o n i s t y c z n e j s t w i e r d z a j ą p e w n e g o ty p u z w ią z k i. W w y p a d k u logiki k l a s y c z n e j p r a w a lo g ic z n e s t w i e r d z a j ą n i e k tó r e o b i e k t y w n e , a z a r a z e m n a jb a r d z ie j o g ó l n e z w ią z k i m i ę d z y s ta n a m i r z e c z y , f a k ta m i, z d a r z e n ia m i. 39 A . H e y t i n g, I n t u i t i o n i s m in M a t h e m a t i c s , w: P h i l o s o p h y in th e M i d - C e n t u r y . A S u r v e y , ed . R. K l i b a n s k y , F l o r e n c e 1 9 5 8 . s. 103. 40 B e th np., w w y n i k u a n a l i z y r o z m a i t y c h intuicji, d o c h o d z i d o w n i o s k u , ż e m a te m a t y k m usi p rz yj ąć i s t n i e n i e r ó ż n y c h „ p o z i o m ó w o c z y w i s t o ś c i ” . Z o b . E. B e t h, The F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , A m s t e r d a m 1 9 5 9 , s. 6 1 6 . S a m H e y t i n g , p o d w y p ł y w e m k ry tyki G . F. C. Gris- sa, w pracy B l i c k v o n d e r i n t u i t i o n i s t i s c h e n W a r t e , „ D i a l é c t i c a ” , 1 2 ( 1 9 5 8 ) , s. 3 3 2 - 3 4 5 , p r z e d s t a w i a tabe lę s to pni o c z y w i s t o ś c i k o n str u k c y jn e j. 41 A. G r z e g o r c z y k , Z a r y s l o g i k i m a t e m a t y c z n e j , W a r s z a w a 1 9 6 1 , s. 3 6 2 - 3 6 4 . Z a u w a ż m y j e d n a k , ż e s k o r o G r z e g o r c z y k o p ie r a o s t a t e c z n i e o b l i c z a l n o ś ć na in tuic ji, a intuicji j e s t , jak w i a d o m o , b a r d z o w i e l e , to c z y m a te m a t y k a j e s t w o g ó l e i n te r s u b i e k ty w n ą ?
164 BO Ż E N A C Z E R N E C K A I s tn ie n ie t a k ic h z w ią z k ó w i n tu ic y jn ie p r z y j m u j ą p r z e d s t a w i c i e l e r ó ż n y c h n a u k , u p r a w i a n y c h ty lk o p rz e z tak ic h u c z o n y c h , k tó r y c h c h a r a k t e r y z u j e o n to lo - g i c z n e n a s t a w i e n i e b a d a w c z e w s to s u n k u d o p r z e d m i o t u b a d a ń . T y m c z a s e m p r a w a lo g ik i i n t u i c jo n is ty c z n e j s t w i e r d z a j ą z w i ą z k i , z a le ż n o ś c i p o m i ę d z y o d p o w i e d n i m i t w o r a m i m a t e m a t y c z n y m i czy w ł a s n o ś c i a m i ty c h t w o r ó w m a t e m a ty c z n y c h n a p o d s t a w i e u p r z e d n i o w y k o n a n y c h i p o z n a n y c h m a t e m a t y c z n y c h k o n s tr u k c ji m y ś l o w y c h . P r z e d m i o t e m lo g ik i i n tu ic jo n is ty c z n e j n ie są w ię c ( s a m e ) m y ś l o w e k o n s tr u k c je m a t e m a t y c z n e , j a k g ł o s z ą n i e k tó r z y a u t o rzy, lecz ra c z e j z w ią z k i p o m i ę d z y o d p o w i e d n i m i w ł a s n o ś c i a m i lic z b , figur, z b io r ó w , k tó r e to z w ią z k i m o ż n a d o s tr z e c ty lk o na p o d s t a w i e w y k o n a n y c h m y ś l o w y c h k o n s tr u k c ji m a te m a t y c z n y c h . U z w o l e n n i k ó w logiki i n t u i c j o n i s t y c z n e j n ie w c h o d z i w g rę o n t o l o g i c z n e , o b i e k t y w i s t y c z n e p o d e j ś c i e b a d a w c z e w s to s u n k u do r z e c z y w i s t o ś c i . Z w ią z k i, k tó r y c h d o t y c z ą p r a w a logiki in tu ic jo n is ty c z n e j, nie d a j ą się s c h a r a k t e r y z o w a ć j ę z y k o w o b e z m ó w i e n i a o o k r e ś l o n y c h z a b ie g a c h p o z n a w c z y c h . B I B L I O G R A F I A A j d u k i e w i c z K., Z a r y s l o g i k i . W a r s z a w a 1960 . B e t h E., The F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , A m s t e r d a m 1 9 5 9 . B o c h e ń s k i J. M. , L o g i k a i o n t o l o g i a , w: t e n ż e , L o g i k a i f i l o z o f i a , red. J. Parys, W a r s z a w a 1 9 9 3 , s. 1 0 6 - 1 3 2 . B r o u w e r L. E . J., On th e F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , w: t e n ż e, C o l l e c t e d W o r k s , v o l . I: P h i l o s o p h y a n d F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s , e d . A . H e y t l n g , A m s t e r d a m - O x f o r d - N e w Y o r k 1 9 7 5 , s. 11 -9 7 . B u l l R. A . , M I P C a s th e F o r m a l i s a t i o n o f an I n t u i t i o n i s t C o n c e p t o f M o d a l i t y , „ T h e Jo ur nal o f S y m b o l i c L o g i c ” . 3 1 ( 1 9 6 6 ) . s. 6 0 9 - 6 1 6 . D u m m e t t M ., R e a l i z m i a n t y r e a l i z m , w: F i l o z o f i a b r y t y j s k a u s c h y ł k u X X w i e k u , red. P. G u t o w s k i , T. S z u b k a , Lu b lin 1 9 9 8 , s. 6 7 - 8 6 . F r a e n k e 1 A . A ., B a r - H 1 1 1 e 1 Y ., L e v y A ., F o u n d a t i o n s o f S e t T h e o r y , A m - s t e r d a m - L o n d o n 197 3. G r z e g o r c z y k A ., N i e k l a s y c z n e r a c h u n k i z d a ń a m e t o d o l o g i c z n e s c h e m a t y b a d a n i a n a u k o w e g o i d e f i n i c j e p o j ę ć a s e r t y w n y c h , „S tu d ia L o g l c a " , 2 7 ( 1 9 7 1 ) , s. 1 1 7 - 1 3 0 . G r z e g o r c z y k A ., U w a g i o r o z u m i e n i u p r a w l o g i k i , „ M y ś l F i l o z o f i c z n a ”, 1 ( 1 9 5 5 ) , s. 2 1 3 - 2 1 4 . G r z e g o r c z y k A ., Z a r y s l o g i k i m a t e m a t y c z n e j , W a r s z a w a 19 61. H e r b u t J., P r o b l e m u ż y t e c z n o ś c i l o g i k i w u p r a w i a n i u f i l o z o f i i , w: F i l o z o fi a - w z l o t y i u p a d k i. X X X I X T y d z i e ń F i l o z o f i c z n y K U L . red. A. G u d a n i e c , A . N y g a , Lublin 1 99 8, s. 3 9 - 4 1 . H e y t i n g A .. B l i c k vo n d e r i n t u i t i o n i s t i s c h e n W a r t e , „ D i a l e c t i c a ” , 1 2 ( 1 9 5 8 ) , s. 3 3 2 - 3 4 5 . H e y t i n g A .. In tu i t i o n i s m . A n I n t r o d u c t i o n , A m s t e r d a m 1 96 6. H e y t i n g A ., I n t u i t i o n i s m in M a t h e m a t i c s , w: P h i l o s o p h y in the M i d - C e n t u r y . A S u r v e y , ed . R. K l i b a n s k y , F l o r e n c e 1 9 5 8 , s. 1 0 1 - 1 1 5 .
P R Z E D M IO T LOG IKI IN TU IC JO N IS TY C ZN E J 165 H e y t i n g A ., L o g i q u e et i n t u i t i o n n i s m e . A c t c s d u 2 C c o l l o q u e I n t e r n a t i o n a l e d e l o g i q u e m a t h e m a t i e / u e . P a r i s 1 9 5 2 , P ar yż 1 9 5 4 , s. 7 5 - 8 2 . K i c z u k S., P r z e d m i o t l o g i k i f o r m a l n e j w u j ę c i u J. M . B o c h e ń s k i e g o , „ R o c z n i k i F i l o z o f i c z ne". 4 6 - 4 7 ( 1 9 9 8 - 1 9 9 9 ) . z. 1. s. 6 9 - 8 7 . K i c z u k S.. U w a g i o p r z e d m i o c i e l o g i k i f o r m a l n e j , „ R o c z n i k i F i l o z o f i c z n e ” , 4 3 ( 1 9 9 5 ) , /.. 1. s. 4 1 - 5 2 . K n e a l c W. . K n e a l e M ., T h e D e v e l o p m e n t o f L o g i c , O x f o r d 1962. K o I m o g o r o w A.. O m a t e m a t y c e . W a r s z a w a 1 955 . K r a s z e w s k i Z . , L o g i k a . N a u k a r o z u m o w a n i a , W a r s z a w a 19 84. L i n n e b o 0 . . F r e g e ' s C o n c e p t io n o f L o g i c : f r o m K a m to „ G r u n d g e s e t z e " , w: I I th I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f L o g i c . M e t h o d o l o g y a n d P h i l o s o p h y o f S c i e n c e . V o l u m e o f A b s t r a c t s . Kraków 1 9 9 9 . s. 1 3 4 . L o b M. H.. C o n s t r u c t i v e T r u t h , w: C o n s t r u c t i v i t y in M a t h e m a t i c s . P r o c e e d i n g s o f t h e C o l l o q u i u m h e l d at A m s t e r d a m 1 9 5 7 , ed. A. H e y t i n g , A m s t e r d a m 1 959 . s. 1 5 9 - 1 6 8 . M i s z c z y ń s k i R., F i l o z o f i c z n e ź r ó d ł a i n t u i c j o n i z m u m a t e m a t y c z n e g o L. IS. J . B r o u w c r a , „S tu d ia F i l o z o f i c z n e " . 5 ( 1 9 8 9 ) . s. 1 5 9 - 1 7 1 . P l a c e k T. . O n B r o u w e r ' s C r i t i c i s m o f C l a s s i c a l L o g i c a n d M a t h e m a t i c s . „ L o g i c and L o g i cal P h i l o s o p h y " . 5 ( 1 9 9 7 ) , s. 19 -3 3 . R o o t s e 1 a a r B . van, O n S u b j e c t i v e M a t h e m a t i c a l A s s e r t i o n s , w: I n t u i t i o n i s m a n d P r o o f T h e o r y . P r o c e e d i n g s o f th e S u m m e r C o n f e r e n c e a t B u f f a l o N . Y. 1 9 6 8 , e d s. A . K in o , J. M y - liill, R. L. V e s i e y , A m s t e r d a m - L o n d o n 1 97 0. s. 1 8 7 - 1 9 5 . S t a n o s z B. , W p r o w a d z e n i e d o l o g i k i f o r m a l n e j . P o d r ę c z n i k d l a h u m a n i s t ó w , W a r s z a w a 1998. S t ę p i e ń A. B. , W p r o w a d z e n i e d o m e t a f i z y k i , Kraków- 1964. T r o e 1 s t r a A . S.. T h e I n t e r p l a y B e t w e e n L o g i c a n d M a t h e m a t i c s : I n t u i t i o n i s m . w-z M o d e r n L o g i c - A S u r v e y , ed . E. A g a z z i , D o r d r e c ht 1 9 8 1 , s. 1 9 7 - 2 2 1 . Ż a r n c c k a - B i a l y E., M a ł a l o g i k a . P o d s t a w y l o g i c z n e j a n a l i z y t e k s t ó w , w n i o s k o w a n i a i a r g u m e n t a c j i , K r a k ó w 1 99 0. E I N I G E A N M E R K U N G E N Z U M G E G E N S T A N D D E S I N T U I T I O N I S T I S C H E N A U S S A G E N K A L K Ü L S Z u s a m m e n f a s s u n g
In d e m A rt ik el wird v e r s u c h t, d ie F ra g e zu b e a n tw o r te n , w a s den G e g e n s t a n d d e s intu itio- n i s t i s c h e n A u s s a g e n k a l k ü l s b ild e t. D i e E r w ä g u n g e n b a sie r e n a u f d e n V e r ö f f e n t l i c h u n g e n vo n den Gründern d e s In t u itio n ism u s, v o r a lle m a u f H e y t i n g . Im H in te r gr u nd w-erden auch .An m e r k u n g e n g e m a c h t b e tr e ffe n d d e s G e g e n s t a n d e s d er k l a s s i s c h e n L o g ik . D ie G e s e t z e der k l a s s i s c h e n A u s s a g e n l o g i k st e l l e n e i n i g e o b je k t i v e und z u g l e i c h a l l g e m e i n s t e Z u s a m m e n h ä n g e z w i s c h e n S a c h v e r h a lt e n , T a t s a c h e n , B e g e b e n h e i t e n fe st . D i e Existenz, s o l c h e n Z u s a m m e n h ä n g e n e h m e n die D e n k e r an, w e l c h e die o n t o l o g i s c h e S t e l lu n g n a h m e k e n n z e i c h n e t . D i e G e s e t z e des in tu i t i o n is t is c h e n A u s s a g e n k a l k ü l s d a g e g e n st el len Z u s a m m e n h ä n g e z w i s c h e n m a th e m a ti s c h e n K o n st r u k tio n e n o d e r E i g e n s c h a f t e n d i e s e r K o n st r u k tio n e n a u f Grund v o n den v o r h e r g e b i l d e te n und u n te r su c h t e n m e n ta l e n m a t h e m a t i s c h e n K o n st r u k tio n e n fest .
Z u s a m m e n g e f a ß t v o n B o ż e n a C z e r n e c k a
S ło w a k lu cz o w e : lo gik a, f i l o z o f i a lo g i k i , f i l o z o f i a m a t e m a t y k i , i n tu i c j o n i z m , H e y t i n g
