Over de betekenis van de numerieke analyse in het onderwijs aan de Technische Hogeschool

(1)

Çt

'g

4, Over de betekenis van de nunerieke analyse in het onderwi,js aan e

Technische Hoeschoo1.

Vuordracht dor prof,dr. R. Timcian rehouden op verzoek van de stafraad voor de leden vn het wtenshappelijk corps op 17 november _1966.

In de latse decenna heeft het íebruik van de wiskunde b±j de behandeling van technische vraa stukken een grote veranderinç ondergaan

Voor een oed 'oegrip van deze veranderin is het nod.i( allereerst een

in-zicht te krijgen in de positie die zij heeft inenomen in de techniek. Zolang techniek 1e rol heoft gespeeld van op ervaring gebaseerd.e regels voor de te verrichten handelingen bij de productie, dus nog in het sta-dium van het ambacht verkeerde, wes de rol, die de wiskunde speelde vrij-wel nihil. Eerst bij de geboorte van de techniscìe wetenschap die als doel heeft een rationele fundering te geven van deze handelingen en daarmee een verhogin van de productiviteit te verkrijgen, zion Wij de wiskunde als

baal voor deze rationele funderin te voorschijn komen. (Thtwikkeld in nauwe

samen1ang met mechanica en fsica ugt het voor e hand, dat zij voorname-lijk bij die onderwerpen uit de techniek naar voren kwajn, die als toepas-singen van mechanische en fysische relaties kannen gelden.

Het onderwijs in de wiskuncle ran de Technische Hogescholen in de periode, die aan de tweenle wereldoorlog voorafging was hoofdzakelijk gericht op de functie, clic zu vervulcie in deze formulering vn re groncivergelijkingen in deze vakken,

Deze taak was echter niet voldoende orn in die jeren het belang van de

wis-kunde in hot onderwijs te rechtvaardigen. Naast deze taak, die op

zich-zelf net een geringere omvarig van bet onderviijs ook uitgevoerd had kunnen

worden, ppeelde de wiskunde een helangrijke rol in de vorming van de

toe-komstige ingenieur, zij nani ann dd Technische Hogescholen de positie in, die de klassieke talen in vroegere eeuwen had.den ingenomen bij de vorming

van et ?denkend dccl der natie".

Immers, aan de problenen, die bij bet wiskunde-onderwijs werden gesteld,

kan men het verrnogen orn problenen te analyseren _{en oplossingen te vind.en,} oefenen.

Weliswaar zijn de echte technische problemen veel en veel gecompliceerder dan de wiskundige opgaven op de exanenc, het analyseren _{van gecompliceerde}

probleìaen worcit geleerd door eerst eenvoudige probleraen te overmeesteren

0m deze redenen was bet niet van zeer groot belanç-, welke onderdelen van de wiskunde dccl uitrnaakten van bet programma.

(2)

Natuurlijk d.e analyse, die ock voor de inechanica 1e1angrijk _{was, en de} meet-kunde, na1ytische, zowel als bescrivenc1e meetkunde Ondat de vroegere inenieiir als technicus in cTe eerste plaats crnstructeur was, speelde de ontwikkeling van hei ruiintelijk voorstellingsvermoen en het uitvoeren van

daar1ij behorende berekeninen in zijn opleiding een dominerende rol, en orn dat dod _{te bereiken ging het onderwijs ver uit boyen hei direct}

noodza-kelijke.

Dit spee].e es te meer ornclrt in rie tijd het wiskunde-onderwijs tevens diende als selectiemet}1ocîe ie veronderstelcle, dat degene, die }iet

propae-deutisch wiskunde-onerwijs .iet vrncht had kunnen volgen voloende

intel-lectu.ele capaciteiten bezat orn als ingenieur te kunnen slagen.

In de jaren dertig kwam in deze situatie langzaau verandering. Vooral in de mechanica, de stromingsleer en c1e elektriciteitsleer begonnen wiskundige methoden voor de berekening van meer gecompliceerde vreagstukken reële

toe-passingen te vinden, een groot deel van de moderne methoden voor de opios-sing vsn sterkteproblemen, triiiingsberekeningen, aerodynamioche bereke-fingen en warmtegeleiclingsprobiemen vonden hun grote ontwikkeling reeds

in deze periode.

Geleidelijk aan drong het inzicht door dat een dieper en verdergaancl

onder-wijs in de analyse voor een effectievere behandeling _{van deze problemen} noodzakelijk was. Cm deze reden heeft direct na de heropbouw van onze T.F. na

₁₉₄₅

de analyse met haar verschillende onderwerpen. functietheorie, Laplace-transformaties, partiele differentiaalvergelijkingen, bijzondere functies hei onderwijs ged.omineerd.

In bet bijzonder voor de ingenieur, die zich tot een zuiver

ietenschappe-lijke carrière aangetrokken voeld.e, is dit ûnderwijs _{van groat belang}

ge-wee st.

De hier geschetste analyse, die in principe weinig verschilt van bet

appa-raat, dat trariitioneei aan de Franse Ecole _{Polytechnique of aan de Engelse}

universiteiten werd gedoceerd, is in wezen kiassiek en leven een machtig apparaat orn verschiUende problemen uit de techniek o te lossen,

Men knijgt een duidelijke indruk van de mogeiijkheden _{door het boek van} Bateman; Partial Differential equctians of lathematical Physics door te

lezen.

lien vindt clear hoofclstukken over _{gewone differentialvergelijkingen met} toepassingen op buiing van staven, trillingsproblemen, _{theorie van}

elek-trisch.e netwerken, potentiaalstromingen, goifvoortplanting in continue

me-dia,

Van cioorslaggevend belang wren randcondities, die gegeven wenvoor

licha-fien van oenvoudige vorm, Vele tweedimensionale problemen, zoals strorning orn cylinders, konden door conforme transformatie behandeld worden; _voor

(3)

-3-driedimensionale problemen zocht men veelal coördinatensystemen, waarin 1e

betrokken verge1ij1ig(meesta1 verwRnt met de verge1ijkin

van Laplace)

se-pareerbaar was eri warbij het lichaarn als een coördinaatopervlak kon

op-treden. Ilet separeerbaar zijn van de vergelijking leidde tot een

uitvoeri-ge studie van de seciale functies, die ontstaan

ij separeren vari ce

oltvergelijkingfuncties van Bessel, Legendre en

ij jets

ecoinpliceerde-re pro11emen de confluente hyper'eometriscie functies en tenslotte als

bekroning de functies van de elliptische cylinder, beken als functies van

Mathieu. Oplossingen van c9e ranriwaardeproblernen werden veelal gezocht in

de vorm van reeksen waarvan de termen bestonden uit producten van

ceze

functies die met behulp van tafelrekenivachines(jaren 50) en uitvoerige

tabellen moeizaam werden berekend, Ret onderzoek naar de convergontie van

de reeksen leidde tot velerlei moeilijke mathematische problemen.

Tijdafhankelijkheid ken meestal worden behandeld door middel van de

trans-formatie van Laplace, waarbij de beginvoorwaarden automatisch Lun plaats

kreen in het resulterenle randwaardenprobleern voor de uiteindelijke

ver-gelijking.

Zeer vele fraaie analytische resultaten kwamen uit de gectelde problemen

te voorschijn;het omzdtten in getallen leverde vaak echter zeer grate

moeilijkheden. leder die wel eens heeft geprobeerci orn de zeer elegante

me-thode van Schwartz-Christoffel toe te passen os een enrlere figuur dan

eon

rechthoek, wee± hiervan mee te praten. De hier genoernde hoofdstukken uit

de analyse domineerden het toepassingsgebied dermate, dat zu

bekend

ston-den als de "toegepaste wiskunde".Voor vele problemen leverde deze

toege-paste analyse geen remedie. Ret is niet mogelijk orn iedere

differentiaal-vergelijking, die de techniek levert, op te lassen met behulp van

specia-le functies.Een zeer oud voorbeeld is c1e berekening

van de vorm die een

vloeistofclruppel aanneemt ander invloed van zwaartekracht en

opperviakte-spanning. Adams en Bashforth leverden in 1883

_{een onlossing van dit}

pro-bleem door de differentiaalvergelijking te

_{vorvangen door een differentie-.}

vergelijking en deze approximatief op te lassen.

Zij vermeiricleri niet hoeveel uren zij besteed hadden

nan pogingen orn een

exacte oplossing van

t probleern te vinden, Ook de astronornen rekenden

veel en pasten daarbij methoden van numerieke integratie toe. Een

groot

bezwaar van deze methoden was de enorme hoevelheid rekenwerk die

bijzon-der vermoeiend was en geestdodend werkte. Uit doze tijd stamt de zinspreuk

"Wo das Rechnen anföngt, da hört das Denken auf". Bij de introductie

van

elektrische tafelrkenmachines valt al direct een opbloei van de numerieke

(4)

-4-Voortbouwend op kiassiek werk konden

_{verschillende methoden ontwikkeld}

worden

_{Adams, met rnodificaties, die}

_{een snellere converentie waarborgde, zoal}

zoals lune en ook anderen.

Cok riethoden zoals die van Newton en Newton-Bairstow voor het oplossen

van

a1e1raïsche vere1ijkingen kwariien

in zwang. Het werd nu ook noge1ijk

orn

trillingsproblernen met behuip

_{van rnatrixmethoden te beikenen, kortorn dd}

nurnerieke analyse deed, zij hot

no

_{in bescheiden vorm haar intrede.}

Oplossen van

_{en rroot aantal (20) lineaire vergelijkin'en}

_{was nû}

_steeds

een flink probleem. De meest geschikte methode ±flE' terug op Gauss, zij.

stand in de sterkteleer

_{mEer bekend onder de naam methode Cross.}

In de eerste tijd van de inrocuctie

_{van rekenautomaten bestond het grete}

voordeel

_{ieruit dat de genoemde methoden direct aangepast kannen worden}

en dat de rekentijden aanzienlijk bekort

_{konden worden.}

De introductie van rekenautomaten

_{had echter veel verdergaande gevolgen.}

Door de verhoging van de sneiheden

_{werd het mogelijk matrices van veel}

ho-gere orde (ioo of meer) te behendelen.

Het oplossen van

_{gewone differentiaalvergelijkingen womit met}

rekenautorna-ten een;eenvoudige zaak.

_{ilerkwaardig is, dat terwiji bij tafelrekenmachines}

extra- of interpolatiemethoden (Acams etc.) de vorkeur genoten boyen

methoden, die op een ontwikkeling in

_{een Taylorreeks gebaseerd waren}

(Run-ge Kutta), dit bu

_{rekenautomaten juist orngekeerd}

_was

De door de reken7utornaat

_{geschapen mogelijkheid grote (lineaire)}

_systemen

te behandelen leidde tot de

_{revolutionaire omwenteling. die in de}

miei-ding is aangekondigd.

Het is veel efficinter

_{ceri funotie van Bessel te tabuleren (in jeder}

interval) door oplossen van de differentiaalverreiijking dan door

macht-reeksontwikkeling.

_{rote systemen lineaire vergelijkingen}

_{worden zonder}

excessieve moeite opgelost. Had Kantorowich in 1939 reeds in verband

met

de Russische plan-econornie

_{een, wat wij nunoeme.n lineair}

programmerings-probleem opgesteld, de in de

_{ooriog door Dantzig ontwikkelde}

simplexmetho-den ter oplossing van dit probleem

_{leent zich voortreffelijk}

_voor

behan-deling door een rekenautornaat,

In wezen komt het

_{neer op het herhaald oplossen van lineire}

_{systemen met}

modificaties, Hierdoor wordt het inogelij lineaire systemen met 300

en meer

variaen te optimaliseren,

_{zoals door bepaalde grate bedrijven}

_inderdaad

wordt gedaan.

_{Het te optimalisereri object}

_{is dan de winstfunctie, de}

el-hankelijkheid van de variabelen wordt

_{lineair ondersteld.}

Voor de techniek is van groot belang, dat het riiogeiijk wordt

_partiele

differentiaalvergelijkingen nuneriek op te lassen. De

differentiaalquotien-ten worden vervangen door

_{differentievergelijkinpen, de oplossinen}

_worren

bepaald. door hun waarden in

_{een groat aantal netpunten eri de}

(5)

-5-vergelijking wordt terugebracht tot een groot aantal lineaire vergelij-.

kingen met evenveel onbekenden.

De matrix van deze systemen heeft een bijzonder prettige eigenschap: zu

is grotendeels leeg.

In eerste instantie is er een zeer essentieel versohil tussen elliptische

vergelijkingen (subsone stroming, verrelijkingen van de

elasticiteits-theorie) parabolisclie ver(re1ijkinen (warmtegeleidinr, diffusie)

en

hyper-bolische vergelijkingen (supersone strorningen theorie van lange golven op

ondiep water, plasticiteitstheorie).

De oplossingsrnethoden van de bijbehorende lineaire verelijkingen zijn

voor de verschillende typen verschillend. Voor de elliptische

zeif-gead.-jungeercle systemen kan de bijbehorende matrix symmetrisch worden gekozen.

Wegens het grate aantal ontcenden en de accumulatie

van afrondingsfouten

is de methode van Gauss niet goed bruikbaar, eri worden met vrucht

itera-tiemethoden ontwikkeld.

Evenzo worden voor de andere ver«elijkingen steeds

_{meer efficiente}

metho-den ontwikkelcl, die het ook mogelijk maken

_{on niet lineairiteiten of}

ge-vallen met niet constante coefficiënten, die

vroeger orlMverkomelijke

rnoeilijkheden boden, te lijf te gaan. Het is echter

een misverstand orn te

denkens dat deze numerieke analyse het karakter heeft

van het "Rechnen,

wo das Denken aufhört". Integendeel, het niet-denken wcrdt door de

auto-maat gedaan, maar de methoden leyeren talleze problemen van convereentie

en wat nag belangrijker is stabiliteit.

Weliswaar is, als men een goede methode heeft

_{een nurierieke bening van}

een diffusieproblrern veel efficiënter dan een meeizame ontw.ikkeling in

speciale functies, die oak veer berekend moeten worden en kan het geval

van een diffusie-coefficient, die van de moncentratie afhangt

nu oak

mee-genomen worden, het zacken van de methode eist een grate

rnae van inzicht

en scherpzinnLgheid.

Het blijkt, dat nurnerieke methoden ,die

_{vroeger zeer effectief waren, met}

behuip van rekenautomaten aan belang verliezen. Een voorbeeld wordt

gele-verd door de methode van Ritz-Galerkin, die

_{vroeger met relatief weinig}

moeite betrouwb;ire resultaten leverde, Een verhetering

_{te krijgen}

verge-lijkbaar met de resultaten van een redelijk fijne verdeling, eist echter

veel meer rnoeite dan de directe berekening.

_{Zoals can alles, zijn echter}

oak aan de numerieke methoden grenzen gesteld.

In het geliied van golven met hoge frequentie

_{levert, zoals te begrijpen}

is een netwerk-procedure zeker slechte

resubìterA

_{n dit schijnt nog steeds}

een groat bezwaar te leyeren. Cok is het gevaar niet denkbeeldig,

dat door

het relatieve geinak, waarmee

_{rote hoevee1hedenresultaten in de vorm}

_van

(6)

ver-schijnselen niet worcìt odiend.

Dit is, op het o;renblik nog meer van belang, oindat een groot Ieel van het

denkwerk (convergentie, stabiliteit), niet betrekking heeft op de fysisc1e

aard. van het probleern,maar op de fouteri die door de aard van de

approxima-tie discretisering worden geintroduceerd, zdat het geen additionele ij-drage levert tot inzicht in de fysisehe structuur van het probleem.

Het is uiterrnate verheugend orn resultaten te kunnen krijgen, die met

kias-sieke methoden onbereikbaar zijn, maar dit betekent niet, dat analytische methoden weer geheel verdwijnen. Wel ugt het karakter geheel anclers

Dit moge ik aan een voorbeeld. toelichten. Enige jaren geleden is door een

Amerikaans onderzoeker g'ekenc1 aan de ontrnenging van zekere legeringen.

Bij verschillencie warcìen van een parameter bleek, dat de betrokken kromme ever een groot deel van het gebied vrijwel horizontaal was, daarna wel

veranderde en over een ander groot deel weer horizontaal hep.

Bij andere waarden vertoonde zich een oscillatie. De differentiaalverge-lijking was hiet lineair en niet exact op te lossen. Ret genoemde gedrag rechtvaardigde de veronderstelling, dat hier een asymptotische benadering year kleine waarden van e betrokken parameter uitkomst zou bieden.

Door de asymptotische benadering werd de vergelijking aanzienlijk vereen-voudigd en leverde, in het ene geval oplossingen, die zich gedroegen als

x

e in het andere geval als sin zodat het gedrag van de

numerie-ke oplossing goed. voorspeld kon worden.

Hier worcìt de rol van de analyse goed dii.idelijk. Indien het mogelijk is door asymptotische beschouwingen eenvoudige formules te verkrijgen, wordt het inzicht in de verschijnshen door analogie met de kennis, die wij van deze oenvoudige formules hebben, duidehijk verdiept. Tenslotte is geen enkele functie zo goed in staat een trilling te beschrijven als een si-nus en geeft e-macht catastrofale groei of geleïdelijk uitstervan voor-treffelijk weer'.

Naast de behandeling van vraagstukken nit rie fysica bieden echter dc re-kenautomatan talloze andere mogelijkheden. Lineair prrgrammeren is al genoerad, andere optimiliseringstechnieken zoals dynamisch programmeren

en zoek-technieken zi,jn alleen met behuip van rekenautomaten uitvoerbaar. Wachttijdproblezien, waarvan de eenvoudigste typen door analytische

be-hancleling met behulp van transformaties van Laplace behandeld kuinen wor-den, worden eenvoudig geimuleerd. Dit levert resultaten op, die de klas-sieke methoden helemaal niet of alleen na zeer veel moeite opleveren. Behalve deze problemen, die met het onderzoek smenhangen, zijn er

toe-passingen bij het ontwerp, het ontwikkelinr:swerk.

In een reclamebrochure van een automobielfirma, die dezer dagen in raijn brievenbus viel, lees ik dat e betrokken firma in Engeland een

(7)

reken-automaat ADA (niet eens zo bar duur) heeft aangeschaft die automobielen en onclerdélen met onfeilbare precisie op een papierbanci "tekent". Ht

systeem i een belangrijke huip voor de menselijke ontwerper, omdat het

het saaie routinewerk overneemt en met .rote sneiheici en nauwgezetheicl uitvoert.

Het berekenen van warmtewisselaars efld. wordt al jaren 1aig door reken-mac1ineproramma's uitgevoerd en juist hier is in de bedrijven het aantal toepassingon voora1sno; onuitputtelijk.

Na dit alles rijst ce onontkoambare vraag oe en in hoeverre moet bet onderwijs in de wiskunde aanepast worden aan deze ingrijpende

verande-rinen? Voor de specialisten is deze vraag eenvoudie genoe te

beantwoor-den. ledere ingenieur, die wetenscbappelijk onderzoek wil gaan doen,moet heclen ten dage toegerust zijn met een zekere kennis van numerieke analy-se en mcci in staat zijn een programma in een gangbare programmeertaal

(ALGOL of FORTRAN) t.e schrijven.

De betrokken stof wordi in speciale colleges gedoceerd en bet levert geen enkele moeilijkheid deze vakken als keuzevak of "verplicht yak" op

te. nemen.

Heel anders is de situatie in het onderwijs voor alle studenten voorna-melijk in de propaed.euse. Imrners, I:ier wordt bij de sarnenstelling van hei programma orn ieder uur gevochten en kont hei totale programma tot

stand door zorgvuldig afwegen. Net onder\Terp is van dermate groat belang,

dat er de nodig aandacht aan gewijd moot worden. Uit het voorafgaande is duidelijk, dat iedere ingenieur een redelijke kennis behoort te bezi± ten van numerieke methoden. Hei kûmt nog dagelijks voor, dat een normaal

afgestudeerd ingenieur in de mening verkeert, (tat er 14 typen

differan-tiaalvergelijkingen zijn, die geintegreerd kunnen worden. Andere

vergelij-kingen "kunnen niet" en waarschijnlijk kent een hoogleraar in de wi:kunde wel 140 typen, die hij kan integrereni Een dergelíjke _{vraag jaagt}

diezelf-de hoogleraar hei schaarnrood naar diezelf-de kaken en doet hem vragen, wat hij toch wel heeft misdaan in zijn onderwijs dat deze opvattingen nag

gemeen-goed zijn _{Een desideratum is dai de normale ingenieur in stact is} inte-gralen approximatief t _{berekenen met de trapeziumregel en de regel van} Simpson, dat hij enig idee heeft van de fouten, die hierbij ontstaan.

Verder behoort hij algebrasche of transcendente vergelijkingen met e

methode van Newton te kunnen oplossen en enig inzicht te hebben over ap-proxirnatie van functies door polynomen, waarbij de aloude reeks van

Taylor als eerste specimen kan dienen.

Naast deze minimumeisen kamen numerieke methoden ter integratie van

gewo-ne differentiaalvergelijkingen, en enige érvaring met iteretieve methoden voor hei vinden van eigenwaarden van matrices. Net is voorts gewensi, dat

(8)

hij weet, hoe ILineaire vergelijkingen worden opgelost en er zich wel van

bewust is, dat de beroeriiae ree1 van Cramer wel de meest omsiachtige

metho-de is orn dit te doen. Tenslotte kan men anno

₁₉₆₇

_{wel de eis stellen, dat}

hij in staat is voor eenvoudige gevallen zelf het rograinma in ALGOL of FORT1AN te schrijven.

Indien het gewicht van deze zaken bij de afdelingen derinete zwaar weegt, dat de ereidheid ontsteat orn i college-uur in de propaedeus hieraan op

te offeren (men zal dat dan in het 2e jaai doen) is in ieder eval rvoor gezorgd, dat de betrokken kennis waE1nwezi is. Toch is dit op den duur

geen _{evredigende toestand. Didaotisch niet, omdat de numerieke methoden}

als lets anders, naast de gewone methoden worden geïntroducerd en dus steeds eerì zeker odiuni behoud.en van een secundair alternatief.

Verder is bet niet efficient, want de hetrokken onderwerpen sluiton direct aan bij de stukken uit de analyse of de lineaire algebra waar zij

betrek-king op hebben, 11et verdient daarom verre de voorkeur de genoende

onder-werpen te incorporeren in het normale onderwijs in de analyse en in de lineaire algebra. uit stell echter wel hoge eisen aan de docent en een nadere bezinning is nodig hoe dit dan wel moet gebeuren Pet doel wordt

zeker niet bereikt, als men ewoon de thans heersenc7e stof doceert en deze

aanvult met de betrokken hoofdstukken. Afgezien vn het feit, dat dan :.

misschien de beschikbarn tijd onvoldoende is, wordt een evenwichtige op-bouw zeker niet bereikt. Ret is en blijft steeds sen moeilijke opgave orn

een le-jaars college analyse te geven _{iedere docent legt een ander} even-wicht aan tussen strengheid van bewijsvoering en bruikbaarheid. van de bij-gebrachte kennis. Als claar dan nog een derde vreemd. element bijkomt wordt

het resultaat nag onoverzichtelijker. Pen kan een extreem standunt inne-men en alle begrippen uit de analyse (getallensysteem, limieten,

difieren-tiaalquotiënten etc.) definiren op de wijze, waarop de getallen in de rekenmachine worden ingevoerd. Dit is een uitermate interessant experiment. Twee retallen zijn gelijk, als zij overeenstemmen in de binalen van een

binaire voorstellin met 48 cíjfers, er zijn slechts eindig veel getallen

etc.

Dit systeem veronderstelt echter, dat bet mogelijk is een analyse op te

bouwen, die finitistisch is en practisch evenveel presteert _{als de} gewo-ne snalyse. Bij mijn weten is een dergelijk syteem .nog) niet ontwikkeld

en een strenge opbouw stuit op grote moeilijkheden. (it blijkt onmiddel-lijk, als men in dit systeem gaat delen, een matrix-inversie _{is nog veel} rnoeilijker).

Ret is cìidactisch niet verantwoord orn de analyse _{aan onze Hogeschool streng}

te introduceren; aan de andere kant kan men alleen dn sen verantwoorde niet-strenge behandeling _{geven als de strenge behandeling achter de} hand

(9)

hand is, raen weet 9n tenminste welke bewering wèl en welke niet gefun-deerd is. Verder zal direct de eis gesteld worden dat de op deze wi.jze ge introduceerd.e analyse tot dezelfde nietnumerïeke behandeling van fysische en technische vraagstukken leidt, die nog steeds voor eenvoudig op te lassen problemen aangewezen is. Aangezien oak dit niet za gemakkelijk is uit te voeren, vervalt dit systeem.

Hei is echter zeer goed mogelijk m eon gezametlijke opbouw van de

ana-lyse en de numerieke analyse te geven waarbij beiden elkaar steunen en

dus 1-et primair aangevoerde bezwaar van overbelasting van hei ogramma

direct wegvalt. Terwijl tot nu toe een C definitie van een limiet steeds een abstracte zaak bleef, die in de praktijk meestal niet te voorschijn kwam, ugt bet nu voor de hand orn direct met bet invoeren van dit begrip eon (zeer eenvoudig) programma te laten schrijven, waarbij de definitie daadwerkelijk wordt toegepast.

lira.

n2+1n

n 2n2+3+2n In normale taalr Bereken voor n 1,2,3----i 2 2 n +n+1

tir)

-- 2 2n +2n+3

en stop hiermede, als f(n)_j< e bij geeven e , druk af n en n) laat e als parameter staan en voer het programma voor verschillende waarden

van uit.

Het is d.uidelijk, dai dit

bet

limiet-begrip ciuidelijk steunt en tegelij-kertijd. de student een numeriek proces bijbrengt.

Ren ander voorbeeld SteEds leven de stelling van Rolle een pobleern op Als f(a) >0 en f(b)< o en f(x) is continu, dan is er tenminste én

x tussen a en b, zoclat f(x ) = o is.

o o

Ook hier wordt bet bewijs veel concreten en daarmee gemakkelijk te ver-teren, indien hei door eon constructief bewijs wordt gesteund. Hiermee wordt dan oak direct een numeriek proces (niet 1-et beste) voor bet

vin-cien

van

een nulpunt geleverd. Ret is duidelijk, dai op deze wijze het zeer goed mogelijk worcit een bevredigende samenemelting van analyse en numerieke analyse te verkrijgen en merkwaardigerwijze worclt hierbij aen diegenen, die pnijs stellen op een jets strengere behandeling in hoge. mate tegemoetgekomen, Natuurlijk eist dai meer tijd, maar veel uit de oude stof kan vervallen. Ret berekenen van ingewikkelde integralen met

substitutiemethoden en partiaal breuksplitsing kan volleclig vervallen.

Alleen de z.g. strndaardinteralen heb1-en nog betekenis. Van groot belang is de reeks van Taylor, waar zoals al vermeld, interpolatiepilynomen,