Geneza matematyki wedle kognitywistów
The origin of mathematics
according to cognitive scientists
Jerzy Pogonowski
INSTYTUT JEZYKOZNAWSTWA˛ , UNIWERSYTET IM. ADAMAMICKIEWICZA
AL. NIEPODLEGŁO ´SCI4, 61-874 POZNA ´N
pogon@amu.edu.pl Abstract
This note is a critical presentation of the ideas proposed in (Lakoff, Núñez 2000). We doubt in their adequacy.
Wst˛ep
Celem tej notatki jest krytyczne przybli˙zenie czytelnikom ustale´n ze stosunkowo niedawno opublikowanej ksi ˛a˙zki (Lakoff, Núñez 2000). Autorzy to znani specja-li´sci nauk kognitywnych. Tym razem postanowili wykaza´c, ˙ze to wła´snie pro-cesy metaforyzacji s ˛a odpowiedzialne za tworzenie podstawowych poj˛e´c, a nawet całej struktury współczesnej matematyki. Odwołuj ˛a si˛e przy tym do ustale´n ze znanej monografii (Lakoff, Johnson 1980), ale tak˙ze do wielu nowszych prac. Na-sze omówienie dzielimy na cz˛e´sci odpowiadaj ˛ace cz˛e´sciom analizowanego tekstu. Uwagi krytyczne zamieszczamy zarówno w poszczególnych cz˛e´sciach, jak te˙z na ko´ncu tekstu, w punkcie 6.
Ksi ˛a˙zka jest – wedle deklaracji autorów – wst˛epem do analizy poj˛e´c matema-tycznych. Nie jest ani prac ˛a matematyczn ˛a, ani rozpraw ˛a z filozofii matematyki.
Nie stanowi te˙z bezpo´sredniego przyczynku do ustale´n z historii matematyki. Jej głównym natomiast celem jest ukazanie matematyki z perspektywy nauk kogni-tywnych. Przy tym – w zgodzie z podtytułem ksi ˛a˙zki – perspektywa ta uwzgl˛ed-nia fakt, po´swiadczany empirycznie, ˙ze umysł jest uciele´sniony (embodied mind). Uprawianie nauki, w tym matematyki, kształt kultury, organizacja do´swiadcze-nia potocznego wreszcie – wszystko to, zdaniem autorów, musi by´c tłumaczone w ´swietle tego podstawowego faktu.
We wst˛epie autorzy wyliczaj ˛a niektóre składniki mitologii matematycznej (The Romance of Mathematics), z którymi przyjdzie im si˛e zmierzy´c w próbie kogni-tywnego spojrzenia na matematyk˛e. Daj ˛a one, ich zdaniem, fałszywy obraz mate-matyki, przejawiaj ˛acy si˛e w nast˛epuj ˛acych stwierdzeniach:
1. Matematyka jest rzeczywista, cho´c jest abstrakcyjna i odciele´sniona. 2. Matematyka istnieje obiektywnie, dostarczaj ˛ac struktury dla całego
uniwer-sum, a tak˙ze wszelkich innych mo˙zliwych uniwersów. To istnienie jest nie-zale˙zne od istnienia ludzi lub w ogóle jakichkolwiek istot, przekracza je. 3. Ludzka matematyka jest jedynie cz˛e´sci ˛a abstrakcyjnej, transcendentalnej
matematyki. Tak wi˛ec, dowody matematyczne pozwalaj ˛a nam odkrywa´c transcendentalne prawdy o uniwersum.
4. Matematyka jest cz˛e´sci ˛a ´swiata fizycznego i dostarcza mu racjonalnej struk-tury. Istniej ˛a, dla przykładu: ci ˛agi Fibonacciego w kwiatach, spirale logaryt-miczne w skorupach ´slimaków, fraktale w zarysach gór, parabole w rzutach oraz liczba π w sferycznych kształtach planet, gwiazd oraz baniek mydla-nych.
5. Matematyka charakteryzuje nawet logik˛e, a zatem tak˙ze struktur˛e rozumo-wania, przy tym dowoln ˛a posta´c rozumowania, dowolnych istot.
6. Uczenie si˛e matematyki to zatem uczenie si˛e j˛ezyka natury, sposobu my-´slenia, który musi by´c wspólny dla wszelkich wysoce inteligentnych istot wsz˛edzie w kosmosie.
7. Poniewa˙z matematyka jest odciele´sniona, a rozum jest postaci ˛a logiki ma-tematycznej, sam rozum jest odciele´sniony. Wynika z tego, ˙ze – w zasadzie – maszyny mog ˛a my´sle´c.
Wszystkie te przekonania autorzy uwa˙zaj ˛a za fałszywe, za rodzaj przes ˛adów na temat istoty oraz roli matematyki. W całym dalszym tek´scie autorzy przyta-czaj ˛a argumenty przeciw trafno´sci powy˙zszych przekona´n. S ˛a to argumenty wska-zuj ˛ace na przede wszystkim metaforyczn ˛a natur˛e poj˛e´c matematycznych. Odnosi
si˛e to, jak zobaczymy, do podstawowej metafory matematycznej, z jak ˛a zwi ˛azane jest rozumienie poj˛ecia niesko´nczono´sci w matematyce. Przejawia si˛e owa meta-foryczno´s´c tak˙ze we wszelkich dziedzinach i na wszelkich poziomach uprawiania matematyki, dla przykładu, wedle autorów:
1. Liczby s ˛a metaforycznie przedstawiane jako punkty na osi liczbowej. 2. W algebrze Boole’a zbiorów tworzenie obiektów jest ujmowane
metafo-rycznie w terminach operacji algebraicznych.
3. W logice matematycznej rozumowania s ˛a metaforycznie przedstawiane jako rachunki na symbolach.
4. W przypadku funkcji trygonometrycznych k ˛aty s ˛a metaforycznie przedsta-wiane jako liczby.
5. Mno˙zenie liczb zespolonych przedstawiane jest metaforycznie na płasz-czy´znie zespolonej w terminach obrotów.
Te oraz dalsze metafory omawiane s ˛a szczegółowo w kolejnych rozdziałach. Niektóre metafory maj ˛a struktur˛e wielopoziomow ˛a – bazowane s ˛a na innych me-taforach. Ponadto, oprócz analizy zwykłych w takich przypadkach konstrukcji (dziedzina odniesienia, dziedzina docelowa, zwi ˛azki inferencyjne), autorzy pod-kre´slaj ˛a tak˙ze rol˛e zł ˛acze´n metaforycznych(metaphorical blends). Cała koncepcja Lakoffa i Núñeza wspierana jest ustaleniami współczesnych nauk kognitywnych. Obok szczegółowych wyników eksperymentalnych autorzy przywołuj ˛a wnioski oraz hipotezy natury ogólniejszej, np.:
1. Uciele´snienie umysłu. To sama natura naszych ciał, mózgów oraz codzien-nego funkcjonowania kształtuje ludzkie poj˛ecia i rozumowania, w szcze-gólno´sci matematyczne.
2. Nie´swiadomo´s´c poznawcza. Wi˛ekszo´s´c my´sli jest nie´swiadoma, nie w sen-sie Freudowskim, lecz po prostu jest niedost˛epna bezpo´sredniej ´swiadomej introspekcji. Nie mo˙zemy przyjrze´c si˛e bezpo´srednio naszym systemom poj˛eciowym i procesom my´slowym przebiegaj ˛acym na niskim poziomie. Wi˛ekszo´s´c my´slenia matematycznego taki ma wła´snie charakter.
3. My´slenie metaforyczne. Istoty ludzkie w wi˛ekszo´sci ujmuj ˛a poj˛eciowo abs-trakcje w terminach konkretnych, u˙zywaj ˛ac poj˛e´c i sposobów rozumowa-nia ugruntowanych w systemie sensoro-motorycznym. Przez metafor˛e po-j˛eciow ˛arozumie si˛e mechanizm, w wyniku którego abstrakcje s ˛a uchwyty-wane w terminach konkretnych. Matematyka powszechnie stosuje metafory poj˛eciowe.
Wyniki bada´n nauk kognitywnych skłaniaj ˛a do tezy, ˙ze mózg nie jest wcale „urz ˛adzeniem całkiem ogólnego przeznaczenia” (general-purpose device). Słu˙zy on przetwarzaniu informacji dotycz ˛acej: widzenia, ruchu, orientacji przestrzennej, wzajemnych oddziaływa´n interpersonalnych, emocji, j˛ezyka, potocznych rozumo-wa´n. J˛ezyk i człowiecze poj˛ecia nie s ˛a losowe i dowolne – s ˛a wysoce zorganizo-wane i wielce ograniczone, a to ze wzgl˛edu na ograniczenia i struktur˛e mózgu, ciała oraz ´swiata zewn˛etrznego. W odniesieniu do samej matematyki powy˙zsze ustalenia ka˙z ˛a zada´c m.in. nast˛epuj ˛ace pytania:
1. Jakie konkretnie mechanizmy działania ludzkiego mózgu oraz umysłu po-zwalaj ˛a ludziom na tworzenie poj˛e´c matematycznych oraz rozumowania matematyczne?
2. Czy matematyka ugruntowana na mózgu i umy´sle jest cał ˛a istniej ˛ac ˛a ma-tematyk ˛a? Czy te˙z racj˛e bytu ma matematyka w duchu Plato´nskim, prze-kraczaj ˛aca ciała i umysły oraz nadaj ˛aca struktur˛e kosmosowi (temu oraz wszystkim mo˙zliwym)?
Ksi ˛a˙zka stara si˛e odpowiedzie´c głównie na pierwsze z tych pyta´n, przy czym nie jest to – bo by´c nie mo˙ze – odpowied´z udzielana wewn ˛atrzmatematyki. Tere-nem, na którym tych odpowiedzi si˛e udziela s ˛a nauki kognitywne.
Natomiast pytanie drugie to jedno z podstawowych pyta´n filozofii matematyki. Odpowied´z proponowana przez autorów jest taka oto:
1. Twierdzenia dowodzone przez ludzi pozostaj ˛a w dziedzinie ludzkiego sys-temu poj˛e´c matematycznych.
2. Cała wiedza matematyczna, któr ˛a mamy lub mo˙zemy uzyska´c to wiedza wewn ˛atrz ludzkiej matematyki.
3. Nie ma ˙zadnego sposobu, aby przekona´c si˛e, czy twierdzenia dowodzone w ludzkiej matematyce maj ˛a jak ˛akolwiek prawdziwo´s´c obiektywn ˛a, zew-n˛etrzn ˛a wobec istot ludzkich lub innych.
Na pierwszy rzut oka sformułowania te mog ˛a sprawia´c wra˙zenie nieco tauto-logicznych. Autorzy staraj ˛a si˛e jednak podawa´c bardziej rozbudowane argumenty za ich trafno´sci ˛a, np.:
1. Problem istnienia matematyki rozumianej po Plato´nsku nie mo˙ze by´c roz-wa˙zany na drodze naukowej. Byty Plato´nskie nie mog ˛a by´c percypowane przez ciało, mózg, umysł. Nauka nie mo˙ze dowie´s´c ani obali´c twierdzenia o istnieniu bytów Plato´nskich, podobnie jak w przypadku istnienia lub nie-istnienia Boga.
2. Rozumienie matematyki przez ludzi polega´c mo˙ze jedynie na uj˛eciu jej w terminach dost˛epnych mózgowi oraz umysłowi.
3. To, czym jest ludzka matematyka jest empirycznym problemem naukowym, a nie problemem matematycznym ani filozoficznym. Tak wi˛ec, jedynie na-uki kognitywne, badaj ˛ace mózg, umysł oraz wi ˛a˙z ˛ace je zale˙zno´sci s ˛a w sta-nie odpowiedzie´c jaka jest istota ludzkiej matematyki. W konsekwencji, ca-ło´s´c matematyki to ludzka matematyka.
4. Gdyby jednak uwa˙za´c pytanie o istot˛e matematyki nie za pytanie naukowe lecz filozoficzne (albo i nawet religijne), to np. istnienie rzekomego Plato´n-skiego ´swiata matematyki oraz obiektywno´s´c jej prawd uzasadniane byłyby na drodze, która obecnie nie mo˙ze zosta´c uznana za naukow ˛a.
1
Arytmetyka
Umiej˛etno´sci matematyczne – cho´c oczywi´scie w skromnym zakresie – po´swiad-czane s ˛a eksperymentalnie u ludzkich noworodków. Sprytnie przeprowadzane do-´swiadczenia uwzgl˛edniaj ˛ace czas (a wi˛ec tak˙ze intensywno´s´c) uwagi zwracanej przez noworodki na manipulacje niewielkim liczbami przedmiotów pozwalaj ˛a postawi´c tez˛e, ˙ze dla takich minimalnych dziedzin, licz ˛acych do około czterech elementów noworodki s ˛a w stanie zdawa´c sobie spraw˛e z działa´n dodawania oraz odejmowania.
Niezale˙znie od kultury oraz wykształcenia, wszyscy ludzie dysponuj ˛a zdolno-´sci ˛a bezrefleksyjnego, natychmiastowego ustalenia z jak ˛a niewielk ˛a liczb ˛a obiek-tów maj ˛a do czynienia – ogranicza si˛e to do co najwy˙zej (mniej wi˛ecej) czte-rech obiektów. Przy wi˛ekszej liczbie obiektów wymagana jest ju˙z pewna refleksja, działania polegaj ˛ace na porz ˛adkowaniu i liczeniu. T˛e uniwersaln ˛a bezrefleksyjn ˛a umiej˛etno´s´c autorzy nazywaj ˛a subitizing. Podkre´sli´c nale˙zy, ˙ze nie mówi si˛e tu o manipulacjach na symbolach, lecz jedynie na samych obiektach. Odnosi si˛e ona nie tylko do wzroku, ale tak˙ze np. do wra˙ze´n słuchowych. Podobne umiej˛etno´sci arytmetyczne po´swiadcza si˛e równie˙z u Braci Mniejszych, nie tylko naczelnych.
Po´swiadcza si˛e eksperymentalnie, ˙ze uszkodzenia w obr˛ebie zakr˛etu k ˛atowego (angular gyrus) (znajduj ˛acego si˛e w dolnej korze ciemieniowej (inferior parietal cortex)) wi ˛a˙z ˛a si˛e z utrat ˛a zdolno´sci arytmetycznych. Nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze zakr˛et k ˛atowy jest anatomicznie poło˙zony w rejonie, gdzie znajduj ˛a si˛e powi ˛ aza-nia neuronów zwi ˛azanych ze wzrokiem, słuchem oraz dotykiem.
W ka˙zdym j˛ezyku etnicznym mamy do czynienia z wyra˙zaniem ró˙znego ro-dzaju zale˙zno´sci przestrzennych, które – dla kognitywisty – stanowi ˛a podstaw˛e do wyodr˛ebnienia odpowiednich schematów obrazowych (image schemas). Przykła-dem takiego schematu jest: pojemnik (wraz z wn˛etrzem, brzegiem, zewn˛etrzem).
Schematy zwi ˛azane s ˛a te˙z z systemami zale˙zno´sci aspektowych. Ruch i jego wy-ra˙zanie dostarczaj ˛a schematu ´zródło–droga–cel, itd.
Tworzymy metafory poj˛eciowe dokonuj ˛ac przyporz ˛adkowa´n z jednej dzie-dziny w inn ˛a – dla przykładu, w metaforze stany emocjonalne to miejsca w prze-strzeni lub stany fizyczneprzyporz ˛adkowujemy emocjom, uczuciom, itp. miejsca lub cechy fizyczne: by´c w depresji, ˙zywi´c ciepłe uczucia, itp. Takich metafor poj˛e-ciowych jest niezliczone mrowie, wiele z nich opisano dokładnie w (Lakoff, John-son 1980). Kategorie rozumiemy np. jako pojemniki, miło´s´c jako partnerstwo (w cywilizacji Zachodu), itd.
Zł ˛acze poj˛eciowe to kombinacja dwóch ró˙znych struktur poznawczych wraz z ustalonymi odpowiednio´sciami pomi˛edzy nimi. Je´sli te poł ˛aczenia s ˛a metafo-ryczne, to mówimy o zł ˛aczu metaforycznym. Za przykład niech słu˙zy tu o´s licz-bowa, która korzysta z metafory liczby to punkty na prostej.
Pomijamy dyskusj˛e wielu szczegółów dotycz ˛acych zdolno´sci tworzenia me-tafor. Autorzy wyró˙zniaj ˛a dwa typy metafor poj˛eciowych w matematyce:
1. Metafory bazuj ˛ace. Dostarczaj ˛a podstawowych, bezpo´srednio ugruntowa-nych poj˛e´c. Dla przykładu: dodawanie jako grupowanie razem obiektów. 2. Metafory ł ˛acz ˛ace. Dostarczaj ˛a bardziej abstrakcyjnych poj˛e´c. Dla
przykła-du: liczby to punkty na prostej, figury geometryczne to równania algebra-iczne.
W przypadku arytmetyki autorzy omawiaj ˛a głównie metafory pierwszego ty-pu. W metaforze ujmuj ˛acej arytmetyk˛e jako grupowanie obiektów dokonuj ˛a przy-porz ˛adkowania kolekcjom obiektów, relacjom mi˛edzy nimi, operacjom na nich odpowiednio: liczb, relacji i operacji arytmetycznych. Uzyskuj ˛a w ten sposób równie˙z ugruntowanie pewnych elementarnych praw arytmetycznych.
Inna metafora to arytmetyka jako konstruowanie obiektów. Operacje na cz˛e-´sciach obiektów przetwarzane s ˛a na operacje arytmetyczne. Trzecia z kolei me-tafora to meme-tafora odcinka pomiarowego – jego u˙zycia w odniesieniu do obiek-tów fizycznych transponowane s ˛a na odpowiednie operacje na liczbach. Wreszcie, wspomina si˛e o czwartej podstawowej metaforze: arytmetyka jako ruch wzdłu˙z drogi. Tak˙ze tutaj obiekty fizyczne i relacje mi˛edzy nimi transponowane s ˛a na liczby i ł ˛acz ˛ace je relacje.
Wspomniane wy˙zej cztery metafory odpowiedzialne s ˛a, zdaniem autorów, za traktowanie liczb jako rzeczy w ´swiecie. To z kolei ma m.in. i t˛e konsekwencj˛e, ˙ze metaforycznie ugruntowane zostaj ˛a ró˙zne zasady domkni˛ecia w arytmetyce: skoro operowanie na obiektach fizycznych pewnego rodzaju daje obiekty tego samego rodzaju, to pewne operacje w ustalonym systemie liczbowym nie wyprowadzaj ˛a poza ten system.
Wreszcie, podkre´sla si˛e, ˙ze rachunki dokonywane s ˛a na symbolach, a nie na samych liczbach. Tak wi˛ec, rachunki wykonywa´c mo˙zna nawet całkowicie bez-my´slnie, o ile tylko zna si˛e odpowiednie algorytmy rachowania.
2
Algebra, logika, zbiory
Autorzy twierdz ˛a, ˙ze poł ˛aczenie ustale´n historycznych z wynikami bada´n kogni-tywnych pozwala lepiej rozumie´c obowi ˛azuj ˛ace w matematyce standardy – przede wszystkim standard gruntowania poszczególnych teorii matematycznych na bazie aksjomatycznej. Standard ten – ujawniony po raz pierwszy w aksjomatycznym systemie geometrii Euklidesa – miałby si˛e wywodzi´c z d ˛a˙zenia Greków do cha-rakterystyki istoty (essence) zjawisk, z poszukiwania ogólnych zasad, rz ˛adz ˛acych ´swiatem, z których dałoby si˛e wyprowadzi´c wszelkie na temat ´swiata ustalenia.
Jako wyraziste przykłady posługiwania si˛e poj˛eciem istoty w matematyce au-torzy podaj ˛a rozwa˙zania algebraiczne. Abstrakcyjne struktury algebraiczne po-siadaj ˛a wielorakie – chciałoby si˛e rzec bardziej konkretne – realizacje. Dla przy-kładu, struktura trójelementowej przemiennej grupy addytywnej widoczna jest w konkretnych strukturach arytmetycznych (dodawanie modulo 3), geometrycz-nych (stosowna grupa obrotów), b ˛ad´z jeszcze innych. To, zdaniem autorów, ko-lejna wa˙zna metafora matematyki: istota systemu matematycznego to jego struk-tura algebraiczna.
Logikom XIX wieku (De Morgan, Boole) autorzy przypisuj ˛a posługiwanie si˛e metafor ˛a: klasy to pojemniki, a nast˛epnie wykorzystaniem tego, ˙ze liczby (oraz pewne prawa arytmetyczne)daj ˛a si˛e przekształci´c (metaforycznie) na klasy (oraz pewne operacje na nich). Dalej, metafora Boole’a miałaby polega´c na przenie-sieniu zale˙zno´sci algebraicznych na zale˙zno´sci w elementarnym rachunku klas (zbiorów), a przyporz ˛adkowanie klasom stanów ´swiata s ˛adów (w których s ˛ady owe s ˛a prawdziwe) miałaby pozwala´c na wykształcenie rachunku zda´n. Pewne proste prawa rachunku zda´n znajduj ˛a przy tym swoje odzwierciedlenie w zasa-dach dotycz ˛acych operowaniem pojemnikami (prawa: wył ˛aczonego ´srodka, mo-dus ponens, momo-dus tollens, sylogizmu hipotetycznego).
Uwagi dotycz ˛ace teorii mnogo´sci s ˛a raczej skromne. Autorzy wskazuj ˛a m.in. na:
1. metafor˛e (pochodz ˛ac ˛a od von Neumanna) traktowania liczb naturalnych jako zbiorów;
2. metafor˛e Cantora, pozwalaj ˛ac ˛a – w terminach relacji równoliczno´sci – po-równywa´c moce zbiorów;
3. interpretacj˛e zbiorów jako grafów, z rozró˙znieniem zbiorów spełniaj ˛acych b ˛ad´z nie aksjomat ufundowania.
Autorzy nie uwzgl˛edniaj ˛a wa˙znego aksjomatu teorii Zermela-Fraenkla, a mia-nowicie aksjomatu zast˛epowania. Jak wiadomo, bez tego aksjomatu nie mo˙zna wykona´c wielu podstawowych operacji w teorii mnogo´sci. W pewnym sensie, ak-sjomat zast˛epowania jest równie˙z swoistym akak-sjomatem niesko´nczono´sci. Wyko-rzystywany jest w definicjach przez indukcj˛e pozasko´nczon ˛a. Nie potrafimy wska-za´c powodu, dla którego autorzy go pomin˛eli. Mo˙zna chyba zbudowa´c stosown ˛a metafor˛e, oddaj ˛ac ˛a sens tego aksjomatu; w uproszczeniu chodzi przecie˙z o to, ˙ze obraz zbioru wzgl˛edem funkcji tak˙ze jest zbiorem.
3
Uciele´snienie niesko ´nczono´sci
3.1
Podstawowa metafora niesko ´nczono´sci
Procesy w ogólno´sci ujmowane s ˛a w terminach metafory poj˛eciowej, wedle któ-rej s ˛a one ruchami, za czym kognitywi´sci argumentowali ju˙z wcze´sniej. Ponadto, ci ˛agłe procesy, bez wyra´znego zaznaczenia ich zako´nczenia ujmowane s ˛a jako (dyskretne) procesy powtarzalne. W przypadku do´swiadczenia potocznego wska-zywa´c na to ma m.in. zró˙znicowanie gramatycznej kategorii aspektu w j˛ezykach etnicznych. Autorzy pisz ˛a (Lakoff, Núñez 2000: 157):
Why is this metaphor important for infinity? The reason is that we commonly apply it to infinitely continuous processes. Continuous processes without end – infinite continuous processes – are concep-tualized via this metaphor as if they were infinite iterative proces-ses, processes that iterate without end but in which each iteration has an endpoint and a result. For example, consider infinitely continu-ous motion, which has no intermediate endpoints and no intermediate locations where the motion stops. Such infinitely continuous motion can be conceptualized metaphorically as iterated motion with inter-mediate endings to motion and interinter-mediate locations – but with infi-nitely many iterations.
This metaphor is used in the conceptualization of mathematics to break down continuous processes into infinitely iterating step-by-step processes, in which each step is discrete and minimal. For exam-ple, the indefinitely continuous process of reaching a limit is typi-cally conceptualized via this metaphor as an infinite sequence of well-defined steps.
Wprowadzanie do rozwa˙za´n matematycznych obiektów infinitarnych jest – wedle autorów – ´sci´sle zwi ˛azane z podstawow ˛a metafor ˛a, ka˙z ˛ac ˛a „uzupełni´c” powtarzalny process, z nieokre´slon ˛a liczb ˛a owych powtórze´n, przez ostateczny wynik takiego procesu. Ten ostateczny wynik to nowy obiekt, maj ˛acy cechy nie-sko´nczono´sci aktualnej. Hipoteza autorów jest nast˛epuj ˛aca (Lakoff, Núñez 2000: 158):
We hypothesize that all cases of actual infinity – infinite sets, points at infinity, limits of infinite series, infinite intersections, least upper bounds – are special cases of a single general conceptual metaphor in which processes that go on indefinitely are conceptualized as having an end and an ultimate result. We call this metaphor the Basic Meta-phor of Infinity, or the BMI for short. The target domain of the BMI is the domain of processes without end – that is, what linguists call im-perfective processes. The effect of the BMI is to add a metaphorical completion to the ongoing process so that it is seen as having a result – an infinite thing.
Autorzy odnajduj ˛a t˛e podstawow ˛a metafor˛e w wielu konstrukcjach, omawia-nych w dalszych rozdziałach. Miałaby ona ingerowa´c we wszelkich sytuacjach, gdy dokonujemy w matematyce jakiego´s przej´scia do granicy, zastosowania ja-kiej´s zasady domkni˛ecia, a tak˙ze gdy korzystamy z zasady indukcji matematycz-nej.
3.2
Liczby rzeczywiste i granice
Wspomnian ˛a wy˙zej podstawow ˛a metafor˛e niesko´nczono´sci wykorzystuj ˛a autorzy w wielu przypadkach szczególnych, m.in.:
1. niesko´nczone rozwini˛ecia dziesi˛etne, 2. granice ci ˛agów niesko´nczonych, 3. szeregi niesko´nczone (oraz ich sumy), 4. granice funkcji,
5. kresy górne i dolne,
W istocie s ˛a to wszystko – naszym zdaniem – próby wskazania na obec-no´s´c pewnych prawidłowo´sci w procesie tworzenia poj˛e´c matematycznych, gdy chcemy (lub musimy) wprowadza´c nowe obiekty, które nie powstaj ˛a poprzez sko´nczony jedynie ci ˛ag operacji. Autorzy twierdz ˛a, ˙ze liczby rzeczywiste two-rzone s ˛a – ró˙znymi sposobami – z wykorzystaniem BMI. Wzajemnie jednoznaczne odpowiednio´sci pomi˛edzy wytworzonymi owymi ró˙znymi sposobami obiektami pozwalaj ˛a matematykom – wedle opinii autorów – na mówienie o jednej struktu-rze: the real numbers. W konkluzji rozdziału dodaj ˛a jednak, ˙ze wła´sciwie nie jest wcale oczywiste, i˙z liczby rzeczywiste musiałyby by´c tworzone z u˙zyciem tej lub innej wersji BMI.
3.3
Liczby pozasko ´nczone
Uwagi tego rozdziału s ˛a do´s´c skromne. Przypomina si˛e metod˛e przek ˛atniow ˛a Cantora. Przywołuje si˛e nieco propedeutycznych uwag na temat liczb porz ˛ ad-kowych i kardynalnych. Czytelnik nieobeznany z teori ˛a mnogo´sci mo˙ze odnie´s´c wra˙zenie, ˙ze kolejne moce niesko´nczone definiowane s ˛a w niej poprzez konstruk-cje: zbioru pot˛egowego oraz sumy rodziny zbiorów. Tak rzecz jasna nie jest: skala alefówwprowadzana jest na innej drodze (z wykorzystaniem przyporz ˛adkowania Hartogsa). Liczby kardynalne s ˛a pocz ˛atkowymi liczbami porz ˛adkowymi. Odpo-wiednio´s´c mi˛edzy skal ˛a alefów a skal ˛a mocy zbiorów tworzonych kolejno z ja-kiego´s zbioru niesko´nczonego (którego istnienie gwarantuje aksjomat niesko´n-czono´sci) poprzez iterowanie operacji brania zbioru pot˛egowego (kroki nast˛epni-kowe) oraz operacji brania sumy (kroki graniczne) nie jest, jak wiadomo, ustano-wiona przez aksjomatyczn ˛a teori˛e mnogo´sci Zermela-Fraenkla: uogólniona hipo-teza kontinuum jest od aksjomatów tej teorii niezale˙zna.
Wydaje si˛e, ˙ze to nie tylko BMI dostarcza „mechanizmu” dla tworzenia Can-torowskiej skali niesko´nczono´sci. S ˛adzimy, ˙ze warto byłoby w tym kontek´scie wspomnie´c o innej jeszcze idei, uwa˙zanej za podstawow ˛a w Cantorowskiej teorii mnogo´sci, a mianowicie idei ufundowania. To jednak temat na osobn ˛a dyskusj˛e.
3.4
Wielko´sci niesko ´nczenie małe
Ten z kolei rozdział jest do´s´c rozbudowany. Autorzy pisz ˛a o niesko´nczenie ma-łych, wprowadzonych do rachunku ró˙zniczkowego i całkowego przez Leibniza (wła´sciwie uczynionych przez nich „bardziej znanymi” w ich sformułowaniu). Twierdz ˛a, ˙ze zarówno Newton, jak i Leibniz stosowali metafor˛e: zmiana chwi-lowa to zmiana ´srednia wzgl˛edem niesko´nczenie małego przedziału. Metafora ta wymaga jeszcze – aby wykonalne były rachunki – jakiej´s arytmetyzacji owego poj˛ecia niesko´nczenie mały. Tu Newton i Leibniz si˛e ró˙zni ˛a. Pochodna cji dla danego argumentu liczbowego u Newtona to styczna do wykresu
funk-cji w punkcie, którego odci˛etej przyporz ˛adkowano ow ˛a warto´s´c liczbow ˛a. Z ko-lei sama styczna jest granicznym poło˙zeniem siecznej. Brane pod uwag˛e odcinki siecznej, gdy przyrost argumentu ∆x stawał si˛e dowolnie mały miały jednak za-wsze okre´slon ˛a długo´s´c – mo˙zna było im przyporz ˛adkowa´c pewn ˛a liczb˛e. Ró˙z-nica długo´sci odcinka siecznej do długo´sci odpowiedniego odcinka stycznej była zatem tak˙ze zawsze okre´slona liczbowo. Przy dowolnie małym przyro´scie argu-mentu ró˙znica ta wyra˙zała si˛e arytmetyczn ˛a funkcj ˛a argumentu ∆x. Je´sli war-to´s´c tej funkcji stawała si˛e dowolnie mała, to mo˙zna j ˛a było ignorowa´c i w ten sposób rachunek na długo´sciach siecznych mógł słu˙zy´c za wystarczaj ˛aco dobre przybli˙zenie, wyznaczaj ˛ace styczn ˛a. U Newtona mamy wi˛ec przej´scie graniczne w odniesieniu do obiektów geometrycznych.
Inaczej u Leibniza – wprowadza on niesko´nczenie małe jako wielko´sci czy-sto arytmetyczne, jako samoistnie istniej ˛aceobiekty matematyczne. Gdy odcinki siecznych u Newtona maj ˛a długo´sci, b˛ed ˛ace liczbami rzeczywistymi, to długo´sci owe u Leibniza wyra˙zone s ˛a liczbami niesko´nczenie małymi. Geometryczne uj˛e-cie Newtona zyskało solidny grunt arytmetyczny dopiero w wieku XIX, z chwil ˛a arytmetyzacji analizy. W analizie matematycznej uprawianej wedle standardu usta-nowionego przez Weierstrassa nie było miejsca na niesko´nczenie małe Leibniza. Na ich precyzyjny opis matematyczny poczeka´c musieli´smy do prac Abrahama Robinsona z połowy wieku XX, ustanawiaj ˛acych podstawy analizy niestandardo-wej. W opisie tym wykorzystuje si˛e konstrukcj˛e ultraproduktu. Liczby hiperrze-czywisteotrzymujemy jako ultraprodukt RN/U , gdzie R jest zbiorem wszystkich
liczb rzeczywistych, N zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a U ultrafiltrem niegłównym w rodzinie ℘(N) wszystkich podzbiorów zbioru N. To znana kon-strukcja, pochodz ˛aca w ogólno´sci od Łosia. W pewnym sensie antycypował j ˛a te˙z Skolem, buduj ˛ac swój niestandardowy model arytmetyki.
Autorzy nie przedstawiaj ˛a szczegółowo tej konstrukcji. Trudno czyni´c im z te-go powodu zarzuty, gdy˙z precyzyjny opis konstrukcji ultraproduktu wymaga wpro-wadzenia szeregu poj˛e´c dodatkowych. Ciekawa jednak mogłaby by´c próba uj˛ecia tego typu rozumowa´n w ramach podej´scia propagowanego w ksi ˛a˙zce. Trzeba by-łoby w tym celu znale´z´c odpowiednie metafory dla konstrukcji, oddaj ˛acych ide˛e równo´sci prawie wsz˛edzie. Takie konstrukcje wyst˛epuj ˛a powszechnie w matema-tyce – nie tylko we wspomnianym przypadku ultraproduktów, ale równie˙z np. w teorii miary, w analizie funkcjonalnej, teorii prawdopodobie´nstwa, itd.
Zamiast tego, autorzy staraj ˛a si˛e w popularny sposób przedstawi´c co´s, co na-zywaj ˛a liczbami ziarnistymi (granular numbers). Ma to by´c – jak si˛e zdaje – oswo-jenie czytelnika z intuicjami zwi ˛azanymi z wprowadzaniem wielko´sci (liczb) nie-sko´nczenie małych. Po uwagach dotycz ˛acych twierdzenia o zwarto´sci (w wersji semantycznej) autorzy staraj ˛a si˛e je wykorzysta´c dla intuicyjnego wprowadzenia pierwszej liczby niesko´nczenie małejδ, odwołuj ˛ac si˛e przy tym, rzecz jasna, do swojej ulubionej BMI, podstawowej metafory niesko´nczono´sci (zakłada si˛e te˙z,
i˙z spełnione s ˛a aksjomaty dla liczb rzeczywistych): 1. Niech x b˛edzie dodatnia i mniejsza od 1. 2. Niech x b˛edzie dodatnia i mniejsza od 12. 3. Niech x b˛edzie dodatnia i mniejsza od 13. 4. Niech x b˛edzie dodatnia i mniejsza od 14. 5. . . .
6. W kroku granicznym, niech δ b˛edzie liczb ˛a spełniaj ˛ac ˛a wszystkie powy˙z-sze warunki. Liczba taka istnieje, na mocy twierdzenia o zwarto´sci, bo dla ka˙zdego sko´nczonego układu powy˙zszych formuł istnieje liczba czyni ˛aca zado´s´c wszystkim warunkom wyra˙zonym w formułach tego układu.
Nast˛epnie oswajani zostajemy z H, liczb ˛a niesko´nczenie du˙z ˛a, okre´slon ˛a jako
1
δ. Potem otrzymujemy niesko´nczenie małe i niesko´nczenie du˙ze ró˙znych rz˛edów,
poprzez operacje arytmetyczne (w szczególno´sci, pot˛egowanie). Autorzy dodaj ˛a explicite, ˙ze owe niesko´nczenie małe oraz niesko´nczenie wielkie liczby odnaj-dujemy w innym, ró˙znym od standardowego, modelu teorii liczb rzeczywistych (oraz całego niesko´nczonego układu powy˙zej wyliczonych formuł).
4
Program dyskretyzacji matematyki
4.1
Punkty i kontinuum
Autorzy zwracaj ˛a uwag˛e na dwa sposoby poj˛eciowego ujmowania przestrzeni w matematyce. Pierwsze z nich wi ˛a˙z ˛a z naturalnym pojmowaniem przestrzeni, takim, jakie prawdopodobnie akceptujemy wszyscy w do´swiadczeniu potocznym. Tu przestrze´n jawi si˛e jako absolutnie ci ˛agła(podobnie płaszczyzna). Nie składa si˛e ona z ˙zadnych obiektów, a raczej jest jakby tłem, na którym obiekty s ˛a umiesz-czane. Linie proste oraz krzywe s ˛a absolutnie ci ˛agłe, jak drogi przebiegane przez poruszaj ˛acy si˛e punkt. Wreszcie, punkty same nie s ˛a obiektami, a jedynie loka-lizacjami: w przestrzeni, na płaszczy´znie, na prostej. Z ostatnimi z tych poj˛e´c wi ˛a˙zemy intuicyjne poj˛ecie wymiaru.
To „naturalne” rozumienie przestrzeni zaczyna si˛e zmienia´c, pisz ˛a autorzy, w miar˛e oswajania metafory: liczby to punkty na prostej (a układy liczb odpo-wiadaj ˛a punktom na płaszczy´znie i w przestrzeni). Rozwija si˛e t˛e metafor˛e w po-cz ˛atkach: geometrii analitycznej oraz rachunku ró˙zniczkowego. We współczesnej matematyce autorzy zauwa˙zaj ˛a intensywny rozwój programu jej dyskretyzacji, rozpocz˛etego w wieku XIX, do realizacji którego przyczyniły si˛e:
1. Program arytmetyzacji analizy, który miał na celu m.in. wyeliminowanie „naturalnego” rozumienia poj˛ecia przestrzeni ci ˛agłej i zast ˛apienie go repre-zentacj ˛a arytmetyczn ˛a.
2. Program formalizacji, który zmierzał do uj˛ecia matematyki jako manipula-cji dyskretnymi symbolami.
3. Logika symboliczna, która miała reprezentowa´c rozumowania na drodze dyskretnej, z wykorzystaniem dyskretnych symboli.
4. Logicyzm, który zamierzał zredukowa´c matematyk˛e do logiki symbolicznej oraz teorii mnogo´sci.
5. Topologia ogólna, która proponowała zast ˛apienie wspomnianego „natural-nego” rozumienia poj˛ecia ci ˛agłej przestrzeni przez rozumienie oparte na poj˛eciach teorii mnogo´sci.
Współcze´snie przestrze´n (płaszczyzna, prosta) pojmowana jest wi˛ec jako zbiór, którego elementami s ˛a punkty. Rozmy´slaj ˛ac nad ewolucj ˛a rozumienia poj˛ecia przestrzeni trzeba pami˛eta´c, ˙ze – powiedzmy – dwie´scie lat temu rozumienie to było inne, było wła´snie owym „naturalnym” rozumieniem. Od XIX wieku w ma-tematyce rozwa˙za si˛e jednak wiele ró˙znorodnych przestrzeni – nie mamy przy tym na my´sli jedynie wł ˛aczenia do tych rozwa˙za´n geometrii nieeuklidesowych. Wa˙zne uogólnienia podał Riemann – prowadz ˛a one do poj˛ecia rozmaito´sci. To-pologia ogólna wypracowała całkiem ogólne poj˛ecie przestrzeni, której bardzo szczególnym przypadkiem jest znana ze szkoły przestrze´n kartezja´nska. Dysponu-jemy ogólnymi poj˛eciami: metryki oraz normy, i tutaj równie˙z np. znana ze szkoły metryka wyznaczona przez miar˛e odcinka (przez warto´s´c bezwzgl˛edn ˛a) jest tylko szczególnym przypadkiem. Rozwa˙zamy przestrzenie, których elementami mog ˛a by´c do´s´c skomplikowane twory matematyczne, poczynaj ˛ac, powiedzmy, od funk-cji. Analiza funkcjonalna dostarcza ´srodków do badania przestrzeni funkcyjnych oraz operatorów okre´slonych na takich przestrzeniach. Trudno obecnie wyobrazi´c sobie inny ni˙z teorio-mnogo´sciowy (lub teorio-kategoryjny) paradygmat, w któ-rym jednolicie dałoby si˛e opisa´c tak ró˙znorodne przestrzenie.
Autorzy staraj ˛a si˛e eksplikowa´c rozumienie poj˛ecia punktu przy u˙zyciu BMI, podstawowej metafory niesko´nczono´sci – np. w zastosowaniu do zst˛epuj ˛acego ci ˛agu dysków o coraz mniejszych ´srednicach. Przywołuj ˛a w tym kontek´scie ewen-tualno´s´c uwzgl˛ednienia dysków o ´srednicach b˛ed ˛acych liczbami niesko´nczenie małymi. Wskazuj ˛a na pewne trudno´sci, które mog ˛a pojawia´c si˛e, gdy pytamy np. co miałoby znaczy´c, ˙ze punkty si˛e stykaj ˛a.
Uwagi autorów na temat współczesnego rozumienia takich poj˛e´c jak np. punkt warto mo˙ze uzupełni´c spostrze˙zeniem, ˙ze mo˙zemy te˙z kultywowa´c takie rozumie-nie poj˛e´c przestrzennych, w których wyj´sciowymi poj˛eciami byłyby np. obszary,
a punkty stawały by si˛e wtedy (by´c mo˙ze wysoce skomplikowanymi) konstruk-cjami. W istocie, jest to podej´scie obecne w ró˙znych koncepcjach mereotopolo-gicznych.
Nie kryj ˛ac swoich emocji, autorzy z naciskiem podkre´slaj ˛a istotne ró˙znice pomi˛edzy „naturalnym” rozumieniem ci ˛agłej przestrzeni a rozumieniem odwołu-j ˛acym si˛e do programu dyskretyzacji, w którym przestrze´n jest zbiorem, a jego elementami s ˛a punkty. Przywołuj ˛a w tym miejscu m.in. znane przykłady „funk-cji wypełniaj ˛acych przestrze´n” (dokładniej: kwadrat jednostkowy), które – przy rozumieniu „naturalnym” wcale, wedle ich sformułowania, takiej własno´sci wy-pełniania nie maj ˛a.
Za wa˙zne i trafne uwa˙zamy nast˛epuj ˛ace uwagi autorów, podane w zako´ncze-niu tego rozdziału (Lakoff, Núñez 2000: 290):
The passion for closure pushed the mathematical community to find allthe linearly ordered numbers that could be solutions to polynomial equations – that is, the system of all linear numbers closed under the operations of addition and multiplication, including all the limits of sequences of such numbers.
The principle of closure then had another effect. It tended to keep the mathematical community from looking further at ordered number systems that were not required for closure – systems such as hyperre-als. Though infinitesimals were used successfully in mathematics for hundreds of years, the drive for closure of a linear number system led mathematicians to stop with the reals. Closure took precedence over investigating the infinitesimals.
Achieving closure for the real numbers meant “completing” the inte-gers and the rationals. Since numbers were seen as points on the line, that meant “completing” the line – the entire “continuum”, finding a “real” number for every possible point. The cardinality of the real numbers – the numerical “size” as measured by Cantor’s metaphor – became the “number of points on the line”. And the Continuum hypo-thesis, which is about numbers, was thought of as being about points constituting the naturally continuous line.
What was hidden was that “completeness” – closure with limit points – under the discretization program wound up defining what a “point” on a “line” was to be.
Te uwagi autorów nale˙zy jednak, naszym zdaniem, skonfrontowa´c tak˙ze z na-st˛epuj ˛acymi ustaleniami samej matematyki:
1. Wyniki dotycz ˛ace mo˙zliwych warto´sci mocy kontinuum. Pot˛egowanie liczb kardynalnych to bardzo trudna operacja, w teorii mnogo´sci podano jednak szereg twierdze´n j ˛a charakteryzuj ˛acych (Tarski, Easton, Silver, Shelah,. . . ). Jeszcze w naiwnej teorii mnogo´sci, przed aksjomatyzacj ˛a, udowodniono (König), ˙ze moc kontinuum nie ma przeliczalnej współko´ncowo´sci. Jak wy-nika z ustale´n teorii mnogo´sci, kontinuum mo˙ze przybiera´c prawie całkiem dowoln ˛a warto´s´c na skali alefów. Nie jest wi˛ec tak – jak mogłoby zdawa´c si˛e laikowi po lekturze tego rozdziału – i˙z matematycy nie s ˛a ´swiadomi owej dowolno´sci warto´sci mocy kontinuum. Osobn ˛a kwesti ˛a jest oczywi´scie to, czy ta dowolno´s´c przekłada si˛e na to, co autorzy pisz ˛a o „naturalnym” ro-zumieniu poj˛ecia przestrzeni ci ˛agłej.
2. Twierdzenia o izomorfizmie. Uwagi autorów o „zasadzie domkni˛ecia” mog ˛a wyda´c si˛e nieco zwodnicze. Istotnie, matematycy badali struktury domkni˛ete na operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie, dzielenie) – badania te zawieraj ˛a teorie: pier´scieni oraz ciał. W szczególno´sci, otrzy-mano twierdzenia (Frobenius, Hurwitz, Ostrowski, Pontriagin,. . . ) charak-teryzuj ˛ace, z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu te algebry z dzieleniem, w któ-rych owe podstawowe operacje arytmetyczne s ˛a wykonalne. Twierdzenia te bior ˛a pod uwag˛e powi ˛azanie własno´sci: arytmetycznych, porz ˛adkowych oraz topologicznych. Wyró˙zniaj ˛a algebry: liczb rzeczywistych, liczb zespo-lonych, kwaternionów oraz oktonionów, przy czym tylko w dwóch pierw-szych mno˙zenie jest przemienne (a mno˙zenie oktonionów nie jest nawet ł ˛aczne). Liniowo uporz ˛adkowane jest ciało liczb rzeczywistych – w ciele liczb zespolonych nie mo˙zna wprowadzi´c porz ˛adku zgodnego z działaniami arytmetycznymi. Bada si˛e równie˙z ciała niearchimedesowe – np. ciała liczb p-adycznych, gdzie p jest liczb ˛a pierwsz ˛a. Wreszcie, bada si˛e te˙z inne jesz-cze struktury, w których współwyst˛epuj ˛a własno´sci arytmetyczne, porz ˛ ad-kowe oraz topologiczne – np. liczby hiperrzeczywiste (o których autorzy wspominaj ˛a), liczby superrzeczywiste. Liczby niesko´nczenie małe to poja-wiaj ˛a si˛e w rozwa˙zaniach matematycznych, to z nich znikaj ˛a, by potem – w innej postaci, w innej szacie matematycznej – znowu si˛e pojawi´c. Nie-sko´nczenie małe w analizie niestandardowej badane s ˛a intensywnie dopiero od około pół wieku, trudno przewidzie´c, jak intensywny b˛edzie rozwój tej dyscypliny. Istotnie, ze wzgl˛edu na wielo´s´c zastosowa´n najbardziej popu-larne jest reprezentowanie „kontinuum liniowego” przez zupełne ciało upo-rz ˛adkowane liczb rzeczywistych. To, czy wspomniane kontinuum uzyska powszechnie akceptowane w´sród matematyków inne reprezentacje zale˙zy, naszym zdaniem, od tego, jakie ciekawe i wa˙zne w zastosowaniach konse-kwencje ujawni ˛a si˛e w tych reprezentacjach. Nie jest to perspektywa kilku, kilkunastu czy nawet kilkudziesi˛eciu lat – zwró´cmy uwag˛e, ˙ze do pełnego
„oswojenia” liczb rzeczywistych w matematyce, do podania pierwszych wystarczaj ˛aco precyzyjnych definicji, potrzeba było około dwóch tysi˛ecy lat.
4.2
Ci ˛
agło´s´c dla liczb: metafora Dedekinda
Konstrukcj˛e Dedekinda liczb rzeczywistych uwa˙zaj ˛a autorzy za jeden z wa˙zniej-szych momentów w historii współczesnej matematyki. Jak wiadomo, podano ró˙z-ne definicje (mo˙zna wyliczy´c bodaj dwana´scie najwa˙zniejszych) poj˛ecia liczby rzeczywistej. Zwykle przywołuje si˛e w podr˛ecznikach jedn ˛a z dwóch definicji: Cantora (liczby rzeczywiste jako klasy abstrakcji stosownej relacji równowa˙zno-´sci mi˛edzy ci ˛agami Cauchy’ego) lub Dedekinda (liczby rzeczywiste jako prze-kroje zbioru liczb wymiernych).
Konstrukcj˛e Dedekinda autorzy chc ˛a oczywi´scie zaprezentowa´c jako wynik zastosowania szczególnych metafor. Mówi ˛a wi˛ec o: metaforze przekroju geome-trycznego Dedekindaoraz metaforze przekroju arytmetycznego Dedekinda. Cytuj ˛a wybrane fragmenty Stetigkeit und irrationale Zahlen, przywołuj ˛a intuicje zwi ˛ a-zane z ludow ˛a teori ˛a mierzenia i wielko´sci(The Folk Theory of Measurement and Magnitude), a konstrukcj˛e Dedekinda podsumowuj ˛a nast˛epuj ˛aco (Lakoff, Núñez 2000: 302):
In short, the Dedekind Arithmetic Cut metaphor states: A real number is an ordered pair of sets(A, B) of rational numbers, with all the ra-tionals inA being less than all the rationals in B, and all the rational numbers are inA ∪ B.
Dodaj ˛a równie˙z, ˙ze wspomniane metafory Dedekinda wzi˛ete ł ˛acznie ukazuj ˛a, ˙ze przekroje liczb wymiernych wyczerpuj ˛a ogół liczb rzeczywistych, i w szcze-gólno´sci eliminuj ˛a z analizy niesko´nczenie małe. Argumentuj ˛a nast˛epuj ˛aco:
1. Metafora przekroju geometrycznego Dedekinda (wykorzystuj ˛aca Ram˛e Po-j˛eciow ˛a Przekroju, Dedekind’s Cut Frame – b˛ed ˛ac ˛a metafor ˛a linia liczb wy-miernychwraz z punktem C na tej˙ze linii, dziel ˛acym wszystkie liczby wy-mierne na rozł ˛aczne zbiory A i B, gdzie wszystkie liczby w A s ˛a mniejsze od wszystkich liczb w B) polega na przyporz ˛adkowaniu tej ramie, w dzie-dzinie docelowej, poł ˛aczenia metaforycznego linia liczb rzeczywistych wraz ze wspomnian ˛a ram ˛a.
2. Dedekind ma zakłada´c istnienie liczby rzeczywistej dla ka˙zdego punktu prostej. Daje to podstaw˛e dla Measurement Criterion for Completeness liczb rzeczywistych.
3. Powy˙zsze kryterium zakłada, wedle autorów, poł ˛aczenie metaforyczne liczby to punkty na liniioraz aksjomat Archimedesa.
4. Z ostatnich dwóch zało˙ze´n wynika jednoznaczno´s´c konstrukcji ka˙zdej liczby rzeczywistej.
5. Arytmetyczna metafora przekroju gwarantuje, ˙ze w zbiorze liczb rzeczywi-stych zdefiniowanych przez Dedekinda nie ma ˙zadnych luk (gaps).
6. Tak wi˛ec, przekroje liczb wymiernych wyczerpuj ˛a ogół liczb rzeczywi-stych.
7. Wreszcie, ci ˛agło´s´c prostej rzeczywistej miałaby by´c gwarantowana meta-for ˛a: Continuity for the Number Line Is Arithmetic Gaplessness.
Przyznajemy, ˙ze nie we wszystkim potrafimy nad ˛a˙zy´c za argumentacj ˛a auto-rów. W szczególno´sci, trudno nam si˛e zgodzi´c, aby najwa˙zniejsze w konstrukcji Dedekinda było jego rzekome inspirowanie si˛e poj˛eciami geometrycznymi. Wy-daje si˛e, ˙ze nale˙załoby raczej zwróci´c uwag˛e na nast˛epuj ˛ace sprawy:
1. Istotnie, Dedekind chciał wyeliminowa´c z mówienia o liczbach rzeczywi-stych wszelkie intuicyjne odniesienia geometryczne. Na drugim niejako planie wskazywał na mo˙zliwo´s´c ustalenia wzajemnie jednoznacznej odpo-wiednio´sci mi˛edzy skonstruowanymi liczbami rzeczywistymi a punktami prostej rzeczywistej.
2. Dedekind podaje dowód, ˙ze rodzina wszystkich przekrojów liczb wymier-nych, ze stosownie zdefiniowanym porz ˛adkiem tych przekrojów ma wła-sno´s´c ci ˛agło´sci, w tym sensie, i˙z porz ˛adek ten nie zawiera luk.
3. Dedekind pokazuje, ˙ze w zbiorze wszystkich przekrojów liczb wymiernych okre´sli´c mo˙zna działania arytmetyczne. Współcze´snie dodamy: operacje arytmetyczne zgodne z porz ˛adkiem. Liczby rzeczywiste Dedekinda tworz ˛a wi˛ec ciało uporz ˛adkowane w sposób ci ˛agły.
4. Ka˙zde ciało uporz ˛adkowane w sposób ci ˛agły jest archimedesowe.
5. Dedekind pokazuje, ˙ze liczby wymierne tworz ˛a o´srodek w zbiorze liczb rzeczywistych.
6. Gdy rozwa˙zymy liczby hiperrzeczywiste ze standardowo definiowanym dla nich porz ˛adkiem (R∗, <U) (gdzie U jest u˙zywanym w konstrukcji
(a) Rodzina R∗wszystkich przekrojów zbioru (R∗, <U) jest ci ˛agła w
sen-sie Dedekinda.
(b) Ani (R∗, <U) ani rodzina R∗ tych przekrojów nie jest przestrzeni ˛a
o´srodkow ˛a.
(c) W konsekwencji, ˙zadna z tych struktur nie jest izomorficzna ze stan-dardowo uporz ˛adkowanym zbiorem liczb rzeczywistych (R, <). (d) Liczby niesko´nczenie małe s ˛a domkni˛ete na dodawanie i mno˙zenie
(tworz ˛a pier´scie´n). Jednak w zbiorze wszystkich przekrojów struktury (R∗, <U) nie mo˙zna okre´sli´c działa´n arytmetycznych tak, aby uzyska´c
struktur˛e ciała. Gdy bowiem rozwa˙zy´c przekrój (A, B) taki, ˙ze A to wszystkie ujemne liczby hiperrzeczywiste oraz liczby niesko´nczenie małe, a B to reszta liczb hiperrzeczywistych, to wida´c, i˙z przekrój ten wyznacza luk˛e. Zgodnie z definicj ˛a proponowan ˛a dla przekrojów powinno by´c:
(A, B) + (A, B) = (A, B) (A, B) × (A, B) = (A, B),
a wi˛ec nie otrzymujemy ani grupy addytywnej ze wzgl˛edu na doda-wanie, ani grupy multiplikatywnej ze wzgl˛edu na mno˙zenie.
(e) Nauka z tego m.in. taka (por. (Błaszczyk 2007: 183), (Batóg 2000: 30–31)), ˙ze uzupełnianie zbioru uporz ˛adkowanego metod ˛a Dedekinda jest w samej swojej istocie rozszerzaniem ciała (liczb wymiernych), a nie po prostu „wypełnianiem luk w porz ˛adku” nowymi elementami. 7. Dedekind wykonał przede wszystkim pewn ˛a (znakomit ˛a!) robot˛e algebra-iczn ˛a. Pokazał zarówno metod˛e konstrukcji pewnej specjalnej struktury aryt-metyczno-porz ˛adkowej (liczb rzeczywistych wła´snie), ale tak˙ze dał pod-stawy pod tzw. metod˛e uzupełniania Dedekinda, powszechnie wykorzysty-wan ˛a w teorii struktur porz ˛adkowych, topologii, itd.
8. Dedekind wskazał na mo˙zliwo´s´c interpretacji ci ˛agło´sciprostej rzeczywistej w terminach arytmetycznych. Przy tym, owa prosta rzeczywista była obiek-tem do´s´c tajemniczym – w sysobiek-temie geometrii Euklidesa nie wyst˛epuj ˛a proste (s ˛a jedynie odcinki, które mo˙zna dowolnie przedłu˙za´c). Je´sli wi˛ec mówi´c o jakiej´s metaforze Dedekinda, to nale˙załoby chyba odnosi´c j ˛a do ukazanej przeze´n odpowiednio´sci pomi˛edzy zdefiniowanymi przez niego (z uwzgl˛ednieniem własno´sci arytmetycznych i porz ˛adkowych) liczbami rze-czywistymi a wielko´sciami geometrycznymi wi ˛azanymi tradycyjnie z od-cinkami.
9. Dedekind operował zbiorami oraz liczbami wymiernymi (oraz porz ˛adkiem i operacjami arytmetycznymi na nich), lecz nie dysponował jeszcze ani teori ˛a zbiorów (tej dostarczył pó´zniej Cantor, a w postaci aksjomatycznej ugruntował Zermelo), ani teori ˛a liczb wymiernych (t˛e z kolei podał Weber). Teori˛e liczb wymiernych wreszcie oprze´c mo˙zna było na aksjomatycznej teorii liczb naturalnych, któr ˛a opracował Peano.
10. Na marginesie dodajmy jeszcze, ˙ze aksjomat ci ˛agło´sci jest niezale˙zny od aksjomatów geometrii absolutnej. Istniej ˛a modele tej geometrii, w których aksjomat ten nie zachodzi.
Tak wi˛ec, proste metafory przekroju (geometryczna i arytmetyczna, w termi-nologii autorów) to jeszcze nie wszystko, je´sli chodzi o analiz˛e idei matematycz-nychzwi ˛azanych z konstrukcj ˛a Dedekinda. Wnikliw ˛a analiz˛e konstrukcji Dede-kinda, wraz z wieloma odniesieniami do innych konstrukcji liczb rzeczywistych zawiera monografia (Błaszczyk 2007). Niezwykle interesuj ˛ace uwagi dotycz ˛ace rozumienia poj˛ecia ci ˛agło´sci w matematyce znajdujemy np. w (Mioduszewski 1996).
Autorzy oczywi´scie trafnie podkre´slaj ˛a, ˙ze swoj ˛a konstrukcj ˛a Dedekind uwol-nił podstawy analizy od konieczno´sci odwoływania si˛e do rozumienia ci ˛agło´sci jako np. jako´s wyznaczonej przez ruch punktu. Trafnie te˙z zwracaj ˛a uwag˛e na fundamentaln ˛a – z filozoficznego punktu widzenia – rol˛e nast˛epuj ˛acego fragmentu rozprawy Dedekinda ((Dedekind 1872: 11), przekład – JP):
Przyj˛ecie tej własno´sci linii prostej jest niczym innym jak aksjoma-tem, dopiero na mocy którego przyznajemy linii prostej jej ci ˛agło´s´c, na mocy którego wnikamy w ci ˛agło´s´c linii prostej. Je´sli przestrze´n ma w ogóle jak ˛a´s realn ˛a egzystencj˛e, to wcale nie musi koniecznie by´c ci ˛agła; niezliczone jej własno´sci pozostałyby takie same, gdyby była nieci ˛agła. I gdyby´smy wiedzieli z pewno´sci ˛a, ˙ze przestrze´n jest nieci ˛agła, to i tak nic nie mogłoby nas powstrzyma´c, gdyby´smy tego chcieli, aby w my´sli uczyni´c j ˛a ci ˛agł ˛a, poprzez wypełnienie jej luk; to wypełnienie polegałoby jednak na tworzeniu nowych indywiduów punktowych wedle powy˙zszej zasady.
Równie˙z twórcy innych definicji liczb rzeczywistych (Hilbert, Cantor, Heine) przyznawali, i˙z nie ma ˙zadnych dowodów na to, ˙ze przestrze´n (fizyczna) ma na-tur˛e ci ˛agł ˛a. Algebraiczna konstrukcja liczb rzeczywistych Dedekinda to przykład swobody twórczejmatematyki. Innym takim przykładem, znanym ka˙zdemu, kto cho´c troch˛e interesuje si˛e matematyk ˛a jest konstrukcja skali alefów w teorii mno-go´sci. Mo˙zna szuka´c – w ró˙znych działach matematyki – dalszych przykładów
takiej wolnej kreatywno´sci. Ciekawym problemem mo˙ze okaza´c si˛e to, czy istot-nie wszelkie tego typu przykłady mo˙zna eksplikowa´c wedle schematu tworzenia metafor, proponowanego przez Lakoffa i Núñeza.
4.3
Analiza bez przestrzeni i ruchu: uj˛ecie Weierstrassa
Program arytmetyzacji analizy miał nada´c wszelkim rozwa˙zaniom w tej dyscypli-nie cechy ´scisło´sci, pozbawi´c je jakichkolwiek odwoła´n do intuicji. Wielu ma-tematyków przyczyniło si˛e do realizacji tego programu, lecz za najwa˙zniejsze uwa˙za si˛e powszechnie osi ˛agni˛ecia Weierstrassa.
4.4
Arytmetyzacja analizy
Postanowiono wyeliminowa´c z analizy wszelkie intuicyjne odwołania do geome-trii, okre´sli´c takie poj˛ecia jak: granica, ci ˛agło´s´c funkcji, pochodna, całka wył ˛ acz-nie w terminach liczbowych. Autorzy pisz ˛a, ˙ze zgodnie z zaleceniami tego pro-gramu:
1. „Naturalne” rozumienie ci ˛agło´sci miało zosta´c wyeliminowane z rozumie-nia poj˛e´c: przestrzeni, płaszczyzny, prostych, krzywych, figur geometrycz-nych. Geometria miała by´c ujmowana w terminach zbiorów dyskretnych punktów, a te z kolei miały by´c ujmowane jako liczby b ˛ad´z ich układy. 2. Pomysł uwa˙zania krzywej jako wyniku ruchu punktu miał zosta´c
porzu-cony. ˙Zadnych odwoła´n do ruchu, upływu czasu, „zbli˙zania si˛e”, itp. Wszyst-kim tym sformułowaniom nale˙zało nada´c szat˛e liczbow ˛a.
Oznaczało to istotn ˛a zmian˛e my´slenia o matematyce, wymagało rektyfika-cji poj˛e´c matematycznych. Przyj˛ete rozwi ˛azania tych problemów s ˛a akceptowane tak˙ze dzisiaj. Przypomnijmy:
1. Granica funkcji. Niech f b˛edzie funkcj ˛a zdefiniowan ˛a na przedziale otwar-tym zawieraj ˛acym liczb˛e a oraz niech b b˛edzie liczb ˛a rzeczywist ˛a. Mówimy, ˙ze b jest granic ˛a funkcji f w punkcie a, co zapisujemy lim
x→af (x) = b, gdy dla
ka˙zdej ε > 0 istnieje δ > 0 taka, ˙ze je´sli 0 < |x − a| < δ, to |f (x) − b| < ε. Przy tym, f mo˙ze nie by´c zdefiniowana dla argumentu a (tj. f (a) mo˙ze nie mie´c warto´sci b˛ed ˛acej liczb ˛a rzeczywist ˛a).
2. Ci ˛agło´s´c funkcji. Funkcja f jest ci ˛agła w punkcie (liczbie) a, gdy: (a) f jest zdefiniowana w przedziale otwartym zawieraj ˛acym a,
(b) lim
x→af (x) istnieje,
(c) lim
x→af (x) = f (a).
3. Pochodna funkcji. Przez pochodn ˛a y = f0(x) funkcji f rozumiemy zbiór par (x, y) takich, ˙ze: dla ka˙zdego ε-otoczenia y istnieje δ-otoczenie x takie, ˙ze f (x+δ)−f (x)δ znajduje si˛e w tym ε-otoczeniu y.
Autorzy przypisuj ˛a Weierstrassowi posługiwanie si˛e BMI, podstawow ˛a me-tafor ˛a niesko´nczono´sci, w ustalaniu definicji tych poj˛e´c. Pisz ˛a te˙z, ˙ze – mimo wszystko – nie udało mu si˛e całkowicie pozby´c odwoła´n do geometrii. Stosunek odległo´sci do czasu, gdy czas sam jest metaforycznie pojmowany jako odległo´s´c, wyst˛epuje w metaforze Newtona-Leibniza: zmiana chwilowa to stosunek ´sred-niej zmiany odległo´sci do niesko´nczenie małego przedziału czasu. To wła´snie ma by´c oddawane arytmetycznie wyra˙zeniem f (x+δ)−f (x)δ , gdzie δ d ˛a˙zy do granicy 0. Autorzy s ˛a przekonani, ˙ze nie mo˙zna całkowicie wyrugowa´c w tym kontek´scie odwoła´n do geometrii (Lakoff, Núñez 2000: 315):
In these metaphors, there is implicit geometry: the ratio of distance to time, where time is itself conceptualized metaphorically as distance. If mathematics is taken to include the ideas that arithmetic expresses – that is, if calculus is taken to be about something – namely, change – then Weierstrass did not eliminate geometry at all. From the concep-tual perspective, he just hid it. From the perspective of mathematical idea analysis, no one could eliminate the geometry metaphorically implicit in the very concept of change in classical mathematics.
Osobn ˛a jest spraw ˛a, czy powy˙zsze ogólne uwagi autorów s ˛a trafne. Czy takie teorie zmiany, które nie wymagaj ˛a odwołania si˛e do poj˛ecia czasu s ˛a logicznie wykluczone?
4.5
Oswajanie potworów
Rozumienie ogólnego poj˛ecia funkcji ulegało zmianom w matematyce ostatnich stuleci. Gdy w wieku XIX zacz˛eto dopuszcza´c mówienie o funkcjach jako cał-kiem dowolnych zbiorach par uporz ˛adkowanych (spełniaj ˛acych oczywisty waru-nek jednoznaczno´sci), okazało si˛e, ˙ze oprócz naturalnych, zgodnych z intuicjami do´swiadczenia potocznego zale˙zno´sci funkcyjnych za funkcje w tym najbardziej ogólnym znaczeniu musimy uzna´c równie˙z takie zale˙zno´sci, które tym intuicjom dramatycznie przecz ˛a. Autorzy przywołuj ˛a list˛e własno´sci uznawanych za „nor-malne” własno´sci krzywych w przestrzeni trójwymiarowej, sporz ˛adzon ˛a pod ko-niec XIX wieku przez Jamesa Pierponta. Wedle niej krzywa taka:
1. Mo˙ze zosta´c utworzona przez ruch punktu. 2. Jest ci ˛agła.
3. Ma styczn ˛a. 4. Ma długo´s´c.
5. Je´sli jest zamkni˛eta, to stanowi granic˛e obszaru, a obszar ten ma pole. 6. Nie jest powierzchni ˛a.
7. Jest utworzona poprzez przeci˛ecie dwóch powierzchni.
Skonstruowano liczne przykłady funkcji (pojmowanej w najbardziej ogólny sposób), które własno´sci tych nie posiadaj ˛a. Do´s´c dobrze znane s ˛a przykłady funkcji wypełniaj ˛acych kwadrat jednostkowy(Peano, Hilbert) – powstaj ˛a one jako granice jednostajnie zbie˙znego ci ˛agu funkcji (a wi˛ec s ˛a ci ˛agłe), lecz nie maj ˛a po-chodnej w ˙zadnym punkcie (w terminach intuicyjnych powiemy: ich wykres jest „złamany” w ka˙zdym punkcie). Wypełniaj ˛a one kwadrat jednostkowy, a wi˛ec ich wykres jest powierzchni ˛a – to kłóci si˛e z intuicjami przypisuj ˛acymi krzywej inny wymiarni˙z powierzchniom. Inny przykład podał Weierstrass:
1. Krzywa Weierstrassa. Był to pierwszy z podanych przykładów funkcji ci ˛ a-głej, która w ˙zadnym punkcie nie jest ró˙zniczkowalna (cho´c podobno ju˙z Bolzano rozwa˙zał takie konstrukcje).
f (x) = ∞ X n=0 ancos(bnπx) (a) 0 < a < 1 (b) b dodatnia nieparzysta (c) ab > 1 + 32π.
Autorzy nie przywołuj ˛a tego przykładu, ale zwracaj ˛a uwag˛e na pewne inne jeszcze – najbardziej ogólnie rozumiane – funkcje, które te˙z nazywaj ˛a potworami: 1. Potwór 1. Funkcja okre´slona wzorem: f (x) = sin(x1) dla x 6= 0 oraz f (0) =
0. Nie jest ci ˛agła w sensie Weierstrassa.
2. Potwór 2. Funkcja okre´slona wzorem: f (x) = x sin(1x) dla x 6= 0 oraz f (0) = 0. Jest ci ˛agła w sensie Weierstrassa.
3. Potwór 3. To omówiona wcze´sniej krzywa Hilberta.
4. Potwór 4. Funkcja okre´slona wzorem: f (x) = 1, gdy x jest niewymierna, za´s f (x) = 0, gdy x jest wymierna. Nie jest ci ˛agła w sensie Weierstrassa. 5. Potwór 5. Funkcja okre´slona wzorem: f (x) = 1, gdy x jest niewymierna,
za´s nieokre´slona, gdy x jest wymierna. Jest ci ˛agła w sensie Weierstrassa. Nietrudno wykry´c, które z „prototypowych” własno´sci krzywych wyliczo-nych przez Pierponta nie przysługuj ˛a powy˙zszym potworom. We współczesnych podr˛ecznikach analizy lub topologii podaje si˛e całe mnóstwo dalszych przykła-dów tego rodzaju – por. np. (Gelmbaum, Olmsted 1990, 2003), (Steen, Seebach 1995), (Wise, Hall 1993).
4.6
Czy mo˙zna zrozumie´c „ci ˛
agłe” w terminach „dyskretnego”?
Czy mo˙zna uzna´c, ˙ze odt ˛ad – po arytmetyzacji analizy w stylu Weierstrassa – istota ci ˛agło´scijest ju˙z w pełni, wyczerpuj ˛aco dobrze okre´slona? Chyba nie wszy-scy matematycy zgodz ˛a si˛e z takim stwierdzeniem – por. np. uwagi ko´ncz ˛ace ksi ˛a˙zk˛e (Mioduszewski 1996). Zacytujmy te˙z zdanie ko´ncz ˛ace znan ˛a ksi ˛a˙zk˛e do-tycz ˛ac ˛a struktury prostej rzeczywistej (Bukovský 1979: 206):Z toho, ˇco sme uviedli, môžeme však dôjst’ k rovnakému pouˇceniu, aké predpovedal N. Luzin v [59], str. 322: že prišiel ˇcas, ked’ je po-trebné vykonat’ reformu našich predsta´v o kontinuu. [Tutaj [59] od-nosi si˛e do pracy: Luzin, N. 1930. Leçons sur les ensembles analyti-ques. Paris: Gauthier-Villars.]
Lakoff i Núñez przywołuj ˛a natomiast pewne uwagi Hermanna Weyla z jego rozprawy o kontinuum tak˙ze wyra˙zaj ˛ace w ˛atpliwo´s´c, czy udało si˛e ju˙z adekwatnie opisa´c istot˛e ci ˛agło´sci, a co za tym idzie, struktur˛e kontinuum. Od siebie pisz ˛a za´s (Lakoff, Núñez 2000: 323–324):
Each attempt to understand the continuous in terms of the discrete is necessarily metaphorical – an attempt to understand one kind of thing in terms of another kind of thing. Indeed, it is an attempt to understand one kind of thing – the naturally continuous continuum – in terms of its very opposite – the discrete. We find it strange that it should be seen as a central task of mathematics to provide a metaphorical characterization of the continuum in terms of its opposite. Any such metaphor is bound to miss aspects of what the continuum is, and miss quite a bit.
If “the great task” is to provide absolute, literal foundations for ma-thematics, then the attempt to conceptualize the continuous in terms of the discrete is self-defeating. First, such foundations cannot be li-teral; they can only be metaphorical. Second, as Weyl himself says, only “part of its content” can be conceptualized discretely. The rest must be left out. If Weyl is right, the task cannot be accomplished. We believe there is a greater task: understanding mathematical ideas.
4.7
Le trou normand
Rozwa˙zania o samej matematyce oddzielono od rozwa˙za´n o filozofii matematyki niewielk ˛a wstawk ˛a, podaj ˛ac ˛a ciekawy paradoks niesko´nczono´sci. Narysujmy pół-okr ˛ag o promieniu12 oraz ´srodku w punkcie o współrz˛ednych (12, 0). Długo´s´c tego półokr˛egu wynosi π2. Teraz narysujmy dwa półokr˛egi, ka˙zdy o promieniu 14 oraz ´srodkach w punktach o współrz˛ednych, odpowiednio: (14, 0) oraz (34, 0). Ka˙zdy z nich ma długo´s´c π4, a wi˛ec suma ich długo´sci to π2. Iterujemy ten proces, budu-j ˛ac w kroku n ci ˛ag półokr˛egów o promieniu 21n i ´srodkach w punktach o
odci˛e-tych, odpowiednio 21n,
2 2n, . . . ,
n−1
2n i rz˛ednej 0. Ka˙zdy z półokr˛egów utworzonych
w kroku n ma długo´s´c 2πn, a wi˛ec ł ˛acznie daje to sum˛e ich długo´sci równ ˛a
π 2. Co
„dzieje si˛e” w granicy? Chciałoby si˛e rzec, zdaj ˛ac si˛e na „zdroworozs ˛adkowe” intuicje: skoro pole ograniczone osi ˛a odci˛etych i krzyw ˛a powstaj ˛ac ˛a z poł ˛aczenia konstruowanych półokr˛egów (autorzy nazywaj ˛a t˛e graniczn ˛a krzyw ˛a the bumping curve) zmierza do zera, to o´s odci˛etych i owa krzywa staj ˛a si˛e dowolnie bliskie. Jednak rozwa˙zany odcinek osi odci˛etych ma długo´s´c 1, a rozwa˙zana krzywa gra-niczna ma długo´s´c π2. Paradoks!
Autorzy obja´sniaj ˛a ´zródła owego paradoksu, pouczaj ˛ac, jak nale˙zy mierzy´c odległo´s´cw przestrzeniach funkcyjnych. W rozwa˙zanym przypadku odległo´s´c ta dana jest wzorem:
d(f, g) = sup x |f (x) − g(x)| + 1 Z 0 (|f0(x) − g0(x)|)dx.
Nie bierzemy zatem pod uwag˛e jedynie ró˙znic warto´sci funkcji, ale tak˙ze drugi składnik powy˙zszej sumy.
5
Implikacje dla filozofii matematyki
Niew ˛atpliwie propozycje autorów stanowi ˛a novum w rozwa˙zaniach nad tworze-niem poj˛e´c matematycznych oraz w analizie idei w matematyce. Nale˙zy mo˙ze raz
jeszcze powtórzy´c: nie s ˛a to ani wyniki wewn ˛atrz samej matematyki, ani samo-istne refleksje filozoficzne, cho´c oczywi´scie mo˙zna te propozycje konfrontowa´c zarówno z twórczo´sci ˛a matematyków, jak i z pogl ˛adami filozofów na temat tej twórczo´sci.
5.1
Teoria uciele´snionej matematyki
Autorzy o´swiadczaj ˛a wyra´znie, i˙z s ˛a ´swiadomi, ˙ze ich propozycje mog ˛a zosta´c – z ró˙znych powodów, w tym tak˙ze ´swiatopogl ˛adowych – odrzucone przez za-wodowych matematyków, zwłaszcza gdy ci ostatni s ˛a emocjonalnie i z pełnym przekonaniem przywi ˛azani do tego, co autorzy nazwali we wst˛epie mitologi ˛a ma-tematyki. Lakoff i Núñez przyznaj ˛a, ˙ze owa mitologia posiada walory estetyczne, jest sama w sobie pi˛ekna, a nawet – wedle ich własnego okre´slenia – seksowna. Uwa˙zaj ˛a te˙z jednak, ˙ze jest ona szkodliwa społecznie, propaguj ˛ac nietrafny ob-raz matematyki oob-raz nadaj ˛ac matematykom status, który im si˛e nie nale˙zy. Tego ostatniego stwierdzenia nie zamierzamy w tym miejscu komentowa´c.
Autorzy twierdz ˛a, ˙ze nie ma ˙zadnego naukowego dowodu na to, ˙ze to, czego dowodzimy w ludzkiej matematyce jest uniwersaln ˛a prawd ˛a obiektywn ˛a, a nawet, ˙ze dowód taki w ogóle jest niemo˙zliwy. Jednym z argumentów autorów na rzecz tego, ˙ze nie istnieje transcendentna matematyka jest to, ˙ze podstawowe obiekty matematyczne – na przykład liczby – s ˛a w matematyce opisywane na wiele, wza-jem niezgodnych sposobów: liczby to punkty na osi, liczby to zbiory, liczby to warto´sci pozycji w grach kombinatorycznych, itd. Gdyby istniała transcendentna matematyka, to liczby (oraz inne obiekty matematyczne) musiałyby by´c ontolo-gicznie precyzyjnie okre´slone, a tak nie jest, zdaniem autorów.
Matematyka nie jest równie˙z, ich zdaniem, cz˛e´sci ˛a ´swiata fizycznego, za´s ar-gumenty odwołuj ˛ace si˛e do „niewiarygodnej skuteczno´sci matematyki” powinny by´c wła´sciwie rozumiane. Na to poprawne rozumienie składaj ˛a si˛e nast˛epuj ˛ace przekonania:
1. W ´swiecie istniej ˛a niezale˙zne od nas regularno´sci.
2. My, ludzie, wymy´slili´smy niesprzeczne oraz trwałe formy matematyki (za-zwyczaj daj ˛ace poprawne odpowiedzi w zastosowaniach).
3. Czasem fizycy odnosz ˛a sukces w dopasowaniu ludzkiej matematyki do swo-ich – tak˙ze ludzkswo-ich – konceptualizacji regularno´sci obserwowanych w ´swie-cie fizycznym. Poj˛ecia matematyczne nie egzystuj ˛a jednak w ´swiecie fi-zycznym.
Jedyn ˛a matematyk ˛a jest – zdaniem autorów – matematyka uciele´sniona (La-koff, Núñez 2000: 346–347):
For human beings – or any other embodied beings – mathematics is embodied mathematics. The only mathematics we can know is the mathematics that our bodies and brains allow us to know. For this re-ason, the theory of embodied mathematics we have been describing throughout the book is anything but innocuous. As a theory of the only mathematics we know or can know, it is a theory of what mathe-matics is – what it really is!
Because it is an empirical theory about the embodied mind, the theory of embodied mathematics is framed within the study of embodied cognition. The elements of embodied cognition are not axioms and proofs but image schemas, aspectual concepts, basic-level concepts, semantic frames, conceptual metaphors, conceptual blends, and so on. Because mathematics does not study the mind, it cannot study itself as a product of mind. The methods and apparatus of embodied cognitive science are necessary.
Teoria uciele´snionej matematyki nie jest i nie mo˙ze by´c teori ˛a wewn ˛atrz samej matematyki. Musi jednak czyni´c zado´s´c wielu wymaganiom charakterystycznym dla nauk kognitywnych w ogólno´sci. Oprócz empirycznych po´swiadcze´n ekspe-rymentalnych teorie z tych nauk musz ˛a posiada´c moc wyja´sniaj ˛ac ˛a – powinny wyja´snia´c np. w jaki sposób mo˙zemy posiada´c poj˛ecia abstrakcyjne, a co wa˙z-niejsze, jak je rozumiemy. Odnosi si˛e to, w naszym przypadku, do wszelkich po-j˛e´c matematycznych. Porz ˛adna teoria kognitywistyczna powinna wyja´snia´c, jak rozumiemytakie poj˛ecia. Przy tym rozumienie, zdaniem autorów, nie mo˙ze zosta´c sprowadzone jedynie do znajomo´sci aksjomatów, twierdze´n, dowodów i do sym-bolicznego na nich operowania. Poznanie matematyczne powinno by´c obja´sniane m.in. w odwołaniu do mechanizmów poznawczych oraz neuronowych (neural) obecnych w nie´swiadomym ludzkim systemie poj˛eciowym. Przypuszcza si˛e, ˙ze w przypadku poznania matematycznego istotne s ˛a takie same mechanizmy, jak w przypadku ka˙zdego innego poznania – autorzy starali si˛e to potwierdzi´c licz-nymi przykładami omawialicz-nymi wcze´sniej w tek´scie.
Poznanie matematyczne musi by´c obja´sniane równie˙z w aspekcie historycz-nym. Zmienia si˛e rozumienie poj˛e´c matematycznych, zmieniaj ˛a si˛e zainteresowa-nia i mody matematyczne.
Matematyka jest twórczo´sci ˛a umysłow ˛a wykształcon ˛a dla badania obiektów ´swiata zewn˛etrznego. Takie cechy matematyki, jak: uniwersalno´s´c, precyzja, nie-sprzeczno´s´c, stabilno´s´c, mo˙zliwo´s´c dokonywania uogólnie´n oraz odkry´c autorzy wi ˛a˙z ˛a z odpowiednimi własno´sciami obiektów do´swiadczenia potocznego.
Teoria uciele´snionej matematyki, wsparta faktami z historii matematyki oraz wynikami bada´n szczegółowych czyni, zdaniem autorów, nast˛epuj ˛ace ustalenia:
1. Matematyka jest produktem ludzkim, zdeterminowanym przez nasz ˛a biolo-gi˛e, system poj˛eciowy oraz czynniki społeczne i kulturowe.
2. Zaawansowana matematyka powstaje jako wynik zdolno´sci poznawczych wspólnych wszystkim ludziom (np. zdolno´s´c tworzenia metafor).
3. Proste struktury arytmetyczne s ˛a wrodzone.
4. Działy matematyki wyrastaj ˛a z ludzkich zainteresowa´n i aktywno´sci. 5. Precyzja w matematyce jest mo˙zliwa, poniewa˙z ludzie s ˛a w stanie
dokony-wa´c jasnych i dokładnych odró˙znie´n dotycz ˛acych obiektów i kategorii. Jest ona ponadto wspierana przez ludzk ˛a zdolno´s´c symbolizowania.
6. Metafory poj˛eciowe s ˛a podstawowym, neuronalnie ugruntowanym mecha-nizmem poznawczym.
7. Wnioskowania i obliczenia przeprowadzone w społeczno´sci matematyków nie maj ˛a skłonno´sci do zmian w czasie lub mi˛edzy kulturami.
8. Matematyka nie jest monolitem, je´sli chodzi o jej najbardziej podstawowe teorie. Nie ma jednej geometrii, jednej teorii mnogo´sci, jednej logiki for-malnej.
9. Matematyka jest skuteczna w charakteryzowaniu ró˙znych aspektów ´swiata oraz w przewidywaniu. Rozwijali´smy si˛e w taki sposób, ˙ze poznanie po-toczne dopasowuje nas do ´swiata. Matematyka jest systematycznym roz-szerzeniem tego wła´snie poznania.
Poniewa˙z pewne aspekty ludzkiego systemu poznawczego maj ˛a walor uniwer-salno´sci oraz s ˛a wyposa˙zone w takie mechanizmy zachowuj ˛ace wnioskowania jak np. metafory poj˛eciowe, wi˛ec sama matematyka (przeprowadzane w niej dowody i obliczenia) s ˛a trwałe, mo˙zliwe s ˛a odkrycia bez odwoła´n do empirii, abstrahowa-nie, trwałe i naturalne powi ˛azania pomi˛edzy ró˙znymi działami matematyki oraz systematyczny rozwój matematyki w czasie.
Poznanie matematyczne uwa˙zaj ˛a autorzy za ponadkulturowe, zwracaj ˛a jednak uwag˛e, ˙ze formy tego poznania s ˛a w pewnym sensie kulturowo uwarunkowane – wystarczy wspomnie´c greckie prze´swiadczenia, ˙ze zjawiska maj ˛a swoj ˛a istot˛e, ˙ze przedmiot poznania mo˙zna i nale˙zy ugruntowa´c na jakiej´s podstawie, ˙ze rozu-mowania mo˙zna reprezentowa´c matematycznie w formie systemów logicznych – te prze´swiadczenia przekładaj ˛a si˛e na wzorzec uprawiania (poszczególnych dzia-łów) matematyki w postaci teorii aksjomatycznych. Matematyka w ˙zadnym przy-padku nie powinna by´c rozumiana na modł˛e postmodernistyczn ˛a, jako całkowicie
dowolnie ukształtowana przez histori˛e i kultur˛e. To raczej przekonanie o trans-cendentno´sci matematyki zasługuje, zdaniem autorów, na nazwanie go równie antynaukowym jak radykalny postmodernizm.
5.2
Filozofia uciele´snionej matematyki
Dla pyta´n o to, czym s ˛a obiekty matematyczne oraz czym jest prawda mate-matyczna (obu w sensie uciele´snionej matematyki) autorzy podaj ˛a odpowiedzi w kilku przypadkach szczególnych (liczba zero, zbiór pusty, suma niesko´nczona, liczba kardynalna ℵ0). S ˛a to, jak łatwo si˛e domy´sli´c, argumentacje wskazuj ˛ace na
metaforyczne pochodzenie tych obiektów oraz prawdziwo´sci stwierdze´n o nich. Je´sli chodzi natomiast o tzw. The Formal Reduction Metaphor – metafor˛e, która przyporz ˛adkowuje konstruktom teorio-mnogo´sciowym poj˛ecia matematycz-ne, to autorzy dopuszczaj ˛a tylko jedn ˛a jej interpretacj˛e, nazywan ˛a przez nich ko-gnitywn ˛a. Ka˙ze ona operowa´c na poj˛eciach matematycznych w poł ˛aczeniu z ich reprezentacjami teorio-mnogo´sciowymi. Autorzy odrzucaj ˛a natomiast drug ˛a in-terpretacj˛e, wedle której poj˛ecia matematyczne miałyby by´c dosłownie reduko-wane do konstrukcji z teorii mnogo´sci.
Jaki obraz matematyki wyłania si˛e zatem z ustale´n autorów? Twierdz ˛a oni, ˙ze udało im si˛e obali´c mity dotycz ˛ace matematyki, o których wspomniano we wst˛epie. Ponadto, uwa˙zaj ˛a, ˙ze potraktowanie działalno´sci matematyków oraz wy-ników tych działa´n mo˙ze zosta´c – cho´cby wst˛epnie – scharakteryzowane poprzez wszechobecn ˛a metaforyzacj˛e, dokonywan ˛a przez uciele´sniony umysł. Podsumo-wuj ˛a swój portret matematyki nast˛epuj ˛aco (strony 377–379):
1. Matematyka jest naturalnym składnikiem bycia człowiekiem. Wyrasta z na-szych ciał, mózgów oraz codziennych do´swiadcze´n. Ka˙zda kultura dyspo-nuje jak ˛a´s form ˛a matematyki.
2. Matematyka jest przedmiotem badania naukowego, i nie ma w tym niczego magicznego, mistycznego, tajemniczego. Jest konsekwencj ˛a ludzkiej histo-rii ewolucyjnej, neurobiologii, zdolno´sci poznawczych oraz kultury.
3. Matematyka jest jednym z najwi˛ekszych osi ˛agni˛e´c zbiorowej ludzkiej wy-obra´zni.
4. Matematyka jest systemem ludzkich poj˛e´c, który czyni niezwykły u˙zytek ze zwykłych ´srodków ludzkiego poznania. Ma takie, wymienione ju˙z wcze-´sniej cechy, jak: uniwersalno´s´c, precyzja, niesprzeczno´s´c, stabilno´s´c, mo˙z-liwo´s´c dokonywania uogólnie´n oraz odkry´c.
5. Skuteczno´s´c matematyki jest wynikiem ewolucji oraz kultury. Ewolucja wykształciła nasze ciała i mózgi tak, ˙ze otrzymali´smy neuronowe zdolno´sci
dla reprezentowania podstaw arytmetyki oraz pierwotnych zale˙zno´sci prze-strzennych. Kultura pozwoliła, poprzez prowadzone miliony lat obserwacje natury na wykształcenie coraz bardziej skomplikowanych ´srodków mate-matycznych. Poł ˛aczenie idei matematycznych oraz ludzkich do´swiadcze´n ´swiata ma miejsce w ludzkim umy´sle.
6. Poj˛ecia do´swiadczenia potocznego takie jak np.: zmiana, proporcja, wiel-ko´s´c, obrót, prawdopodobie´nstwo, rekurencja, iteracja oraz setki innych zostały zmatematyzowane – matematyzacja zwykłych ludzkich poj˛e´c jest zwykłym ludzkim wyzwaniem.
7. Rozwój systemów pisma umo˙zliwił te˙z rozwój notacji matematycznej. Me-tafory dyskretyzacji pozwoliły na precyzyjne uj˛ecie stale rosn ˛acej liczby poj˛e´c matematycznych. Ludzka zdolno´s´c do tworzenia metafor poj˛ecio-wych pozwoliła na matematyzacj˛e (a czasem nawet arytmetyzacj˛e) poj˛e´c potocznych, takich jak: kolekcje, wymiary, symetrie, zale˙zno´s´c i niezale˙z-no´s´c przyczynowa, itd.
8. Wszystko w matematyce daje si˛e – przynajmniej w zasadzie – zrozumie´c. 9. Ludzka inteligencja ma wiele aspektów, inteligencja matematyczna to tylko
jej cz˛e´s´c (podobnie jak inteligencja muzyczna, literacka, itd.).
10. Matematyka jest twórcza i otwarta. Wykorzystywa´c mo˙zemy coraz to nowe metafory poj˛eciowe oraz ich zł ˛acza.
11. Ludzkie systemy poj˛eciowe nie s ˛a monolityczne. Dopuszczaj ˛a alternatywne wersje poj˛e´c oraz perspektyw metaforycznych w wielu aspektach naszego ˙zycia. Tak˙ze w matematyce: s ˛a ró˙zne koncepcje niesko´nczono´sci, ró˙zne po-j˛ecia liczby, ró˙zne systemy logiczne, nie ma jednej tylko teorii mnogo´sci czy tylko jednej geometrii.
12. Matematyka jest cudownym przykładem pi˛ekna, bogactwa, zło˙zono´sci, ró˙z-norodno´sci oraz wa˙zko´sci ludzkich poj˛e´c.
13. Za stworzenie matematyki odpowiedzialne s ˛a istoty ludzkie, s ˛a one te˙z od-powiedzialne za jej rozwój.
Portret matematyki ma ludzk ˛a twarz, pisz ˛a autorzy. Mo˙zna rzecz jasna twier-dzi´c, ˙ze niektóre z wymienionych wy˙zej stwierdze´n to ogólniki, banały b ˛ad´z me-tafory, a ich akceptacja nie przyczynia si˛e do gł˛ebszego zrozumienia czym wła´sci-wie jest matematyka i sk ˛ad si˛e wzi˛eła. Jak odpowiada´c na takie pytania? Autorzy widz ˛a takie podstawy matematyki nast˛epuj ˛aco (Lakoff, Núñez 2000: 376):
