Kto mógłby kompetentnie oceni´c na ile powy˙zej przedstawiona wizja matematyki jest trafna? Wskazywa´c mo˙zna ró˙znych kandydatów, którzy byliby upowa˙znieni do prób obalenia tej wizji:
1. Matematycy. Ewentualn ˛a nietrafno´s´c koncepcji autorów wykazywa´c mo-gliby matematycy podaj ˛ac przykłady takich poj˛e´c matematycznych, które nie daj ˛a si˛e otrzyma´c na drodze sugerowanej w omawianej ksi ˛a˙zce, b ˛ad´z wskazuj ˛ac na mechanizmy tworzenia teorii, które tak˙ze umykaj ˛a procesom jakiejkolwiek metaforyzacji. W tym celu trzeba zatem byłoby pochyli´c si˛e nad histori ˛a matematyki w poszukiwaniu takiego studium przypadku. 2. Filozofowie. Koncepcja przedstawiona w ksi ˛a˙zce niew ˛atpliwie stoi w
wy-ra´znej sprzeczno´sci z Platonizmem w filozofii matematyki. Wedle zdania autorów, zwolennicy Platonizmu nie s ˛a w stanie przedstawi´c jakiegokol-wiek naukowego uzasadnienia swoich przekona´n. Ciekawe byłoby oczy-wi´scie zobaczenie, jak zwolennicy Platonizmu mogliby pokaza´c bł˛edno´s´c koncepcji z omawianej ksi ˛a˙zki. Formalizm w filozofii matematyki równie˙z nie przydaje matematyce „ludzkiej twarzy”, skupia si˛e raczej na samych wytworach pracy matematyków, a nie na mechanizmach ich twórczo´sci. Ma tak˙ze pewne trudno´sci w obja´snianiu zmienno´sci rozumienia poj˛e´c ma-tematycznych. Wreszcie, równie˙z Intuicjonizm matematyczny nie współgra z omawian ˛a koncepcj ˛a – wszak propozycje Lakoffa i Núñeza dotycz ˛a ma-tematyki klasycznej. Pisz ˛acemu te słowa nie s ˛a znane prace intuicjonistów, którzy ewentualnie podejmowali próby eksplikacji genezy i funkcjonowa-nia matematyki w terminach kognitywnych.
3. Kognitywi´sci. Nie jest nam tak˙ze wiadomo, czy nauki kognitywne zapro-ponowały jak ˛a´s alternatywn ˛a wobec wy˙zej omawianej koncepcj˛e genezy oraz funkcjonowania matematyki. Mo˙zna tak˙ze pyta´c, czy autorzy istot-nie przestrzegaj ˛a wszelkich narzucanych w naukach kognitywnych zalece´n
oraz ogranicze´n. Nie potrafimy tego rozstrzygn ˛a´c – mogliby to zrobi´c b ˛ad´z sami kognitywi´sci b ˛ad´z specjali´sci z ogólnej metodologii nauk.
Niezale˙znie od tego, na ile trafne jest twierdzenie autorów o tym, ˙ze wszel-kie poznanie jest poznaniem uciele´snionym, ˙ze jego podstaw ˛a jest zatem ucie-le´sniony umysł (embodied mind), mo˙zna zastanawia´c si˛e nad trafno´sci ˛a ich pro-pozycji w tłumaczeniu genezy i mechanizmów rozwoju teorii matematycznych. Tytułem przykładu wyliczamy ni˙zej kilka nasuwaj ˛acych si˛e w zwi ˛azku z tym pro-blemów.
6.0.1 Matematyka poznana a matematyka poznawalna
Autorzy pisz ˛a, ˙ze poznawa´c mo˙zemy jedynie matematyk˛e, któr ˛a sami tworzymy. Czy płynie z tego prawomocny logicznie wniosek, ˙ze tylko taka matematyka ist-nieje? Nie mo˙zna chyba – w całkowitej ogólno´sci – uto˙zsamia´c poj˛ecia istnienia z poj˛eciem poznawalno´sci.
Spiera´c si˛e mo˙zna na temat samego poj˛ecia poznawalno´sci obiektów matema-tycznych. Gdy tworzymy zbiór pot˛egowy cho´cby najprostszego zbioru niesko´n-czonego – zbioru wszystkich liczb naturalnych – to nie ma ˙zadnej mo˙zliwo´sci (w j˛ezyku logiki pierwszego rz˛edu, w którym formułujemy teori˛e mnogo´sci) – np. nazywaniawszystkich elementów takiego zbioru. Jest on wszak nieprzeliczalny, a dost˛epne ´srodki j˛ezykowe jedynie przeliczalne. Prawie wszystkie jego elementy s ˛a niedefiniowalne w rozwa˙zanym j˛ezyku. Zgadzamy si˛e jednak na to, ˙ze mówie-nie o zbiorach pot˛egowych zbiorów mówie-niesko´nczonych jest sensowne.
Inny rodzajem wzgl˛ednej niepoznawalno´sci obiektów matematycznych s ˛a np. funkcje, które nie s ˛a efektywnie obliczalne, dla których nie istnieje algorytm ob-liczania ich warto´sci. Tylko przeliczalnie wiele spo´sród wszystkich funkcji o ar-gumentach i warto´sciach b˛ed ˛acych liczbami naturalnymi to funkcje rekurencyjne. Potrafimy konstruowa´c funkcje, które nie s ˛a rekurencyjne (na mocy stosownych twierdze´n teorii rekursji), potrafimy nawet sensownie mówi´c o ró˙znych stopniach nieobliczalno´sci, nie zmienia to jednak faktu, ˙ze istniej ˛afunkcje, które w pewnym sensie s ˛a nam (efektywnie) niedost˛epne poznawczo.
Z drugiej strony, je´sli tez˛e autorów o uciele´snionym charakterze matematyki bra´c bardzo dosłownie, to np. logiki infinitarne, czyli takie, w których dopusz-cza si˛e niesko´nczone alternatywy i koniunkcje lub reguły wnioskowania o nie-sko´nczonej liczbie przesłanek (jak np. ω-reguła) w ˙zadnej mierze nie mogłyby reprezentowa´c jakichkolwiek naszych inferencji, skoro jeste´smy tworami jedynie sko´nczonymi: w rzeczywistych wnioskowaniach nie mogliby´smy ani u˙zy´c nie-sko´nczonej koniunkcji, ani skorzysta´c z infinitarnej reguły wnioskowania. Potra-fimy jednak sensownie o takich systemach logicznych mówi´c, badamy ich wła-sno´sci, itd.
Powy˙zsze argumenty mo˙zna nazwa´c całkiem naiwnymi. Istotnie, je´sli dobrze rozumiemy propozycje autorów, to chodzi im raczej o inny rodzaj niepoznawal-no´sci. Wykluczaj ˛a oni istnienie Matematyki Transcendentalnej, niedost˛epnej po-znaniu przez uciele´sniony umysł i równie˙z nie tworzonej przez taki umysł. Nie chcieliby´smy by´c a˙z tak radykalni, jak autorzy. Pozwólmy sobie mianowicie na ˙zywienie przekonania, ˙ze:
1. By´c mo˙ze, istnieje transcendentalna matematyka.
2. Jej istnienie jest całkowicie oboj˛etne z punktu widzenia matematyki upra-wianej przez ludzi.
Przekonanie to oddziela, jak s ˛adzimy, praktyk˛e badawcz ˛a matematyki (tej ludzkiej) od ˙zyczeniowych pogl ˛adów na temat matematyki (zarówno tej ludzkiej, jak i tej – by´c mo˙ze istniej ˛acej – transcendentalnej). Jest wyrazem agnostycyzmu matematycznego, chciałoby si˛e mo˙ze rzec.
6.0.2 Przeliczalne i nieprzeliczalne
Czy BMI, podstawowa intuicja niesko´nczono´sci w uj˛eciu autorów jest w stanie nale˙zycie zda´c spraw˛e z tego, jak rozumiemy (czy cho´cby próbujemy zrozumie´c) moce nieprzeliczalne? Powy˙zej wspomnieli´smy o niedefiniowalno´sci elementów zbiorów nieprzeliczalnych. Zastanówmy si˛e jeszcze przez chwil˛e nad intuicjami wi ˛azanymi z pozasko´nczonymi skalami liczb: porz ˛adkowych oraz kardynalnych.
Zarówno liczby porz ˛adkowe, jak te˙z liczby kardynalne to dobrze okre´slone obiekty matematyczne:
1. Zbiór α nazywamy liczb ˛a porz ˛adkow ˛a, je´sli jest on przechodni (czyliS α ⊆ α) oraz liniowo uporz ˛adkowany przez relacj˛e ∈.
2. Liczb˛e porz ˛adkow ˛a α nazywamy liczb ˛a kardynaln ˛a, gdy nie jest ona rów-noliczna z ˙zadn ˛a liczb ˛a porz ˛adkow ˛a β tak ˛a, ˙ze β ∈ α.
Wyposa˙zeni w takie (b ˛ad´z równowa˙zne) definicje, powinni´smy dobrze rozu-mie´c oba te poj˛ecia. Bezpiecznie mo˙zemy uwa˙za´c, ˙ze dobrze rozumiemy zarówno wszystkie sko´nczone liczby porz ˛adkowe, jak i najmniejsz ˛a niesko´nczon ˛a liczb˛e porz ˛adkow ˛a ω. W my´sl propozycji autorów, gwarantuje nam to BMI, podstawowa metafora niesko´nczono´sci. Dalej, dost˛epne rozumieniu powinny te˙z by´c te wszyst-kie liczby porz ˛adkowe, które tworzymy wył ˛acznie z liczb sko´nczonych oraz z ω, poprzez stosowanie operacji arytmetycznych, zdefiniowanych dla tych liczb po-rz ˛adkowych. To daje nam wszystkie liczby porz ˛adkowe a˙z do ε0, czyli kresu gór-nego ci ˛agu liczb 0, 1, ω, ωω, ωωω
autorów upowa˙znia nas do stwierdzenia, ˙ze – jako´s intuicyjnie, bazuj ˛ac na BMI – potrafimy ogarn ˛a´c rozumieniem tak˙ze np. nieprzeliczalne liczby porz ˛adkowe? Jak wiadomo, ka˙zda liczba porz ˛adkowa mniejsza od ε0daje si˛e przedstawi´c w postaci normalnej Cantora, która jest łatwo uchwytna intuicyjnie.
W ogólno´sci, nale˙zy odró˙znia´c zdefiniowanie jakiego´s obiektu matematycz-nego od mo˙zliwo´sci jego opisania (w ustalonym systemie znakowym). W przy-padku liczb porz ˛adkowych rozwa˙za si˛e ró˙zne systemy notacji, które pozwalaj ˛a niektóre z nich wła´snie opisa´c. Dla przykładu, wszystkie rekurencyjne liczby porz ˛adkowe s ˛a liczbami przeliczalnymi mniejszymi od ω1CK, która jest jedynie liczb ˛a przeliczaln ˛a. Powy˙zej tej liczby mo˙zemy jedynie definiowa´c wi˛eksze liczby porz ˛adkowe, ale nie mo˙zemy ich – w ˙zaden efektywny sposób – opisywa´c. Nie miejsce tutaj na omawianie ró˙znych systemów notacji dla liczb porz ˛adkowych. Chcieli´smy jedynie zwróci´c uwag˛e na ow ˛a istotn ˛a ró˙znic˛e mi˛edzy definiowaniem a opisywaniem obiektów matematycznych. Je´sli propozycje autorów dotycz ˛a me-taforycznego ujmowania definiowania obiektów matematycznych, to trzeba zda-wa´c sobie spraw˛e, ˙ze takie metafory mog ˛a mie´c w ogólno´sci charakter niepredy-katywny.
6.0.3 Zdania nierozstrzygalne a praktyka matematyczna
Autorzy pisz ˛a wyra´znie, ˙ze współczesna matematyka nie jest monolitem, w tym sensie, ˙ze rozwa˙za si˛e ró˙zne teorie dotycz ˛ace jej podstawowych poj˛e´c: ró˙zne teorie mnogo´sci, ró˙zne geometrie, ró˙zne systemy logiczne. Przy ich jawnym sprzeciwie wobec Platonizmu jest to do´s´c oczywiste, bo przecie˙z zadaniem takiej matematyki nie jest opisywanie jakiej´s jednej, istniej ˛acej niezale˙znie od badaj ˛acych, struktury Plato´nskich bytów matematycznych. Matematyka jest swobodn ˛a twórczo´sci ˛a, po-siadaj ˛ac ˛a co prawda pewne ograniczenia, jak cho´cby wymóg niesprzeczno´sci. Na to Lakoff i Núñez powinni przysta´c, jak s ˛adzimy. Matematyka jest tak˙ze twórczo-´sci ˛a przekorn ˛a, na co dowodów dostarcza jej historia, np.:
1. Algebra. Wiadomo z historii algebry, ˙ze np. liczby ujemne oraz urojone przyjmowane były z wielkimi pocz ˛atkowo oporami – do´s´c długo trwało, zanim uznane one zostały za byty matematyczne prawomocnie istniej ˛ace. Do tego uznania przyczyniły si˛e w pierwszym wzgl˛edzie chyba ustalenia, ˙ze liczby całkowite oraz liczby zespolone tworz ˛a dobrze zachowuj ˛ace si˛e struktury – w pierwszym przypadku pier´scie´n, w drugim ciało, w dzisiej-szej terminologii. W oswajaniu ich widzimy jednak równie˙z pewien od-cie´n przekory wła´snie – dopu´s´cmy istnienie nowych bytów matematycz-nych, cho´c konserwatywna wspólnota matematyków dot ˛ad si˛e przed nimi wzbraniała.
2. Geometria. Stworzenie geometrii nieeuklidesowych wymagało zaiste wiel-kiego aktu przekory. Z jednej strony, skoro wysiłki zmierzaj ˛ace do udowod-nienia aksjomatu o równoległych nie przynosiły efektu, to niejako naturalne było przypuszczenie, ˙ze aksjomatu tego nie da si˛e wła´snie wyprowadzi´c z pozostałych. Ale samo rozwa˙zenie (jednej z dwóch wersji) jego zaprze-czenia było przekorne, przy powszechnym przecie˙z ówcze´snie przekonaniu, i˙z geometria ma prawdziwie opisywa´c rzeczywisto´s´c fizyczn ˛a.
3. Teoria mnogo´sci. Jedna z metod tworzenia nowych zbiorów niesko´nczo-nych jest – wedle Andrzeja Mostowskiego – nast˛epuj ˛aca. Przypu´s´cmy, ˙ze konstruuj ˛ac zbiory za pomoc ˛a operacji opisanych w aksjomatach teorii mno-go´sci, które przyj˛eli´smy dotychczas, napotykamy stale na zbiory o pewnej własno´sci P . Je´sli nie ma oczywistych powodów, które skłaniałyby nas do przyj˛ecia twierdzenia, ˙ze ka˙zdy zbiór ma własno´s´c P , to przyjmujemy nowy aksjomat, stwierdzaj ˛acy, ˙ze istniej ˛a zbiory wła´snie nie posiadaj ˛ace własno-´sci P . W ten sposób otrzymujemy np. liczby mierzalne.
Jest warte zastanowienia, jak s ˛adzimy, czy podane propozycje autorów two-rzenia wszelkich poj˛e´c matematycznych na drodze metaforycznej obejmuj ˛a takie przekornesytuacje.
Istnienie zda´n nierozstrzygalnych w takich podstawowych teoriach matema-tycznych jak arytmetyka oraz teoria mnogo´sci jest swoistym wyzwaniem dla in-tuicji matematycznych (dotycz ˛acych nie tylko liczb i zbiorów, ale tak˙ze zbudowa-nych z nich struktur). W przypadku arytmetyki nie mo˙zemy dokona´c arbitralnego rozstrzygni˛ecia, polegaj ˛acego na dodaniu zdania nierozstrzygalnego jako nowego aksjomatu (w przypadku, gdy wiemy, które ze zda´n nierozstrzygalnych α b ˛ad´z ¬α jest prawdziwe w modelu standardowym arytmetyki), poniewa˙z arytmetyka jest istotnie nierozstrzygalna – ˙zadne jej rekurencyjne rozszerzenie nie jest roz-strzygalne. Wynik ten przenosi si˛e na teori˛e mnogo´sci, gdy˙z arytmetyk˛e mo˙zemy w teorii mnogo´sci interpretowa´c.
Zwró´cmy uwag˛e na empiryczny fakt: nikt raczej nie kwapi si˛e do uznania hi-potezy kontinuum lub uogólnionej hihi-potezy kontinuum (albo, alternatywnie ich zaprzecze´n) za ewentualny dodatkowy aksjomat teorii mnogo´sci. Rozwa˙zane we współczesnej teorii mnogo´sci aksjomaty istnienia bardzo du˙zych liczb kardynal-nych nie przes ˛adzaj ˛a niczego o hipotezie kontinuum. Pocz ˛atkowo były one trak-towane jako całkowicie nieuzasadnione, obecnie niektóre z nich (jak cho´cby po-stulat istnienia liczb kardynalnych mocno nieosi ˛agalnych) s ˛a ju˙z traktowane jako „oswojone” – s ˛a wykorzystywane w dowodach wielu twierdze´n, uznaje si˛e, ˙ze po-daj ˛a jakie´s naturalne rozumienie hierarchii kumulatywnej zbiorów, itd. Wykazano równie˙z ich zwi ˛azek z „sił ˛a niesprzeczno´sci” (consistency strength) teorii. Jednak ewentualne decyzje co do uznania lub odrzucenia hipotezy kontinuum musz ˛a – je´sli b˛ed ˛a – by´c podj˛ete na innej drodze.
Zdania nierozstrzygalne wykryte zostały stosunkowo niedawno. By´c mo˙ze, dopiero dziesi ˛atki (setki?) lat praktyki matematycznej przes ˛adz ˛a co´s na temat ak-ceptacji niektórych z nich, b ˛ad´z naka˙z ˛a rozwijanie odno´snych teorii w takich kie-runkach, ˙ze problem tej akceptacji zniknie.
6.0.4 Kilka przykładów topologicznych
Je´sli nawet zgodzi´c si˛e, ˙ze topologia ogólna bierze swoje pocz ˛atki z uogólnie´n zwi ˛azanych bezpo´srednio ze znanymi dot ˛ad strukturami – geometri ˛a oraz ba-daniem zbiorów liczb rzeczywistych – to zauwa˙zy´c trzeba, ˙ze jej rozwój do´s´c szybko dostarczył przykładów konstrukcji istotnie odbiegaj ˛acych od wszelakiego do´swiadczenia potocznego. Rozwa˙zmy kilka ad hoc wybranych przykładów:
1. Sfera rogata Alexandera. Jest to powierzchnia homeomorficzna ze sfer ˛a S2. Dzieli cał ˛a przestrze´n trójwymiarow ˛a na dwa obszary, przy czym obszar wewn ˛atrz sfery rogatej jest homeomorficzny z wn˛etrzem zwykłej sfery, ale obszar na zewn ˛atrz sfery rogatej nie jest homeomorficzny z obszarem na ze-wn ˛atrz zwykłej sfery. Tak wi˛ec, twierdzenie Jordana o krzywej zamkni˛etej na płaszczy´znie nie uogólnia si˛e do trzech wymiarów.
2. Jeziora Wada, krzywa Knastera, itp. Zgodnie ze wspomnianym wy˙zej twier-dzeniem Jordana, ka˙zda krzywa zamkni˛eta na płaszczy´znie rozcina t˛e płasz-czyzn˛e na dwa obszary i jest ograniczeniem ka˙zdego z nich. Istniej ˛a jednak krzywe na płaszczy´znie, które s ˛a wspólnymi ograniczeniami trzech obsza-rów (a nawet dowolnej sko´nczonej liczby obszaobsza-rów). Konstruuje si˛e ró˙zno-rakie kontinua (np. kontinua dziedzicznie nierozkładalne), których własno-´sci daleko odbiegaj ˛a od wymienionych wy˙zej (prototypowych wedle Pier-ponta) własno´sci „grzecznych” krzywych.
3. Przenicowanie sfery S2 w przestrzeni R3. Wynik ten, uzyskany w 1958 roku przez Stephena Smale’a, głosi, ˙ze sfer˛e S2 mo˙zna w R3 „wywróci´c na drug ˛a stron˛e”, czyli przekształci´c tak, i˙z jej strona wewn˛etrzna stanie si˛e zewn˛etrzn ˛a, a przy tym nie powstan ˛a w trakcie tego nicowania ˙zadne niere-gularno´sci, cho´c wyst ˛api samoprzenikanie si˛e powierzchni tak odwracanej sfery. Technicznie rzecz ujmuj ˛ac, wynik ten polega na wykazaniu homoto-pijnej równowa˙zno´sci dwóch zanurze´n sfery S2w R3. Jest to wynik wysoce niezgodny z intuicjami potocznymi, cho´c mo˙zliwe s ˛a nawet jego „wizuali-zacje”, w postaci modelu fizycznego. Dodajmy, ˙ze okr˛egu S1 nie mo˙zna przenicowa´c w przestrzeni R2.
4. Sfery egzotyczne. Przez sfer˛e egzotyczn ˛a rozumiemy w geometrii ró˙znicz-kowej rozmaito´s´c ró˙zniczkowaln ˛a, która jest homeomorficzna ze „zwykł ˛a”
sfer ˛a w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej, lecz nie jest z ni ˛a dy-feomorficzna. Pierwszy przykład takiej sfery (siedmiowymiarowej) podał John Milnor w latach pi˛e´cdziesi ˛atych XX wieku. Nie wiadomo obecnie (2011), czy istniej ˛a egzotyczne sfery czterowymiarowe.
5. Egzotyczna R4. Przez egzotyczn ˛a R4rozumiemy rozmaito´s´c ró˙zniczkowaln ˛a, która jest homeomorficzna z przestrzeni ˛a euklidesow ˛a R4, lecz nie jest z ni ˛a dyfeomorficzna. Istnieje kontinuum niedyfeomorficznych struktur ró˙znicz-kowych na R4. Wymiar 4 jest tu wyró˙zniony: dla ˙zadnej n 6= 4 nie istniej ˛a struktury egzotyczne na Rn.
Jarosław Hašek pisał: Bardzo trudno jest opisywa´c nieistniej ˛ace zwierz˛eta, ale jeszcze trudniej jest je pokazywa´c. W ka˙zdym zaawansowanym dziale matematyki spotykamy obiekty oddalone bardzo daleko od potocznych intuicji dnia codzien-nego. Prawdziwe o nich stwierdzenia równie˙z nie przekładaj ˛a si˛e bezpo´srednio na prawdy zdroworozs ˛adkowe, którymi mogliby´smy dzieli´c si˛e z bli´znimi w kolejce do dentysty, bez nara˙zenia si˛e na podejrzenie o nienormalno´s´c, czasem wyzwiska, a w najgorszym przypadku nawet dotkliwe pobicie. Fakty te nie przes ˛adzaj ˛a, rzecz jasna, ˙ze propozycje autorów rozumienia wszelkich poj˛e´c matematycznych jako spi˛etrzonych hierarchii metafor s ˛a nietrafne. Nale˙zy jedynie jasno sobie u´swiado-mi´c, ˙ze ta hierarchia musiałaby by´c wielce skomplikowana.
Skoro jeste´smy przy przykładach topologicznych, to mo˙ze warto jeszcze wspo-mnie´c cho´cby o wysiłkach topologów zmierzaj ˛acych do trafnego, przydatnego w całej ogólno´sci poj˛ecia wymiaru przestrzeni topologicznej. Trzy dobrze opraco-wane poj˛ecia wymiaru (mały i du˙zy wymiar indukcyjny oraz wymiar pokryciowy) pokrywaj ˛a si˛e ze sob ˛a w przypadku o´srodkowych przestrzeni metrycznych, nato-miast rozchodz ˛a si˛e w szerszych klasach przestrzeni. Czy sensowne jest zatem pytanie, które z tych poj˛e´c jest trafne? „Rekonstrukcja metaforyczna”, w stylu proponowanym przez autorów, powinna jako´s odzwierciedla´c te problemy zwi ˛ a-zane z poszukiwaniem definicji poj˛ecia wymiaru w topologii.
6.0.5 Zmienno´s´c intuicji matematycznych
Intuicje matematyczne – w odró˙znieniu od intuicji zwi ˛azanych z do´swiadczeniem potocznym – s ˛a dynamiczne, przynajmniej w odniesieniu do zawodowych ma-tematyków. Zmienno´s´c tych intuicji powodowana jest ró˙znymi czynnikami. Wy-krycie antynomii w proponowanej teorii matematycznej zmusza do jej usuni˛ecia, przez zmian˛e przyjmowanych zało˙ze´n, a zatem przez zmian˛e rozumienia pew-nych poj˛e´c rozwa˙zanej teorii. Sytuacje takie zdarzały si˛e wielokrotnie w dziejach matematyki. Równie˙z rozpoznanie jakiego´s wyniku jako paradoksalnego mo˙ze – je˙zeli paradoks dotkliwie nam doskwiera, o ile burzy jakie´s fundamentalne do-tychczasowe intuicje – doprowadzi´c do rozwijania teorii w takim kierunku, aby
owo napi˛ecie poznawcze eliminowa´c. Mo˙ze te˙z zdarzy´c si˛e tak, ˙ze paradoks – ro-zumiany jako zderzenie wyniku matematycznego z intuicj ˛a potoczn ˛a– pozostaje: jest wtedy oznak ˛a tego, ˙ze intuicja matematyczna ró˙zni si˛e w danej sprawie od intuicji potocznych. Taka sytuacja nie dziwi w matematyce, bo przecie˙z dlaczego np. intuicja potoczna miałaby ingerowa´c w rozumienie np. konstrukcji wykorzy-stuj ˛acych bardzo du˙ze liczby kardynalne albo zbiory niemierzalne. Najbardziej interesuj ˛ace – dla samych matematyków – s ˛a chyba te przypadki, gdy mamy do czynienia ze zderzeniem ró˙znych intuicji matematycznych. Dla przykładu:
1. Aksjomat wyboru oraz aksjomat determinacji s ˛a wzajem sprzeczne, acz-kolwiek za ka˙zdym z nich kryj ˛a si˛e jakie´s – uwa˙zane za całkiem rozs ˛adne – intuicje matematyczne. Oczywi´scie, ich rola w teorii mnogo´sci jest ró˙zna: aksjomat wyboru dotyczy dowolnych zbiorów, aksjomat determinacji tylko podzbiorów przestrzeni Baire’a.
2. Aksjomat konstruowalno´sci Gödla jest sprzeczny z aksjomatem istnienia liczb mierzalnych. Przy zało˙zeniu aksjomatu konstruowalno´sci zbiór pot˛e-gowy ka˙zdego zbioru składa si˛e jedynie z jego podzbiorów definiowalnych. Z kolei istnienie liczb mierzalnych poci ˛aga za sob ˛a istnienie miary, która ma atrakcyjne – w pewnym sensie – własno´sci.
3. Sko´nczone matryce logiczne wydaj ˛a si˛e tworami, które powinny by´c opi-sywane w jaki´s regularny sposób. Istniej ˛a jednak takie matryce sko´nczone, które nie s ˛a sko´nczenie aksjomatyzowalne – por. (Pałasi´nska 1994), (Woj-tylak 1979).
4. Ci ˛agi von Misesa (ci ˛agi niesko´nczenie dystrybutywne, których dowolny podci ˛ag te˙z jest niesko´nczenie dystrybutywny) wydaj ˛a si˛e by´c dobrymi kan-dydatami na matematyczne reprezentacje ci ˛agów całkowicie losowych. Kło-pot w tym, ˙ze ci ˛agi von Misesa nie istniej ˛a – zob. np. (Davis, Hersh 1994: 147–149).
5. Aksjomatyczne uj˛ecie poj˛ecia spełniania (tzw. klasy spełniania) zawiera klasyczne uj˛ecie tego poj˛ecia, podane przez Alfreda Tarskiego, jako przypa-dek szczególny. W ogólno´sci, klasy spełniania dalekie s ˛a od jednoznacznej charakterystyki poj˛ecia spełniania, a ponadto wykazuj ˛a inne jeszcze patolo-gie– np. ka˙z ˛a czasem uznawa´c za fałszyw ˛a niesko´nczon ˛a alternatyw˛e zda´n prawdziwych – zob. np. (Murawski 1995).
To tylko kilka ad hoc dobranych przykładów. S ˛adzimy, ˙ze problem zmienno´sci intuicji matematycznych stanowi interesuj ˛ace wyzwanie dla koncepcji propono-wanej przez autorów. Có˙z w szczególno´sci miałoby znaczy´c, ˙ze jedne metafory wypierane s ˛a przez inne w rozwoju matematyki?
Koncepcja Lakoffa i Núñez stara si˛e – w pewnym zakresie – uwzgl˛edni´c ow ˛a dynamik˛e zmian rozumienia niektórych poj˛e´c matematycznych: wida´c to np. w tych fragmentach ich ksi ˛a˙zki, w których opisuj ˛a oni program dyskretyzacji tematyki. Mo˙zna wskaza´c liczne dalsze przykłady zmian rozumienia poj˛e´c ma-tematycznych. Zmiany te mog ˛a by´c powodowane, jak ju˙z wy˙zej wspomnieli´smy konieczno´sci ˛a– np. konieczno´sci ˛a usuni˛ecia antynomii. Dla przykładu, intuicyjne przekonanie, ˙ze ka˙zda własno´s´c wyznacza zbiór prowadzi do sprzeczno´sci: nie ist-nieje wszak zbiór wszystkich zbiorów, zbiór wszystkich liczb porz ˛adkowych, czy wreszcie zbiór tych wszystkich zbiorów, które nie s ˛a własnymi elementami. Te antynomie udaje si˛e wyeliminowa´c stosownie formułuj ˛ac aksjomaty teorii mno-go´sci, a w szczególno´sci aksjomat wyró˙zniania. Intuicje mog ˛a ulega´c zmianom na skutek przyj˛ecia jakiego´s programu w danej dyscyplinie matematycznej. To wła-´snie miało miejsce w przypadku programu arytmetyzacji analizy: geometryczne oraz kinematyczne intuicje zostały zast ˛apione konstrukcjami czysto arytmetycz-nymi. O takich programowych zmianach mo˙zemy te˙z mówi´c w przypadku teorii mnogo´sci, przy czym na zmiany te wpływ miało wiele czynników, m.in.:
1. Porzucenie przekonania, ˙ze uniwersum teorii mnogo´sci miałoby by´c cha-rakteryzowane przez jaki´s ekstremalny aksjomat minimalno´sci – np. aksjo-mat ograniczenia Fraenkla, mówi ˛acy – w uproszczeniu – ˙ze istniej ˛a tylko te zbiory, których istnienie daje si˛e udowodni´c z aksjomatów.
2. Porzucenie przekonania (z naiwnej teorii mnogo´sci), ˙ze mówimy wył ˛ acz-nie o jednym uniwersum „prawdziwych” zbiorów. Próbowano co prawda